Chương I: Hính học ( Véctơ)

CHUN ĐỀ : VEC – TƠ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1/Đònh nghóa:  Vec tơ là đoạn thẳng có hướng.  Độ dài của vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó. Ký hiệu độ dài của vec tơ AB uuur là: AB uuur  Vec tơ – không (Ký hiệu: 0 r ) là vec tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. 0 0= r  Hai vec tơ cùng phương là hai vec tơ có giá là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.  Hai vec tơ bằng nhau là hai vec tơ cùng hướng và cùng độ dài. Ký hiệu a r và b r bằng nhau là a b= r r 2/ Tổng của hai vec tơ: a) Đònh nghóa: Cho a r và b r . Từ điểm A nào đó, vẽ AB uuur = a r , rồi từ B vẽ BC b= uuur r . Khi đó: AC uuur gọi là tổng của a r và b r . Ký hiệu : AC a b= + uuur r r a r a r b r b r a r + b r Phép toán tìm tổng của hai véctơ còn được gọi là phép cộng véctơ . b) Các tính chất của phép cộng vectơ : Với ba véctơ , ,a b c r r r tuỳ y, ta có :  Tính chất giao hoán : a b b a+ = + r r r r  Tính chất kết hợp ( )() cbacba      ++=++  Tính chất của vec tơ – không: aaa    =+=+ 00 3/ Hiệu của hai vec tơ: a) Véctơ đối của một vec tơ: Véctơ có cùng độ dài và ngược hướng với a r được gọi là véctơ đối của véctơ a r . Ký hiệu véctơ đối của véctơ a r là: - a r * 0a b a b+ = ⇔ = − r r r r r * Véctơ đối của véctơ 0 r là véctơ 0 r b) Đònh nghóa hiệu của hai vec tơ : Hiệu của a r và b r theo thứ tự đó là tổng của a r và vec tơ đối của b r Kí hiệu : ( )a b a b− = + − r r r uur Phép toán tìm hiệu của hai véctơ còn được gọi là phép trừ véctơ 4/ Tích của một số với một vec tơ: a) Đònh nghóa : Cho số k ≠ 0 r và vectơ a r ≠ 0 r Tích của số k với vectơ a r là mộât vectơ . Kí hiệu là k a r . + Vectơ k a r cùng hướng với a r nếu k>0, ngược hướng với a r nếu k<0. + |k a r | = |k| | a r | * Quy ước: 0. a r = 0 r , k a r = 0 r A B C b) Tính chất của phép nhân một số với một vec tơ: ∀ a r , b r ; ∀k, h∈R, ta có: 1) k( a r ± b r ) = k a r ± k b r 2) (h ± k) a r = h a r ± k a r 3) h(k a r ) = (hk) a r 4) 1. a r = a r ; (-1) a r = - a r . 5/ Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A , B , C tùy ý: • AB BC AC+ = uuur uuur uuur (qui tắc cộng) • AB uuur - AC CB= uuur uuur (qui tắc trừ) 6/ Qui tắc hình bình hành: Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ AB AD AC+ = uuur uuur uuur 7/ Các ứng dụng: a) I là trung điểm đoạn AB : • 0IA IB+ = uur uur r • 2MA MB MI+ = uuur uuur uuur (Với mọi điểm M) b) G là trọng tâm của tam giác ABC : • 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r • 3MA MB MC MG+ + = uuur uuur uuuur uuuur (Với mọi điểm M) c) a r và b r ( b r 0≠ r ) cùng phương ⇔ ∃ k ∈ ¡ / a r =k b r d) A, B, C phân biệt thẳng hàng ⇔ ∃ k≠0 / AB uuur =k AC uuur . B. BÀI TẬP: 1) Phương pháp : AB AB= uuur Ví dụ: Cho hình vng ABCD cạnh a và điểm E sao cho DB CE= uuur uuur . Gọi I là trung điểm đoạn CE a) Tính DE uuur b) Chứng minh 1 2 BI BD= uur uuur Giải: a) Xét tứ giác DBEC: Vì DB CE= uuur uuur (gt) nên DBEC là hình bình hành Gọi O là giao điểm của DE và BC thì O là trung điểm của DE và BC 2DE DI⇒ = uuur Xét tam giác vng DCO, ta có: DO 2 =DC 2 +CI 2 2 2 2 5 4 2 a a DO a DI⇒ = + ⇒ = Vậy DE= 5a b) Vì DBEC là hình bình hành nên BE=DC=a ⇒ ∆BCE vng cân tại B. DẠNG : XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH ĐỘ DÀI CỦA VEC TƠ D B C A BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền CE Do đó : BI= 1 2 BD 1 2 BI BD⇔ = uur uuur 2) Phương