[Cao Tuấn] - Tiếp tuyến - Vận dụng - Vận dụng cao - Part 1

Cao Tuấn – 0975 306 275 –  135A, ngõ 189, đ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN Cao Tuấn 0975 306 275 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2019 – môn TOÁN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ  DẠNG 4: TỔNG HỢP – VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO x2 có đồ thị  C  Giả sử, đường thẳng d : y  kx  m tiếp tuyến 2x   C  , biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A , B tam giác Câu Cho hàm số y  OAB cân gốc tọa độ O Tổng k  m có giá trị A B C 1  Lời giải:  3 1 TXĐ: D  \   Ta có: y   2  2x  3 Tiếp tuyến d : y  kx  m cắt Ox, Oy hai điểm A , B nên m  0, k   m  Do A  Ox nên A   ;  , B  Oy nên B  0; m   k  Do tam giác OAB cân gốc tọa độ O nên  k  1 m   1 OA  OB   m  m2       Do k   nên k  1 k k  k   2x  3 Suy ra:  2x 1  3  x  1  y0   1   x0      x    y  0   Phương trình tiếp tuyến  C  M1  1;1 là: y    x  1   y   x (loại)  Phương trình tiếp tuyến  C  M  2;  là: y    x    y   x  Khi đó: k  m  1   3 Chọn D Câu Cho hàm số y  x  3x có đồ thị  C  Gọi S tập hợp tất giá trị thực k để đường thẳng d : y  k  x  1  cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt M , N , P cho tiếp tuyến  C  N P vuông góc với Biết M  1;  , tính tích tất phần tử tập S  Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d : A B  D 1 C  x  1  y  x3  3x  k  x  1    x  1 x  x   k     x  x   k  1 d cắt  C  ba điểm phân biệt  phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khác 1       1  k     g       k  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan D 3 Cao Tuấn – 0975 306 275 –  135A, ngõ 189, đ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN Khi đó, d cắt  C  M  1;  , N  x1 ; y1  , P  x2 ; y2  với x1 , x2 nghiệm  1 S  x1  x2  Theo định lí Viet:   P  x1 x2   k     Tiếp tuyến N P vng góc với  y  x1  y  x2   1  3x12  3x22   1 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan   2  9x12 x22  x12  x22   1   x1x2    x1  x2   2x2 x2    1    3  k     k    1    k      1  k  18 k      3  k   c Vậy tích phần tử S hoặc k1 k2   Chọn A a 9 x 1 Câu Cho đồ thị  C  : y  d1 , d2 hai tiếp tuyến  C  song song với Khoảng 2x cách lớn nhất d1 d2 A D 2 C  Lời giải: B ,  x  0 2x2 Vì d1 , d2 hai tiếp tuyến  C  (lần lượt có hoành độ tiếp điểm x1 , x2  x1  x2  ) song song Ta có: y   x  x2 1    x1   x2 2 x1 x2  x1   x2   x1    x 1 x1   Gọi M  x1 ;  ; N   x1 ;  là:  Phương trình tiếp tuyến d1 M  x1 ; x1  x1  x1     x 1 x 1 1 y   x  x1     x  x1   y   x1 x1 x1 x1 với nên ta có y  x1   y  x2   Khi đó: d  d1 , d2   d  N , d1   x1 1 x14 4 x12  Câu Cho hàm x12  1  x12  x1 x1  Chọn C y  f  x số 4x  x1 Áp dụng BĐT AM – GM ta được: x12   d  d1 , d2    (xác định, có đạo hàm ) thỏa mãn  f   x     f  x    10 x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ A y  2x  B y  2x  C y  2x  D y  2x   Lời giải: Cao Tuấn – 0975 306 275 –  135A, ngõ 189, đ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN  f  2  3 x 0  f     f      Từ  f   x     f  x    10 x  *    f    1 Đạo hàm hai vế  *  ta 2 f   x   f    x     f  x   f   x    10 Cho x  ta 2 f   f      f   f     10  f   f    3 f      10  * *   Nếu f     * *  vô lý  Nếu f    