DS c7 THE TICH KHOI NON TRU CAU

CHỦ ĐỀ MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ A KIẾN THỨC CƠ BẢN I MẶT NÓN Hình 1/ Mặt nón tròn xoay Hình Trong mặt phẳng  P  , cho đường thẳng d ,  cắt tại O và chúng tạo thành góc  với 00    900 Khi quay mp  P  xung quanh trục  với góc  không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1)  Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón  Đường thẳng  gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc  gọi là góc ở đỉnh 2/ Hình nón tròn xoay Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2)  Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón  Hình tròn tâm I , bán kính r  IM là đáy của hình nón 3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:  Diện tích xung quanh: S xq   r.l Diện tích toàn phần hình nón:  Diện tích đáy (hình tròn): Sð   r  Thể tích khối nón: Vnon  1 Sð h   r h 3 4/ Tính chất:  TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp ( P ) qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp ( P ) cắt mặt nón theo đường sinh � Thiết diện là tam giác cân + Nếu mp ( P ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón  TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q ) không qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp(Q ) vuông góc với trục hình nón � giao tuyến là một đường tròn + Nếu mp(Q ) song song với đường sinh hình nón � giao tuyến là nhánh của hypebol Trang 1/44 + Nếu mp(Q ) song song với đường sinh hình nón � giao tuyến là đường parabol II MẶT TRỤ 1/ Mặt trụ tròn xoay Trong mp  P  cho hai đường thẳng  và l ∆ song song nhau, cách một khoảng r Khi quay mp  P  quanh trục cố định  thì A r l D đường thẳng l sinh một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ  Đường thẳng  được gọi là trụC  Đường thẳng l được gọi là đường sinh  Khoảng cách r được gọi là bán kính của B mặt trụ r C 2/ Hình trụ tròn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ  Đường thẳng AB được gọi là trụC  Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh  Độ dài đoạn thẳng AB  CD  h được gọi là chiều cao của hình trụ  Hình tròn tâm A , bán kính r  AD và hình tròn tâm B , bán kính r  BC được gọi là đáy của hình trụ  Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ 3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r , đó:  Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq  2 rh  Diện tích toàn phần của hình trụ:  Thể tích khối trụ: Stp  S xq  2.S Ðay  2 rh  2 r V  B.h   r h 4/ Tính chất:  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp    vuông góc với trục  thì ta được đường tròn có tâm  và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp    không vuông góc với trục  cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2r , đó  là góc giữa trục  sin  và mp    với 00    900  Cho mp    song song với trục  của mặt trụ tròn xoay và cách  một khoảng d Trang 2/44 + Nếu d  r thì mp    cắt mặt trụ theo hai đường sinh � thiết diện là hình chữ nhật + Nếu d  r thì mp    tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh + Nếu d  r thì mp    không cắt mặt trụ III MẶT CẦU 1/ Định nghĩa Tập hợp các điểm M không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là: S  O; R  Khi S  O; R    M | OM  R 2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu Cho mặt cầu S  O; R  và một điểm A bất kì, đó:  Nếu OA  R � A �S  O; R  Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu Nếu OA và OB uuu r uuu r là hai bán kính cho OA  OB thì đoạn thẳng AB gọi là B đường kính của mặt cầu O  Nếu OA  R � A nằm mặt cầu A A  Nếu OA  R � A nằm ngoài mặt cầu � Khối cầu S  O; R  là tập hợp tất cả các điểm M cho OM �R 3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu A Cho mặt cầu S  O; R  và một mp  P  Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp  P  và H là hình chiếu của O mp  P  � d  OH  Nếu d  R � mp  P  cắt mặt cầu S  O; R  theo giao tuyến là đường tròn nằm mp  P  có