120 câu TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN VDC (CÓ GIẢI CHI TIẾT )

Tổng hợp 120 câu vận dụng cao tích phân thường có trong các đề thi đại học do tôi sưu tầm lại. Mỗi bài đều có giải chi tiết giúp bạn đọc hiểu rõ hơn phương pháp làm của tác giả và giúp các bạn xác định hướng giải khi gặp phải những bài vdc trong đề thi

GIẢI CHI TIẾT TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO Vấn đề Tính tích phân theo định nghĩa Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa f  x   f 1 x    x Giá trị tích phân  f '  x  dx A B C D Lời giải Ta có  f   x  dx  f  x   f 1  f 0   f 0    2 f 0  f 1   Từ f  x   f 1  x    x      2 f 1  f 0     f 1   Vậy I   f '  x  dx  f 1  f 0    5 Đáp án C Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 0  f 1  Biết e x  f  x   f   x  dx  ae  b Tính Q  a 2018  b 2018   B Q  A Q  2017  Ta có  C Q  Lời giải e x  f  x   f   x  dx   e x f  x  dx  e x f  x  /  ef 1  f 0  D Q  2017 1 f  0 f 11  e 1  a  2018 Suy    Q  a 2018  b 2018  12018  1    b  1 Đáp án B Câu Cho hàm số y  f  x , y  g  x  có đạo hàm liên tục 0;2 thỏa mãn   f '  x  g  x  dx  2, / Tính tích phân I    f  x  g  x  dx f  x  g '  x  dx  A I  1 C I  Lời giải B I  D I  / Ta có I    f  x  g  x  dx    f '  x  g  x   f  x  g '  x  dx 0 2 0   f '  x  g  x  dx   f  x  g '  x  dx    Đáp án C Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục 0; thỏa 1  A f     4 x2 Từ  1 B f    4 x2  1 f t  dt  x sin  x  Tính f     1 C f    4 Lời giải f t  dt  x sin  x  , đạo hàm hai vế ta xf  x   sin  x    x cos  x  Cho x  Đáp án C 1   1   f    ta f    sin  cos     4 2 www.mathvn.com www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ 1  D f     4 Câu Cho hàm số f  x  liên tục a;  với a  thỏa A f 4   x Từ  a B f 4   f t  dt   x , đạo hàm hai vế ta t2 x  a f t  dt   x với x  a Tính f 4 t2 C f 4   Lời giải f x   x2 x D f 4  16 Suy f  x   x x   f    4  Đáp án C Vấn đề Kỹ thuật đổi biến 2017 Câu Cho  f  x  dx  Tính tích phân I  A I  e 2017 1  B I  Đặt t  ln  x  1, suy dt   x   t  Đổi cận:  2017  x  e  Khi I  2017  2017  f  x  dx   Đáp án A Câu Cho hàm số f  x  liên tục  A I   f  x  dx  4, x B I  f  Xét   x  dx  Đặt t    f sin x  cos xdx  Tính tích phân I   f  x  dx 0 C I  Lời giải x  t  x, x D I  C I  Lời giải xd x xdx dt    x 1 x 1 1  t  2017 f t  d t  x f  ln  x  1 dx  x   D I  10 suy tdt  dx f  x   t   x  dx  f t 2dt  f t dt  Đổi cận  Suy        x   t   Xét   x 1 f sin x  cos xdx  Đặt u  sin x , suy du  cos xdx Đổi cận  x 0u0       x   u 1     0 Suy   f sin x  cos xdx   f t  dt 3 0 Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  Đáp án C Câu Cho hàm số f  x  liên tục  A I  Xét   B I    f  tan x  dx  4,  x f x  d x  Tính tích phân I   f  x  dx x 1 C I  Lời giải f tan x  dx  Đặt t  tan x , suy dt  www.mathvn.com dt dx  tan x  1 dx   dx  cos x 1 t 2 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ D I  Đổi cận: x   t        x   t 1     Khi   f tan x  dx   1 0 Từ suy I   f  x  dx   f t  f x  d t  dx  t 1 x 1 f x  x f x  dx   dx    x 1 x 1 Đáp án A Câu Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn I  f 2 x  dx x A I  B I    tan x f cos x  dx  1, e2  e f ln x  x ln x C I  Lời giải dx  Tính tích phân D I   ● Xét A   tan x f cos2 x  dx  Đặt t  cos x dt 2t Suy dt  2 sin x cos xdx  2 cos x tan xdx  2 t.tan xdx   tan xdx    x   t  1  x    t    Đổi cận:  Khi 1 f t  f t  f x  f x  1 1 A   dt   dt   dx   dx  2 t t x x f ln x  e2 ● Xét B   x ln x e Suy du  2 dx  Đặt u  ln x ln x ln x 2u dx du dx  dx  dx    x x ln x x ln x x ln x 2u  x  e  u 1 Đổi cận:   x  e  u   4 f u  f x  f x  1 Khi  B   du   dx   dx  2 u x x ● Xét tích phân cần tính I   Đặt Khi f 2 x  dx x   dx  dv 1  v   Đổi cận:   x   v  x , suy     v  v  x     x    4 f v  f x  f x  f x  dv   dx   dx   dx    I   v x x x 1 1 2 Đáp án D 1    1 x  Câu 10 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  ;2 , thỏa f  x   f    x  I  f x  dx x 1 A I  www.mathvn.com C I  B I  www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/  Tính tích phân x2 D I  Lời giải t    x   t        x   t      t Đặt x  , suy dx   dt Đổi cận:  1 1     f   f   f    t     t   x  Khi I     dt   dt   dx  t  t 1 x 1 1  2 t2      1 2 f   f x   f   x  2  x  f x   x  x2 