Luận án tiến sĩ toán học chỉ số chính quy của tập điểm béo trong không gian xạ ảnh

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHƠNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HUẾ - NĂM 2019 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Văn Thiện HUẾ - NĂM 2019 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, hướng dẫn PGS.TS Phan Văn Thiện Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Tác giả Trần Nam Sinh ii LỜI CÁM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm PGS.TS Phan Văn Thiện Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới Thầy, người đưa hướng nghiên cứu, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin gửi lời cám tới GS TSKH Ngô Việt Trung với góp ý, hướng dẫn cho việc trình bày luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Tốn học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, - Bộ môn Khoa học bản, Trường Cao đẳng Phương Đông-Đà Nẵng, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp người bạn thân thiết giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Trần Nam Sinh iii MỤC LỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Kiến thức sở 11 1.1 Chỉ số quy tập điểm béo 11 1.2 Một số kết cần dùng 15 1.3 Kết luận chương 18 Chỉ số quy tập s điểm béo không nằm (r − 1)phẳng với s ≤ r + 2.1 19 Chỉ số quy tập s điểm béo vị trí tổng quát nằm r-phẳng với s ≤ r + 20 2.2 Chỉ số quy s điểm béo đồng bội không nằm (r − 1)-phẳng với s ≤ r + 23 2.3 Kết luận chương 38 Chặn Segre cho số quy tập s điểm kép Pn với 2n + ≤ s ≤ 2n + 3.1 39 Chặn Segre cho số quy tập 2n + điểm kép cho khơng có n+1 điểm nằm (n−2)-phẳng Pn 40 3.2 Chặn Segre cho số quy tập 2n + điểm kép khơng suy biến khơng có n + điểm nằm (n − 2)-phẳng Pn 54 3.3 Kết luận chương 65 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 66 DANH MỤC CƠNG TRÌNH 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Kí hiệu Ý nghĩa N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không Z Tập số nguyên Z+ Tập số nguyên dương [a] Phần nguyên số hữu tỷ a k Trường đóng đại số k Pn := Pnk Khơng gian xạ ảnh n-chiều trường k R := k[x0 , , xn ] Vành đa thức theo biến x0 , , xn trường k Z(T ) Tập không điểm tập T ⊂ R phần tử R I(Y ) Iđêan tập điểm Y ⊂ Pn ℘ Iđêan nguyên tố xác định điểm P ∈ Pn dim B Chiều (Krull) vành B Ann(M ) Annihitor môđun M Md Tổng trực tiếp nhóm Md HM (t) Hàm Hilbert môđun phân bậc M PM (t) Đa thức Hilbert môđun phân bậc M Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Tập điểm béo Z reg(Z) Chỉ số quy Z reg(A) Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford vành tọa độ d A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho X = {P1 , , Ps } tập điểm phân biệt không gian xạ ảnh Pn := Pnk , với k trường đóng đại số Gọi ℘1 , , ℘s iđêan nguyên tố vành đa thức R := k[x0 , , xn ] tương ứng với điểm P1 , , Ps Cho m1 , , ms số nguyên dương Ta ký hiệu m1 P1 + · · · + ms Ps lược đồ chiều không xác định iđêan I := ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘sms gọi Z := m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo Pn Chú ý iđêan I tập điểm béo tập gồm hàm đại