tâm là H và bán kính r  HM  R  d  R  OH (hình a)  Nếu d  R � mp  P  không cắt mặt cầu S  O; R  (hình b)  Nếu d  R � mp  P  có một điểm chung nhất Ta nói mặt cầu S  O; R  tiếp xúc mp  P  Do đó, điều kiện cần và đủ để mp  P  tiếp xúc với mặt cầu S  O; R  là d  O ,  P    R (hình c) d d= Trang 3/44 Hình a Hình b Hình c 4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu Cho mặt cầu S  O; R  và một đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của O đường thẳng  và d  OH là khoảng cách từ tâmO d của mặt cầu đến đường thẳng  Khi d= đó:  Nếu d  R �  không cắt mặt cầu S  O; R   Nếu d  R �  cắt mặt cầu S  O; R  tại hai điểm phân biệt  Nếu d  R �  và mặt cầu tiếp xúc (tại một điểm nhất) Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu là d  d  O ,    R Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S  O; R  thì:  Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S  O; R   Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng  Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm mặt cầu S  O; R  5/ Diện tích và thể tích mặt cầu • Diện tích mặt cầu: SC  4 R • Thể tích mặt cầu: VC   R3 B KỸ NĂNG CƠ BẢN I Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 1/ Các khái niệm bản  Trục của đa giác đáy: là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy � Bất kì một điểm nào nằm trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó  Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó � Bất kì một điểm nào nằm đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng  Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó � Bất kì một điểm nào nằm mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng 2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp  Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp 3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện bản a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương - Tâm: trùng với tâm đối xứng củAa hình hộp chữ B nhật (hình lập phương) � Tâm là I , là trung điểm của AC ' D C - Bán kính: bằng nửa độ dài đường Ichéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương) A B ’ Trang ’ C 4/44 D � Bán kính: R  AC ' A I C ’ b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn A A Xét hình lăng trụ đứng A1 A2 A3 An A A A A , đó có đáy ' ' ' ' n A1 A2 A3 An và A1' A2' A3' An' nội tiếp đường tròn  O  và  O '  Lúc đó, A A mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: - Tâm: I với I là trung điểm của OO ' ' - Bán kính: R  IA1  IA2   IAn A ’1 n O I A ’n O ’ A c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh còn lại dưới góc ’3 vuông �  SBC �  900 - Hình chóp S ABC có SAC S S + Tâm: I là trung điểm của SC SC  IA  IB  IC + Bán kính: R  I I - Hình chóp S ABCD có A �  SBC �  SDC �  900 SAC A C D + Tâm: I là trung điểm của SC C B B SC  IA  IB  IC  ID + Bán kính: R  d/ Hình chóp đều S Cho hình chóp đều S ABC - Gọi O là tâm của đáy � SO là trục của đáy ∆ - Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, M chẳng hạn mp  SAO  , ta vẽ đường trung trực của cạnh SA I là  cắt SA tại M và cắt SO tại I � I là tâm của mặt cầu A - Bán kính: Ta có: SMI : SOA � A’ SM SI  � Bán kính là: SO SA B SM SA SA2 R  IS    IA  IB  IC  SO SO e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy D O C Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA  đáy  ABC  và đáy ABC nội tiếp được đường tròn tâm O Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC được xác định sau: - Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp  ABC  tại O Trang 5/44 - Trong mp  d , SA  , ta dựng đường trung trực  của cạnh SA , cắt SA tại M , cắt d S tại I � I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R  IA  IB  IC  IS  - Tìm bán kính: Ta có: MIOB là hình chữ nhật Xét MAI vuông tại M có: d M O A R  AI  MI  MA2  �SA � AO  � � �2 � ∆ I C B f/ Hình chóp kháC - Dựng trục  của đáy - Dựng mặt phẳng trung trực    của một cạnh bên bất kì -    �  