dx   dx Suy I   dx   dx   2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 2 2   x 1 1 1 dx   1   dx   x        x x2 x 2  2 2   I  2 Đáp án A Câu 11 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa f  x   f x    cos x với x   Tính I  3  3  f x d x A I  6 Đặt t  x   dx  dt Đổi cận:  3 Khi I    f t  dt  3 Suy I  C I  2 Lời giải B I  3   3 3  3   3 3   x  t   2       x   t     2   f t  dt   f t   f t  dt    3   3 D I  3  3  f x  dx  cos t dt  3   3 CASIO cos t dt  12   I  Đáp án D Câu 12 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  , thỏa f  x  x  3  x  với x   Tích phân  2 f  x  dx A B 10 C 32 D 72 Lời giải   x  2  t  1 Đặt x  t  4t  3, suy dx  5t   dt Đổi cận  Khi  2 1 1 1   x   t  f  x  dx   f t  t  35t   dt   2 t  15t   dt  10 Đáp án B Câu 13 Cho hàm số f  x , g  x  liên tục 0;1, thỏa m f  x   n f 1  x   g  x  với m, n số thực khác  f  x  dx   g  x  dx  A m  n  www.mathvn.com Tính m  n B m  n  C m  n  www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ D m  n  Lời giải Từ giả thiết m f  x   n f 1 x   g  x  , lấy tích phân hai vế ta  Suy m  n  f 1  x  dx  (do Xét tích phân  Khi  f 1  x  dx  m f  x   n f 1  x dx  g ( x )dx    f  x  dx   g  x  dx  ) 1 x   t   Đặt t   x , suy dt  dx Đổi cận:  1 0   x   t  f 1  x  dx   f t  dt   f t  dt   f  x  dx   2 Từ 1 2, suy m  n  Đáp án C Câu 14 Cho hàm số f  x  xác định liên tục 0;1, thỏa mãn f '  x   f ' 1 x  với x  0;1 Biết f 0  1, f 1  41 Tính tích phân I   f  x  dx A I  41 B I  21  f  x    f 1 x   C Ta có f '  x   f ' 1  x   C I  41 Lời giải D I  42 f 0 1, f 1 41 Suy f 0    f 1  C      C  42  f  x   f 1 x   42 Suy f  x    f 1 x   42  1 0     f  x   f 1  x  dx   42dx  42 1 0 1 Vì f '  x   f ' 1  x     f  x  dx   f 1  x  dx Từ 1 2, suy   2 f  x  dx   f 1  x  dx  21 Đáp án B Câu 15 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f  x   x với x   Tính I   f  x  dx A I  B I C I  D Lời giải Đặt u  f  x  , ta thu u3  u  x Suy 3u  1 du  dx  x   u  Từ u  u  x , ta đổi cận  Khi I   u 3u  1 du   x   u  Đáp án D Cách khác Nếu toán cho f  x  có đạo hàm liên tục ta làm sau:   f 0   f 0    f 0     *      f 2   f 2    f 2   f  x   f  x   x , ta có f '  x  f  x   f '  x  f  x   x f '  x  Từ giả thiết f  x   f  x   x    Cũng từ giả thiết Lấy tích phân hai vế   f '  x  f  x   f '  x  f  x  dx  x f '  x  dx      f  x   f  x   2 2  *      xf  x   f  x  dx        f  x  dx    4   0 Vấn đề Kỹ thuật tích phân phần www.mathvn.com www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ I A I   Câu 16 Cho hàm số f  x  thỏa mãn x f   x .e f  x dx  f 3  ln Tính I   e f  x  dx 0 B I  11  u  x Đặt  dv  f   x .e  f x   du  dx   Khi  dx v  e f x  3 0 C I   ln Lời giải  x f   x .e f x  dx  x e f x  D I   ln 3   e f  x  dx Suy  3.e f 3   e f x dx    e f  x dx    Đáp án A   Câu 17 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;  , thỏa mãn       f '  x  cos xdx  10 f 0  Tích phân f  x  sin xdx B I  7 A I  13  D I  13 u  cos x du   sin xdx  f '  x  cos xdx  10 , đặt     dv  f '  x  cos xdx v  f  x    Xét C I  Lời giải    Khi 10   f '  x  cos xdx  cos xf  x    f  x  sin xdx 2 0   0  10   f 0   f  x  sin xdx    f  x  sin xdx  10  f 0  13 Đáp án D Câu 18 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn x  f  x  1 dx  f 1  Tích phân f '  x  dx B  A 1 C D Lời giải Ta có  t  x 1 f  x 1 dx     f  t  dt  1 Xét  0 hay  f  x  dx  1 u  x du  dx   1 tf ' t d t  xf '  x  dx Đặt          v  f  x  2  dv  f '  x  dx   1  1 1 tx2 x f '  x  dx    tf ' t  dt   xf  x   f  x  dx     3  2 2 0   t x x f '  x  dx   Khi  Đáp án C Câu 19 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục 0;2 Biết f 0  f  x  f 2  x   e x A I   14 4 x với x  0;2 Tính tích phân I   f x  B I   Từ giả thiết f  x  f 2  x   e x www.mathvn.com  x  3x  f ' x  4 x 32 x 2   f 2   C I   16 Lời giải www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ dx D I   16 Ta có I    x  3x  f '  x  f x    u  x  3x du  3 x  x  dx      f ' x        dv  dx v  ln f  x      f x    dx Đặt f 21 2 Khi I   x  x  ln f  x    3 x  x  ln f  x  dx   3  x  x  ln f  x  dx  3J 0 0 Ta có J    x  x  ln f  x  dx  x  t  2  t  2  2  t  ln f 2  t  d 2  t   2   2  x   2  x  ln f 2  x  d 2  x     x  x  ln f 2  x  dx   2 2 0 Suy J    x  x  