số nội suy tập điểm P1 , , Ps triệt tiêu với số bội m1 , , ms Đề tài tập điểm béo nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác Ví dụ giả thuyết Nagata chặn cho bậc hàm nội suy đến chưa giải (xem [13]) Trong luận án này, quan tâm đến số quy Castelnuovo-Mumford vành R/I Với tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps xác định iđêan I, vành tọa độ Z A := R/I Vành A = ⊕t≥0 At vành phân bậc s Cohen-Macaulay 1-chiều có bội e(A) := i=1 mi +n−1 n Hàm Hilbert Z xác định HA (t) := dimk At , tăng chặt đạt số bội e(A), dừng Chỉ số quy Z định nghĩa số nguyên bé t cho HA (t) = e(A) ký hiệu reg(Z) Chỉ số quy reg(Z) số quy Castelnuovo-Mumford reg(A) vành tọa độ A Vấn đề tìm chặn cho số quy reg(Z) nhiều người quan tâm có nhiều kết Năm 1961, Segre (xem [19]) chặn cho số quy tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps cho khơng có ba điểm chúng nằm đường thẳng P2 : reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, với m1 ≥ · · · ≥ ms m1 + · · · + ms , Cho tập điểm béo tùy ý Z = m1 P1 + · · · + ms Ps P2 Năm 1969, Fulton (xem [12]) đưa chặn cho số quy Z sau: reg(Z) ≤ m1 + · · · + ms − Chặn mở rộng cho tập điểm béo tùy ý Pn Davis Geramita (xem [9]) Họ chứng minh dấu xảy tập điểm P1 , , Ps nằm đường thẳng Pn Một tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn gọi vị trí tổng quát khơng có j + điểm P1 , , Ps nằm j -phẳng với j < n Năm 1991, Catalisano (xem [6], [7]) mở rộng kết Segre cho tập điểm béo vị trí tổng quát P2 Vào năm 1993, Catalisano, Trung Valla (xem [8]) mở rộng kết cho tập điểm béo vị trí tổng quát Pn , họ chứng minh được: reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, m1 + · · · + ms + n − n , với m1 ≥ · · · ≥ ms Năm 1996, N.V Trung đưa giả thuyết sau (xem [24]): Giả thuyết: Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo tùy ý Pn Khi reg(Z) ≤ max Tj j = 1, , n , Tj = max q l=1 mil j +j−2 Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Hiện chặn gọi chặn Segre Giả thuyết có số người làm tốn quan tâm Chúng xin đề cập vài kết gần liên quan đến giả thuyết Chặn Segre chứng minh không gian xạ ảnh với số chiều n = 2, n = (xem [22], [23]) cho tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2Ps P4 (xem [24]) Thiện; trường hợp n = 2, n = Fatabbi Lorenzini đưa chứng minh độc lập khác (xem [10], [11]) Năm 2012, Bennedetti, Fatabbi Lorenzini chứng minh chặn Segre cho tập gồm n + điểm béo không suy biến Z = m1 P1 + · · · + mn+2 Pn+2 Pn (xem [2]) Năm 2013, Tú Hùng chứng minh chặn Segre cho tập gồm n + điểm hầu đồng bội không suy biến Pn (xem [28]) Năm 2016, Ballico, Dumitrescu Postinghel chứng minh chặn Segre cho trường hợp n+3 điểm béo không suy biến Z = m1 P1 +· · ·+mn+3 Pn+3 Pn (xem [4]) Năm 2017, Calussi, Fatabbi Lorenzini chứng minh chặn Segre cho trường hợp s điểm béo không suy biến Z = mP1 + · · · + mPs Pn với s ≤ 2n − (xem [5]) Cho tập điểm béo tùy ý Pn Năm 2018, Nagel Trok chứng minh giả thuyết N.V Trung chặn Segre (xem [18, Theorem 5.3]) Một vấn đề khác nhiều người quan tâm tính giá trị reg(Z) Tuy nhiên tốn khó hơn, việc tính giá trị reg(Z) đạt cho số tập điểm béo với