1 ,  * *  trở thành:  f         10  f     Phương trình tiếp tuyến y   x     y  2x  Chọn A f  x g  x Nếu hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x  khác 1 1 A f    B f    C f    D f    4 4  Lời giải: Vì hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x  f    g    f   g   khác nên f     g    0 g2   Suy ra: g    g   g    f   g    g 0  g 0  f 0 g 0   g2    g    f    Khi đó:  g    f     f    Chọn B Câu Cho hàm số y  f  x  , y  f f  x  , y  f x2  có đồ thị  C1  ,  C  ,     C  Đường thẳng x  cắt C  ,  C  , C  M , N , P Biết phương trình tiếp tuyến  C  M  C  N y  3x  y  12x  Phương trình tiếp tuyến  C  P 3 A y  8x  C y  2x  B y  4x  D y  3x   Lời giải:  y  f  x      Đạo hàm hàm số cho là:  y2   f f  x    f   x  f  f  x      y   f x    x f  x      Từ phương trình tiếp tuyến  C1  M : y  3x   y   x  1           y1  1  f   1  Suy ra:   1  f  1   Từ phương trình tiếp tuyến  C  N : y  12 x   y  12  x  1    Suy ra: y2 1  f  1 f  f 1  12 Từ  1    f     12  f      2 y 1  f  f 1  f  5  https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Câu Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  , y  Cao Tuấn – 0975 306 275 –  135A, ngõ 189, đ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN    y3  1  2.1 f  12   f     2.4    phương trình tiếp tuyến  C  P là: Ta có:   y3  1  f   f    y  y3 1 x  1  y3 1  y   x  1   y  8x  Chọn A   Câu Gọi M  xM ; y M  điểm thuộc  C  : y  x  3x  , biết tiếp tuyến  C  M cắt  C  điểm N  x A OM  N  xN2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính OM ; y N  (khác M ) cho P  5xM 10 27 B OM  10 27 10 27 C OM  D OM  10 10 27  Lời giải: Ta có y  x  3x   y  3x  x Gọi M  xM ; y M  điểm thuộc  C  : y  x  3x  , 2  suy tiếp tuyến  C  M có phương trình là: y  3xM  xM x  x   x M M  3x M 2 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Tiếp tuyến  C  M cắt  C  điểm N  xN ; y N  (khác M ) nên xM , xN nghiệm  phương trình: x3  3x2   3xM  xM       x  x   x M M  3xM 2 2  x3  xM  x2  xM  3xM  x M  x  xM    x  xM   x  xM   x  xM       xN  2xM   x  2 xM  Khi P  5x  x  5x   2 xM   M N M 2  2  x  12 xM    xM    3  M  26  10 10 Khi M  ;   OM  Chọn D 27  27   Chú ý: Ở tốn trên, ta sử dụng cơng thức giải nhanh sau để xử lí tốn gọn hơn: Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất xM  Ứng dụng định lí Viet cho phương trình bậc ba để giải nhanh toán tiếp tuyến Cho đồ thị  C  : y  ax  bx  cx  d  0,  a   có tiếp tuyến đường y N M thẳng  : y  mx  n ( M tiếp điểm) cắt đồ thị  C  điểm (khác b M ) N Khi đó: xM  xN   a ax  bx  cx  d  mx  n  ax  bx   c  m  x  d  n  xM *  Ta có: xM , xN nghiệm phương trình  *  Mà M tiếp điểm tiếp tuyến  với đồ thị  C  nên xM nghiệm kép Tức phương trình  *  có ba nghiệm: xM , xM , xN b b Áp dụng định lí Viet, ta có: xM  xM  xN    xM  xN   a a Từ tiếp tục làm  C  điểm x O Chứng minh: Phương trình hồnh độ giao điểm  C   là: Quay trở lại toán: Tiếp tuyến  C  M cắt C M khác M  2xM  xN   xN  2xM  xN Cao Tuấn – 0975 306 275 –  135A, ngõ 189, đ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN Câu Cho hàm số y  x  2018 x có đồ thị  C  M1 điểm  C  có hồnh độ x1  Tiếp tuyến  C  M1 cắt C  C  ,  n  4, 5,  điểm M2 khác M1 ; tiếp tuyến  C  M2 cắt điểm M3 khác M2 ; tiếp tuyến  C  Mn1 cắt  C  điểm Mn khác Mn1 Gọi  xn , yn  tọa độ điểm Mn Tìm n để 2018 xn  yn  2019  C n  674  Lời giải: Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  M k  xk ; y k  có dạng: B n  675 A n  647  D n  627  y  y  xk  x  xk   yk  y  3xk2  2018  x  xk   xk3  2018xk  Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị  C  tiếp tuyến    là:  x  xk x  2018 x  3xk2  2018  x  xk   xk3  2018 xk   x  xk  x  xk x  xk2     x  2 xk    Do đó, xk 1  2 xk   xk  cấp số nhân có x1  công bội q  2 Suy ra: xn   2  n1 Vậy 2018xn  yn  22019   xn3  22019   2  n   2  2019  3n   2019  674  Chọn C  Chú ý: Ở toán trên, ta sử dụng cơng thức giải nhanh sau để xử lí toán gọn hơn: Ứng dụng định lí Viet cho phương trình bậc ba để giải nhanh toán tiếp tuyến Cho đồ thị  C  : y  ax  bx  cx  d  0,  a   có tiếp tuyến đường y C N M thẳng  : y  mx  n ( M tiếp điểm) cắt đồ thị  C  điểm (khác b M ) N Khi đó: xM  xN   a Quay trở lại toán: Tiếp tuyến  C  Mk cắt x O xM  C  điểm xN Mk 1 khác Mk  2xk  xk 1   xk 1  2xk Do đó, xk 1  2 xk   xk  cấp số nhân có x1  cơng bội q  2 Suy ra: xn   2  n1 Vậy 2018xn  yn  22019   xn3  22019   2  n   2  2019  3n   2019  674  Chọn C Câu Cho hàm số y  x  3x có đồ thị  C  điểm M  m ;   Hỏi có số nguyên m thuộc đoạn   10 ;10  cho qua điểm M kẻ ba tiếp tuyến đến  C  A 19 B 15 C 17 D 12  Lời giải: Tập xác định: D  Đạo hàm: y  3x  x Phương trình đường thẳng qua M  m ;   có hệ số góc k  là: d : y  k  x  m   Qua M kẻ ba tiếp tuyến đến  C   k  x  m    x  3x  1 có ba nghiệm phân biệt  Hệ phương trình  I   2  k  3x  x   Thay  1 vào   , ta được: 3x2  6x  x  m   x3  3x2    3x2  6x  x  m   x3  3x2  2x3   m  1 x2  6mx   https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  Cao Tuấn – 0975 306 275 –  135A, ngõ 189, đ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN    2x3  3x2   3mx2  6mx   x   2x2  x   3mx  x   x   x      3m  x    g  x  ,  x      x  x   3mx  x Xét hàm số g  x   x   với x  x Ta có: g  x      x  1 x Bảng biến thiên: x 1  0 g  x         https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  g  x 3   Hệ  I  có ba nghiệm phân biệt  Phương trình   có hai nghiệm phân biệt khác  m  1  3m  3    m  10 ;10    3m    m    m  10 ;  ; ;  2; 3; ; ;10 m     3m   m    Vậy có 17 số thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C Câu 10 Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị  C  Hỏi có điểm đường thẳng d : y  9x  14 cho từ kẻ hai tiếp tuyến đến  C  ? A điểm C điểm  Lời giải: B điểm Gọi M  m; m  14   d : y  x  14 D điểm Phương trình đường thẳng  qua M có dạng: y  k  x  m   9m  14  x  3x   k  x  m   9m  14  tiếp tuyến  C   hệ phương trình  3x   k  1 có nghiệm 2 x    x    x2    3m  x  6m       f  x   x    3m  x  6m   u cầu tốn    có hai nghiệm phân biệt 4   Thay   vào  1 ta được: x3  3x   3x2   x  m  9m  14  2x3  3mx2  12m  16   3 Cao Tuấn – 0975 306 275 –  135A, ngõ 189, đ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN TH1:   có nghiệm phân biệt, có nghiệm  m      3m    6m     9m  24m  48   0        m2 m     12 m  24     12 m  24   f       m    m  0   TH2:   có nghiệm kép khác     f     m  2 Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu Chọn A Câu 11 Cho hàm số y  f  x    