ln f  x  dx    x  x  ln f 2  x  dx    x  x  ln f  x  f 2  x  dx    x  x  ln e x 4 x Vậy dx    x  x 2 x  x  dx  32 16  J  15 15 16 I  3 J   Đáp án D       cot x Câu 20 Cho biểu thức S  ln 1   2  sin x  e dx , với số thực m  Chọn khẳng định   n  m2  khẳng định sau A S  B S        C S  cot    ln sin    m    m    Ta có  Xét    2  sin x  e cot x dx  m2    Lời giải e cot x dx  m   sin xe cot x dx  m2     sin x e cot x  m2 2    1 sin xe cot x dx  m2 e cot x d sin x   sin x e cot x m          ln     m    m  D S  tan    m2      sin x   sin  cot x dx e x  m2 e cot x dx 2 m2 Từ 1 2, suy I  sin x.e cot x   m2  1  sin  cot  e m 4m   cot           S  ln sin e m   cot   ln sin  2     4  m    m   m   Đáp án C Vấn đề Tính a, b, c tích phân Câu 21 Biết  ln 9  x  dx  a ln  b ln  c với a, b, c   Tính P  a  b  c A P  13 B P  18  2 x C P  26 Lời giải  u  ln 9  x  du  dx Đặt   9 x2 dv  dx   www.mathvn.com  v  x  www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ D P  34 Khi I   x  3 ln 9  x    x  x  3 9 x2   dx  ln  ln   1   dx   x   a5     ln 12 ln   x  ln  x   ln  ln    b   6  P  13     c  2 Đáp án A Nhận xét Ở chọn v  x  thay x để rút gọn cho  x , giảm thiểu biến đổi   x  x  ex x 1 e  dx   ln  p     e.2 x m e ln n  e     Câu 22 Biết P  m  n  p A P  Tính A   2x dx   e.2 x Khi A  Đáp án C Câu 23 Biết    2 e A  A  e  dt e ln    2e e  ln  ln 1     e ln  e e ln e    m   e   ln 1     n   P  m  n  p   e ln  e     p  x  2 x  cos x  cos x   sin x x  cos x A  2 e dt   ln t e.ln  e t e.ln Vậy I   D P  Đặt t    e.2 x   dt  e ln 2.2 x dx   x dx   x   t    e   x   t    e Đổi cận: C P  Lời giải B P  x   x  x  ex x  dx  x  x  d x  x  x     e.2   e.2   Ta có I   với m, n, p số nguyên dương Tính tổng P dx  a  b  ln B P  c với a, b, c số hữu tỉ Tính P  ac  b  C P  D P  Lời giải  Ta có I    x  x cos x  cos2 x   1 sin x  x  cos x    x  cos x  x  cos x  dx    dx  d  x  cos x   sin x dx    x  cos x  dx   x  cos x x  cos x 0 1    x  sin x  ln x  cos x          ln     ln 8     a       b    P  ac  b     c 2      Đáp án C ln Câu 24 Biết  ln e 2x A P   www.mathvn.com b dx   ln  a a  b với a, b    Tính P  a  b a 1  e x B P  C P  Lời giải www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ D P  Ta có I  ln  e ln ln   e x dx  e x ln  1  e ln x ln  ln   e x   e x dx  ln  e x  1dx  ln ln  e x dx ln  2  ln ln  2x dx  e x  1dx Đặt t  e x   t  e x  , suy tdt  e x dx  dx  ln  x  ln  t  Đổi cận:  td t td t  e2x t 1  x  ln  t   ln Khi e x  1dx    ln 3  3   t dt 1   dt  t  ln t 1    ln dt    t 1  t   t 1 2 a    P  a  b  b  Vậy I   ln  2     Đáp án D Câu 25 Biết dx   x  1 x  x x 1 A P  12 với a, b, c   Tính P  a  b  c C P  24 Lời giải B P  18 Ta có I    a  b c x  x  1  x 1  x dx x 1  x   x  x  1   x 1  x dx  1   dx    2du   x  x  Đặt u  x   x , suy du    x   u   Đổi cận  Khi I   x   u    3  1 du  u2 u 3 2 1 D P  46 x  x 1 x  x  1 dx  1   2      2  1 a  32    3 2 1    2    32  12     P  46 b  12      2 1     c  Đáp án D  Câu 26 Biết  A P  10 sin x cos x   sin x  dx  a b c với a, b, c   Tính P  a  b  c B P  12  Ta có I   C P  14 Lời giải  sin x cos x   sin x  sin x cos x dx   D P  36  cos x   cos x x   t     x  t0    dx  Đặt t  cos x   dt  2 sin xdx Đổi cận:  Khi I     t  t  3t 2 3  3  t   3  t     Đáp án D Câu 27 Biết  1 dt    t 3 t  3t dt     t   t dt a  16   16 12     b  12  P  36     c  x ex  dx  a  e b  e c với a, b, c   Tính P  a  b  c 2x 4x xe A P  5 www.mathvn.com B P  4 C P  3 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ D P  Lời giải x ex  dx   4x x e2x  Ta có  e  x  2e x  x dx   1 14 1 dx     x  dx   x  x       e 1  e 4   x e    e e e  x 1 ex  x 2e x x e x  x  4e x x dx   xe x a        P  a  b  c  4 b  1     c     Đáp án B 2 x  Câu 28 Biết 2 x A P  1 dx  a  b  c với a, b, c   Tính P  a  b  c B P          x   u   Khi Đổi cận  I  4    u   x   4  C P  Lời giải D P  Đặt x  cos u với u   0;  Suy x  cos2 u   dx  4 sin 2udu   16      4 u cos cos udu   1  cos u .cos udu   cos udu   1  cos 2u  du     sin u    4 x  2.sin 2u    Đáp án C e Câu 29 Biết I   A P  8 Ta có  u cos  cos u sin u.cos udu sin 2udu   u  cos u  sin ln x  ln x b dx   a e  2 ln x  x  1  ln x  x  1 Đặt t  với a, b   Tính P  b  a B P  6 ln x  ln x e  a 1           P  b  4    c    