điều kiện định Nhắc lại với điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps nằm đường thẳng Pn Davis Geramita (xem [9]) chứng minh reg(Z) = m1 + · · · + ms − Một đường cong hữu tỷ chuẩn Pn đường cong có phương trình tham số: x0 = tn , x1 = tn−1 u, , xn−1 = tun−1 , xn = un Cho tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn , với m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms Năm 1993, Catalisano, Trung Valla cơng thức tính reg(Z) hai trường hợp sau (xem [8]): Nếu s ≥ P1 , , Ps nằm đường cong hữu tỷ chuẩn Pn (xem [8, Proposition 7]), s reg(Z) = max m1 + m2 − 1, ( mi + n − 2)/n i=1 Nếu n ≥ 3, ≤ s ≤ n + 2, ≤ m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ ms P1 , , Ps nằm vị trí tổng quát Pn (xem[8, Corollary 8]), reg(Z) = m1 + m2 − Năm 2012, Thiện (xem [25, Theorem 3.4]) tính số quy reg(Z) cho tập s + điểm béo cho chúng không nằm (s − 1)-phẳng Pn với s ≤ n Khi đó, reg(Z) = max Tj j = 1, , n , Tj = max q l=1 mil +j−2 j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , j = 1, , n Tại thời điểm bắt đầu thực đề tài vào năm 2013, tốn tính số quy chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp tổng quát tốn mở Mục đích nghiên cứu Năm 2013 bắt đầu thực đề tài "chỉ số quy tập điểm béo khơng gian xạ ảnh" Mục đích chúng tơi nghiên cứu số quy tập điểm béo Chúng tơi cơng thức tính số quy chặn cho số trường hợp cụ thể Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập gồm s điểm béo ví trí tổng quát r-phẳng α Pn với s ≤ r + Chúng đưa công thức sau (xem Định lý 2.1.1): reg(Z) = max T1 , Tr , T1 = max mi + mj − i = j; i, j = 1, , s , m1 + · · · + ms + r − Tr = r Nếu m1 = · · · = ms = m, ta gọi Z = mP1 + · · · + mPs tập s điểm béo đồng bội Trong trường hợp này, chúng tơi tính số quy cho tập s điểm béo đồng bội Z = mP1 + · · · + mPs cho P1 , , Ps không nằm (r − 1)-phẳng Pn với s ≤ r + 3, m khác sau (xem Định lý 2.2.6): reg(Z) = max Tj j = 1, , n , 56 Trường hợp 1.1 |H1 | = n, |H2 | = n, |H3 | = Do |H1 | = n nên không tồn n + điểm X nằm siêu phẳng Vì vậy, X nằm vị trí tổng quát Theo Bổ đề 1.2.4 Nhận xét 1.2.3 tồn điểm Pi0 ∈ X cho reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ Trường hợp 1.2 |H1 | = n + 1, |H2 \H1 | = n, |H3 | = Ta giả sử P1 ∈ H3 Chọn Pi0 = P1 = (1, 0, , 0), ℘i0 = (x1 , , xn ) Rõ ràng H1 , H2 tránh Pi0 Vì H1 H1 H2 H2 ∈ J nên H1 H1 H2 H2 M ∈ J với đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + i ≤ ≤ TZ Trường hợp d = Ta có X ⊂ H1 ∪H2 , trường hợp ta có |H1 | ≥ n+1 |H1 | ≥ |H2 | Gọi q số điểm X nằm H2 \H1 , ta có ≤ q ≤ n + Khơng tính tổng qt, giả sử P1 , , Pq ∈ H2 \H1 đặt Y = {P1 , , Pq } Do khơng có n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng, nên Y không nằm (q − 3)-phẳng Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 2.1 Y nằm (q − 1)-phẳng Y không nằm (q − 2)-phẳng Chọn Pi0 = Pq = (1, 0, , 0), P1 = (0, , 0, , 0), , Pq−1 = (0, , 0, , 0, , 0), ℘i0 = (x1 , , xn ) Do tồn (q − 2)-phẳng q K qua P1 , , Pq−1 tránh Pi0 , ta ln chọn siêu phẳng L chứa K tránh Pi0 Ta có H1 H1 LL ∈ J nên H1 H1 LLM ∈ J với đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + i ≤ ≤ TZ Trường hợp 2.2 Y nằm (q − 2)-phẳng α, q ≥ Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 2.2.1 Có q−1 điểm Y nằm (q−3)-phẳng Giả sử P1 , , Pq−1 nằm (q − 3)-phẳng K Pq ∈ / K Chọn Pi0 = Pq = (1, 0, , 0), ℘i0 = (x1 , , xn ) Do q ≤ n + nên q − ≤ n − Pi0 ∈ / K Ta chọn siêu phẳng L chứa K tránh Pi0 Ta có H1 H1 LL ∈ J nên 57 H1 H1 LLM ∈ J với đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + i ≤ ≤ TZ Trường hợp 2.2.2 Không có q − điểm Y nằm (q − 3)-phẳng Ta xét khả q sau: Trường hợp 2.2.2.1 q ≥ Khi đó, (q−3)-phẳng qua q−2 điểm Y Chọn Pi0 = Pq = (1, 0, , 0), P1 = (0, , 0, , 0), , Pq−2 = (0, , 0, , 0, , 0) q−1 Đặt ml = − i + cl , (l = 1, , q − 2), mq−1 = q−1 ml + (q − 2) − 1)/(q − 2) t = max 2, ( i=1 Ta có q−1 ml + q − 3)/(q − 2) t + i = max 2, ( +i i=1 q−1 ≤ max + i, ( ml + (q − 2)i + q − 3)/(q − 2) i=1 ≤ max + i, (3q − 4)/(q − 2) ≤ Do t ≤ − i Theo Bổ đề 1.2.4 ta tìm t (q − 3)-phẳng G1 , , Gt tránh Pi0 cho với Pl (l = 1, , q − 1), tồn ml (q − 3)-phẳng {G1 , , Gt } qua Pl Với j = 1, , t, ta tìm siêu phẳng Lj chứa Gj tránh Pi0 Ta có m q−2 L · · · L t ∈ ℘m ∩ · · · ∩ ℘q−2 ∩ ℘q−1 i−c Hơn nữa, H1 H1 ∈ ℘2q+1 ∩ · · · ∩ ℘22n+2 M ∈ ℘i−c ∩ · · · ∩ ℘q−2q−2 , nên HHL1 · · · Lt M ∈ J Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + (3 − i) + i ≤ TZ 58 Trường hợp 2.2.2.2 q = Ta có P1 , P2 , P3 , P4 ∈ / H1 , việc đánh số lại, ta chọn Pi0 = P1 = (1, 0, , 0), P3 = (0, , 0, , 0), P4 = (0, 0, , 0, , 0), , Pn+1 = (0, , 0, , 0), Pn+2 = (0, , 0, ), ℘i0 = (x1 , , xn ) Gọi l1 n n+1 đường thẳng qua P2 , P3 ; l2 đường thẳng qua P3 , P4 l3 đường thẳng qua P2 , P4 Ta xét hai trường hợp i sau: a) i = Với j = 1, 2, 3, Pi0 ∈ / lj nên ta chọn siêu phẳng Lj chứa lj tránh Pi0 Ta có H1 H1 L1 L2 L3 ∈ J nên H1 H1 L1 L2 L3 M ∈ J Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ ≤ TZ b) i = Do c1 + · · · + cn = 1, nên tồn j ∈ {1, , n} cho cj = 1, ck = 0, k ∈ {1, , n}\{j} ◦ Nếu j ∈ {1, 2}, giả sử c1 = M ∈ ℘4 ∩ ℘5 ∩ · · · ∩ ℘n+2 Ln có (n − 2)-phẳng K1 qua Pn+3 , , P2n−1 l1 , (n − 2)-phẳng K2 qua P2n , P2n+1 l1 , (n − 2)-phẳng K3 qua P4 , Pn+2 tránh Pi0 Với i = 1, 2, ta tìm siêu phẳng Li chứa Ki tránh Pi0 Ta có H1 L1 L2 L3 ∈ ℘22 ∩ ℘23 ∩ ℘4 ∩ ℘5 ∩ · · · ∩ ℘n+2 ∩ ℘2n+3 ∩ · · · ∩ ℘22n+2 Do H1 L1 L2 L3 M ∈ J Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + i ≤ ≤ TZ ◦ Nếu j ∈ {3, , n}, giả sử c3 = M ∈ ℘3 ∩ ℘4 ∩ ℘6 ∩ · · · ∩ ℘n+2 Gọi l1 đường thẳng qua P2 , P3 l2 đường thẳng qua P2 , P4 Với i = 1, 2, Pi0 ∈ / li , nên ta ln có siêu phẳng Li chứa li tránh Pi0 Ta có L1 L2 ∈ ℘22 ∩ ℘3 ∩ ℘4 59 Do H1 H1 ∈ ℘25 ∩ · · · ∩ ℘22n+2 nên H1 H1 L1 L2 M ∈ J Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + i ≤ ≤ TZ Trường hợp 2.2.2.3 q = Ta có P1 , P2 , P3 ∈ / H1 , gọi l đường thẳng qua P1 , P2 , P3 W = {P4 , , P2n+2 } điểm X nằm H1 Khi có (n − 2)-phẳng Q1 , , Qr Pn thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) W ⊂ ∪ri=1 Qi , (ii) Qi ∩(W \∪i−1 j=1 Hj ) = max Q∩(W \∪i−1 j=1 Qj ) Q (n − 2)-phẳng Do khơng có n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng nên ta có hai khả sau Q1 a) |Q1 | = n Ta có r = |Q2 \Q1 | = n − Gọi U = {P4 , , Pn+2 } n − điểm nằm