giải các bài toán đại số bằng hình học

Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số Phần I: Lời nói đầu Trong một tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tôi đã ra bài toán sau: Cho phơng trình : x 2 2 (m 1)x + 2m 7 = 0. Tìm m để 2 nghiệm phơng trình trên là các kích thớc của một hình chữ nhật. (trích câu c bài 2 trong đề thi KSCL lớp 9 năm học 2004 2005 của huyện Yên Thành). Khi gặp bài toán này, nhiều em rất lúng túng, bối rối và không định hớng đợc cho mình phải giải bài toán trên bắt đầu từ hớng suy nghĩ nh thế nào, dẫn đến các em không giải đợc bài toán trên, có phải học sinh khi gặp bài toán đại số này đã nghĩ ngay đến những kiến thức, những công cụ trong môn đại số hay không? Nhng ta hãy thử đơn giản nghĩ lại rằng, kích thớc của hình chữ nhật là những số dơng nên câu hỏi của bài toán có thể hiểu là: Tìm m để phơng trình trên có 2 nghiệm dơng. Với câu hỏi này thì chắc chắn bài toán trên sẽ trở thành rất quen thuộc đối với học sinh . Nh vậy chỉ cần lu tâm đến những kiến thức nhỏ của hình học trong bài toán này thì mọi việc sẽ nhẹ nhàng hơn. Không những bài toán trên mà thực tế nhiều bài toán khác, học sinh gặp cũng rất bỡ ngỡ. Nhng nếu các em nhớ đến vận dụng những kiến thức nhỏ trong hình học thì bài toán sẽ trở nên dễ dàng hơn. Vì lý do đó cho nên qua một thời gian công tác giảng dạy ,tôi đã đúc rút kinh nghiệm về Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số. Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 1 Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số Phần II: Nội dung I.Nhận thức cũ và thực trạng trong dạy học môn đại số trong nhà tr ờng : - Nhận thức cũ: Đa số học sinh khi giải một bài tập đại số thông thờng hay dùng các kiến thức đại số làm công cụ.Trong khi đó một số bài tập đại số cần lu ý đến các kiến thức hình học mới giải đợc. - Việc làm cũ: Khi gặp một bài toán đại số học sinh thờng sử dụng các kiến thức đại số làm công cụ, nên dẫn tới nhiều bài toán học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí không giải đợc. - Giải pháp mới: Để giải quyết dễ dàng hơn khi gặp những dạng bài toán này thì học sinh cần biết khai thác, vận dụng các kiến của hình học , và sau đây xin giới thiệu một số ví dụ. II. Các giải pháp: 1. Sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa 2 điểm còn lại. - Ta biết rằng điểm M nằm giữa hai điểm A và B khi và chỉ khi MA + MB = AB (tức là A, B, M thẳng hàng) - Điểm M không nằm giữa A và B khi và chỉ khi MA+ MB AB (tức là A, B, M không thẳng hàng). Ví dụ1: Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Lời giải: Ta có AB = 22 )33()21( + = 45 = 3 5 AC = 22 )35()23( + = 5 BC = 22 )35()13( +++ = 80 = 4 5 Ta có : AB + AC = 3 5 + 5 =4 5 =BC. Vậy A, B, C thẳng hàng. Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 2 Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số Nhận xét: Nhiều em học sinh khi gặp ví dụ này sẽ rất bỡ ngỡ, lúng túng không biết chứng minh theo cách nào. Nhng ở trong hình học học ta biết 3 điểm A, B, C thẳng hàng khi xảy ra một trong ba trờng hợp: AC = AB + BC AB = AC + BC BC = AB+ AC Từ kiến thức hình học này dẫn ta suy nghĩ theo hớng là đi tính độ lớn các đoạn thẳng trên và so sánh tổng 2 đoạn thẳng với đoạn còn lại. Nh vậy ta có lời giải bài trên thật là ngắn gọn. Từ ví dụ trên ta có thể chứng minh 3 điểm không thẳng hàng nh ví dụ sau: Ví dụ 2: Trên mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm M(2;5) , N(1;2) , P(0;1) .Chứng minh ba điểm trên không thẳng hàng. Lời giải: MN = 22 )25()12( + = 10 NP = 22 )12()01( + = 2 MP = 22 )15()02( + = 20 Từ đó ta có MN + NP MP , NP + MP MN , MN + MP NP không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại nên M, N, P không thẳng hàng. Và ta chỉ cần thay đổi một chút là có bài toán mới nh ví dụ sau: Ví dụ 3: Trên mặt phẳng cho 3 điểm A(1;-4) , B(7;8) , M(4;2). Chứng minh M là trung điểm của AB. Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 3 Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số Lời giải. Ta có: MA = 2 2 (1 4) ( 4 2) + = 45 = 3 5 MB = 2 2 (7 4) (8 2) + = 45 = 3 5 AB = 2 2 (1 7) ( 4 8) + = 180 = 6 5 Ta có: 3 5 + 3 5 = 6 5 hay MA + MB = AB . Vậy điểm M nằm giữa A và B. Ta lại có: MA = MB = 3 5 nên M là trung điểm của AB. Nh vậy chỉ cần tính độ dài của các đoạn thẳng và sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa hai điểm còn lại ta đã giải quyết đợc rất nhiều bài toán. 2. Sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác. - Cho tam giác ABC ta có: AB < AC + BC. - Nếu cho 3 điểm A, B, C bất kỳ trên mặt phẳng toạ độ thì ta luôn có AB AC + BC. Bây giờ ta sẽ áp dụng kiến thức hình học này để giải quyết một số bài toán. Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (Đề thi chọn hsg toán 9 thành phố HCM năm học 1999-2000) Lời giải: Đặt x = a + b - c y = b + c - a z = c + a - b Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên x, y, z > 0 Ta có: b = 2 yx + , c = 2 zy + , a = 2 xz + Bất đẳng thức trên tơng đơng với: xyz ( 2 yx + )( 2 zy + )( 2 xz + ) Mà ( 2 yx + )( 2 zy + )( 2 xz + ) ( 2 2 xy )( 2 2 yz )( 2 2 zx ) = xyz (áp dụng bất đẳng thức Côsi) Vậy: xyz ( 2 yx + )( 2 zy + )( 2 xz + ) hay (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (đpcm) ở bài này để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi thì phải lý luận để x, y , z > 0 mà điều này có đợc do a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 4 Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số Ví dụ 5: Cho phơng trình: x 2 + (a + b + c)x + ab + ac + bc = 0 Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh phơng trình trên vô nghiệm. (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm học 2002-2003) Lời giải: = (a + b + c) 2 4(ab + ac + bc) = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab 2bc 2ca = a[a (b + c)] + b[b (a + c)] + c[c (a + b)] Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, nên: a (b + c) < 0 b (a + c) < 0 c (a + b) < 0 Vì vậy: = a[a (b + c)] + b[b (a + c)] + c[c (a + b)] < 0 nên phơng trình trên vô nghiệm. Nhận xét : Bài này cũng sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác mới chứng minh đợc < 0 . Ví dụ 6: Với a, b, c, d là những số dơng , chứng minh: 22 ba + + 22 dc + 22 )()( dbca +++ Lời giải: y chọn hệ trục tọa độ xOy. Trên trục Ox ở chiều dơng, Q B lấy ON = a, MN = c trên trục Oy ở chiều dơng lấy d OP = b, PQ = d. Ta có: P A OA = 22 ba + b AB = 22 dc + OB = 22 )()( dbca +++ o a N c M x Ta có: OA + AB OB Nên 22 ba + + 22 dc + 22 )()( dbca +++ (Điều phải chứng minh) Nhận xét: ở ví dụ này thì ta biết với 3 điểm A, B, C bất kỳ thì AB AC + BC nên vận dụng kiến thức hình học này ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức trên. Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 5 Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số Ta có thể mở rộng bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức tổng quát nhờ cách chứng minh tơng tự nh trên. Với x 1 , x 2 x n và y 1 , y 2 , y n là những số dơng thì ta cũng luôn có bất đẳng thức sau: 2 11 )( yx + + 2 22 )( yx + ++ 2 )( nn yx + 2 21 2 21 ) .() .( nn yyyxxx +++++++ 3. Sử dụng định lý Pitago. - Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 (định lý Pitago) - Nếu BC 2 = AB 2 + AC 2 thì tam giác ABC vuông tại A( định lý đảo định lý Pitago) Vận dụng kiến thức này vào ta có một số bài tập sau. Ví dụ 7: Cho 2 đờng thẳng: y = 3x- 2 ( d 1 ) y = 3 1 x + 8 (d 2 ) Chứng minh 2 đờng thẳng trên vuông góc với nhau. (d 2 ) Hớng dẫn học sinh suy nghĩ: C Nếu 2 đờng thẳng vuông góc với nhau thì tam giác ABC Là tam giác vuông. Từ đó ta sẽ xác định tọa độ A, B, C A B (d 1 ) sau đó sẽ tính độ dài AB, AC, BC và áp dụng định lý đảo định lý Pitago để chứng minh tam giác ABC vuông. Lời giải: Gọi A(x 0 ;y 0 ) là giao điểm của 2 đờng thẳng ta có: y 0 = 3x 0 - 2 y 0 = 3 1 x 0 + 8 Giải ra ta đợc: x 0 = 3 và y 0 = 7. Vậy A (3;7). Trên (d 2 ) lấy C (6;6), trên (d 1 ) lấy điểm B (0;-2): AC = 22 )76()36( + = 10 AB = 22 )72()30( + = 90 BC = 22 )62()60( + = 100 Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 6 Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số Ta có: AC 2 + AB 2 = BC 2 = 100 hay tam giác ABC vuông tại A (Định lý đảo định lý Pitago), nên 2 đờng thẳng trên vuông góc với nhau. Nhờ kiến thức này mà ta có thể chứng minh đợc rằng nếu đờng thẳng y=ax+b vuông góc với đờng thẳng y = cx + d thì ac =-1 và nguợc lại nh ví dụ sau: Ví dụ 8: Cho hai đờng thẳng: y = ax + b (a 0) (d 1 ) y = cx +d (c 0) (d 2 ) chứng minh rằng: Nếu (d 1 ) vuông góc với (d 2 ) thì ac = -1 Lời giải: Ta có y = ax + b song song hoặc trùng với y = ax (d 3 ) y = cx + d song song hoặc trùng với y = cx (d 4 ) Ta có nếu (d 1 ) vuông góc với (d 2 ) thì ta cũng có (d 3 ) vuông góc với (d 4 ). (d 3 ) A o B (d 4 ). Gọi O là giao điểm của (d 3 ) và (d 4 ) dễ dàng ta tìm đợc O (0; 0). Trên (d 3 ) lấy một điểm bất kỳ khác O, ví dụ A(1; a). Trên (d 4 ) lấy một điểm bất kỳ khác O,ví dụ B(1; c) Vì (d 3 ) vuông góc với (d 4 ) nên tam giác OAB vuông tại O, theo định lý Pitago ta có OA 2 + OB 2 = AB 2 hay a 2 + 1 + c 2 + 1 = (a c) 2 . Từ đó ta có ac = -1. Vậy: nếu (d 1 ) vuông góc với (d 2 ) thì ac = -1 (ĐPCM) 4. Vận dụng các định nghĩa, dấu hiệu nhận biết trong hình học để giải. Đó là vận dụng ngay trực tiếp các định nghĩa các dấu hiệu để giải các bài tập đại số nh một số ví dụ sau: Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 7 Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số v í dụ 9 : Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(2;1), B(5;7), C(-4;4). Chứng minh 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác vuông cân. Lời giải: AB = 22 )17()25( + = 3 5 AC = 22 )14()24( + = 3 5 BC = 22 )74()54( + = 90 Ta có: AB = AC = 3 5 nên tam giác ABC cân tại A. Ta lại có: AB 2 + AC 2 = BC 2 = 90 nên tam giác ABC vuông tại A( định lý đảo định lý Pitago) Vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. Nhận xét: Để chứng minh tam giác vuông cân ta phải nhớ lại kiến thức hình học, đó là tam giác vuông có 2 cạnh bằng nhau nên ta sẽ đi tính độ dài các cạnh để chứng minh tam giác cân và sử dụng định lý đảo, định lý Pitago để chứng minh tam giác vuông. Ví dụ 10: Trên mặt phẳng toạ độ cho 4 điểm: A (4;2) ; B (2;-1) ; C (-4;-1) ; D (-2;2). Chứng minh ABCD là hình bình hành. Lời giải: Trên mặt phẳng toạ độ ta xác định các điểm A, B, C, D nh trên. Ta có: AB = 22 )12()24( ++ = 13 CD = 22 )21()24( ++ = 13 AD = 22 )22()42( + = 6 CB = 22 )11()24( ++ = 6 Ta có: AB = CD = 13 ; AD = CB = 6 nên ABCD là hình bình hành. Nh vậy ở bài này để giải đợc nó ta phải nhớ lại dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Trong các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành, thì ở bài này ta sử dụng tứ giác có cặp cạnh đối bằng nhau là hiệu quả nhất. Vì ở đây ta dễ dàng tính đợc độ dài của các đoạn thẳng. Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 8 Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số Ví dụ 11: Hai vật chuyển động trên một đờng tròn, đờng kính 20cm. Xuất phát cùng một lúc, cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20s thì chúng gặp nhau, nếu chuyển động ngợc chiều thì sau 4s chúng gặp nhau. Tính vận tốc mỗi vật. (Bài tập 37 trang 24 toán 9 tập II) Lời giải: Độ dài đờng tròn là C = d 3,14 x 20 62,8(cm.) Gọi x(cm/s), y(cm/s) là vận tốc của 2 vật (x, y > 0). Sau 20s chúng chuyển động cùng chiều gặp nhau thì quãng đờng vật đi nhanh hơn lớn hơn quãng đờng đi đợc của vật còn lại chính là độ dài của đờng tròn. Nên ta có: 20x 20y = 62,8. Sau 4s chúng chuyển động ngợc chiều thì gặp nhau cho nên tổng quảng đờng đi của 2 vật là độ dài đờng tròn, nên: 4x + 4y = 62,8 Ta có hệ: 20x 20y = 62,8 x= 9,42 (thỏa mãn điều kiện) 4x + 4y = 62,8 y = 6,28 Vậy vận tốc của vật thứ nhất là 9,42 cm/s Vận tốc của vật thứ 2 là 6,28 cm/s. (Tính gần đúng) Nh vậy để giải bài này ta phải sử dụng một kiến thức của hình học đó độ dài đờng tròn . Ví dụ 12: Cho phơng trình: x 2 - 2(m-1)x+2m-7 = 0. Tìm m để 2 nghiệm của phơng trình là kích thớc của 1 hình chữ nhật. (Trích ý c bài 2 đề thi KSCL lớp 9 huyện Yên Thành năm học 2004 2005) Lời giải = (m-1) 2 - (2m-7) = (m-2) 2 + 5 > 0 m Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 9 Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số Nên phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Để 2 nghiệm của phơng trình trên là các kích thớc của hình chữ nhật thì phơng trình trên phải có 2 nghiệm dơng. hay x 1 +x 2 = 2(m-1) >0 m >1 x 1 x 2 = 2m 7 >0 m >3,5 vậy với m > 3,5 thì 2 nghiệm của phơng trình trên sẽ là các kích thớc của 1 hình chữ nhật. Nhận xét: Tôi đã từng ôn tập cho học sinh câu này nhng học sinh rất ngỡ ngàng, lúng túng không hiểu hai kích thớc hình chữ nhật là nh thế nào nên không biết bài làm từ đâu. Nhng ta chỉ cần lu ý chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là những số dơng thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Nh vậy ta chỉ cần tìm điều kiện để phơng trình trên có hai nghiệm dơng là đợc. Từ ví dụ trên nếu thay đổi một chút ta sẽ có bài toán hóc búa hơn, nh ví dụ 13 dới đây: 5. Bài tập tổng hợp. Đó là vận dụng nhiều kiến thức hình học một lúc nh các định nghĩa, các dấu hiệu, diện tích, định lý Pitago .nh một số bài tập sau: Ví dụ 13: Cho phơng trình : x 2 - 2(m-1)x +2m-7 =0. Tìm m để hai nghiệm của phơng trình là các kích thớc của một hình chữ nhật có độ dài đờng chéo là 34 . Lời giải: Tơng tự lời giải nh trên, để hai nghiệm là các kích thớc của hình chữ nhật thì m > 3,5 Để hai nghiệm này là các kích thớc hình chữ nhật có độ dài đờng chéo là 34 thì x 1 2 + x 2 2 = 34 ( x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 34 [2(m-1)] 2 - 2(2m-7) = 34 m 2 3m 4 = 0 Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 10 [...]