BD HSG Toan9

Nguyễn Khánh Toàn – GV THCS Bắc hải - Tiền hải – Thái bình Bất đẳng thức với góc nhìn Trêbưsep. (Bài viết được đăng trên Tạp chí Thế giới Trong ta Số CĐ 93+94 tháng 11+12 năm 2009) A. Bất đẳng thức Trêbưsep: * Với hai dãy số cùng chiều a 1 , b 1 a 2 , b 2 Ta có: a 1 a 2 + b 1 b 2 ≥ ( )( ) 2211 2 1 baba ++ * Với hai dãy số cùng chiều a 1 , b 1, c 1 a 2 , b 2 , c 2 Ta có: a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 ≥ ( )( )( ) 212211 3 1 ccbaba +++ Bất đẳng thức đổi chiều khi hai dãy số ngược chiều nhau! Ví dụ 1: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 2 22 22       + ≥ + baba Giải: Vì a, b có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a ≥ b. Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a ≥ b a ≥ b Ta có: a.a + b.b ≥ 2 1 (a + b)(a + b) ⇔ ( ) 2 22 4 1 2 ba ba +≥ + ⇔ 2 22 22       + ≥ + baba (đpcm) Ví dụ 2: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: ba a b b a +≥+ 22 Giải: Vì a, b có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a ≥ b ⇒ a 2 ≥ b 2 Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a ≥ b a 2 ≥ b 2 Ta có: a.a 2 + b.b 2 ≥ 2 1 (a + b)(a 2 + b 2 ) ⇔ a 3 + b 3 ≥ 2 1 (a + b)2ab ⇔ ba a b b a +≥+ 22 (đpcm) Email: khanhkhanhtoan@gmail.com 1 Nguyễn Khánh Toàn – GV THCS Bắc hải - Tiền hải – Thái bình Ví dụ 3: Cho a + b + c ≥ 3. Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 3 + b 3 + c 3 Giải: Vì a, b, c có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a ≥ b ≥ c ⇒ a 3 ≥ b 3 ≥ c 3 Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a ≥ b ≥ c a 3 ≥ b 3 ≥ c 3 Ta có: a.a 3 + b.b 3 + c.c 3 ≥ 3 1 (a + b + c)(a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ 3 1 .3.(a 3 + b 3 + c 3 ) = (a 3 + b 3 + c 3 ) (đpcm) Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức nesbit: 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a Giải: Vì a, b, c có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a ≥ b ≥ c ⇒ baaccb + ≥ + ≥ + 111 Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a ≥ b ≥ c baaccb + ≥ + ≥ + 111 Ta có: ( ) cba ba c ac b cb a ++≥ + + + + + 3 1 ) 111 ( baaccb + + + + + ≥ ( ) accbba +++++ 2 1 . 3 1 ) 111 ( baaccb + + + + + ≥ 2 3 9. 2 1 . 3 1 = (đpcm) Ví dụ 5: a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 3≥ −+ + −+ + −+ cba c bac b acb a Giải: Vì a, b, c có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a ≥ b ≥ c ⇒ cbabacacb −+ ≥ −+ ≥ −+ 111 Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a ≥ b ≥ c cbabacacb −+ ≥ −+ ≥ −+ 111 Ta có: ( ) cba cba c bac b acb a ++≥ −+ + −+ + −+ 3 1 ) 111 ( cbabacacb −+ + −+ + −+ = ( ) cbabacacb −++−++−+ 3 1 ) 111 ( cbabacacb −+ + −+ + −+ 39. 3 1 =≥ (đpcm) Ví dụ 6: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca ≥ 3. Chứng minh rằng: Email: khanhkhanhtoan@gmail.com 2 Nguyễn Khánh Toàn – GV THCS Bắc hải - Tiền hải – Thái bình 2 3 333 ≥ + + + + + ba c ac b cb a Giải: Vì a, b, c có vai trò như nhau trong bất đẳng thức nên ta gia sử: a ≥ b ≥ c ⇒ 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a (Chứng minh trên) Mặt khác: Vì a ≥ b ≥ c ⇒ a 2 ≥ b 2 ≥ c 2 và ba c ac b cb a + ≥ + ≥ + Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho hai dãy số cùng chiều: a 2 ≥ b 2 ≥ c 2 ba c ac b cb a + ≥ + ≥ + Ta có: ( ) 222222 3 1 . cba ba c c ac b b cb a a ++≥ + + + + + )( ba c ac b cb a + + + + + ≥ ( ) 2 3 3 1 cabcab ++ ≥ 2 3 2 3 .3. 3 1 = (đpcm) B. Bài tập mở rộng: ` (Các BĐT sau đây chứng minh đc chỉ nhờ BĐT Trêbưsep!) 1. Cho a, b, c > 0 và abc 1 ≥ . Chứng minh rằng: a) 2 3 222 ≥ + + + + + ba c ac b cb a b) 2 3 444 ≥ + + + + + ba c ac b cb a c) 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a nnn (n ∈ N) 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a) nmnbma c namc b ncmb a + ≥ + + + + + 3 (m, n ∈ N) b) n nn baba       + ≥ + 22 (n ∈ N) c) n nnn cbacba       ++ ≥ ++ 33 3. Biết rằng a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ( ) 2 1 3 − − ++ ≥ −+ + −+ + −+ n n nnn cba cba c bac b acb a (n ∈ N * ) Mời các bạn tiếp tục khám phá và mở rộng! Email: khanhkhanhtoan@gmail.com 3