I � I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán O O Hình vuông: O là giao điểm đường chéo O ∆ vuông: O là trung điểm của cạnh huyền O Hình chữ nhật: O là giao điểm của hai đường chéo ∆ đều: O là giao điểm của đường trung tuyến (trọng tâm) O ∆ thường: O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh ∆ II KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP Cho hình chóp S A1 A2 An (thoả mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thơng thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước: Trang 6/44 Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng  : trục S đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) cạnh bên  Lúc : I - Tâm O mặt cầu:  �mp( )   O O - Bán kính: R  SA   SO  Tuỳ vào trường hợp D A C H B Lưu ý: Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy vng góc với mặt phẳng đáy  Tính chất: M � : MA  MB  MC M Suy ra: MA  MB  MC � M � Các bước xác định trục: - Bước 1: Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp A đa giác đáy C - Bước 2: Qua H dựng  vuông góc với mặt phẳng H đáy B VD: Một số trường hợp đặc biệt A Tam giác vuông B Tam giác C Tam giác   H B C  B B C H A H C A A S Lưu ý: Kỹ tam giác đồng dạng M SO SM  SMO đồng dạng với SIA � SA SI O I A Nhận xét quan trọng: �MA  MB  MC M , S : � � SM trục đường tròn ngoại tiếp ABC �SA  SB  SC Ví dụ: Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Dạng 1: Chóp có điểm nhìn đoạn góc vng Ví dụ: Cho �SA   ABC  S ABC : � �ABC  B Theo đề bài: � �BC  AB  gt  � �BC  SA  SA   ABC    BC  (SAB)  BC  SB Ta có B A nhìn SC góc vng Trang 7/44  nên B A nằm mặt cầu có đường kính SC Gọi I trung điểm SC � I tâm MCNT khối chóp S ABC bán kính R  SI Dạng 2: Chóp có cạnh bên Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S ABC + Vẽ SG   ABC  G tâm đường tròn ngoại tiếp ABC + Trên mặt phẳng  SGC  , vẽ đường trung trực SC , đường cắt SG I I tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC bán kính R  IS + Ta có SGC : SKI  g  g  � SG SC SC.SK SC  � R  SK SI SG 2SG Dạng 3: Chóp có mặt bên vng góc với đáy Ví dụ: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A Mặt bên  SAB    ABC  SAB Gọi H , M trung điểm AB, AC Ta có M tâm đường tròn ngoại tiếp ABC (do MA  MB  MC ) Dựng d1 trục đường tròn ngoại tiếp ABC ( d1 qua M song song SH ) Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp SAB d trục đường tròn ngoại tiếp SAB , d cắt d1 I � I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC � Bán kính R  SI Xét SGI � SI  GI  SG Trang 8/44 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MẶT CẦU Câu Cho mặt cầu có diện tích S , thể tích khối cầu V Tính bán kính R mặt cầu A R  3V S B R  S 3V C R  4V S D R  V 3S Câu Cho mặt cầu S (O; R ) điểm A cố định với OA  d Qua A , kẻ đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) M Cơng thức sau dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ? A 2R  d B d  R2 C R  2d D d  R2 Câu Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a , b, c Gọi ( S ) mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật Tính diện tích hình cầu ( S ) theo a , b, c B 2 ( a  b2  c )  2 C 4 ( a  b2  c ) D ( a  b  c ) Câu Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a , b, c Gọi ( S ) mặt cầu qua A  ( a  b2  c ) đỉnh hình hộp chữ nhật Tâm mặt cầu ( S ) A đỉnh hình hộp chữ nhật B tâm mặt bên hình hộp chữ nhật C trung điểm cạnh hình hộp chữ nhật D tâm hình hộp chữ nhật Câu Cho mặt cầu S (O; R ) đường thẳng  Biết khoảng cách từ O tới  d Đường thẳng  tiếp xúc với S (O; R ) thỏa mãn điều kiện điều kiện sau ? A d  R B d  R C d  R D d �R Câu Cho đường tròn (C ) điểm A nằm ngồi mặt phẳng chứa (C ) Có tất mặt cầu chứa đường tròn (C ) qua A ? A B C D vô số Câu Cho hai điểm A, B phân biệt Tập hợp tâm mặt cầu qua A B A mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B đường thẳng trung trực AB C mặt phẳng song song với đường thẳng AB D trung điểm đoạn thẳng AB Câu