GT Thi TN 2011

CÁC VẤN ĐỀ QUAN TRỌNG CẦN CHÚ Ý CỦA GIẢI TÍCH LỚP 12 THI TỐT NGHIỆP NĂM 2011 Vấn đề 1: Định tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x 0 . Bước 1: Dùng điều kiện cần f’(x 0 )=0 ⇒ giá trị của tham số. Bước 2: Với giá trị tham số tìm được xét dấu f’(x) (dấu hiệu1) hoặc tính f”(x 0 ) (dấu hiệu 2) để phát hiện cực trị. Ví dụ: Cho hàm số 1)1( 3 1 )( 223 ++−+−== xmmmxxxfy . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x 0 =1. ĐS: m=2. Vấn đề 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên tập D . Ta lập bảng biến thiên của hàm số trên D rồi dựa vào đó để tìm maxy và miny. Trường hợp đặc biệt: Nếu f(x) liên tục trên D=[a;b] và có đạo hàm trong khoảng (a;b) ta có thể thực hiện các bước sau: 1/ Tìm nghiệm của f’(x 0 )=0 trong khoảng (a;b); giả sử là x 1 ;x 2. 2/Tính các giá trị f(a), f(b) ,f(x 1 ) ,f(x 2 ). 3/ So sánh các số vừa tính. Trong các số đó, số lớn nhất sẽ là GTLN, số nhỏ nhất sẽ là GTNN Ví dụ: Tìm gía trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1/ y=f(x)= x 3 -6x 2 +9x trên đoạn [ 0;2] ĐS:1/ 4 và 0 . 2/ 1 12 )( − + == x x xfy trên đoạn [0;1] ĐS:½ và -1. Vấn đề 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị. Muốn tìm giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) y=f(x) và (C 2 ):y=g(x) ta lập phương trình hồnh độ giao điểm: f(x) = g (x) (1) *Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đồ thị, còn các nghiệm của (1) là hồnh độ của các giao điểm ấy. Ví d ụ : Cho hàmsố 2 1 )( + − == x x xfy có đồ thị là(C). 1/ Tìm tọa độ các giao điểm của (C) đường thẳng (d 1 ) có phương trình x+y-1=0. ĐS: A(1;0) ; B(-3;4) Trang 1 2/ Với giá trò nào của m thì đường thẳng (d 2) :y=mx+1 se õkhông có điểm chung với (C)? ĐS: 0<m<3. Vấn đề 4: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò Cách giải: Giả sử ta phải dùng đồ thò (C):y=f(x) đã vẽ được để biện luận tuỳ theo tham số m, số nghiệm của phương trình: h(x,m) = 0. Ta biến đổi: h(x,m) = 0 ⇔ f(x) = g(m). Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:y=g(m), nên số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và d. Chú ý: 1) d là đường thẳng cùng phương với Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ là g(m). 2) Để thấy số giao điểm của (C) và d ta sẽ so sánh g(m) với y CĐ và y CT ( nếu có) Ví dụ : Dùng đồ thò (C) của hàm số y=x 4 -2x 2 +1 , hãy biện luận tuỳ theo tham số m số nghiệm của phương trình: x 4 -2x 2 +m+2 = 0. Bài giải Ta biến đổi : x 4 -2x 2 +m+2 = 0 ⇔ x 4 -2x 2 +2 = -m ⇔ x 4 -2x 2 +2-1 = - m-1 ⇔ x 4 -2x 2 +1 = -m-1. Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: y= -m-1 nên số nghiệm của phương trình chính là số điểm chung của (C) và d. Đồ thò cho thấy: -m-1 > 1 ⇔ m < -2 : d và (C) có hai giao điểm ⇒ phương trình có hai nghiệm. - m -1 = 1 ⇔ m = -2 : d và (C) có ba giao điểm ⇒ phương trình có ba nghiệm. Trang 2 6 4 2 -2 -4 -6 -5 5 0 < -m -1 < 1 ⇔ -2 < m < -1 : d và (C) có bốn giao điểm ⇒ phương trình có bốn nghiệm. - m -1 = 0 ⇔ m = -1 : d và (C) có hai giao điểm ⇒ phương trình có hai nghiệm -m-1 < 0 ⇔ m > -1 : d và (C) không có giao điểm ⇒ phương trình vô nghiệm. Vấn đề 5 : Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thò hàm số. Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì tại điểm M(x 0 ,y 0 ) trên đồ thò (C) của hàm số tồn tại một tiếp tuyến d có phương trình: y-y 0 = f ’(x 0 )(x-x 0 ) hay y= f ’(x 0 ) (x-x 0 ) +y 0 (1) Sau đây là hai bài toán cơ bản: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm M. 3 dạng toán thưòng gặp Dạng 1: Biết toạ độ tiếp điểm (x 0 ; y 0 ) Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y= f(x)= - x 3 +3x -1 tại điểm M( 2; -4). Cách giải: Ta đã có x 0 và y 0 nên chỉ cần tính f ’(x) để suy ra f ’(x 0 ), rồi thế vào công thức (1) của phương trình tiếp tuyến Trang3 Bài giải. Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ’(x 0 )(x-x 0 ) + y 0 Ta có : x 0 = 2 ; y 0 = -4, Mặt khác : f ’(x)= -3x 2 +3 ⇒ f ’(x 0 )= f ’(2)= -3(-2) 2 +3 = - 9. Thế vào công thức thì được phương trình tiếp tuyến là: y= -9( x-2) + (-4) hay y= -9x +14. Dạng 2: Biết hoành độ tiếp điểm x 0 : Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y= f(x)= x 4 -4x 2 -2 tại điểm M có hoành độ bằng – 1. Cách giải: Ta chỉ mới có x 0 nên phải: + Thế x 0 vào hàm số để tìm y 0 . + Tính f’(x) để suy ra f’(x 0 ) Bài giải Ta có phương trình tiếp tuyến : y = f ’(x 0 ) (x-x 0 ) +- y 0 Ta đã có : x 0 = -1 nên sẽ có y 0 = (-1) 4 -4(-1) 2 -2 = - 5. Mặt khác : f ’(x)= 4x 3 -8x suy ra f ’(x 0 )= 4(-1) 3 -8(-1) = 4. Ta được phương trình tiếp tuyến: y= 4x -1. Dạng 3 : Biết tung độ tiếp điểm y 0 : Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số 1 1 − + = x x y tại điểm M có tung độ bằng 3. Cách giải: Ta chỉ mới có y 0 nên phải: + Giải phương trình y 0 = f (x 0 ) để tìm x 0 . +Tính f ’(x) để suy ra f ’(x 0 ) Bài giải Ta có phương trình tiếp tuyến: y= f ’(x 0 ) (x-x 0 ) +y 0 . Ta đã có : y 0 = 3 nên: 2133 1)1(3 1 1 3)( 000 00 0 0 00 =⇔+=−⇔ +=−⇔ − + =⇔= xxx xx x x xfy Trang4 Mặt khác: 22 )1( 2 )1( 11 11 )(' − − = − − = xx xf 2 )12( 2 )2(')(' 2 0 −= − − ==⇒ fxf Thế vào phương trình tiếp tuyến : y= -2(x-2)+3 hay y= -2x + 7. Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc của tiếp tuyến. 3 dạng toán thường gặp Dạng 1: Biết hệ số góc k của tiếp tuyến : Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y= f(x)= x 3 -3x 2 +1 ,biết tiếp tuyến có hệ số góc là 9. Cách giải: Ta đã có f ’(x 0 ) nên cần tìm x 0 và y 0 . +Giải phương trình f ’(x 0 ) = k để tìm x 0 . + Có x 0 thì tìm được y 0 tương ứng Bài giải Phương trình tiếp tuyến có dạng: y=f ’(x 0 )(x-x 0 ) +y 0 . Ta có : f ’(x)= 3x 2 -6x nên: Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 9)(' 0 =⇔ xf . ⇔ 0963963 0 2 00 2 0 =−−⇔=− xxxx ⇔ x 0 = -1 hoặc x 0 = 3. *Với x 0 = -1 thì y 0 = (-1) 3 -3(-1) 2 +1=-1-3+1 = - 3. Ta được tiếp tuyến: y= 9(x+1)+(-3) hay y= 9x+6. *Với x 0 = 3 thì y 0 = (3) 3 -3(3) 2 +1= 27 -27 +1 =1. Ta được tiếp tuyến : y= 9(x-3) +1 hay y= 9x – 11. Dạng 2: Biết tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước. Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số Trang5 1 12 )( − + == x x xfy , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= - 3x+1. Cách giải: Tiếp tuyến song song với đường thẳng nên từ điều kiện song song của hai đường thẳng ( k 1 =k 2 ) ta được phương trình f ’(x 0 ) =k và bài toán trở lại dạng 1 trên đây. Bài giải Phương trình tiếp tuyến có dạng : y= f ’(x 0 )(x-x 0 ) +y 0 . Ta có: 222 )1( 3 )1( )1(1)1(2 )( )(' − − = − −− = + − = xxdcx bcad xf . Do đó: Tiếp tuyến song song với đường thẳng y= -3x+1 ⇔ 3)(' 021 −=⇔= xfkk ⇔ x 0 =2 hoặc x 0 =0. *Với x 0 =2 thì 5 12 1)2(2 0 = − + = y . Phương trình tiếp tuyến là: y=-3(x-2)+5 hay y= - 3x +11. *Với x 0 = 0 thì 1 10 1)0(2 0 −= − + = y Phương trình tiếp tuyến là: y= -3( x-0)+(-1) hay y= -3x-1. Dạng 3: Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước. Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y= -x 3 +3x 2 +2x -1 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+2y+2 = 0. Cách giải: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng nên từ điều kiện vuông góc của hai đường thẳng ( k 1 .k 2 = -1) ta được phương trình f ’ (x 0 ) .k = -1 k xf 1 )( 0 ' − =⇔ và bài toán trở lại dạng 1 trên đây. Bài giải Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = f ‘(x 0 ) (x-x 0 ) +y 0 . Đường thẳng 1 2 1 22022 −−=⇔−−=⇔=++ yxyyx có Trang 6 hệ số góc 2 1 −= k . Ta có: f ‘(x) = -3x 2 +6x+2 Do đó: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 2 1 −−= xy nên : 2 2 1 1 )('1) 2 1 ).(('1. 0021 = − −=⇔−=−⇔−= xfxfkk ⇔ ⇔=+−⇔=++− 0632263 0 2 00 2 0 xxxx x 0 = 0 hoặc x 0 = 2. *Với x 0 = 0 thì y 0 = -1 . Ta được phương trình tiếp tuyến : y=2(x-0)+(-1) hay y= 2x-1 *Với x 0 = 2 thì y 0 = -(2) 3 +3(2) 2 +2(2)-1 = -8+12+4-1= 7. Ta được phương trình tiếp tuyến: y= 2(x-2)+7 hay y= 2x +3. Bài tập luyện tập: Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số 4 42 )( − − == x x xfy tại điểm M(3; -2). ĐS: y= - 4x+10. Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y= x 3 -3x 2 +2 tại điểm có hoành độ bằng 1. ĐS: y=-3x +3. Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số 1 32 + + = x x y tại điểm cótung độ bằng 2 3 . ĐS: 4 3 4 1 +−= xy Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số: xxxy 32 3 1 23 +−= có hệ số góc bằng – 1. ĐS: 3 8 +−= xy . Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số 3 4 2 2 1 3 1 23 −−+= xxxy biết tiếptuyến song song với đường thẳng y= 4x +2 ĐS: 3 26 4 −= xy và 6 73 4 += xy Bài 6: Viết phưong trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số Trang 7 2 1 2 + −+ = x xx y biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= x – 1. ĐS: 522 −+−= xy và 522 −−−= xy . Vấn đề 6: Phương trình mũ và phương trình lôgarit I/Phương trình mũ : 1/ Phương trình mũ cơ bản : a x = b ( a>0 và )1 ≠ a . Nếu 0 ≤ b thì phương trình vô nghiệm. Nếu b>0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=log a b. 2/ Phương trình mũ đơn giản : Ta có thể đưa về phương trình mũ cơ bản bằng các phương pháp: a)Đưa về cùng cơ số: )()( )()( xgxfaa xgxf =⇔= . b) Đặt ẩn phụ: Đặt t=a x (t >0) Phương trình    = > ⇔ 0)( 0 tg t Ví dụ: Giải các phương trình: 1/ ( ) 1 75 3 2 5,1 + −       = x x 2/ 7 x-1 =2 x 3/ e 6x -3e 3x +2=0 4/ 4.9 x +12 x -3.16 x =0 ĐS :1/ x=1. 2/ 7log 2 7 = x .3/ x=0 ; x=1/3 ln2. 4/ x=1 II/ Phương trình lôgarit : 1/ Phương trình lôgarit cơ bản : log a x=b (a>0 và )1 ≠ a . Phương trình luôn có nghiệm duy nhất : x=a b . 2/ Phương trình lôgarit đơn giản: Ta có thể đưa về phương trình logarit cơ bản bằng các phương pháp: a)Đưa về cùng cơ số:    = > ⇔= )()( 0)( )(log)(log xgxf xf xgxf aa b) Đặt ẩn phụ: t=log a x rồi giải phương trình đại số theo t. (Chú ý điều kiện tồn tại ban đầu của log) Trang 8 Ví dụ: Giải các phương trình: 1/ 4 1 log 2 = x . 2/ 1/ ln(x+1) + ln(x+3) = ln(x+7) 3/ log 2 x+ log 4 (2x) = 1 . 4/ 2loglog2log 23 −=− xxx ĐS: 1/ x= 4 2 . 2/ x=1 . 3/ x= 3 2 . 4/ x=10, x=10 -1 , x=10 2 Vấn đề 7: Bấtphương trình mũ vàbất phương trình lôgarit: I/Bất phương trình mũ: )()( xgxf aa > (1) * Nếu a>1 : (1) )()( xgxf >⇔ (Đồng biến). *Nếu 0<a<1 : (1) ) )()( xgxf <⇔ (Nghòch biến). II/Bất phương trình lôgarit: )(log)(log xgxf aa > (2) * Nếu a>1 : (2) )()( xgxf >⇔ >0 (Đồng biến). *Nếu 0<a<1 ; (1) ) )()(0 xgxf <<⇔ (Nghòch biến) Chú ý: Cũng giống như phương trình, có thể đặt ẩn phụ rồi giải bất phương trình đại số. Ví dụ: Giải các bất phương trình : 1/ 9 x – 5.3 x +6 < 0. 2/ log 3 (x+2)> log 9 (x+2). ĐS: 1/ log 3 2<x<1. 2/ x >-1. Vấn đề 8: Tích phân Có thể lần lượt thực hiện: 1/ Phân tích biểu thức của hàm dưới dấu tích phân để áp dụng bảng nguyên hàm ( Thường là biến tích, thương thành tổng, viết , .) 1 , p p n m n m x x xx − == . Ví dụ: Tính các tích phân: ∫ +− = 3 1 23 1 .dx x xxx I dx ∫ += π 0 2 ).3.2sin( dxxcoxxxI 2/ Nếu không thể biến đổi để áp dụng bảng nguyên hàm thì Trang 9 hãy nghỉ đến phương pháp đổi biến số để lại áp dụng được. Với ∫ b a dxxf ).( . Nếu có thể phân tích dxxhxhgdxxf ).(')].([).( = thì khi đặt : t=h(x) dxxhdt ).(' =⇒ ta được : ∫ ∫ = b a bh ah dttgdxxf )( )( ).().( . Ta sẽ chọn t là biểu thức mà đạo hàm của nó xuất hiện được một thừa số của dx (có thể sai khác phần hệ số). (Thường đặt: t= căn thức; t= mũ của e; t= mẫu số; t= biểu thức trong ngoặc hay có sinx.dx ⇒ đặt t= cosx; có cosx.dx ⇒ đặt t= sinx; có ⇒ x dx đặt t= lnx ….) Ví dụ: Tính các tích phân sau: dxxI .31. 