lecture4 Lý thuyết số
1Lecture 4: Giớithiệu Lý thuyếtsố1.1.MMộột st sốố đ địịnh nghnh nghĩĩaa2.2.CCáác sc sốốnguyên tnguyên tốố--Prime NumbersPrime Numbers3. Phân tích ra thừa số nguyên tố - Prime Factorisation4. Các số nguyên tố cùng nhau và greatest common divisor(GCD)5. Định lý Ferma nhỏ - Fermat's Little Theorem6. Hàm Ơle ø(n)7. Định lý Ole - Euler's Theorem8. Kiểm tra tính nguyên tố -Thuật toán Miller - Rabin9. Định lý phần dư Trung Hoa 2Một số định nghĩa•Tập số tự nhiên: – N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }•Tập số nguyên:– Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . } 3Các số nguyên tố - Prime Numbers• Là các số nguyên dương chỉ có ướcsố là 1 và chính nó.• Chúng không thểđượcviếtdướidạng tích của các số khác•1 làsố nguyên tố, nhưng không quan tâm đếnnó• 2, 3, 5, 7 là số nguyên tố; 4, 6, 8, 9, 10 không phảilàsố nguyên tố•Cácsố nguyên tố là trung tâm của lý thuyếtsố• Danh sách các số nguyên tố nhỏ hơn 2002 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 4Phân tích ra thừasố nguyên tố• Phân tích ra thừasố nguyên tố số N tứclàviếtnódướidạng tích của các số nguyên tố: n=a x b x c–Vídụ: 91=7x13 ; 3600=24x32x52• Bài toán phân tích ra thừa số nguyên tố là bài toán khó. 5Các số nguyên tố cùng nhau và greatest common divisor (GCD)•Haisố a và b không có ước chung nào ngoài 1, đượcgọi là nguyêntố cùng nhau–Vídụ: 8 và 15 là nguyên tố cùng nhau, vì ướccủa 8 là 1, 2, 4, 8, còn ướccủa 15 là 1, 3, 5, 15. Chỉ có 1 là ước chung•Ngượclạicóthể xác định ước chung lớnnhất -GCD bằng cáchtrong các phân tích ra thừasố của chúng, tìm các thừasố nguyên tốchung và lấybậclũythừanhỏ nhất. –Vídụ: 300=21x31x5218=21x32,suy ra GCD(18,300)=21x31x50=6 6Định lý Ferma nhỏFermat's Little Theorem•Giả sử p là số nguyên tố và a là số tự nhiên thìap=a (mod p)•Nếu p là số nguyên tố và GCD(a, p) = 1 ap-1= 1 (mod p)–Vídụ:27-1mod 7 = 26 mod 7 = 64 mod 7 = 135-1mod 5 = 34mod 5 = 81 mod 5 = 1 • Định lý Fermat nhỏ được dùng trong khoá công khai và kiểmtra tính nguyên tố: 7Hàm Ole - ø(n)•Tập đầy đủ các phầndư theo n là: 0, 1, 2, …, n-1•Xéttập rút gọncủatậpphầndư trên bao gồm các số nguyên tố cùngnhau vớin.•Vídụ với n = 10–Tập đầy đủ các phầndư là {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} •Tập rút gọn các phầndư nguyên tố cùng nhau với 10 là: {1,3,7,9} •Số các phầntử củatập rút gọntrênlàgiátrị của hàm Ole ø(n) 8Hm le ứ(n)Mun tớnh ứ(n) vic ms cỏc s nguyờn t cựng nhau vi n v cúgiỏ tr nh hnncloib vỡ õy l bi toỏn tn nhiucụngsc Núi chung cnbiuthcphõntớchrathasNu p l s nguyờn t ứ(p) = p-1 Nu p v q l hai s nguyờn t khỏc nhauứ(p.q) = (p-1)(q-1) Vớd :ứ(37) = 36ứ(21) = ứ( 3&7)=(31)ì(71) = 2ì6 = 12 9Tính ø(n)•Vídụ:ø(72) = ø(8.9) = ø(8). ø(9) = ø(23).ø(32) = = (23-22)(32-31) = 4.6 = 24 Công thức tính ø(n): 10nh lý Ole - Euler's TheoremTng quỏt hoỏ ca nh lý Fermaaứ(n)= 1 (mod n) -vimi a, n trong ú gcd(a,n)=1Vớd: a=3; n=10; ứ(10)=4; Suy ra: 34 = 81 = 1 mod 10 a=2; n=11; ứ(11)=10;Suy ra 210 = 1024 = 1 mod 11 [...]... tìm một số nguyên tố rất lớn – Lấy một số đủ lớn Phương pháp truyền thống là thử bằng phép chia: chia cho tất cả các số (chỉ cần nguyên tố) nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của số đó – Phương pháp chia chỉ hiệu quả khi cần kiểm tra các số nhỏ • Có phương pháp khác sử dụng các phép kiểm tra tính nguyên tố dựa trên các tính chất: – Mà mọi số nguyên tố phải thỏa mãn – Nhưng có một số số không phải là số nguyên... tính chính xác quân số đến từng người • Gần đây, định lý số dư Trung Quốc có nhiều ứng dụng trong các bài toán về số nguyên lớn áp dụng vào lý thuyết mật mã 16 Định lý phần dư Trung Hoa • Bản chất của bài toán Hàn Tín điểm binh là việc giải hệ phương trình đồng dư bậc nhất: • Trong đó m1,m2, ,mk đôi một nguyên tố cùng nhau • Trong bài toán Hàn Tín k = 3 và m1 = 3,m2 = 5,m3 = 7 17 Định lý phần dư Trung... Miller - Rabin 14 Định lý phần dư Trung Hoa Chinese Remainder Theorem • Sử dụng để tăng tốc độ tính toán Modulo • Tính toán trên modulo của một tích các số mod M với M= m1m2 mk • Định lý phần dư Trung Hoa cho phép làm việc trên từng Modulo mi riêng biệt • Vì thời gian tính toán tỷ lệ với kích thước nên điều đó sẽ nhanh hơn tính toán trên toàn bộ M 15 Định lý phần dư Trung Hoa • Định lý số dư Trung Quốc là... định lý này Người Trung Quốc gọi nó là bài toán Hàn Tín điểm binh Hàn Tín là một danh tướng thời Chiến Quốc, từng được phong vương thời Hán Cao Tổ Lưu Bang đang dựng nghiệp (thế kỉ thứ 2 trước công nguyên (BC)) • Sử ký Tư Mã Thiên viết rằng Hàn Tín là tướng trói gà không nổi, nhưng rất có tài quân sự Tục truyền rằng khi Hàn Tín điểm quân số, ông cho quân lính xếp hàng 3, hàng 5, hàng 7 rồi báo cáo số . đếnnó• 2, 3, 5, 7 là số nguyên tố; 4, 6, 8, 9, 10 không phảil số nguyên tố•Cácsố nguyên tố là trung tâm của lý thuyếtsố• Danh sách các số nguyên tố nhỏ hơn. Giớithiệu Lý thuyếtsố1.1.MMộột st số đ địịnh nghnh nghĩĩaa2.2.CCáác sc số nguyên tnguyên tốố--Prime NumbersPrime Numbers3. Phân tích ra thừa số nguyên