Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 81 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Cấu trúc
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Nội dung
CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa Cho f hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F nguyên hàm f [a; b] Hiệu số F (b) F (a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định b đoạn [a; b] hàm số f ( x), kí hiệu f ( x)dx � a Ta dùng b kí b F ( x) a hiệu F (b ) F ( a ) để hiệu số F (b) F (a) Vậy b f ( x) dx F ( x) a F (b) F (a ) � a b Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu f ( x)dx � hay a b f (t )dt � Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào a cách ghi biến số Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục khơng âm đoạn b [a; b] tích phân f ( x)dx � diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị a b f ( x )dx hàm số y f ( x) , trục Ox hai đường thẳng x a, x b Vậy S � a Tính chất tích phân a f ( x) dx � a b a a b b f ( x)dx � f ( x)dx � c c f ( x)dx � f ( x )dx � f ( x )dx ( a b c ) � a b b b a b b a a b k f ( x)dx k � f ( x)dx (k ��) � a a [ f ( x) �g ( x)]dx � f ( x )dx �� g ( x )dx � a B KỸ NĂNG CƠ BẢN Một số phương pháp tính tích phân I Dạng 1: Tính tích phân theo cơng thức Ví dụ 1: Tính tính phân sau: 1 dx a) I � (1 x ) 2x dx c) I � x3 x b) I � dx x 1 x d) I � dx 4 x Hướng dẫn giải 1 1 dx d (1 x) a) I � � 2(1 x) (1 x ) (1 x) x x 1 � � dx x ln( x 1) � x 1� 0� 1 b) I � dx � � 1 ln 1 2x � � dx � 2 dx x 3ln( x 3) 6ln 3ln � � x3 x 3� 0� c) I � 1 x d 4 x d) I � dx � ln | x | ln 20 4x 4 x Trang 1/80 Bài tập áp dụng 1 x3 ( x 1)5 dx 1) I � 2) I � x x dx x xdx 3) I � 4) I � 16 dx x9 x II Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân b b b a a [f ( x) g ( x)]dx � f ( x) dx � g ( x)dx để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Sử dụng tính chất � a | x 1| dx Ví dụ 2: Tính tích phân I � 2 Hướng dẫn giải �x 1, x 1, � �x �2 Do �x 1 Nhận xét: x � 1 1 1 2 �x � �x � I� | x 1| dx � | x 1| dx � | x 1| dx � x 1 dx � x 1 dx � x � � x � �2 �2 �2 �1 2 2 1 2 1 Bài tập áp dụng | x | dx 1) I � | x x x | dx 2) I � 4 1 | x | dx 3) I � 4) I �2 | sin x | dx 5) I �1 cos xdx III Dạng 3: Phương pháp đổi biến số 1) Đổi biến số dạng Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số u u ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] �u ( x) � Giả sử viết f ( x) g (u ( x))u '( x), x �[a;b], với g liên tục đoạn [ ; ] Khi đó, ta có b u (b) a u (a ) I � f ( x)dx �g (u )du Ví dụ 3: Tính tích phân I sin x cos xdx � Hướng dẫn giải Đặt u sin x Ta có du cos xdx Đổi cận: x � u (0) 0; x 0 � � � u � � �2 � Khi I sin x cos xdx u du u � � 3 Bài tập áp dụng x x 1dx 1) I � e ln x dx 3) I � x Dấu hiệu x x 1dx 2) I � e2 dx x ln x 4) I � e Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân Có thể đặt Ví dụ Trang 2/80 t 3 x dx I � Đặt t x x 1 Có Có (ax b)n t ax b Có a f ( x ) t f ( x) Có Có e x dx t e x biểu thức chứa e x I �e x 3e x 1dx Đặt t 3e x Có sin xdx t cos x sin x cos xdx Đặt t sin x I � Có cos xdx t sin xdx Có dx Có sin x f ( x) f ( x) I � x( x 1)2016 dx Đặt t x e tan x 3 