pháp xác định và tính độ dài của a r + b r , a r - b r : 1/ Xác định: a r + b r = AB uuur , a r - b r = CD uuur 2/Tính độ dài các đoạn AB, CD: Gắn AB, CD vào các đa giác đặc biệt: tam giác vng, tam giác đều, hình vng, … để tính cạnh của nó hoặc bằng phương pháp tính trực tiếp. 3) Các ví dụ: Bài1: Chứng minh rằng: | a r + b r | ≤ | a r |+| b r | Giải: Giả sử: AB uuur = a r , BC uuur = b r . + Nếu a r và b r khơng cùng phương thì A, B, C là 3 đỉnh của tam giác nên AC< AB+BC Vì a r + b r = AB uuur + BC uuur = AC uuur nên | a r + b r | < | a r |+| b r | + Nếu a r và b r khơng cùng hướng, ta có : | a r + b r | < | a r |+| b r | + Nếu a r và b r cùng hướng, ta có: | a r + b r | = | a r |+| b r | Vậy : | a r + b r | ≤ | a r |+| b r | (đpcm) Bài 2: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Tính : a) | AB AC+ uuur uuur | b) | AB AC− uuur uuur | Giải: a) | AB AC+ uuur uuur | =? * Xác đònh AB AC+ uuur uuur : Vẽ hình bình hành ABEC, Theo qui tắc hình bình hành ta có: AB AC+ uuur uuur = AE uuur *Tính | AB AC+ uuur uuur |= AE uuur =AE=? Vì ABEC là hình bình hành mà AB=ACnên ABEC là hình thoi Gọi I=AE ∩ BC, ta có: AE=2AI Mà AI= 3 2 a nên AE= a 3 Vậy: | AB AC+ uuur uuur | = a 3 b) ĐS: | AB AC− uuur uuur | = CB uuur = a 4) Bài tập tương tự: 1/ Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ ., CBCABCBA +− 2/ Cho hình vng ABCD cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo. Tính : , ,OA CB AB DC CD DA− + − uuur uuur uuur uuur uuur uuur 3/ Cho hình thoi ABCD có · 0 60BAD = và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính : , ,AB AD BA BC OB DC+ − − uuur uuur uuur uuur uuur uuur B A C A B C E 1) Phương pháp: Dùng các quy tắc ba điểm tìm tổng, hiệu của hai vec tơ, tìm vec tơ đối, … để thực hiện một trong các cách sau: C 1 : Biến đổi vế này thành vế kia C 2 : Biến đổi cả hai vế của đẳng thức để được hai vế bằng nhau. C 3 : Biến đổi đẳng thức cần CM đó tương đương với một đảng thức vec tơ được cơng nhận là đúng. 2) Các ví dụ: VD1: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ . Chứng minh rằng: AC DB AB DC+ = + uuur uuur uuur uuur (1) Giải: C1: Biến đổi vế trái: AC DB AB BC DB AB DC+ = + + = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C2:Biến đổi vế phải: AB DC AC CB DC AC DB+ = + + = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C3: Ta có : (1) AC AB DC DB BC BC⇔ − = − ⇔ = uuur uuur uuur uuur uuur uuur là đẳng thức đúng. Vậy (1) được chứng minh VD2: Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA. Chứng minh rằng : 0AM BN CP+ + = uuuur uuur uuur r Giải: Biến đổi vế trái: ( ) 1 1 1 1 0 2 2 2 2 AM BN CP AB BC CA AB BC CA+ + = + + = + + = uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r 3) Bài tập tương tự: Bài1:Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD, MN.CMR: a) AB CD AD CB+ = + uuur uuur uuur uuur b) 0IA IB IC ID+ + + = uur uur uur uur r c) 4OA OB OC OD OI+ + + = uuur uuur uuur uuur uur Bài 2: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng : AD BE CF AE BF CD+ + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 3 : Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh: a/ PNMQPQMN +=+ . b/ RQNPMSRSNQMP ++=++ . Bài 4 : Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA. Chứng minh rằng : a) 0AN BP CM+ + = uuur uuur uuuur r b) 0GM GN GP+ + = uuuur uuur uuur r c)Tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm. Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: a/ .32 ACADACAB =++ b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh: 2MN AC BD BC AD = + = + uuuur uuur uuur uuur uuur Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác và I là tâm đường tròn đi qua các trung điểm của ba cạnh tam giác. CMR: a/ .0 =++ GCGBGA b/ MGMCMBMA 3 =++ với M là một điểm bất kỳ. c/ .3OGOHOCOBOA ==++ d/ .32 HGHOHCHBHA ==++ e/ .2OIOH = f/ MCMBMAv 253 +−= là khơng đổi, khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M. 1) Phương pháp: Sử dụng tính chất: Cho ,a b r r không cùng phương, x∀ r , , /k h x ka hb∃ ∈ = + r r r R DẠNG : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VEC TƠ DẠNG : PHÂN TÍCH MỘT VEC TƠ THEO NHIỀU VEC TƠ Hoặc các quy tắc ba điểm , quy tắc hình bình hành , tính chất trung điểm đoạn thẳng, tính chất trọng tâm tam giác. 2) Ví dụ: Cho AK vàBM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vec tơ , ,AB BC CA uuur uuur uuur theo hai vec tơ ;u AK v BM= = r uuur r uuuur Giải: Vì K, M lần lượt là trung điểm của BC và AC nên ta có: 2 ; 2AK AB AC BM BA BC= + = + uuur uuur uuur uuuur uuur uuur 2 (1) 2 (2) AB CA u AB BC v  − =  ⇒  − + =   uuur uuur ur uuur uuur r Từ (1) và (2), ta có: 2 2CA BC u v− + = + uuur uuur r r (3) Mà: 0AB BC CA+ + = uuur uuur uuur r (4) Từ (2) và (4), ta có: 2 2BC CA v+ = uuur uuur r (5) Từ(3) và (5), ta có: 2 4 3 2 4 3 3 BC u v BC u v= + ⇔ = + uuur r r uuur r r (6) Từ (5) và (6), ta có: 4 2 3 3 CA u v= − − uuur r r Từ (7) và (1) ta có: 2 2 3 3 AB u v= − uuur r r 3) Bài tập : Bài 1 :Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, K là trung điểm của BI. Chứng minh: a) 1 1 2 2 AK AB AI= + uuur uuur uur b) 3 1 4 4 AK AB AC= + uuur uuur uuur Bài 2 : Tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Phân tích AM uuuur theo BA uuur và CA uuur HD:Sử dụng tính chất trung điểm ( ) 1 2 AM AB AC= + uuuur uuur uuur Bài 3 : Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện .032 =++ ICIBIA a/ Chứng minh rằng: I là trọng tâm tam giác BCD, trong đó D là trung điểm cạnh AC. b/ Biểu thị vectơ AI theo hai vectơ AB và AC . Bài 4 : Cho t/giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự là các t/điểm của AD, BC, DB, AC. CMR: a/ ( ) DCABMN += 2 1 ; b/ ( ) DCABPQ −= 2 1 ; c/ 0 =+++ ODOCOBOA . (O là t/điểm của MN) d/ MOMDMCMBMA 4 =+++ . (O là trung điểm của MN) Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho: a) OM uuuur = OA OB+ uuur uuur b) ON uuur = OB OC+ uuur uuur c) OP uuur = OC OA+ uuur uuur Hướng dẫn: Các điểm M, N, P tương ứng là các điểm đối xứng của C,A,B. C B A Bài 6: Cho tam gíac OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Tìm các số m, n sao cho: a) OM mOA nOB= + uuuur uuur uuur b) AN mOA nOB= + uuur uuur uuur c) MN mOA nOB= + uuuur uuur uuur d) MB mOA nOB= + uuur uuur uuur ĐS: 1 / 0. 2 a OM OA OB= + uuuur uuur uuur 1 / 2 b AN OB OA= − uuur uuur uuur 1 1 / 2 2 c MN OB OA= − uuuur uuur uuur 1 / 2 d MB OA OB= + uuur uuur uuur 1) Phương pháp: Sử dụng các tính chất: • Ba điểm A. B. C thẳng hàng ⇔ AB uuur và AC uuur cùng phương ⇔ AB k AC= uuur uuur . • Nếu AB kCD= uuur uuur và hai đường thẳng AB, CD phân biệt thì AB // CD 2) Ví dụ : Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. Giải: Đặt ,u BA v BC= = r uuurr uuur ta phân tích BK uuur và BI uur theo hai vec tơ , .u v urur BK BA AK= + uuur uuur uuur = = (1) (2) Từ (1) và (2) ⇒ Vậy 3 4BK BI= uuur uur hay Do đó: Ba điểm B, I, K thẳng hàng. Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác đònh bởi các biểu thức : DẠNG : CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. 1 ( ) 3 u v u = + − r r r 1 ( ) 3 u BC BA = + − r uuur uuur 1 3 u AC+ r uuur 2 1 3 3 u v + r r 1 ( ) 2 BI BA BM = + uur uuur uuuur 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 4 u v u v = + = + r r r r 4 3 BK BI = uuur uur 2 3 ,2 4u v BK u v BI + = + = r r uuur r r uur 1 AK AC 3 = 0, 3 0BC MA AB NA AC+ = − − = uuur uuur r uuur uuur uuur r . Chứng minh : MN // AC. Giải: Ta có: 3 0BC MA AB NA AC+ + − − = uuur uuur uuur uuur uuur r ⇔ 3 0BC AB MA AN AC+ + + − = uuur uuur uuur uuur uuur r 3 0AC MN AC⇔ + − = uuur uuuur uuur r 2MN AC⇔ = uuuur uuur Vậy MN uuuur cùng phương với AC uuur . Theo giả thiết ta có BC AM= uuur uuuur , mà A, B, C không thẳng hàng nên ABCM là hình bình hành. ⇒ M ∈ AC và MN // AC. 3) Bài tập tương tự Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng với A qua B, J là điểm trên cạnh AC sao cho AJ= 2 5 AC. Chứng minh I, J, G thẳng hàng. Bài 2: Gọi G, O, H lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác ABC. Chứng minh G, O, H thẳng hàng. HD: Gọi D là trung điểm của cạnh BC; A’ là điểm đối xứng với A qua O. CM: BHCA’ là hình bình hành 2 ; 3OB OC OD AH OH OG+ = = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur (OD là đường trung bình của ∆AHA’, tính chất của trọng tâm tam giác) Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi D, I là các điểm xác đònh bởi các hệ thức: 3 2 0; 3 2 0DB DC IA IB IC− = + − = uuur uuur r uur uur uur r a) Tính AD theo AB uuur uuur và AC uuur b) Chứng minh ba điểm I, A và D thẳng hàng. 1) Phương pháp: Để dựng điểm M thỏa mãn một đẳng thức vec tơ, ta biến đổi đẳng thức vec tơ về dạng AM v= uuuur r (Với điểm A cố đònh; v r là một vec tơ đã biết) 2) Ví dụ : Cho tam giác ABC. Hãy dựng điểm I thỏa mãn điều kiện: 2 0IA IB+ = uur uur r Giải: 2 0 2 0 1 3 3 IA IB IB BA IB BI BA BI BA + = ⇔ + + = ⇔ = ⇔ = uur uur r uur uuur uur r uur uuur uur uuur Dựng điểm I trên đoạn AB sao cho 1 3 BI AB= Vậy I là điểm cần dựng 3) Bài tập: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Dựng điểm M sao cho : 4 3 2 0MA MB MC MD+ + + = uuur uuur uuuur uuuur Bài 2: Cho tam giác ABC. Hãy xác đònh các điểm M, N, P sao cho: DẠNG: DỰNG MỘT ĐIỂM THỎA MÃN MỘT ĐẲNG THỨC VEC TƠ / 2 0 / 2 0 / 2 0 a MA MB MC b NA NB NC c PA PB PC + − = + + = − + = uuur uuur uuuur r uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r Bài 3:Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý. Hãy dựng điểm D sao cho 2 3CD MA MB MC= + − uuur uuur uuur uuuur HD: Biến đổi ( ) 2 3 2 2MA MB MC MA MC MB MC CA CB+ − = − + − = + uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur Bài 4: Cho hai điểm A, B phân biệt . Hãy xác đònh các điểm P, Q, R biết : 2 3 0; 2 0; 3 0PA PB QA QB RA RB+ = − + = − = uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur r Bài 5:Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức: 2 2 0MA MB MD MC+ + + = uuur uuur uuuur uuuur r HD: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC . Từ (1 ) và (2 ), ta có: 2 2CA BC u v− + = + uuur uuur r r (3 ) Mà: 0AB BC CA+ + = uuur uuur uuur r (4 ) Từ (2 ) và (4 ), ta có: 2 2BC CA v+ = uuur uuur r (5 ). (5 ) T (3 ) và (5 ), ta có: 2 4 3 2 4 3 3 BC u v BC u v= + ⇔ = + uuur r r uuur r r (6 ) Từ (5 ) và (6 ), ta có: 4 2 3 3 CA u v= − − uuur r r Từ (7 ) và (1 ) ta