e dx   C P  Lời giải D P  10 ln x  ln x dx ln x  x   ln x  x  12  ln x   ln x  ln x   dt   dx   dx  ln x  x  1 ln x  x  ln x  x  1 /   x   t  e 2  Đổi cận:  Khi I    tdt   t  2  x  e  t  e 2  e 2 2   e  2 Đáp án B Câu 30 Biết  x cos x   1 x  x  dx  a  A P  37  Ta có I     2 3  b c với a, b, c số nguyên Tính P  a  b  c B P  35 x cos x 1 x  x www.mathvn.com  dx   x cos x    C P  35 Lời giải    x  x dx   x    D P  41   x  x cos xdx 10 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ f x  Câu 92 Cho hàm số   x  f '  x  dx  A ln  2   ln    có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f x  Tích phân  dx 1 x 1 ln   B f 0  0, f 1   C   ln  D     1 ln  Lời giải 1  Tương tự trước, ta có f '  x  dx  f  x   f 1  f 0  0  x  f '  x  Do ta có hàm dấu tích phân     x f ' x    1 x  Ta tìm      f x         ln  ln      f 'x    1 x dx   f x  1 x2   ln   dx    ln   ln x   x 1 x2 ln x   x 2     ln  ln  Mà f 0  0, f 1   C    f x   Vậy       f '  x  nên liên kết với bình phương 1 x  ln x   x  C ln x   x  ln   dx     1 ln         ln x   x d  ln x   x     ln  Đáp án C Cách Theo Holder 1 1  12    f '  x  dx     x f '  x  dx    x  f '  x  dx    1 x 0   ln     1   f '  x  1 dx  112 f  x  dx  16 Tính tích phân I   f  x  dx 1 84 B I  A I  1 x ln   Câu 93 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1;1, thỏa mãn f 1  0, x dx 35 C I  35 D I  168 Lời giải Như trước, ta chuyển   du  f '  x  dx   u  f  x      x3  dv  x dx  v     Khi  1 x f  x  dx  x 1 f  x  dx  16 thông tin f '  x  cách tích phân phần Đặt 1 x3 1 1 f  x    x f '  x  dx  f 1  f 1  x f '  x  dx 3 1 3 1 1 giả thiết khơng cho Do ta điều chỉnh lại sau www.mathvn.com 35 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ Tới ta bị vướng f 1 Khi x 1 x3  f  x  dx    k  f  3   du  f '  x  dx   u  f  x    với k số   x3   d v  x d x v  k       1 x3   x      k  f '  x  dx 1 3  1  x3  1       k  f 1    k  f 1     k  f '  x  dx        3  1  f 1 Ta chọn k cho 1 k   k  3 Khi 1 16   x f  x  dx     x 1 f '  x  dx     x  1 f '  x  dx  16 3 1 1 1 2 Hàm dấu tích phân  f '  x  ,  x 1 f '  x  nên ta liên kết với  f '  x     x 1 Ta tìm     f '  x   7  x  1  f  x   7   x 1 dx   x  x  C f 1   C  35 35 84   f  x    x  x  Vậy I   f  x  dx  4 1 Cách Theo Holder 1 1  2 16 16     x  1 f '  x  dx     x  1 dx   f '  x  dx  112  256  1  1 1 2 Câu 94 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 1  0, f x    x  1 A dx  ln   ln Tích phân  B f  x  dx Như trước, ta chuyển f x  dx   ln  ln 1   f '  x  C  ln D  ln Lời giải   x  1 dx  ln  thông tin f '  x  cách tích phân   u  f x    du  f '  x  dx      phần Đặt   dv  dx  v       x  1 x 1     1 f x  f x  f 'x  f 1 f 0  f '  x  Khi  d x    d x     dx Tới ta bị vướng f 0 giả x  0 x  x 1  x  1 thiết không cho Do ta điều chỉnh lại sau   du  f '  x  dx u  f  x   Khi  f 1     với k số    d v  d x v    k    x  1 x 1    1 f x      1 dx    k  f  x      k  f '  x  dx     x 1   x 1   x  1    1  k  f 0      k  f '  x  dx  x   Ta chọn k cho 1  k   k  1 1 f x  x x Khi ln    d x   f ' x d x   f '  x  dx   ln     x 1 x 1  x  1 0 www.mathvn.com 36 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ Hàm dấu tích phân  f '  x  , Ta tìm   1   f 'x   x f 'x  x 1   nên ta liên kết với  f '  x    x x  f x    dx  x  ln x   C x 1 x 1    C  ln 1   f  x   x  ln  x  1  ln  f 0  Vậy f  x  dx  x   x  1  ln Đáp án B Cách Theo Holder 2 1 1 x  3     x  dx  f '  x  dx    ln 2  ln 2   ln 2   f ' x d x       x 1         x  1    0 hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1;2, đồng biến 1;2, thỏa mãn f 1  Câu 95 Cho   f   x  2 dx   A f  x .f '  x  dx  1 Tích phân  f  x  dx B , C D 2 Lời giải Hàm dấu tích phân  f   x  , f  x  f   x  nên ta liên kết với bình phương  f   x    f  x  Nhưng 2 khai triển vướng   f  x  Ta có   f  x .f '  x  dx  f x  dx nên hướng không khả thi  f 2  f 1 f 2     f 2  (do đồng biến 1;2  nên 2 f 2  f 1  ) Từ f 1  f 2  ta nghĩ đến  f '  x  dx  f  x   f 2  f 1    2 Hàm dấu tích phân  f   x  , f   x  nên ta liên kết với  f   x     f 1 Ta tìm      f '  x     f  x   x  C   C   2 Vậy f  x   x     f  x  dx  Đáp án A  Câu 96 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 1  ,   f   x  Giá trị f   f  x  dx  A  B C  1 2  D   f  x  