I � dx Đặt t tan x cos x e ln xdx I � Đặt t ln x 1 x (ln x 1) t ln x biểu thức chứa ln x dx ln x x dx cos x ln sin x I � dx Đặt t 2cos x 2cos x 1 4 (1 tan x ) I � dx dx � cos x cos x Đặt t tan x t tan x ecot x ecot x I � dx �2sin x dx Đặt cos x t cot x t cot x 2) Đổi biến số dạng Cho hàm số f liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Giả sử hàm số x (t) có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ](*) cho ( ) a, ( ) b a � (t ) �b với t �[ ; ] Khi đó: b a f ( x)dx � f ( (t )) '(t ) dt � Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng � � ; a x : đặt x | a | sin t; t �� �2 2� � | a | � � ; t �� ; �\ {0} x a : đặt x sin t 2 � � � � ; � x a : x | a | tan t ; t �� 2 � � ax ax : đặt x a.cos 2t ax ax Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt dấu hiệu 1, 2, với x mũ chẵn Ví dụ, để tính tích phân I x dx �x phải đổi biến dạng với tích phân I � x3 dx x2 nên đổi biến dạng Ví dụ 4: Tính tích phân sau: a) I �1 x dx dx 1 x b) I � Hướng dẫn giải a) Đặt x sin t ta có dx cos tdt Đổi cận: x � t 0; x � t Trang 3/80 0 Vậy I x dx | cos t |dt cos tdt sin t | � � � �x � t � b) Đặt x tan t , ta có dx tan t dt Đổi cận: � x 1� t � � Vậy I dx dt t | � � 0 1 x IV Dạng 4: Phương pháp tính tích phân phần Định lí : Nếu u u ( x) v v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b b u ( x)v '( x)dx u ( x )v( x) a � u '( x)v ( x)dx , � b a a b hay viết gọn b udv uv |a � vdu � b a Các dạng bản: Giả sử cần tính a b I � P ( x).Q ( x)dx a Dạn g hà m P(x): Đa thức Q(x): sin kx hay Các h đặt * u P( x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân cos kx P(x): Đa thức Q(x): ekx P(x): Đa thức P(x): Đa thức Q(x): Q(x): hay sin x cos x ln ax b * u P( x) * dv Phần * u ln ax b lại dv P x dx biểu thức * dấu tích phân * u P( x) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân Thơng thường nên ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” Ví dụ 5: Tính tích phân sau : a) I x sin xdx � b) I e 1 �x ln( x 1)dx Hướng dẫn giải ux �du dx � a) Đặt � ta có � v cos x �dv sin xdx � Do I x sin xdx x cos x � |02 � cos xdx sin x |02 1 � du dx � u ln( x 1) � x 1 � b) Đặt � ta có � x 1 �dv xdx � v � � e 1 e 1 e 1 � � x2 1� e2 2e �x I � x ln( x 1)dx � ln( x 1) ( x 1) dx � x �e01 � � � �0 2 �2 � e2 2e e 4e e 2 Bài tập áp dụng Trang 4/80 (2 x 2)e dx 1) I � x 2) I x.cos xdx � 3) I 2 x x sin dx � ( x 1) e x dx 4) I � Trang 5/80 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Cho hai hàm số f , g liên tục đoạn [a; b] số thực k tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? b b b a a f ( x) dx � g ( x )dx f ( x) g ( x) dx � A � a b b a a kf ( x )dx k � f ( x) dx C � b a a b f ( x)dx � f ( x)dx B � b b a a xf ( x) dx x � f ( x)dx D � Câu Cho hàm số f liên tục � số thực dương a Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? a f ( x)dx A � a a f ( x) dx B � a a a f ( x)dx 1 C � D C D a f ( x)dx f (a) � a Câu Tích phân dx � có giá trị A 1 B a e � Câu Cho số thực a thỏa mãn x 1 dx e , a có giá trị 1 A B 1 C D Câu Trong hàm số đây, hàm số có tích phân đoạn [0; ] đạt giá trị ? A f ( x) cos 3x B f ( x ) sin x �x � �x � C f ( x) cos � � D f ( x ) sin � � �4 � �4 � Câu Trong tích phân sau, tích phân có giá trị khác ? A e2 ln xdx � B 2dx � C sin xdx � B f ( x ) cos x A f ( x) e D Câu Trong hàm số đây, hàm số thỏa mãn x xdx � 1 2 �f ( x)dx �f ( x)dx ? C f ( x ) sin x D f ( x) x dx Câu Tích phân I � có giá trị x A 3ln B ln C ln D ln dx Câu Tích phân I � có giá trị sin x 1 A ln Câu 10 Nếu 4e � B ln x /2 C ln D ln dx K 2e giá trị K 2 A 12,5 B C 11 D 10 Trang 6/80 1 dx có giá trị Câu 11 Tích phân I �2 x x A ln B ln C 2 ln D ln f ( x)dx � Câu 12 Cho hàm số f g liên tục đoạn [1;5] cho g ( x) dx 4 � g ( x) f ( x) dx � Giá trị A 6 B D 2 C f Câu 13 Cho hàm số liên tục đoạn [0;3] Nếu f ( x)dx � tích phân x f ( x) dx � có giá trị A B C D Câu 14 Cho hàm số f liên tục đoạn [0;6] Nếu f ( x)dx � f ( x)dx � f ( x)dx � có giá trị A B 5 C Câu 15 Trong phép tính sau đây, phép tính sai? 2 e x dx e x A � B dx ln x � x 2 3 3 2 D 9 2 �2 � x 1 dx �x x � D � �2 � 1 2 cos xdx sin x C � Câu 16 Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] có nguyên hàm hàm F đoạn [a; b] Trong phát biểu sau, phát biểu sai ? b A f ( x )dx F (b) F (a ) � a B F '( x) f ( x ) với x �( a; b) b C f ( x)dx f (b) f ( a) � a b f ( x )dx G (b) G (a ) � D Hàm số G cho G ( x) F ( x ) thỏa mãn a Câu 17 Xét hàm số f liên tục � số thực a , b , c tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? b A b a f ( x )dx � f ( x)dx � f ( x )dx � a c c B b c b a a c f ( x)dx � f ( x)dx � f ( x )dx � Trang 7/80 b c b a a c f ( x )dx � f ( x)dx � f ( x )dx C � b c c a a b f ( x)dx � f ( x)dx � f ( x)dx D � Câu 18 Xét hai hàm số f g liên tục đoạn a; b Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? b f ( x)dx �M (a b) A Nếu m �f ( x ) �M x �[a; b] m(b a ) �� a b f ( x)dx �m(b a) � B Nếu f ( x) �m x �[a; b] a b C Nếu f ( x) �M x �[a; b] f ( x)dx �M (b a ) � a b f ( x)dx �m( a b) � D Nếu f ( x ) �m x �[a; b] a Câu 19 Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [a; b] cho g ( x ) �0 với x �[a; b] Xét khẳng định sau: b I b b a a f ( x )dx � g ( x )dx f ( x) g ( x) dx � � a b b b f ( x )dx � g ( x )dx f ( x) g ( x) dx � II � a III a a b b b a a a f ( x)dx.� g ( x)dx f ( x).g ( x) dx � � b b f ( x) IV � dx g ( x) a f ( x)dx � a b g ( x) dx � a Trong khẳng định trên, có khẳng định sai? A B C D Câu 20 Tích phân x( x 1)dx � có giá trị với giá trị tích phân tích phân đây? x x 3 dx A � 3 sin xdx B � ln 10 C �e 2x dx D cos(3 x )dx � 0 Câu 21 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu hàm số f liên tục đoạn a; b , cho b f ( x)dx �0 � f ( x ) �0 a x �[a; b] B Với hàm số f liên tục đoạn [3;3] , ln có �f ( x)dx 3 C Với hàm số f liên tục �, ta có b a a b f ( x)dx � f ( x) d ( x ) � Trang 8/80 D Với hàm số f liên tục đoạn 1;5 f ( x) � f ( x) dx 3 Câu 22 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? f ( x)dx A Nếu f hàm số chẵn � � B Nếu 1 f ( x)dx �f ( x)dx � �f ( x)dx 1 f hàm số chẵn đoạn [1;1] C Nếu �f ( x)dx f hàm số lẻ đoạn [1;1] 1 D Nếu �f ( x)dx f hàm số chẵn đoạn [1;1] 1 Câu 23 Giả sử F nguyên hàm hàm số y x sin x khoảng (0; �) Khi x sin � xdx có giá trị A F (2) F (1) B F (1) D