Q2 \Q1 T = {P1 , , Pn+2 } Ta xét trường hợp T sau: a.1) T không nằm (n − 1)-phẳng Do P1 , P2 , P3 nằm đường thẳng, nên tồn siêu phẳng chứa l n − điểm U Giả sử L siêu phẳng chứa l qua P4 , , Pn+1 Rõ ràng L tránh Pn+2 (vì khơng T nằm (n − 1)-phẳng) Chọn Pi0 = Pn+2 = (1, 0, , 0), ℘i0 = (x1 , , xn ) / Q1 nên ta chọn siêu phẳng L1 chứa Q1 tránh Pi0 Ta có Do Pi0 ∈ LLL1 L1 ∈ J nên H1 H1 LLM ∈ J với đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + i ≤ ≤ TZ a.2) T nằm (n − 1)-phẳng H Giả sử |Q1 ∩ H ∩ X| = s, siêu phẳng H qua n + + s điểm X Xét n − s điểm nằm Q1 \H, ta gọi Pi1 , , Pin−s ∈ Q1 \H a.2.1) Trường hợp Pi1 , , Pin−s nằm (n−s−1)-phẳng không nằm (n − s − 2)-phẳng Chọn Pi0 = Pi1 = (1, 0, , 0), ℘i0 = (x1 , , xn ) 60 Vì ln tồn (n − s − 2)-phẳng β qua Pi2 , , Pin−s n − s − ≤ n − nên ta chọn siêu phẳng L chứa β tránh Pi0 Ta có HHLL ∈ J nên HHLLM ∈ J với đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + i ≤ ≤ TZ a.2.2) Trường hợp Pi1 , , Pin−s nằm (n − s − 2)-phẳng Do P1 , P2 , P3 nằm đường thẳng nên P1 , P2 , P3 , Pi1 , , Pn−s nằm (n − s)-phẳng Vì n − ≤ n − s ≤ n hay ≤ s ≤ • Nếu tập điểm {Pi1 , , Pin−s } có n−s−1 điểm nằm (n−s−3)-phẳng γ, ta giả sử Pi1 ∈ / γ, chọn Pi0 = Pi1 = (1, 0, , 0), ℘i0 = (x1 , , xn ) / γ nên ta chọn siêu phẳng L chứa γ tránh Pi0 Ta có Do Pi0 ∈ LLHH ∈ J nên LLHHM ∈ J với đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + i ≤ ≤ TZ • Nếu tập điểm {Pi1 , , Pin−s } khơng có n−s−1 điểm nằm (n−s−3)- phẳng, (n − s − 3)-phẳng qua n − s − điểm tập điểm {Pi1 , , Pin−s } Chọn Pi0 = Pi1 = (1, 0, , 0), Pi2 = (0, 1, 0, , 0), , Pin−s−1 = (0, , 0, , 0, , 0), ℘i0 = (x1 , , xn ) Đặt mil = − i + cl−1 , l = 2, , n − n−s−1 s − 1, min−s = n−s−1 mil + (n − s − 2) − 1)/(n − s − 2) t = max 2, ( i=1 Ta có n−s−1 mil + n − s − 3)/(n − s − 2) t + i = max 2, ( +i i=1 n−s−1 ≤ max + i, ( mil + (n − s − 2)i + n − s − 3)/(n − s − 2) i=1 ≤ max + i, (3(n − s − 2) + 2)/(n − s − 2) Với s = n ≥ 6, ta có t ≤ − i 61 Theo Bổ đề 1.2.4 ta tìm t (n − s − 3)-phẳng G1 , , Gt tránh Pi0 cho với Pl (l = 2, , n − s), tồn ml (n − s − 3)-phẳng {G1 , , Gt } qua Pl Với j = 1, , t, ta ln tìm siêu phẳng Lj chứa Gj tránh Pi0 Ta có mn−s−1 2 L · · · L t ∈ ℘m i2 ∩ · · · ∩ ℘in−s−1 ∩ ℘n−s Vì vậy, HHL1 · · · Lt M ∈ J với đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + (3 − i) + i = ≤ TZ Với s = n = 5, siêu phẳng H qua tám điểm X có bốn điểm Pi1 , Pi2 , Pi3 , Pi4 nằm 2-phẳng γ1 không nằm H Theo Trường hợp 2.2.2.2 ta có điều phải chứng minh b) Nếu |Q1 | = n − W = {P4 , , P2n+2 } ta xem W tập điểm nằm Pn−1 , W nằm vị trí tổng quát Pn−1 Gọi H siêu phẳng chứa l qua n − + u điểm W ∩ H1 Ta có u ≥ • Nếu u = ta xét n + điểm H1 \ H Đặt V = {Pn+2 , , P2n+2 } Do không tồn n điểm V nằm (n − 2)-phẳng Chọn Pi0 = Pn+2 = (1, 0, , 0), Pn+3 = (0, , 0, , 0), , P2n+1 = (0, , 0, , 0), n ℘i0 = (x1 , , xn ) Đặt ml = − i + cl−n−2 , l = n + 3, , 2n + 1, m2n+2 = 2n+2 ml + (n − 1) − 1)/(n − 1) t = max 2, ( i=n+3 Ta có 2n+2 ml + n − 2)/(n − 1) t + i = max 2, ( +i i=n+3 2n+2 ≤ max + i, ( ml + (n − 1)i + n − 2)/(n − 1) i=n+3 ≤ max + i, (3n − 1)/(n − 1) Do t ≤ − i ≤ 62 Theo Bổ đề 1.2.4 