Cho mặt cầu S (O; R ) mặt phẳng ( ) Biết khoảng cách từ O tới ( ) d Nếu d  R giao tuyến mặt phẳng ( ) với mặt cầu S (O; R ) đường tròn có bán kính bao nhiêu? A Rd B R2  d C R2  d D R  2d Câu Từ điểm M nằm mặt cầu S (O; R ) kẻ tiếp tuyến với mặt cầu? A Vô số B C D Trang 9/44 Câu 10 Một đường thẳng d thay đổi qua A tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) M Gọi H hình chiếu M lên đường thẳng OA M thuộc mặt phẳng mặt phẳng sau đây? A Mặt phẳng qua H vng góc với OA B Mặt phẳng trung trực OA C Mặt phẳng qua O vuông góc với AM góc với OM D Mặt phẳng qua A vuông Câu 11 Một đường thẳng thay đổi d qua A tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) M Gọi H hình chiếu M lên đường thẳng OA Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là: A R B R C 2R D 3R Câu 12 Thể tích khối cầu 113 cm3 bán kính ? (lấy 22 � ) A cm B cm C cm D 3cm Câu 13 Khinh khí cầu nhà Mơng–gơn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh khinh khí cầu dùng khí nóng Coi khinh khí cầu mặt cầu có 22 đường kính 11m diện tích mặt khinh khí cầu bao nhiêu? (lấy  � làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) A 379, 94 (m ) B 697,19 (m ) C 190,14 cm D 95, 07 (m ) Câu 14 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh 10 cm Gọi O tâm mặt cầu qua đỉnh hình lập phương Khi đó, diện tích S mặt cầu thể tích V hình cầu là: A S  150 (cm );V  125 (cm ) B S  100 3 (cm );V  500 (cm ) C S  300 (cm );V  500 (cm3 ) D S  250 (cm );V  500 (cm ) Câu 15 Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a , chiều cao AH Quay đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta mặt cầu Thể tích khối cầu tương ứng là: A  a3 54 B 4 a C 4 a 3 27 D 4 a Câu 16 Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a , chiều cao AH Quay đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta mặt cầu Thể tích khối cầu tương ứng là: 4 a  a3 D 54 �  300 Quay tam giác vuông Câu 17 Cho tam giác ABC vng A có BC  2a B A 4 a 3 27 B 4 a C quanh trục AB , ta hình nón đỉnh B Gọi S1 diện tích tồn Trang 10/44 SO SM SD.SM SD  � R  SO   SD SH SH SH a a 7a � SH  Với SH  SD  HD  4a   2 Ta có SMO ∽ SHD � SD 2a 14  SH Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam Vậy R  giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 5 15 3 B V  C V  18 27  Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AB SM  AB (vì A V  D V  15 54 tam giác SAB đều) Mặt khác  SAB   ( ABC ) nên SM  ( ABC ) Tương tự: CM  ( SAB ) Gọi G K tâm tam giác ABC SAB Trong mặt phẳng ( SMC ) , kẻ đường thẳng Gx //SM kẻ đường thẳng Ky //SM Gọi OG  ( SAB ) � O  Gx �Ky , ta có: � OK  ( ABC ) � Suy OG , OK trục tam giác ABC SAB Do ta có: OA  OB  OC  OD  OS hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Tứ giác OKMN hình chữ nhật có MK  MG  Do OK  Mặt khác nên OKMN hình vng SK  OS  OK  SK  3 Xét tam giác SKO vuông K có 3 15   36 Suy bán kính mặt cầu cần tìm R  OS  15 Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: 4 � 15 � 15 V   R   � � 3 �6 � 54 Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Trang 31/44 4a a 39 a 12 2a B C D 6  Hướng dẫn giải: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Gọi G, G ' A tâm hai đáy ABC A ' B ' C ' Ta có GG ' trục tam giác ABC A ' B ' C ' Gọi O trung điểm GG ' O cách đỉnh hình lăng trụ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Bán kính mặt cầu R  OA Xét tam giác OAG vuông OA  AG  GO  2 G, ta có: a2 2a Vậy bán kính mặt cầu cần tìm  a2  3 2a Cho hình trụ có bán kính đáy R , thiết diện qua trục hình vng Tính thể R tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho theo R A 4R B 2R C 2R D 8R  Hướng dẫn giải: Giả sử ABCD A ' B ' C ' D ' lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ BDD ' B ' thiết diện qua trục hình trụ BD  BB '  R cạnh đáy hình lăng trụ R Do thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D '   V  R 2 R  R Cho hình trụ có bán kính đáy