x  x  có đồ thị  C  điểm M  m;  Gọi S tập 2 giá trị thực m để qua M kẻ hai tiếp tuyến với đồ thị  C  Tổng phần tử S 12 B 20 Đạo hàm: f   x   3 x  12 x 19  Lời giải: C D 23 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan A Phương trình tiếp tuyến M  x ; y0  có dạng:    : y  f   x0  x  x0   f  x0  Do tiếp tuyến qua M  m;  nên ta có:      3x02  12x0  m  x0   x03  6x02   x03   3m   x02  12mx0   1  x0    x0   3m   x0  12m    Để kẻ hai tiếp tuyến từ M phương trình  1 có nghiệm TH1: Phương trình   có nghiệm kép khác m   3m  2  4.2.12m   9m  60m  36   Ta có:   m   2.0   3m    12m  m   TH2: Phương trình   có hai nghiệm phân biệt có nghiệm  3m  2  4.2.12m   9m  60m  36  Ta có:  m0   m  m    Vậy giá trị thỏa yêu cầu toán 0; ;    20 6  Chọn B 3 Câu 12 Trên đường thẳng y  2x  có điểm kẻ đến đồ thị  C  hàm số Do đó, tổng giá trị  y x3 tiếp tuyến? x 1 A B Tập xác định D  \1 C  Lời giải: D Cao Tuấn – 0975 306 275 –  135A, ngõ 189, đ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN Gọi A  a; 2a  1  d : y  2x  Phương trình đường thẳng  qua A có dạng: y  k  x  a   2a  x   x   k  x  a   2a    tiếp tuyến  C   hệ phương trình  4 1 có nghiệm  k    x  1  x3 4 x    x  a  a      x   x  12  2ax   2a   x  6a     Để từ A  a; 2a  1 kẻ tiếp tuyến đến  C   Phương trình  1 có nghiệm https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  Phương trình   có nghiệm khác TH1: Phương trình   phương trình bậc nhất có nghiệm x  a    x  : Thỏa mãn Vậy a  giá trị cần tìm 8 x   TH2: Phương trình   phương trình bậc hai có nghiệm kép x   a   a   a  1      a    a  a       8a  8a  16  a    x1  x2  2a    2a TH3: Phương trình   phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x  a       2a    2a  6a     a   2a   a    6a   Vậy có giá trị a tương ứng với điểm thỏa mãn yêu cầu toán Chọn A x1 Câu 13 Cho hàm số y  có đồ thị  C  điểm A  a;  Gọi S tập hợp tất giá trị x 1 thực a để có hai tiếp tuyến  C  qua điểm A có hệ số góc k1 , k2 thỏa mãn k1  k2  10 k12 k2  Tổng giá trị tất phần tử S A B 7 5  Lời giải: C D  t 1 Gọi M  t ;    C  tọa độ tiếp điểm  t 1 Phương trình tiếp tuyến M y   x  t  2  t  1 Do tiếp tuyến qua A  a;  nên ta có   a  t   t 1 t 1 2  t  1  t 1  t  6t   2a  1 t 1 Cao Tuấn – 0975 306 275 –  135A, ngõ 189, đ Hồng Hoa Thám, BĐ, HN Phương trình  1 có nghiệm       a    a  t  t  Khi đó, phương trình  1 có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  (định lí Viet) t1t2   2a 2 2 Gọi t1 , t2 hai nghiệm  1 , suy k1  k2  2 t  t  1  2  2 t1  1  2 t2  1  10 t1  1  t2  1 0 2 2   t1  1   t2  1   t1  1  t2  1  80   2   t1  t2   2t1t2   t1  t2    t1t2  t1  t2  1  80   a   2  7 5  a   20  4a  2a    80    a  a  1     a  S  0;  Chọn B a        Câu 14 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên có đạo hàm f   x  liên tục Đường thẳng hình vẽ bên tiếp tuyến đồ thị hàm số gốc tọa độ Gọi m giá trị nhỏ nhất hàm số y  f   x  Mệnh đề sau đúng? A m  2 C  m  B 2  m  D m   Lời giải: Cách Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến  1;1 đồng biến khoảng lại nên   f   x   0, x   1;1  f   x  x   1;1   f x  0,  x   ;   1;            Ta có: AOB      tan   tan   AOB   tan AOB Quan sát đồ thị ta thấy: tan AOB    tan    tan   2 Mà hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số gốc tọa độ là: f     tan   f     2 Mặt khác, hàm số đạt cực trị điểm x  x  1 nên ta có: f   1  f   1   2 Vậy f   x   2  m  2 Chọn A Cách Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy x  chính nghiệm phương trình f   x   điểm cực trị hàm số y  f   x  Mặt khác hàm số y  f   x  có dạng hàm số bậc với hệ số bậc cao nhất dương Khi giá trị nhỏ nhất chính f    đồng thời hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ x  Dựa vào đồ thị ta thấy tiếp tuyến có dạng y  ax qua điểm có tọa độ xấp xỉ  1; 2,  ta suy 2,2  a  f     m Chọn A https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Theo đề bài: k1  k2  10 k12 k2   Cao Tuấn – 0975 306 275 –  135A, ngõ 189, đ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN Câu 15 Cho hàm số y  f  x   x  x  x   C  Tồn hai tiếp tuyến  C  phân biệt có hệ số góc k , đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho OA  2017.OB Hỏi có giá trị k thỏa mãn yêu cầu toán? A   B   C  Lời giải: D Gọi M1 x1 ; f  x1  ; M2 x2 ; f  x2  với hai tiếp điểm mà tiếp tuyến có hệ số góc k  k1  k2 Ta có: y  3x2  12x     k  3x12  12x1   3x22  12x2  x1  x2   x1  x2  x1  x2      x1  x2  4  S https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Hệ số góc đường thẳng M1 M2 là: k   f  x2   f  x1  OB   OA 2017 x2  x1  1  2016 x1 x2  P  2017    x1  x2   x1 x2   x1  x2     2 2017  x x  2018  P  2017  x1  x2  4  S   Với  , S2  4P nên  hai cặp x1 , x2   giá trị k 2016  x1 x2  2017  P   x1  x2  4  S   Với  , S2  4P nên  hai cặp x1 , x2   giá trị k 2018  x1 x2  2017  P  Vậy có giá trị k thỏa mãn u cầu tốn Chọn D Câu 16 Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y  2x  m cắt đồ thị  H  2x  hai điểm A , B phân biệt cho P  k12018  k22018 đạt giá trị nhỏ nhất, x2 với k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến A , B đồ thị  H  hàm số y  C m  3 D m  2  Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị  H  đường thẳng y  2x  m là: A m  B m    2x   x  2  x  2  2 x  m    x2    x   x  m   x   2 x   m   x   2m  Đường thẳng d : y  2x  m cắt  H  hai điểm phân biệt    m  2    m      1 có nghiệm phân biệt khác 2   *  2  2    m    2    m   m6  xA  xB  Khi đó: xA , xB nghiệm phân biệt  1   2  m x x   A B 10 1 Cao Tuấn – 0975 306 275 –  135A, ngõ 189, đ Hồng Hoa Thám, BĐ, HN Ta có: y   x  2 Suy ra: k1 k2   k1  x A  2 , k2  x B   xA  xB   xA xB     2   2m  m    4   4  P  k12018  k22018  k12018 k22018  42018 Dấu "  " xảy  k1  k2   x  2 A  x  2 B  x A   xB    xA     xB    3 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  A  B Do   xA  xB nên    x A  xB  4 A , B  H     m6 Kết hợp với   ta được:  4  m  2 thỏa mãn  *  Chọn D 11 ...  x2 1    x1   x2 2 x1 x2  x1   x2   x1    x ? ?1? ?? x1   Gọi M  x1 ;  ; N   x1 ;  là:  Phương trình tiếp tuyến d1 M  x1 ; x1  x1  x1     x ? ?1 x ? ?1 1 y   x  x1 ...  x1   y   x1 x1 x1 x1 với nên ta có y  x1   y  x2   Khi đó: d  d1 , d2   d  N , d1   x1 ? ?1 x14 4 x12  Câu Cho hàm x12  1  x12  x1 x1  Chọn C y  f  x số 4x  x1 Áp... t1t2   2a 2 2 Gọi t1 , t2 hai nghiệm  1? ?? , suy k1  k2  2 t  t  ? ?1  2  2 t1  1? ??  2 t2  1? ??  10 t1  1? ??  t2  1? ?? 0 2 2   t1  1? ??   t2  1? ??   t1  1? ??  t2  1? ??