1 0 3 3 ∫ −= (đặt t= 3 1 x − ) ∫ − = 1 0 4 2 dxexI x (đặt t= -x 2 ) ∫ = 2 0 3 5 .cos.sin π dxxxI (đặt t= cosx). ∫ = 2 ln. 6 e e xx dx I (đặt t= lnx) 3/ Nếu phương pháp đổi biến số vẫn không thực hiện được thì các em dùng đến phương pháp tích phân từng phần: ∫ ∫ −= b a b a b a dxuvvudxvu ' .' Cách chọn u và v’ : Với P(x) là một đa thức. Dạng ∫ ∫ ∫    = =    = =    = = b a b a b a x x xv dxxxP xv xdxxP ev dxexP cos' .cos).( sin' sin).( ' .).( P(x)u đặt P(x)u đặt P(x)u đặt Trang 10 Dạng ∫    = = b a dxxxP P(x)v' lnxu đặt.ln).( Ví dụ: Tính các tích phân sau: ∫ = π 0 7 .sin. dxxxI , dxexI x 1 0 2 8 ∫ − = ∫ = e dxxxI 1 2 9 .ln. , ∫ −= 5 2 10 ).12ln(.2 dxxxI ĐS: I 1 = 3 20 , I 2 = 5 4 5 2 5 − π , I 3 = 7 468 − , I 4 = )1( 2 1 1 − − e , I 5 = 4 1 I 6 = ln2 , I 7 = π , I 8 =2-5e -1 ,I 9 = )12( 9 1 3 − e , I 10 =24.ln4-27/4. Vấn đề 9: Ứng dụng của tích phân. I/ Diện tích của hình phẳng: Cho hai hàm số y=f(x) , y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đồ thò lần lượt là (C 1 ) và (C 2 ).Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi (C 1 ), (C 2 ) và hai đường thẳng x=a, x=b là: ∫ −= b a dxxgxfS .)()( (*) Cách tính (*) + Giải phương trình f(x) = g(x) (1). +Nếu (1) vô nghiệm thì ∫ −= b a dxxgxfS )].()([ +Nếu (1) có nghiệm c thuộc [a;b] thì: ∫∫ −+−= b c c a dxxgxfdxxgxfS )].()([)].()([ I/ Thể tích của vật thể tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng được giới hạn bởi đồ thò (C) của hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b là: ∫ = b a dxxfV ).( 2 π Trang 11 Vi dụ: 1/ Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường : y=x 3 , x+y=0 và trục hoành. ĐS: S= ¾ (đvdt). 2/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng được giới hạn bởi các đường : y=2x-x 2 và y=0. ĐS: π . 15 16 = V (đvtt) Vấn đề 10: Giải phương trình trên tập số phức I/ Phương trình bậc nhất: Giải giống như trên tập số thực (vận dụng các phép tính về số phức khi gặp). II/ Phương trình bậc hai với hệ số thực: Cần nhớ: *Các căn bậc hai của số thực a<0 là ai ± . *Xét phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 (với a,b,c R ∈ và a 0 ≠ ). Đặt acb 4 2 −=∆ . Nếu 0 =∆ thì ptrình có một nghiệm kép (thực) a b x 2 −= Nếu 0 >∆ thì ptrình có hai nghiệm thực a b x 2 2,1 ∆±− = Nếu 0 <∆ thì ptrình có hai nghiệm phức a ib x 2 2,1 ∆±− = Ví dụ : Giải các phương trình sau đây trên tập số phức: 1/ 2232)32( iixi +=+− ĐS: x= i 2/ 3x(2-i) +1 = 2ix(1+i) +3i ĐS: ix 89 19 89 23 +−= 3/ x 2 +x+7=0 ĐS: ix 2 33 2 1 ±−= 4/ 2x 4 +3x 2 -5 = 0 . ĐS: 2 5 ;1 4,32,1 ixx ±=±= Trang 12 ( Hết) . số đạt cực đại tại x 0 =1. ĐS: m=2. Vấn đề 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên tập D . Ta lập bảng biến thi n của hàm số trên D rồi dựa vào đó để tìm maxy. biến). II/Bất phương trình lôgarit: )(log)(log xgxf aa > (2) * Nếu a > 1 : (2) )()( xgxf > ⇔ > 0 (Đồng biến). *Nếu 0<a<1 ; (1) ) )()(0 xgxf