PT luong giac

PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN 1. Là công đoạn bắt buộc và là con đường duy nhất để có thể tìm ra được ẩn. 2. Không được cộng độ và rian với nhau. 3. Cần phải sử dụng thành thạo công cụ đường tròn lượng giác. BÀI TẬP: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 3 2 3 1,sin2 ;2,cos 2 25 ;3,cot 4 2 3;4, 15 ; 2 2 3 2 5,sin3 sin ;6,sin cos2 ;7,sin2 cos3 ;8,sin4 cos ; 3 9,sin5 sin2 ;10,sin 2 sin 3 ;11, 3 2 cot 2 0; 12,sin4 cos5 0;13,2sin 2 sin2 x x g x tg x x x x x x x x x x x x x tg x g x x x x π − = + = + = − + =   = − = = = −  ÷   = − = + + = + = + ( ) ( ) 2 2 2 4 4 0;14,sin 2 cos 3 1; 15,sin5 .cos3 sin6 .cos2 ;16,cos 2sin ;17, 3 cot 5 1 2 2 18, 5 . 3 1;19, sin 3 sin 3 4 2 1 20,sin cos ;21,sin 3 cos ;22,sin cos 4 4 4 x x x x x x x x x tg x g x tg x tg x tg x x x x x x x x π π π π π π π = + =   = − + − =  ÷       = − + = − +  ÷  ÷        + + = =  ÷    2 2  =  ÷  23, Tìm ; 2 2 x π π −   ∈  ÷   sao cho: ( ) 3 2 3tg x + = . 24, Tìm ( ) 0;3x π ∈ sao cho: sin 2cos 0 3 6 x x π π     − + + =  ÷  ÷     . PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Dạng phương trình. 2. Cách giải, điều kiện có nghiệm. 3. Một số bài toán: ( ) ( ) ( ) 2 2 1,2sin 2 cos 2 2,3sin 4cos 5 9 3 3,sin 2 3cos 1 2sin 2 2 4,3sin 1 4cos 1 5 5,sin 1 .cos3 cos .sin3 2 x x x x x x x x x x x x x π π − = + =     + − − = +  ÷  ÷     + + + = + + = PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC 1. Dạng phương trình. 2. Cách giải, điều kiện có nghiệm. 3. Một số bài toán. 2 2 3 2 1,2 cos 3cos 1 0 2,cos sin 1 0 3,2 cos2 4 cos 1 4,5 7 3 1 0 x x x x x x tg x tg x tgx − + = + + = − = + + + = PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP ĐỐI VỚI HAI BIỂU THỨC NÀO ĐÓ. 1. Dạng phương trình, đưa ra phương trình đẳng cấp 2, 3 đối với sinx và cosx. 2. Cách giải, điều kiện có nghiệm. 3. Một số bài toán. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1,3sin 8sin cos 8 3 9 cos 0 2,4sin 3 3 sin2 2 cos 4 1 3,sin sin2 2 cos 2 4,2sin 3 3 sin cos 3 1 cos 1 5,sin 4sin cos 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x + + − = + − = + − = + + + − = − − + = PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Dạng phương trình. 2. Cách giải, điều kiện có nghiệm. 3. Một số bài toán. ( ) 1,3 sin cos 2sin2 3 0x x x+ + + = ( ) ( ) 2, 1 cos 1 sin 2 1 1 3,2 sin cos cot 0 cos sin x x x x tgx gx x x + + = + + + + + + = PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Dạng phương trình. 2. Cách giải, điều kiện có nghiệm. 3. Một số bài toán. ( ) 1,sin cos 4sin cos 1 0 2,sin2 12 sin cos 12 0 x x x x x x x − + + = − − + = PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC 1. Trong giải phương trình lượng giác thì mục tiêu là đưa về phương trình lượng giác cơ bản, tức là ta không nên đặt nặng vấn đề tìm cho ra ẩn mà nên cố gắng tìm các hàm số lượng giác. 2. Khi giải phương trình lượng giác ta thường có ba hướng: Dùng công thức lượng giác để biến đổi đưa về phương trình tích các biểu thức (£) hay đặt ẩn phụ là biểu thức (£), chuyển phương trình lượng giác sang phương trình đại số hoặc là dùng tính chất của bất đẳng thức. Biểu thức (£) là một vế của một trong sáu phương trình ta đã biết cách giải ở trên. 3. Cần phải nhớ các loại phương trình đã biết cách giải. 4. Một số chú ý: Thật nhuyễn công thức lượng giác.  ( ) 2 2 cos sin cosa x b x a b x α + = + + .  ( ) 2 sin cos 1 2sin cos .x x x x± = ±  ( ) 2 2 2 cot cot 2.tgx gx tg x g x± = + ± Phương trình đẳng cấp theo hai biểu thức nào đó. Mọi hàm số lượng giác đều có thể biểu diễn theo 2 x t tg= . BÀI TẬP: ( ) 2 2 3 1,2 cos 3cos 1 0;2,cos sin 1 0;3,2 cos2 4 cos 1 9 3 4,sin 2 3cos 1 2sin ;5,2sin 2 cos 2 2 2 6,3sin 4cos 5;7,2 cos3 3 sin cos 0. 8,2 2 sin cos cos 3 cos2 ;9,3sin3 3 cos9 1 4sin 3 10 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π − + = + + = − =     + − − = + − =  ÷  ÷     + = + + = + = + − = + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 3 3 5 ,2 sin cos 2 3 sin cos cos2 2 cos 2sin cos 11, 3 2cos sin 1 12,cos2 3sin2 3 sin cos 4 0 13,3 sin cos 2sin2 3 0 14,sin cos 4sin cos 1 0 15,sin2 12 sin cos 12 0 16,sin cos 1;17, 1 cos 1 sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = − = + − − − − + = + + + = − + + = − − + = + = + + ( ) 2x = 3 3 3 3 3 3 1 1 18,2 sin cos cot 0 cos sin 19,sin cos 1;20,1 cos sin sin2 21,sin cos sin2 sin cos 22, sin cos 2sin2 1 x x tgx gx x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + = − = − + − = + = + + − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 23,3sin 8sin cos 8 3 9 cos 0 24,4sin 3 3sin 2 2 cos 4 1 25,sin sin2 2 cos 2 26,2sin 3 3 sin cos 3 1 cos 1 27,sin 4sin cos 0 28, 1 sin 3 cos sin sin 3 29,1 3 2sin2 30,2sin 3 sin 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x tgx x x x x tgx x x x + + − = + − = + − = + + + − = − − + = + = − + + = + = 4 4 4 4 2 4 4 3 3 2 2 2 4 6 8 8 2 31,sin cos sin 2 cos 2 6 8 32,2 cos 1 3cos 5 5 33, 2 3 1 34,sin cos 4 4 35,sin 5cos 3cos 3 36,sin sin 2 sin 3 2 37,cos cos2 2sin 0 17 38,sin cos cos 2 16 x x x x x x tg x tgx x x x x x x x x x x x x x x π + = + + = =   + + =  ÷   + = + + = − + = + = ( ) 2 2 2 4 4 3 3 3 3 4 4 2 39,cos cos 2 cos 3 1 40,sin 2 cos 2 sin2 cos2 41,sin sin2 sin3 42,1 sin3 cos2 sin 1 43,sin cos cos sin 4 44,sin3 sin cos3 cos 1 45,sin cos sin cos 3 2 2 cos sin 1 2sin 46, 1 1 sin 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = + = + = + = + − = + = − = + − − − = − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 cos 1 cos 1 sin 7, sin 4 1 sin 2 x x x tg x x tg x x − + − + − = + − ( ) ( ) ( ) 4 4 3 3 3 2 3 48,cos 3 sin 3 cos 3 sin 1 49,4 sin cos 3 sin 4 2 50, sin cos sin cos 2 51,sin cos3 cos sin3 sin 4 52,cos7 cos5 3 sin2 1 sin 7 sin5 53, sin 2 3 cos2 5 cos 2 6 54, 2 sin cos cot 55, x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x tgx gx π + = − + + + + = + + − = + = − = −   + − = −  ÷   + = + ( ) ( ) 3 2 3 3 3 3 4 4 1 cos cos2 cos 4 cos8 16 56,cos 2 2 sin cos 3sin2 3 0 57,sin cos sin cot cos sin cos sin cos 1 58, cot sin2 2 x x x x x x x x x x x gx xtgx x x x x tgx gx x = + + − − = + + + = + + = + ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 6 6 3 3 2 3 3 2 sin sin 2 sin3 59, 3 cos cos2 cos3 3 sin cos 1 1 60,3sin sin2 2 cos 2 sin cos 1 61,4sin 3cos 3sin sin cos 0 62,cos 4sin 3cos sin sin 0 63,1 3sin2 2 64, 1 1 sin2 1 65,sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x tgx tgx x tgx x + + = + + + − + + = + − + − − = − − + = + = − + = + 3 3 sin2 sin3 6cos 66,sin 2 sin 4 x x x x x π + =   + =  ÷   Nên biến đổi x theo 4 x π   +  ÷   chứ không nên làm ngược lại. ( ) 3 2 2 67,sin 3 sin 2 sin 4 4 68, 1 4 69, sin 2sin 3 cos2 sin cos 70,cos3 sin3 2 cos 0 x x x tg x tgx tgx x x x x x x x x π π π     − = +  ÷  ÷       − = −  ÷   − = + + + = 71,cos sin 2 cos3 72,sin 2sin 2 3 sin3 x x x x x x − = + = + Đối với phương trình có đk có nghiệm thì trước tiên ta nên kiểm tra đk có nghiệm trước. Cụ thể trong bài này ta đưa về phương trình cổ điển rồi ta cm phương trình vô nghiệm. ( ) 2 3 73, 3 cot 1 3 74,cot 2 2 sin 2 3 2 cos tgx gx g x x x + = + + = + C1: Đưa về phương trình hồi qui theo cosx. C2:Chia 2 sin x cho hai vế,. 75,sin2 2x tgx+ = C1: Đặt t = tgx. C2: Lưu ý: ( ) 2 1 sin2 cos sinx x x− = − và cos sin 1 cos x x tgx x − − = . ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 76,sin2 cos2 2 cos sin : 1 sin 2 cos sin ;cos2 cos sin ;1 cos 1 1 77,sin sin sin 8 18 78,2 cos 9 cos 1 cos cos 3 3 79,sin 2sin 4 2 4 2 3 3 3 : 3 2 sin 4 2 4 2 4 x x tgx x x HD x x x x x x tgx x x x x x x x x x x x HD t x t π π π π π π + + = − − = − = − − = + = + + = − +     + = +  ÷  ÷     = + ⇒ + = − ⇒ + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin3 2 1 80,cos cos 2 2 81,cos cos 2 cos 3 1 3 82,cos cos 2 cos 3 cos 4 2 x t x x x x x x x x x   =  ÷   + = + + = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 83,sin cos2 sin 2 cos3 sin5 2 84,sin 1 cos 1 cos cos ; : cos 1 sin 1 sin 85,sin sin2 sin 5 1 86,cos3 cos2 cos 1 0 x x x x x x x x x HD x x x x x x bdt x x x = − + = + + = − + = − + − = ( ) ( ) π   + =  ÷   + + = − 3 2 87,8cos cos3 3 88, 1 cos cos2 cos 2sin x x x x x x ( ) π π π π + − − =     − = +  ÷  ÷     + = − − = =     + = +  ÷  ÷     + = = 2 4 4 2 2 89,cos 3cos sin2 8sin 1 0 90,sin 3 sin2 sin 4 4 1 91,sin cos 3 cos6 2 92,cos9 2cos6 2 93,cos 4 cos 3 3 94,sin 3 2sin 4 4 3 4 95,2cos 1 3cos 5 5 96,cos5 sin 4 cos3 sin2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 97,sin sin2 sin3 cos cos2 cos3 98,sin3 sin5 sin 7 0 99, 2 3 100,sin 2 sin 5 cos x x x x x x x x x tgx tg x tg x x x x + + = + + + + = + = = − ( ) ( ) 4 4 2 3 3 101,3 2sin sin3 3cos2 102,2sin cos2 1 2 cos2 sin 0 3 cos6 103,sin cos 4 104,2 cos 4 sin10 1 105, 1 1 sin2 1 106, 2 sin3 cos 107, cot 2 2 cot 4 108,sin cos cos2 109,sin cos co x x x x