Câu [2D4-1.6-4] ( Hội trường chuyên 2019 lần 3) Có số phức thỏa mãn z + i + z − 3i = z + 4i + z − 6i A 12 và z = a + bi ( a, b∈ Z) z ≤ 10 B C D 10 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Huyền Trang ; Fb: Nguyen Trang Chọn A Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức mô đun số phức ta có: 7 10 z + 4i + z − 6i ≥ ( z + 4i ) + z − 6i = z + i 3 7 10 z − 6i + z + 4i ≥ ( z − 6i ) + z + 4i = z − 3i 3 ⇒ z + 4i + z − 6i ≥ z + i + z − 3i Dấu "= " +) Nếu 28 7 − k ÷z = −6k − ÷i , k ≥ ( 1) z + i = k z − i , k ≥ ( ) ( ) 3 3 3 ⇔ ( z − 6i ) = k ( z + 4i ) , k ≥ − k z = 4k + 14 i , k ≥ ) ( ) ÷ ( k= thì ( 1) , ( ) vô lý k > k≠ +) Khi 28 28 − 6k − i = bi = 18k + 28 = f ( k ) b= ( 1) ⇔ z = 7 3k − −k + −k + - Ta có , với 3 − 6k − b ≤ −4 Suy b > ( 2) ⇔ z = - Ta có 4k + 14 4k + 14 i = bi b= = g( k) 7 −k + −k + với 3 b < −4 Suy b ≥ Do đó z + i + z − 3i = z + 4i + z − 6i ⇔ z = bi , với b ≥ hoặc b ≤ −4 − 10 ≤ b ≤ − ⇒ Mà z ≤ 10 ≤ b ≤ 10 Vì b ∈ Z ⇒ b ∈ { − 10; − 9; − 8; − 7; − 6; − 5; − 4;6;7;8;9;10} Vậy có 12 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán Cách 2: Lưu Thêm Gọi M +) Đặt là điểm biểu diễn số phức z z + i + z − 3i = z + 4i + z − 6i = 2m, ( m > ) z + i + z − 3i = 2m ME1 + ME2 = 2m ( 1) ⇔ MF1 + MF2 = 2m ( ) , với Ta có z + 4i + z − 6i = 2m E1 ( 0; − 1) ; E2 ( 0;3) F1 ( 0; − ) ; F2 ( 0;6 ) 2m ≥ E1E2 ⇔ +) Ta có 2m ≥ F1 F2 *) Với 2m ≥ ⇔ m≥5 2m ≥ 10 m= +) Tập hợp các điểm lớn 10 M thỏa mãn ( 1) là elip +) Tập hợp các điểm M thỏa mãn ( 2) là đoạn +) Ta có *) Với ( K) và đoạn F1 F2 ( K) với hai tiêu điểm là E1 , E2 và độ dài trục F1F2 có có hai điểm chung ⇒ có số phức thỏa mãn m> +) Tập hợp các điểm M thỏa mãn ( 1) là elip ( K) với tiêu điểm E1 , E2 +) Tập hợp các điểm M thỏa mãn ( 2) là elip (T) với tiêu điểm F1 , F2 ( T ) và ( K ) có độ dài trục lớn 2m , tâm I ( 0;1) và có điểm chung là M1 ( 0;1 + m ) M ( 0;1 − m ) Do đó số phức z thỏa mãn đề có dạng z = ( + m ) i hoặc z = ( − m ) i +) +) Do z = a + bi có a, b∈ ¢ nên m∈ ¢ + m ≤ 10 z ≤ 10 ⇔ − m ≤ 10 ⇔ < m ≤ 11 +) m > m > +) Nếu m∈ { 6;7;8;9} +) Nếu m = 10 thì điểm M1 ( 0;11) ⇒ m có số phức thỏa mãn z ≤ 10 bị loại, điểm M ( 0; − ) bị loại, điểm M ( 0; − 10 ) chọn Có số phức thỏa mãn +) Nếu ⇒ thì giá trị m = 11 thì điểm M1 ( 0;12 ) Có số phức thỏa mãn Vậy có tất + 4.2 + = 12 số phức thỏa mãn đề chọn ,