cm, mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A ' B ' mà AB  A ' B '  cm (hình vẽ) Biết diện tích tứ giác ABB ' A ' 60 cm2 Tính chiều cao hình trụ cho A cm B cm C cm D cm  Hướng dẫn giải: Dựng đường sinh B ' C A ' D , ta có tứ giác A ' B ' CD hình chữ nhật nên CD //A ' B ' CD  A ' B '  cm Vậy CD //AB CD  AB  cm Do tứ giác ABCD hình bình hành nội tiếp nên hình chữ nhật Từ AB  BC , mặt khác AB  B 'C nên AB  ( BCB ') � AB  BB ' Vậy ABB ' C ' hình bình hành có góc vng nên hình chữ nhật Ta có S ABB ' A '  AB.BB ' nên BB '  60  10 cm Xét tam giác BB ' C vng C có B ' C  BB '2  BC mà BC  AC  AB  64  36  28 nên B ' C  100  28  72 � B ' C  cm Vậy chiều cao hình trụ cm Trang 32/44 Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy hai hình tròn  O; R   O '; R  Tồn dây cung AB thuộc đường tròn (O ) cho O ' AB tam giác mặt phẳng (O ' AB ) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn (O ) góc 600 Khi đó, diện tích xung quanh S xq hình trụ thể tích V khối trụ tương ứng là: 4 R 2 R 6 R 3 R B S xq  ;V  ;V  7 7 3 R 2 R 3 R  R3 ;V  C S xq  D S xq  ;V  7 7  Hướng dẫn giải: * Ta có: OO '   OAB  Gọi H là trung điểm của AB thì OH  AB, O ' H  AB A S xq  � '  600 � OHO * Giả sử OH  x Khi đó: 0 x R và OO '  x tan 600  x * Xét OAH , ta có: AH  R  x * Vì O ' AB đều nên: O ' A  AB  AH  R  x  1 * Mặt khác, AOO ' vuông tại O nên: AO '2  OO '2  R  3x  R   * Từ  1 ,   � 4 R  x 2  3R  3x  R � x  2 3R Vậy, nếu kí hiệu S là diện tích xung quanh và V là thể tích của hình trụ thì, � h  OO '  x  * ta có: S  2 Rh  6 R 3 R ; V R h  7 Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng ( ABCD ) tạo với đáy hình trụ góc 450 Diện tích xung quanh S xq hình trụ và thể tích V của khối trụ là:  a2 3 2a  a2 2a B S xq  ;V  ;V  32  a2 3 3a  a2 3 2a C S xq  D S xq  ;V  ;V  16 16  Hướng dẫn giải: * Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Khi đó: OM  AB và O ' N  DC Giả sử I là giao điểm của MN và OO ' Đặt R  OA, h  OO ' A S xq  * Trong IOM vuông cân tại I nên: OM  OI  � IM h a  �h a 2 2 Trang 33/44 * Ta có: R  OA2  AM  MO 2 2 a 3a �a � �a � a  � � �    � 8 �2 � � � � S xq  2 Rh  2 a a  a2 3a a 2a  ; V   R 2h    16 2 Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng ABCD cạnh cm với AB đường kính đường tròn đáy tâm O Gọi M điểm thuộc cung � AB cho � ABM  600 Khi đó, thể tích V khối tứ diện ACDM là: A V  (cm ) B V  (cm ) C V  (cm )  Hướng dẫn giải: Ta có: BM  AD, BM  AM � BM  ( ADM ) BC //AD � BC //( ADM ) � d [C , ( ADM )]  d [ B, ( ADM )]  BM 1 � V  BM S ADM  BM AM AD (1) OBM Vì D V  3(cm ) � BM  � AM  AB  BM  (cm) (1) � V  3.3.2  3(cm ) Một hình nón có chiều cao h  20 cm, bán kính đáy r  25 cm Một thiết diện qua đỉnh có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12cm Tính diện tích thiết diện A 450 cm2 B 500 cm2  Hướng dẫn giải: C 500 cm2 D 125 34 cm2 Tính diện tích thiết diện S SAB 1 + Ta có SSAB  AB.SI  IA.SI  IA.SI 2 + Xét tam giác vng SOI , ta có: 1 1 1   �   � OI  15 (cm) 2 OH OI OS 12 OI 20 + Mặt khác, xét tam giác vng SOI thì: OI OS 20.15 OI OS  SI OH � SI    25 (cm) OH 12 + Trong tam giác vng AIO , ta có: Trang 34/44 IA  OA2  OI  252  152  20 (cm) + Từ suy ra: SSAB  IA.SI  20.25  500 (cm2) Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh S xq thể tích V khối nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’  a2  a3 ;V  12  a2  a3 C S xq  ;V   Hướng dẫn giải:  a2  a3 ;V  4  a3 D S xq   a 5;V  A S xq  B S xq  r Khối nón có chiều cao a bán kính đáy Diện tích xung quanh khối nón a 2 �a �  a (đvdt) S xq   rl   a a  � �  �2 � 1 �a �  a3 Thể tích khối nón là: V  Bh   r h   � �a  (đvtt) 3 �2 � 12 Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S tam giác vng cân có cạnh cạnh huyền a Kẻ dây cung BC đường tròn đáy hình nón, cho mp  SBC  tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Diện tích tam giác SBC tính theo a là: a2 a2 a2 a2 B C D  Hướng dẫn giải: + Do thiết diện qua trục tam giác SAB vuông cân đỉnh S , có