dx  1 2  Lời giải Hàm dấu tích phân  f   x  f  x  f  x  nên ta liên kết với bình phương 2  f   x  f  x    f  x  Nhưng khai triển vướng   Tích phân phần  0 f  x  f '  x  dx f  x  dx  kết hợp với f 1  0, ta Hàm dấu tích phân  f  x  f 'x   x      f   x  f  x    1  xf  x  f '  x  dx   xf  x  f '  x  nên ta liên kết với bình phương Ta tìm     f  x  f '  x    x   f  x  f '  x  dx   www.mathvn.com nên hướng không khả thi f x  3 x d x    x C  2 37 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ f 1  C  3   f  x   1  x   f 2     32 Đáp án A Câu 97 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;2 , thỏa mãn f 2  ,   f '  x  dx  32 Giá trị tích phân   2  B  Hàm dấu tích phân tìm khơng Tích phân phần   f '  x    f  x  dx  15 C  D Lời giải x f  x  Lời khun đừng có cố liên kết với bình phương nào, có x f  x  dx  f  x  dx A  x kết hợp với f 2  , ta 15 x f   x  dx  32 Áp dụng Holder lần ta 2  2  2   32      x f   x  dx    x xf   x  dx    x dx            0 0 0  4 2 2       x dx    x dx   f '  x  dx       2   x  f ' x  dx        0  2 2  1048576  32     x dx     f '  x  dx        625  Dấu ''  '' xảy ra, tức xf '  x   kx  f '  x   kx thay vào   f '  x  dx  32 tìm k  x2 f  21 xdx   C   C  1   f 'x   x  f x    x2 1    f  x  dx   Vậy f  x   Đáp án B Cách Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có  f '  x   x  x  x  x f '  x    Do   f '  x  2 0 dx  3 x dx   x f   x  dx Mà giá trị hai vế nhau, có nghĩa dấu ''  '' xảy nên f '  x   x (Làm tiếp trên) Vấn đề 12 Kỹ thuật đánh giá AM-GM Câu 98 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f '  x  liên tục 0;1, thỏa mãn f 1  ef 0  dx   f '  x  dx  f  x  0  A f 1  Ta có  2e e 1 Mệnh đề sau ? B f 1  1 dx   f '  x  dx   f  x  0   ln f  x  e   e 1 Lời giải 2e e 1  AMGM f 'x  2      f  x    f '  x   dx   f  x  dx    ln f 1  ln f 0  ln www.mathvn.com C f 1  f 1  ln e  f 0  38 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ D f 1  e   e 1 Mà dx    f '  x  dx  nên dấu ''  '' xảy ra, tức f '  x    f x  f 'x   f x  f x   f x     f  x  f '  x  dx   xdx   x  C   f  x   x  2C Theo giả thiết f 1  ef 0 nên ta có  2C  e 2C   2C  e 2C  C    f x   2x  e 1 2 2e  f 1    e 1 e 1 e 1 Đáp án C Câu 99 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương 0;1, có đạo hàm dương liên tục 0;1, thỏa mãn    f f 0  1 0  x    f '  x   dx  3 f '  x  f  x  dx Tính I   f  x  dx  A I   e 1 B I  e 1 C I  e 1 D I  e 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta có 3 f x  f x  3 f x  f x  f  x    f '  x    f '  x     3  f '  x   f '  x  f  x     f Suy Mà    f 2  x    f '  x   dx  3 f '  x  f  x  dx  3  x    f '  x   dx  3 f '  x  f  x  dx nên dấu ''  '' xảy ra, tức   f '  x   f x   f x   f 'x   f x  2 x C f ' x  1     dx   dx  ln f  x   x  C   f x   e f x  f x  2 f 'x  Theo giả thiết f 0   C   f  x   e    f  x  dx   e  1 1 x Đáp án A Câu 100 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương 0;1, có đạo hàm dương liên tục 0;1, thỏa mãn  xf '  x  1 dx  f 0  1, f 1  e Tính giá trị f     f x  1 1 A f    2 Hàm dấu tích phân f 'x  f x  1 B f    2 xf '  x  f x   x f ' x  f x  1 C f    e 2 Lời giải D f    e 2 , x   0;1 Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm , muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau: f ' x  f x   mx  m Do ta cần tìm tham số m  cho  hay ln f  x  www.mathvn.com m x2 xf '  x  f x  với m  x  0;1  f 'x     dx  m  mx   f x      m  ln f 1  ln f 0   xf '  x  f x  dx m m  m     m 2 39 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ m  m  m  f 'x  Với m  đẳng thức xảy nên  4x f x  Để dấu ''  '' xảy ta cần có   f 'x    f x  dx   xdx  ln f  x   x  C  f  x   e x C   f 0  1  C    f  x   e x   f    e Theo giả thiết       f 1  e Đáp án C Cách Theo Holder 1  12     0 2   dx      f  x   0 xf '  x  Vậy đẳng thức xảy nên ta có Suy f ' x  f x  f 'x  f x  1 2 f 'x  f 1 dx    xdx  dx  ln  f  x   f x f   0  0 f 'x  x  kx , thay vào xf '  x   f x  dx  ta k   x (làm tiếp trên) Câu 101 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn 1 Tính giá trị f   2 1 1 A f    2   f  x  f '  x  dx  1 B f    2 C f    e D 2 Lời giải Nhận thấy ngược dấu bất đẳng thức với Hàm dấu tích phân  f  x  f '  x  Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm ta phải đánh giá theo AM  GM sau:  f  x  f '  x   m  m f  x  f '  x  với m    Do ta cần tìm tham số m  cho    f  x  f '  x    m dx  m  f  x  f '  x  dx hay  m  m f x  Để dấu ''  '' xảy ta cần có  m  m  m  1   m  m  f x  f 'x   Với m  đẳng thức xảy nên  f  x  f '  x     1 0  f  x  f '  x   1  f  x  f '  x   1    f  x  f '  x  dx   dx   f  x  f '  x      f  x  f '  x  dx   dx  f x   x   1 (vô lý) f x   x  C   f  x   x  2C   f 0   1 Theo giả thiết   C    f  x   x    f          f 1  Đáp án A f x  1 Cách Ta có  f  x  f '  x  dx    f 1  f 0  2 Theo Holder www.mathvn.com 40 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ f 0  1, f 1  1 f    e   f  x  f '  x  , muốn 1 1     f  x  f '  x  dx    12 dx   f  x  f '  x  dx  1.1    0 2 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '  x  f  x   k, thay vào f '  x  f  x   (làm tiếp trên)  f  x  f '  x  dx  ta k  Suy Câu 102 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f '  x  liên tục 1;2, thỏa mãn   f '  x    dx  24 f 1  1, f 2  16 Tính giá trị f xf  x  A f    B f      C f    D f    Lời giải  f '  x       f '  x  Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f '  x  , Hàm dấu tích phân  xf  x  x f x  f x  muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau:  f '  x     mx  m f '  x  với m  x  1;2  xf  x  f x  Do ta cần tìm tham số m  cho 2   f '  x     f 'x    mx  dx  m     xf x   f  x  dx    hay 24  2m 4 m f x   24  Để dấu ''  '' xảy ta cần có 24  2m  m  f 2    2m f 1   24   12 m  m  16  2m  12 m  m  16  f '  x    16 x  f '  x   x Với m  16 đẳng thức xảy nên  xf  x  f x  f 'x    dx   xdx  f  x   x  C   f x   x  C  f x    f 1  Theo giả thiết   C    f  x   x   f     f  16     Đáp án D 2 f 'x  f 'x  dx  2. dx  f  x    f 2  f 1  Cách Ta có    f x  f x  1 Theo Holder 2 f' x         dx         f  x    2 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f 'x  f x   x f 'x  xf  x  2  x dx    xdx  xf  x   1 f 'x  k x  f 'x  f x   kx , 2  f '  x    dx  x 24  36 xf  x  2 thay vào  f ' x  f x  dx  ta k  Suy (làm tiếp trên) Vấn đề 13 Tìm GTLN-GTNN tích phân Câu 103 Cho hàm số f  x  liên tục , có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x f   x   e x  x f  2  2e, f 0  e Mệnh đề sau đúng? A f 2  4e 1 B f 2  2e  e C f 2  e  2e D f 2  12 www.mathvn.com 41 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ Lời giải Từ giả thiết x f   x   e  x ta có x u  x  Đặt     dv  f  x  du  dx       v  f  x   x f   x  dx    Khi 1  x f   x    f   x  dx  e x   e x  x  d x 1 x    2  x 2  x f   x   f  x   e x    0   2 f  2   f  0   f 2  f 0   e  1  f 2  4e 1 (do f  2  2e, f 0  e ) Chọn A Câu 104 Cho hàm số f  x  dương liên tục 1;3, thỏa max f  x   2, f  x   1;3 1;3 3 1 S   f  x  dx  A biểu thức dx đạt giá trị lớn nhất, tính I   f  x  dx f x  B C D Lời giải Từ giả thiết ta có Suy    f x   ,   suy   f  x   f  x  dx   dx   3 1 f x   f x  f  x  dx     25 dx   f  x  dx 5   f  x  dx    f x   1 Khi S   f  x  dx  1 dx    dx    f  x  d x f x  f x  1  5 25 25 (dạng t 5  t   t  5t  t     )  Dấu "  " xảy  2 4 f  x  dx  Đáp án D Câu 105 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục , thỏa mãn f  x   f   x   với x   f 0  Giá trị lớn f 1 A e 1 B e 1 e C e e 1 D e Lời giải Từ giả thiết f  x   f   x   , nhân thêm hai vế cho e x để thu đạo hàm e x f  x   e x f   x   e x , x     e x f  x    e x , x   Suy  e x f  x   dx   e x dx   e x f  x   f 1  f 0 e 1 e  e   ef 1 1 f 0   e 1 Đáp án B Câu 106 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm f   x  liên tục 0;1, thỏa mãn f 1  2018 f 0 Giá trị nhỏ biểu thức M   A ln 2018 1 dx    f   x  dx    f  x  C m  e D m  2018e B ln 2018 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta www.mathvn.com 42 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ 1 f x   f   x  dx  d x  dx  ln f  x      f x   f  x  0   1 M   ln f 1  ln 2018 f 0  Đáp án B  1  x  Câu 107 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1   f  x  thức dx  f 0  f   x  dx   Giá trị nhỏ nhật biểu A B 3 C  D  Lời giải 1 1 Tích phân phần  1  x  f   x  dx   , ta f 0    1  x  f  x  dx 3 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 2  1  x  f  x  dx   1  x  dx    f  x  dx   f  x  Từ suy 2 1  x     f  x  dx  f 0    3   f  x  0 dx   