ta tìm t (n − 2)-phẳng G1 , , Gt tránh Pi0 cho với Pl (l = n + 3, , 2n + 2), tồn ml (n − 2)-phẳng {G1 , , Gt } qua Pl Với j = 1, , t, ta ln tìm siêu phẳng Lj chứa Gj tránh Pi0 Ta có m2n+1 n+3 L · · · L t ∈ ℘m n+3 ∩ · · · ∩ ℘2n+1 ∩ ℘2n+2 Hơn nữa, HH ∈ ℘21 ∩ · · · ∩ ℘2n+1 i−cn−1 M ∈ ℘i−c n+3 ∩ · · · ∩ ℘2n+1 , nên HHL1 · · · Lt M ∈ J với đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + (3 − i) + i = ≤ TZ • Nếu u ≥ 2, có n + − u điểm, giả sử Pi1 , , Pin+2−u ∈ H1 \H Do u ≥ nên n + − u ≤ n Hơn nữa, Pi1 , , Pn+2−u nằm vị trí tổng quát H1 nên có (n − u)-phẳng π, qua Pi2 , , Pn+2−u tránh Pi1 Chọn / π, nên ta ln tìm Pi0 = Pi1 = (1, 0, , 0), ℘i0 = (x1 , , xn ) Do Pi0 ∈ siêu phẳng L chứa π tránh Pi0 Ta có HHLL ∈ J nên HHLLM ∈ J với đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + i ≤ ≤ TZ Chứng minh Mệnh đề 3.2.1 hoàn thành Từ Mệnh đề 3.1.1, Mệnh đề 3.1.2 Mệnh đề 3.2.1 ta có hệ sau Hệ 3.2.2 Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập không suy biến gồm 2n + điểm phân biệt cho khơng có n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng Pn Cho Y = {Pi1 , , Pis } với ≤ s ≤ 2n + tập X Gọi ℘i iđêan nguyên tố tương ứng với Pi , i = 1, , 2n + Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 63 Đặt Tj = max (2q + j − 2) j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , TZ = max Tj j = 1, , n Khi đó, tồn điểm Pi0 ∈ Y cho reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ , ℘2i J= Pi ∈Y \{Pi0 } Kết phần thể qua định lý sau Định lý 3.2.3 Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập không suy biến gồm 2n + điểm phân biệt cho khơng có n+1 điểm X nằm (n−2)-phẳng Pn Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 Đặt TZ = max Tj j = 1, , n , Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Khi đó, reg(Z) ≤ TZ Chứng minh Trước tiên, ta có nhận xét sau: Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập điểm Pn Y = {Pi1 , , Pis } tập X, ≤ s ≤ 2n + Khi reg(R/Js ) ≤ TZ , ℘2i Js = Pi ∈Y 64 Ta chứng minh nhận xét quy nạp theo số điểm Y Nếu s = Gọi ℘1 iđêan nguyên tố xác định P1 Đặt J1 = ℘21 , A = R/J1 Khi reg(R/J1 ) = ≤ TZ Giả sử nhận xét với tập tập Y X có số điểm bé s − Cho Y = {Pi1 , , Pis } Theo Hệ 3.2.2 tồn điểm Pi0 ∈ Y cho reg(R/(Js−1 + ℘2i0 )) ≤ TZ , (1) ℘2i Chú ý rằng, Js−1 iđêan giao tập gồm s − Js−1 = Pi ∈Y \{Pi0 } điểm kép Y Theo giả thiết quy nạp ta có reg(R/Js−1 ) ≤ TZ (2) Theo Bổ đề 1.2.1 ta có reg(R/Js ) = 1, reg(R/Js−1 ), reg(R/(Js−1 + ℘2i0 )) (3) Từ (1), (2) (3) ta có reg(R/Js ) ≤ TZ Ta chứng minh xong nhận xét Bây giờ, ta chứng minh Định lý 3.2.3: Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập gồm 2n + điểm Pn Theo Mệnh đề 3.2.1 tồn điểm Pi0 ∈ X cho reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ (4) ℘2i Chú ý J iđêan giao tập gồm 2n + điểm J = Pi ∈X\{Pi0 } kép X Vì theo nhận xét với s = 2n + ta có reg(R/J) ≤ TZ (5) Theo Bổ đề 1.2.1 ta có reg(R/I) = 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘2i0 )) , (6) 65 I = J ∩ ℘2i0 Từ (4), (5) (6) ta có reg(Z) ≤ TZ Chứng minh Định lý 3.2.3 hoàn thành 3.3 Kết luận chương Trong chương thu kết sau: (1) Chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp tập 2n + điểm kép cho không tồn n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.1.3) (2) Chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp tập 2n + điểm kép không suy biến cho không tồn n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.2.3) 66 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Luận án quan tâm đến số quy tập điểm béo không gian xạ ảnh Pn Chúng tơi tập trung tính số quy chặn dựa giả thuyết N.V Trung thu kết sau Trước tiên, chúng tơi quan tâm đến việc tính số quy tập điểm béo, tốn khó Cho đến kết đạt được cơng bố tạp chí quốc tế tốn Trong luận án chúng tơi tính số quy tập điểm béo trường hợp sau: • Đưa cơng thức tính số quy tập s điểm béo ví trí tổng quát nằm r-phẳng α Pn với s ≤ r + (Định lý 2.1.1) • Đưa cơng thức tính số quy tập s điểm đồng bội cho chúng không nằm (r − 1)-phẳng Pn với s ≤ r + (Định lý 2.2.6) Các kết cơng bố báo [26] Bài tốn tính số quy tập điểm béo tốn mở Thứ hai, chúng tơi nghiên cứu giả thuyết N.V Trung chặn cho số quy tập điểm béo Chúng tơi chứng minh giả thuyết N.V Trung cho trường hợp sau: • Chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp tập gồm 2n + điểm kép cho không tồn n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.1.3) • Chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp tập gồm 2n + điểm kép không suy biến cho không tồn n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.2.3) Các kết công bố báo [20], [21] Gần đây, báo [18], Nagel Trok chứng minh giả thuyết N.V Trung trường hợp tổng quát 67 DANH MỤC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN (1) Thien P.V and Sinh T.N (2017), On the regularity index of s fat points not on a linear (r − 1)-space, s ≤ r + 3, Comm Algebra, 45, 4123-4138 (2) Sinh T.N (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + double points in Pn , Hue University Journal of Science, 26, 19-32 (3) Sinh T.N and Thien P.V (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + non-degenerate double points in Pn , Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp 46, 327-340 CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO VÀ THẢO LUẬN TẠI: Các kết luận án báo cáo đại hội toán học toàn quốc lần thứ IX, tháng 8-2018, Nha Trang-Khánh Hòa 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO Atiyah M.F and Macdonald I.G (1969), Introduction to Commutative Algebra, University of Oxford Benedetti B., Fatabbi G and Lorenzini A (2012), Segre’s bound and the case of n + fat points of Pn , Comm Algebra 40, 395-403 Brodmann M.P and Sharp (1998), Local Cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press Ballico E., Dumitrescu O and Postinghel E (2016), On Segre’s bound for fat points in Pn , J Pure Appl Algebra 220, 2307-2323 Calussi G., Fatabbi G and Lorenzini A (2017), The regularity index of up to 2n − equimultiple fat points of Pn , J Pure Appl Algebra 221, 1423-1437 Catalisano M.V (1991), Linear systems of plane curves through fixed fat points of P2 , J Algebra 142, no 1, 81-100 Catalisano M.V (1991), Fat points on a conic, Comm Algebra 19, 21532168 Catalisano