cạnh A huyền AB  a nên suy bán kính đáy hình nón r  a ; đường sinh hình nón l  SA  SB  a ; đường cao hình nón a + Gọi I trung điểm BC OI  BC (1) �BC  OI � BC  ( SOI ) � BC  SI (2) Ta lại có: � �BC  SO ( ) Gọi mặt phẳng chứa đáy ( ) �(SBC)  BC (3) h  SO  Từ (1), (2) (3) suy �  600 ( ), (SBC)   (� SI , OI )  SIO � Trang 35/44 SO  Xét tam giác SOI vng O , ta có: SI  � sin SIO a 2 a 3 2 �a � a Xét tam giác SIB vng I , ta có: IB  SB  SI  a  � � �3 � � BC  IB  2 2a 1 a 2a a 2 (đvdt) SI BC   2 3 Cho hình nón tròn xoay có đỉnh S , O tâm đường tròn đáy, đường sinh Diện tích thiết diện SBC là: SSBC  a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 Gọi I điểm SI  Khi đó, diện tích OI thiết diện qua I vng góc với trục hình nón là: đường cao SO hình nón cho tỉ số  a2  a2  a2  a2 A B C D 18 36 18  Hướng dẫn giải: Gọi A điểm thuộc đường tròn đáy hình nón Thiết diện qua I vng góc với trục hình nón hình tròn có bán kính hình vẽ Gọi diện tích Std Theo giả thiết ta có đường sinh SA  a �  600 góc đường sinh mặt phẳng đáy SAO a SI IB SI 1a a Ta có SIB ∽ SOA �  � IB  OA   SO OA SO Trong tam giác vuông SAO có OA  SA cos 600  �a �  a � Std   IB   � � � � 18 Cho hình nón đỉnh S với đáy đường tròn tâm O bán kính R Gọi I điểm nằm mặt phẳng đáy cho OI  R Giả sử A điểm nằm đường tròn (O; R ) cho OA  OI Biết tam giác SAI vuông cân S Khi đó, diện tích xung quanh S xq hình nón thể tích V khối nón là:  R3  R2  R3 C S xq  ;V  A S xq   R 2;V  2 R 2 R D S xq   R ;V  B S xq  2 R ;V  Trang 36/44  Hướng dẫn giải: + Xét tam giác AOI vuông O , có: IA2  OA2  OI  R  3R  R � IA  R + Do tam giác SAI vuông cân S nên IA R IA  SA � SA   R 2 + Xét tam giác SOA vng O , ta có: SO  SA2  OA2  R  R  R + Diện tích xung quanh hình nón là: ta có: S xq   Rl   R.R   R 2 (đvdt) + Thể tích khối nón tương ứng là: V  1  R3 (đvtt) Bh   R h   R R  3 3 Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy a , góc đỉnh 1200 Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác Diện tích lớn Smax thiết điện ? A Smax  2a C Smax  4a B Smax  a 2 D Smax  9a  Hướng dẫn giải: Giả sử O tâm đáy AB đường kính đường tròn đáy hình nón Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân SAM Theo giả thiết hình �  600 Xét tam giác nón có bán kính đáy R  OA  a cm , � ASB  1200 nên ASO OA OA � SA   2a SA sin 600 �  2a.2a.sin ASM �  2a sin ASM � Diện tích thiết diện là: S SAM  SA.SM sin ASM 2 � �1 nên SSAM lớn Do  sin ASM SOA vuông O , ta có: sin 600  �  hay tam giác ASM sin ASM vuông cân đỉnh S (vì � ASB  1200  900 nên tồn tam giác ASM thỏa mãn) Vậy diện tích thiết diện lớn là: Smax  2a (đvtt) VẬN DỤNG CAO Bán kính r mặt cầu nội tiếp tứ diện cạnh a a a a B r  C r  12  Hướng dẫn giải: Gọi O tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD cạnh a A r  Ta tính thể tích khối tứ diện VABCD  Mặt khác, ta VABCD  VO ABC  VO ACD  VO BCD  VO ABD lại D r  a a3 12 có: (*) Trang 37/44 a2 Mỗi hình tứ diện đỉnh O có chiều cao r diện tích đáy a3 a2 a Do đó, từ (*) ta suy ra: VABCD   r �r  12 12 Chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R A R B R C 4R D 2R  Hướng dẫn giải: Giả sử 2x chiều cao hình trụ (0  x  R ) (xem hình vẽ) Bán kính khối trụ r  R  x Thể tích khối trụ là: V   ( R  x )2 x Xét hàm số V ( x )   ( R  x )2 x,  x  R Ta V '( x )  2 ( R  3x )  � x  có R 3 Bảng biến thiên: x R 3 R  V '( x )  4 R 3 V ( x) 0 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ 2R 4 R 3 ; Vmax  Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h A x  h B x  h C x  2h D x  h  Hướng dẫn giải: Gọi r, R theo thứ tự bán kính đáy hình nón khối trụ cần tìm O đỉnh hình nón, I tâm đáy hình nón, J tâm đáy hình trụ khác I OA đường sinh hình nón, B điểm chung OA với khối trụ Ta có: r hx R  � r  (h  x ) R h h Trang 38/44 Thể tích khối trụ là: V   xR   x R2 (h  x )2 h R2 (h  x ) ,  x  h h R h Ta có V '( x )   (h  x )( h  3x )  � x  hay x  h h Bảng biến thiên: Xét hàm số V ( x )   x x h V '( x ) h 