1  x  f  x  dx   1  x  dx Vậy 2 dx  f     Đáp án D Câu 108 Cho hàm số f ( x ) liên tục [0; 1] thỏa mãn  xf  x  dx  thuộc khoảng khoảng sau đây?  5 A ;    3  B  ; e 1 4 2  Với số thực    ta có   [0; 1]  3 C  ;   e x f  x  dx  max f  x   1 Tích phân e x f  x  dx D e 1;   2 Lời giải  e x f  x  dx    xf  x  dx f  x e x   x  dx   f  x  e x   x dx   e x   x dx Suy  0   e x f  x  dx   e x   x dx   e x   x dx   e 1    e   0;1  0;1   2     0 Đáp án C x Câu 109 Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục 0;1 Đặt g  x     f t dt Biết g  x   f  x  với x  0;1 , tích phân A  B dx g x  có giá trị lớn C D Lời giải x Từ giả thiết g  x      g 0  g  x   0, x  0;1 f t  dt , ta có    g '  x   f  x   Theo giả thiết g  x   f  x    g x   g 'x   www.mathvn.com g ' x  g x  1  g 'x  g2 x   43 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ g 'x  t Suy  Do  g x  t dx   1dx , t  0;1  t t x  1  t   1 t g t  g 0  g t  1 dx   1  x  dx  g x  Đáp án B Câu 110 Cho hàm số f  x  nhận giá x f  x     f  t  dt  g  x  A g x  trị không âm liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn với x  0;1 , tích phân B  g  x dx C có giá trị lớn D Lời giải   g 0   Từ giả thiết g  x    3 f t  dt , ta có  g  x   0, x  0;1    g 'x   f x   g '  x    g 'x    g x    Theo giả thiết g  x   f  x   g x  x g 'x  t t dx   Suy  g x  t 3  g t   g 0  t  g t   t  2 3  g  x dx    x  1 dx    Do t 3 dx , t  0;1  g x   x 2  Đáp án B x Câu 111 Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn f  x   2018   f t  dt  với x  0;1 Biết giá trị lớn tích phân A B 1009 f  x  dx có dạng ae  b với a, b   Tính a  b C 2018 Lời giải D 2020   g 0  2018 Đặt g  x   2018   f t  dt , ta có  g  x   0, x  0;1    g 'x   f x  g 'x  g 'x   g x     Theo giả thiết g  x   f  x   g x  t t t t g ' x  Suy  dx   2dx , t   0;1  ln g  x   x g x  0 0  ln g t   ln g 0  2t  ln g t   2t  ln 2018  g t   2018.e t x Do  1 f  x  dx   g  x  dx  2018  e x dx  1009e x 0  1009 e  1009 Đáp án A x2 Câu 112 Cho hàm số f  x  nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1 Đặt g  x     f t  dt Biết g  x   xf  x  với x  0;1 , tích phân  g  x dx có giá trị lớn B e  A C Lời giải   g 0   Từ giả thiết g  x     f t  dt , ta có  g  x   0, x  0;1  g '  x   xf  x     x2 Theo giả thiết g  x   xf  x    g x   g 'x   www.mathvn.com g 'x  g x   44 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ D e  t Suy  g 'x  g x  t t t 0 dx   1dx , t  0;1  ln g  x   x  ln g t  ln g 0  t  ln g t   t  g t   e t  Do g  x  dx   e x dx  e 1 Đáp án B Nhận xét Gọi F t  nguyên hàm hàm số f t  đoạn 0; x  Khi g  x    F t  x2 /   F  x   F 0   g '  x    F  x    x  F /  x   xf  x    / Câu 113 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa f '  x   f  x   0, x  0;1 Giá trị lớn biểu thức f 0. dx f x  A B e 1 e C e 1 e D e 1 Lời giải f 'x  Từ giả thiết f '  x   f  x   0, x  0;1 ta có  1, x  0;1 f x  t t t t f 'x  Suy  dx   1dx , t   0;1  ln f  x   x  ln f t   ln f 0   t  f t   f 0  e t f x  0 0 Do f 0. Đáp án B 1 e 1 dx   x dx  f x  e e Câu 114 Cho hàm số f  x  liên tục 0;  , thỏa mãn phân   A    f  x  dx   cos xf  x  dx  Giá trị nhỏ tích f  x  dx  B  C  2 D Lời giải Theo Holder       1    cos xf  x  dx    cos xdx  f  x  dx   f  x  dx   0 2 Suy   f  x  dx   (Đến bạn đọc chọn A) Dấu ''  '' xảy f  x   k cos x thay vào   f  x  dx  ta   0   f  x  dx  k  cos xdx  k.sin x Điều hồn tồn vơ lý Lời giải Ta có   Theo Holder  f  x  dx         a  a cos xf  x  dx      cos xf  x  dx        b   bf  x  dx      a, b   với  2     2 a  b     a cos x  b  f  x  dx    a cos x  b  dx  f  x  dx 0   www.mathvn.com 45 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/   a  b  Lại có   a cos x  b  Từ suy   Do   f  x  dx  0 a  b  f  x  dx  dx   a  2b  với a, b   a  b   a  b    a  b 2    max   2   a  2b         Đáp án B Nhận xét:  Ta nhân thêm a, b vào giả thiết gọi phương pháp biến thiên số a  b   Cách tìm giá trị lớn P  ta làm sau: a  2b  P  (chính đáp án sai mà làm trên) Nếu b    a     a  t  a b a  b   b  t  2t  b b   P    2 a  2b t2   a      b  2 Nếu dò tìm Kết thu GTLN P Tới ta khảo sát hàm số dùng MODE a b t      a  2b  a  2b Vậy dấu ''  '' để toán xảy  thay ngược lại điều kiện, ta    f  x   b 2 cos x  1   f x    b 2 cos x  1 dx   b    Lúc cos x    cos x  1 f  x  dx     dx         Cách khác Đưa bình phương Hàm dấu tích phân f  x , f  x , cos xf  x  nên ta liến kết với  f  x    cos x    Với số thực ,  ta có      0  f  x    cos x     f  x  dx   cos x    f  x  dx   cos x   2 dx         f  x  dx            2    2 1 3                     2      Ta cần tìm ,  cho         đạt giá trị nhỏ Ta có  Vậy với    ;    ta có    Suy     1  f  x   cos x     f  x  dx        cos x  1 3 f  x  dx    f  x   cos x     Dấu ''  '' xảy f  x             Câu 115 Cho hàm số f  x  liên tục 0;  , thỏa mãn tích phân   A    sin xf  x  dx   cos xf  x  dx  Giá trị nhỏ f  x  dx  www.mathvn.com B  C  46 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ D 2 Lời giải Liên kết với bình phương  f  x    sin x   cos x     f  x    sin x   cos x  Ta có dx    0    f  x  dx    sin x   cos x  f  x  dx    sin x   cos x  dx   2  f  x  dx            2 Phân tích      Đáp án C    2  2           2      2  Câu 116 Cho hàm số f  x  liên tục 0;1, thỏa mãn tích phân   f  x  f  x  dx   e x f  x  dx  Gọi m giá trị nhỏ dx Mệnh đề sau đúng? A  m  B  m  Từ giả thiết, ta có Theo Holder  a   ae x f  x  dx    b  bf  x  dx    C  m  Lời giải     D  m  a  b     ae x  b  f  x  dx    ae x  b  dx  f  x  dx Lại có  ae Suy   Do x  b  dx   a e x  2abe x  b  dx  2 0 e 1a  e 1ab  b a  b  với a, b   a  b  2 e 1 a  e 1 ab  b       a  b     1    3,1316 f  x  dx  max      e e 1  e 1 a  e 1 ab  b      2 f  x  dx  Đáp án D Câu 117 Cho hàm số f  x  liên tục 0;1 thỏa mãn phân  A f  x  dx Từ giả thiết, ta có www.mathvn.com  f  x  dx   x f  x  dx  Giá trị nhỏ tích Theo Holder B 1  a  a x f  x  dx      b  bf  x  dx    C Lời giải 47 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ D 1 1  a  b     a x  b f  x  dx    a x  b dx. f  x  dx   0  Lại có   a 1  Suy  Do  x  b dx  a  b  f  x  dx    a ab   b2 với a, b   a  b  a ab   b2         a  b       f  x  dx  max      a ab 2   b     2    Đáp án D Cách Liên kết với bình phương    f  x    Ta có x    dx    f x    x              f  x  dx    x   f  x  dx    x   dx 0  2     f  x  dx           Phân tích        2 2          1         18 3 Câu 118 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 1;2, thỏa phân  f  x  dx x f  x  dx  31 Giá trị nhỏ tích A 961 B 3875 C 148955 Lời giải Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta D 923521 2  2      2           2  31    x f  x  dx      x xf  x  dx      x dx    x f  x  dx     x dx   f  x  dx              1  Suy f  x  dx  314  3875 2   x dx     1  Dấu ''  '' xảy f  x   kx nên k  x dx  31  k    f  x   5x Đáp án B Câu 119 Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm đến cấp 0;2 thỏa f 0 f 1  f 2  Giá trị nhỏ tích phân   f ''  x  dx A 3 B C D Lời giải 1 0   2 Ta có   f ''  x  dx  3 x dx.  f ''  x  dx    x f ''  x  dx    www.mathvn.com Holder   48 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ udv x f ''x dx  f ' 1  f 0  f 1 ;    f ''  x   u  x 2 dv  f '' x dx 1 2   3   x  2 f ''  x  dx    Holder  f ' 1  f 2  f 1  Suy 2 dx  3  x   dx   f ''  x  dx   f ''  x  2 dx   f ' 1  f 0  f 1   f ' 1  f 2  f 1  f 0  f 1  f 2      2 Đáp án B a  b  Nhận xét: Bài giải sử dụng bất đẳng thức bước cuối a  b  2 Câu 120 Cho hàm số f  x  có đạo hàm 1;3 f 1  0, max f  x   10 Giá trị nhỏ tích phân 1;3   f '  x  dx A B C 10 Lời giải Vì max f  x   10  x  1;3 cho f  x   10 1;3    x  1;3 f 1 D 20 cho f  x   10 Theo Holder x0 x0 x0  x0  2     f '  x  dx    dx   f '  x  dx   x 1.  f '  x  dx   1 Mà 2  x0 x0         f '  x  dx    f  x     f  x   f 1  10     Từ suy x0   f '  x  dx  10 x 1 x0 2 10 10     f '  x  dx    f '  x  dx   x  1 1 Đáp án B www.mathvn.com 49 www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/ ... xdx     Tích phân phần hai lần ta I    2 3  36 3 a     b  36   P  a  b  c  35  c  3 Đáp án C Vấn đề Tính tích phân hàm phân nhánh  x  x  Câu 31 Cho hàm... Tính tích phân dựa vào tính chất 2 Câu 36 Cho hàm số f  x  hàm số lẻ, liên tục  4;4  Biết  f  x  dx   f  x  dx  Tính tích phân I   f  x  dx A I  10 I  6 B C I  Lời giải. .. x  Câu 76 Cho hàm số tích phân   f x  1 0 liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn  f  x dx   xf  x dx    f  x  dx  Giá trị dx A B C 10 D 80 Lời giải Ở hàm xuất dấu tích phân 