... trong khi giải toán cần nghiên cứu kỹ bài toán và cần phải kết hợp nhuần nhuyễn giữa hình học và đại số để giải quyết Trong khi dạy học cần lu ý cho học sinh biết khai thác và vận dụng các kiến thức hình học để giải các bài tập đại số và ngợc lại ở đây tôi chỉ mới giới thiệu giải một số bài tập đại số có kết hợp các kiến thức hình học, tất nhiên còn nhiều dạng toán nữa khi giải cũng cần kết hợp các kiến... sau: Lớp 9C 9D Tổng số HS 40 40 Số HS giải đợc 30 15 Tỷ lệ Số HS không giải đợc 75% 37,5% 10 25 Tỷ lệ 25% 62,5% Phần III.: Kết luận và kiến nghị Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 12 Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số Nh vậy khi giải một số bài toán đại số nếu ta biết khai thác và vận dụng hợp lý một số kiến thức hình học thì công việc giải toán sẽ đơn giản hơn,... khi m= 3 2 Nh vậy ở bài này ta phải sử dụng kiến thức hình học là sử dụng hệ thức trong tam giác vuông III.Kết quả đạt đợc: Qua quá trình công tác giảng dạy có áp dụng Khai thác những kiến thức hình học để giải một số bài tập đại số tôi đã thực hiện trên đối tợng lớp 9C , còn lớp 9D thì không áp dụng Qua cùng một số bài tập dạng áp dụng kiến thức hình học vào giải các bài tập đại số kết quả đạt đợc... Tuyển tập đề thi môn toán THCS (Vũ Dơng Thụy, Lê Thống Nhất, Nguyễn Anh Quân) 4 Tổng hợp các bài toán bất đẳng thức (Nguyễn Đức Tấn) 5 Su tầm các đề thi trên mạng 6 Nâng cao và phát triển toán 9 (Vũ Hữu Bình) Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 13 Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 14 ... tham số) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng (d) là lớn nhất Lời giải y A Lê Văn Tuấn trờng THCS Bạch Liêu-Yên Thành 11 Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số H B Gọi A là giao điểm của (d) với trục tung Ta cho x = 0 thì y= Gọi B là giao điểm của (d) với trục hoành Ta cho y = 0 thì x = O x 1 1 nên OA = m 1 m 1 1 1 nên OB = m 2 m2 Khoảng cách...Khai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số giải phơng trình ta có: m1 = -1 hoặc m2 = 4 đối chiếu với điều kiện m >3,5 ta có m = 4 thỏa mãn điều kiện Vậy với m = 4 thì hai nghiệm của phơng trình là các kích thớc của hình chữ nhật có độ dài đờng chéo là 34 ở ví dụ này ngoài sử dụng kiến thức nh ở ví dụ trên còn... kiến thức hình học để giải Đề tài này là những kinh nghiệm của tôi đúc rút ra trong quá trình giảng dạy, rất mong đợc sự góp ý của Hội đồng khoa học cấp trên để có thể phát triển hoàn thiện thêm Yên Thành, tháng 5 năm 2009 Ngời viết: Lê Văn Tuấn Tài liệu tham khảo 1 Sgk toán 9 tập 2 2 Nâng cao và các chuyên đề đại số 9 ( Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Việt Hải, Vũ Dơng Thụy) 3 Tuyển tập đề thi môn toán THCS... HSG lớp 9 TP HCM năm học 2002 2003) Lời giải: a b c A H ac B bc Ta có: a c > 0; b c > 0 Đặt AC = a ; BC = b ; CH = c thì AH = a c và BH = b c Ta có: 2(S ACH + S BCH ) = 2S ABC mà 2S ABC Do đó: c a c + c b c Nên: c(a c) + c(b c) ab ab ab (điều phải chứng minh) Nh vậy ở bài toán này ta đã sử dụng định lý Pitago để khẳng định sự tồn tại của cách dựng hình trên Ngoài ra bài này ta còn sử dụng . thức hình học vào giải một số bài tập đại số Nh vậy khi giải một số bài toán đại số nếu ta biết khai thác và vận dụng hợp lý một số kiến thức hình học thì. một số bài tập đại số cần lu ý đến các kiến thức hình học mới giải đợc. - Việc làm cũ: Khi gặp một bài toán đại số học sinh thờng sử dụng các kiến thức đại