M.V., Trung N.V and Valla G (1993), A sharp bound for the regularity index of fat points in general position, Proc Amer Math Soc 118, 717-724 Davis E.D and Geramita A.V (1984), The Hilbert function of a special class of 1-dimensional Cohen-Macaulay graded algebras, The Curves Seminar at Queen’s, Queen’s Paper in Pure and Appl Math 67, 1-29 10 Fatabbi G (1994), Regularity index of fat points in the projective plane, J Algebra 170, 916-928 11 Fatabbi G and Lorenzini A (2001), On the sharp bound for the regularity index of any set of fat points, J Pure Appl Algebra 161, 91-111 69 12 Fulton W (1969), Algebraic Curves, Math Lect Note Series, Benjamin, New York 13 Harbourne B (2001), On Nagata’s conjecture, Journal of Algebra 236, 692-702 14 Harris J (1992), Algebraic Geomeotry, Springer-Verlag 15 Hartshorne R (1977), Algebraic Geomeotry, Springer-Verlag 16 Kunz E (1985), Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Springer-Verlag 17 Matsumura H (1970), Commutative Algebra, W A Benjamin, Inc., New York 18 Nagel U and Trok B (2018), Segre’s regularity bound for fat point schemes, (accepted 30/3/2018 at Annali della Scuola Normale Superiore) 19 Serge B (1961), Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria algebrica, Atti Convergno Intern di Torino , 15-33 20 Sinh T.N (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + double points in Pn , Hue University Journal of Science, 26, 19-32 21 Sinh T.N and Thien P.V (2017), Segre’s upper bound for the regularity index of 2n + non-degenerate double points in Pn , Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp 46, 327-340 22 Thien P.V (1999), On Serge bound for the regularity index of fat points in P2 , Acta Math Vietnamica 24, 75-81 23 Thien P.V (2000), Serge bound for the regularity index of fat points in P3 , J Pure Appl Algebra 151, 197 - 214 24 Thien P.V (2002), Sharp upper bound for the regularity of zero-schemes of double points in P4 , Comm Algebra 30, 5825-5847 25 Thien P.V (2012), Regularity index of s + fat points not on a linear (s-1)-space, Comm Algebra, 40, 3704-3715 70 26 Thien P.V and Sinh T.N (2017), On the regularity index of s fat points not on a linear (r − 1)-space, s ≤ r + 3, Comm Algebra, 45, 4123-4138 27 Trung N.V (1994), An algebraic approach to the regularity index of fat points in Pn , Kodai Math J 17, 382-389 28 Tu N.C and Hung T.M (2013), On the regularity index of n + almost equimultiple fat points in Pn , Kyushu J Math 67, 203-213 ... cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu - Tính số quy tập điểm béo khơng gian xạ ảnh Pn - Tìm chặn cho số quy tập điểm kép không gian xạ ảnh Pn 3.2 Phạm vi nghiên cứu Trong luận án này, phạm vi nghiên cứu... e(A), dừng Chỉ số quy Z định nghĩa số nguyên bé t cho HA (t) = e(A) ký hiệu reg(Z) Chỉ số quy reg(Z) số quy Castelnuovo-Mumford reg(A) vành tọa độ A Vấn đề tìm chặn cho số quy reg(Z) nhiều người... kết sau: Trong phần thứ luận án (Chương 2), chúng tơi quan tâm đến việc tính số quy tập điểm béo, tốn khó Cho đến kết đạt được cơng bố tạp chí quốc tế tốn Trong luận án chúng tơi tính số quy tập