0   4 R h 27 V ( x) 0 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ h 4 R h ; Vmax  27 Cho hình nón đỉnh O , chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh tâm đáy x có đáy là thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O cho (hình vẽ) Tính chiều cao x khối nón để thể tích lớn nhất, biết  x  h h 2h B x  h C x  3  Hướng dẫn giải: JB OJ h  x R (h  x )   � JB  Từ hình vẽ ta có IA OI h h R2 Thể tích khối nón cần tìm là: V   ( h  x )2 x h R Xét hàm số V ( x )   (h  x ) x ,  x  h h R h Ta có V '( x )   ( h  x )( h  3x )  � x  h hay x  h Bảng biến thiên: A x  x V '( x ) h h h D x    Trang 39/44 4 R h 81 V ( x) 0 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn chiều cao h 4 R h ; Vmax  81 Cho hình nón có bán kính đáy R , chiều cao 2R , ngoại tiếp hình cầu x  S (O; r ) Khi đó, thể tích khối trụ ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) A  16 R  1 4 R B 1 C 16 R 1  5 D 4 R 1  Hướng dẫn giải: Giả sử hình nón có đỉnh O đường kính đáy AB Ta có OA  OB  R  (2 R )  R Tam giác OAB có diện tích S  R , chu vi p  R (1  5) Do bán kính khối cầu S (O; r ) r  S 2R  p 1 Thể tích khối trụ cần tìm là: Vtru   r h  2 r  16 R 1  5 Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là: A R  S S ;h  2 2 B R  S ;h  4 S 4 2S 2S S S D R  ;h  ;h  3 3 6 6  Hướng dẫn giải: Gọi thể tích khối trụ V , diện tích tồn phần hình trụ S Ta có: S  S2 day  S xq  2 R  2 Rh Từ suy ra: C R  S S V V V Cauchy V  R  Rh �  R2   R2   2 2 R 2 R 2 R � 4 V �S � 27 �� � 4 �2 � Vậy Vmax  V hay S3 54 V  R h Rh S3 Dấu “=” xảy � R  hay h  R   2 R 2 R 54 Khi S  6 R � R  S 6 h  R  S 6 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ RÈN LUYỆN (CÓ HƯỚNG DẪN) Trang 40/44 Thiết diện qua trục hình nón tròn xoay tam giác vng cân có điện tích 2a Khi thể tích khối nón bằng: A 2 a 3 B  a3 C 2 a 3 D 2 a 3 Hướng dẫn giải Ta có: S  l  2a � l  2a Dùng định lý Pitago cho tam giác thiết diện ta đường kính đường tròn đáy d  2a � r  a 1 2 a Vậy V  Bh   r l  r  3 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi S diện tích xung quanh hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hình vng ABDC A'B'C'D' Khi S bằng: A S   a B S   a 2 C S   a2 2 D S   a2 Hướng dẫn giải +) Đáy hình vng cạnh a � đường chéo AC  a � bán kính a +) Đường sinh l cạnh hình lập phương � l  a +) Vậy S xq  2 rl   a 2 � Chọn B đường tròn ngoại tiếp đáy r  Một hình lập phương có diện tích mặt chéo a 2 Gọi V thể tích khối cầu S diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói Khi tích S V bằng: A S V  3 a B S V  3 a 2 C S V  3 a 2 D S V  6 a Hướng dẫn giải +) Đặt AB  x � BD  x +) Ta có: S BDD ' B '  a 2  x x � x  a � BD '  a � R  +) Khi ta có: V  +) Vậy SV  a  a3 S  4 R  3 a  R3  3 3 a � Chọn A Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB  a, BC  a 3, AA '  a Gọi V thể tích hình nón sinh quay tam giác AA'C quanh trục AA' Khi V bằng: A V  2 a B V   a 3 C V  4 a 3 D V  4 a Trang 41/44 Hướng dẫn giải Ta có: r  AC  AB  BC  2a 1 4 a Vậy: V  Bh   r AA '  3 Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 có thiết diện qua trục hình vng Khi thể tích khối trụ tương ứng bằng: A 2 B 4 C  D  Hướng dẫn giải S   � 2 rl  4 � rl  (*) +) Theo đề ta có: xq +) Thiết diện qua trục hình vng � r  l Thay vào (*) ta được: l  �r 1 +) Vậy V   r l  2 � Chọn A Tỉ số thể tích khối lập phương khối cầu ngoại tiếp khối lập phương bằng: A 3 B  C 3 D 3 Hướng dẫn giải +) Thể tích khối lập phương V  a +) Đăt AB = a � AC  a � A ' C  a � Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối a  a3 (**) � VCâu   R  Vlâp phuong  � Chọn D Từ (*) (**) suy ra: VCAU 3 lập phương R  Một hình nón có đường sinh hợp với đáy góc  độ dài đường sinh l Khi diện tích tồn phần hình nón bằng:   C Stp   l cos  cos2 A Stp  2 l cos  cos2 B Stp  2 l cos  sin   D Stp   l cos  cos2 2 Hướng dẫn giải r +) Ta có:  cos  � r  l cos  l +) STP  S XQĐ S   rl   r   l cos    l cos2    l cos  (1  cos  )  