x x x x x x x x tgx x tgx tgx tg x x x tgx g x g x x x x x x + = − + − = − + = + = − + = + + = + = + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 8 8 10 10 10 8 10 8 2 8 2 8 8 8 s2 110,cos cos 2sin 2 0 111,2sin cot 2sin 2 1 5 112,sin cos 2 sin cos cos2 4 5 2sin sin 2 cos cos cos2 0 4 5 2sin 1 sin 2 cos 1 cos cos2 0 4 5 cos2 .sin cos2 .cos cos2 4 x x x x x gx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + − = + = + + = + + ⇔ − + − + = ⇔ − + − + = ⇔ − + + = 2 2 3 3 3 4 4 0 113, cot 2sin 1 114,sin cos sin cos 115,sin sin2 sin3 tg x g x y x x x x x x x + = + = + ( ) = + − + = 1 116,sin sin 2 sin3 sin 4 4 3 117,cos cos cos 2 x x x x x y x y + = = − + + + − = 2 2 2 2 2 1 118,sin sin 3 sin sin 3 4 2 2 119, 4 5 1 2 3 2 120,cos3 sin 2 2cos 0 4 x x x x x tg y y x tg x x x ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 5 7 3 5 3 3 2 1 cos 121, 1 sin 122,3 2 4 3 3 2 123, 2 6 8cos 124, 1 sin cos 1 0 1 125,cos sin cos sin sin2 cos sin 2 1 cos3 1 cos 126, 1 cos2 1 sin 3 127,cos cos 4 sin2 128, 1 sin x tg x x tg x tg x tg xtg x tg x tgx x tg x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = − − = + = − + − = + + + = + − − = + − = + + ( ) ( ) 3 2 2 3 2cos 0 129,sin3 cos 2sin3 cos3 1 sin 2cos3 0 130,sin sin2 sin3 sin 4 sin 5 sin 6 0 1 2 sin cos 131, cos 1 sin 3 3 1 132,cos cos cos sin sin sin 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = − + + − = + + + + + = − − = − − = π π π π         − − − = + − +  ÷  ÷  ÷  ÷         − = + − + = = + − − = − + 2 2 2 2 2 3 133, 2 cos 6 sin 2sin 2sin 5 12 5 12 5 3 5 6 134,cot cos sin 1 sin 1 sin 135,cot 136,cot 1 cos cos 1 1 cos 137, 138, 25 4 3s 1 sin x x x x gx tgx x x x x g x g x x x x tg x x x ( ) ( ) ( ) π π + = − = + − − = + − in2 8sin 0 2 cos sin 1 131, cot 2 6 1 140,sin4 cos4 1 4 sin cos x x x x tgx g x tgx x x x x + + = + = + = + + = + + + = + + + 3 2 2 2 3 4 2 3 4 3 141,sin sin 2 sin 3 2 142,2sin3 cos2 sin 143,sin3 cos2 1 2sin cos 144,cos cos 4 cos2 cos3 0 145,sin sin sin sin cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) π + = + = + − + = + = + − + = +   − = + −  ÷   3 3 5 5 2 2 2 2 6 6 8 8 146,sin cos 2 sin cos 147,sin cos 2 cos 3 1 cos2 148,1 cot 2 sin 2 1 149,3sin 2 cos 3 1 cos 150,sin cos 2 sin cos 151,sin 4 cos 4 1 4 2 sin 4 x x x x x x x x g x x x x tgx x x x x x x x x 2 2 2 2 3 3 3 3 152,sin sin 3 cos 2 cos 4 153, 1 4 154,2sin sin 2 cos cos cos2 155,2sin cos2 cos 0 156,1 sin cos sin2 cos2 0 sin3 sin 5 157, 3 5 x x x x tg x tgx x x x x x x x x x x x x x x π + = +   − = −  ÷   − = − + − + = + + + + = = ( ) 2 2 3 2 17 158,cos 2 cos2 cos3 6 11 159,3sin 2 cos cos3 6 160,2 cos 2 sin10 3 2 2 cos28 .sin 161,2 2 cos 1 2 2 sin 1 sin2 1 3 1 1 3 162, 1 0 1 sin2 1 1 3 1 3 163,2sin cos 2 sin 164,sin 4 x x x x x x x x x x tg x x x x tgx x tgx xx x x x π + = + + = − + = + + = +   − − − − − + + =  ÷  ÷ + + + +   =   +    3 3 sin cos 165, sin 1 .sin x x tgx x tgx x = + ÷ − = −