2 l cos  cos  +) Vậy chọn A Cho lăng trụ có tất cạnh A Gọi V thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ nói Khi V bằng:  a3 A V   a3 B V  3 a 3 C V   a3 D V  Trang 42/44 Hướng dẫn giải +) Gọi I, G trung điểm BC trọng tâm tam giác ABC a a a +) Tam giác ABC � AI  � AG   r 3 +) l  a  a3 +) Vậy V   r l  � Chọn B Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a Khẳng định sau sai? A Khơng có mặt cầu ngoại tiếp S.ABC B Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm trọng tâm tam giác ABC C Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm trực tâm tam giác ABC a D Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có bán kính R  Một hình nón có bán kính đường tròn đáy A Thiết diện qua trục hình nón tam giác có góc đỉnh 1200 Gọi V thể tích khối nón Khi V bằng: A V   a3  a3 3 B V  C V   a3 D V   a3 Hướng dẫn giải +) ra +) Góc đỉnh  1200 � h  1  a3 +) V  S Đ h   r h  3 a a  tan 60 3 � Chọn C Trong không gian cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I H trung điểm cạnh AB CD Khi quay hình vng xung quanh trục IH ta hình trụ tròn xoay.Khi thể tích khối trụ tương ứng bằng: A  a3 B  a3 12 C 4 a 3 D  a3 Hướng dẫn giải a l  a  a3 +) V  B.h   r l  +) Ta có: r  Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B với AB = 3a, BC = 4a, SA  ( ABC ) , cạnh bên SC tạo với đáy góc 60 Khi thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là: A V   a 3 B V  50 a 3 C V  5 a 3 D V  500 a Hướng dẫn giải Trang 43/44 +) Ta có: SAC vng S(*) �BC  AB � BC  ( SAB ) � BC  SB � SBC vuông B(**) +) � �BC  SA +) Từ (*) (**) � Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC trung điểm đoạn SC +) Ta có: AC AC SC  cos 600  � SC  AC  10a � R   5a SC 2 500 a +) Vậy V   R  � Chọn D 3 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.ABCD có cạnh đáy a , chiều cao 2a Biết  AB  BC  5a Mà O tâm ABCD (C) đường tròn nội tiếp đáy ABCD Diện tích xung quanh hình nón có đỉnh O đáy (C) A S xq  3 a 2 B S xq  5 a 2 C S xq   a2 D S xq  2 a 2 Hướng dẫn giải +) ABCD.A'B'C'D' lăng trụ tứ giác � đáy ABCD hình vng Khi bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy r = +) Đường sinh l  O ' A  +) Vậy S XQ   rl   AC a  2 AA '2  A ' O  4a  a 3a  2 a 3a 3 a  � Chọn A 2 Một hình trụ có hai đáy hai đường tròn nội tiếp hai mặt hình lập phương có cạnh Thể tích khối trụ bằng: A  B  C  D  Hướng dẫn giải +) Ta có:Đường tròn đáy nội tiếp hình vng cạnh � bán kính r  +) Độ dài đường sinh = độ dài cạnh hình lập phương � l   �1 � +) Vậy V   r l   � �.1  � Chọn A �2 � Cho tứ diện S.ABC có đường thẳng SA, SB, SC vng góc với đơi một, SA = 3, SB = 4, SC = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bằng: A 25 B 50 C 75 D 100 Hướng dẫn giải +) Tam giác SBC vuông S nên từ trung điểm I cạnh BC ta vẽ đường thẳng (d) vng góc với (SBC) (tức d // SA), d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Trang 44/44 +) Trong mp xác định đường thẳng song song d SA ta dựng đường trung trực SA cắt d J Khi J tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC � SJ bán kính SA � BC  SA2 +) SJ  SI  �   � � �2 � 50  50 � Chọn B + S  4 R  4 Thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ có chiều cao h bán kính đường tròn đáy R bằng: A 2R h B R h C 2R h D R2h Hướng dẫn giải  S ABCD AA '  AB OO '  AB h (*) +) Ta có: VLTRU +) Tính AB: Ta có tam giác OAB vuông cân O nên AB  OA  R + Thay vào (*) ta được: V  R h Trang 45/44 ... mặt tru tròn xoay hay gọi tắt là mặt tru  Đường thẳng  được gọi là tru C  Đường thẳng l được gọi là đường sinh  Khoảng cách r được gọi là bán kính của B mặt tru ... của hình tru  Hình tròn tâm A , bán kính r  AD và hình tròn tâm B , bán kính r  BC được gọi là đáy của hình tru  Khối tru tròn xoay, gọi tắt là khối tru , là phần... là phần không gian giới hạn bởi hình tru tròn xoay kể cả hình tru 3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình tru Cho hình tru có chiều cao là h và bán kính đáy