F (1) F (2) C F (2) b Câu 24 Cho hàm số f liên tục � hai số thực a b Nếu f ( x)dx � tích a b �f (2 x)dx phân có giá trị a B 2 C D 4 Câu 25 Giả sử F nguyên hàm hàm số y x sin x khoảng (0; �) Khi A tích phân 81x � sin xdx có giá trị A F (6) F (3) B F (6) F (3) C F (2) F (1) D F (2) F (1) Câu 26 Giả sử hàm số f liên tục đoạn [0; 2] thỏa mãn f ( x)dx Giá trị tích � �f (2sin x) cos xdx phân A 6 C 3 B D e ln x ln x dx học sinh giải theo ba bước Câu 27 Bài tốn tính tích phân I � x sau: I Đặt ẩn phụ t ln x , suy dt x t e dx x e 1 2 ln x ln x dx �t t 1 dt II I � x 1 Trang 9/80 2 � � III I �t t 1 dt � t � 1 t� � 1 Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Bài giải B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai Bước III Câu 28 Xét tích phân I sin x dx Thực phép đổi biến � cos x t cos x , ta đưa I dạng sau 2t A I � dt 1 t 1 2t dt D I � 1 t 2 2t dt C I � 1 t 2t B I � dt 1 t Câu 29 Cho hàm số y f ( x) liên tục đoạn [a; b] Trong bất đẳng thức sau, bất đẳng thức đúng? b f ( x) dx A � a b a b b a a b b a a b b a a f x dx �� f ( x ) dx B � f ( x)dx � f x dx � f ( x ) dx D � f ( x) dx �� f ( x)dx C � Câu 30 Trong khẳng định đây, khẳng định sai? A 1 sin(1 x)dx � sin xdx � B x dx (1 x) � x sin dx � sin xdx C � 0 D x � 2017 (1 x) dx 1 2019 Câu 31 Cho hàm số y f ( x) lẻ liên tục đoạn [2; 2] Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? 2 2 2 2 2 2 2 f ( x)dx � f ( x)dx A � B �f ( x)dx f ( x)dx 2� f ( x )dx D � f ( x)dx � f ( x) dx C � ( x 1) dx học sinh giải theo ba bước Câu 32 Bài tốn tính tích phân I � 2 sau: I Đặt ẩn phụ t ( x 1)2 , suy dt 2( x 1)dx , II Từ suy dt dt dx � dx Đổi cận 2( x 1) t x 2 t 1 4 ( x 1) dx � dt t III Vậy I � 3 2 t Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Sai từ Bước I B Sai Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải Câu 33 Một học sinh định lên bảng làm tốn tích phân Mỗi giải 2,5 điểm, giải sai (sai kết sai bước tính nguyên hàm) điểm Học sinh giải tốn sau: Bài Đề Bài giải học sinh t Trang 10/80 1 A 30 B 60 C 60 3 Hướng dẫn giải Đặt u x x u Khi x u du Ta có: du 2dx � dx u6 u du (3 1) 60 x 1 dx � Do đó: � 21 12 12 Câu 118 Giá trị tích phân 4x dx � x x 1 2 D 30 A ln B ln C ln Hướng dẫn giải Đặt u x x Khi x u Khi x u Ta có: du (2 x 1) dx D ln 3 4x 2du dx � ln | u | 2(ln ln1) ln Do đó: �2 x x 1 u Câu 119 Giá trị tích phân dx � (2 x 1) 1 1 B C Hướng dẫn giải Đặt u x Khi x u Khi x u du Ta có du 2dx � dx 2 dx du 1 ( 1) Do � 2 � (2 x 1) 21u 2u 3 A Câu 120 Giá trị tích phân � 3 A 3ln Hướng dẫn giải D x3 dx x 1 x B ln B 3 ln D 3 3ln �x � u Đặt u x � u x � 2udu dx ; đổi cận: � �x � u Ta có 2 x3 2u 8u dx du � (2u 6)du � du � � u 3u u 1 x 1 x 1 u 6u 6ln u 1 3 ln 32 2 x 1 Câu 121 Giá trị tích phân: I � 1 1 2x Hướng dẫn giải A ln B ln dx C ln D ln Trang 67/80 Đặt t x � dt Đổi cận: dx � dx (t 1) dt x t 2t 2x x t Ta có I 4 (t 2t 2)(t 1) t 3t 4t � 2� dt dt � t 3 � dt � 2 � � 22 t 22 t 2� t t � �t 2� � 3t ln t � ln �2 t� x 1 99 dx Câu 122 Giá trị tích phân: I � 101 x 1 � 2100 1� � 900 � Hướng dẫn giải A B � 2101 1� � 900 � C � 299 1� � 900 � D � 298 1� � 900 � 99 99 100 1 �7 x � �7 x � 1 �7 x � 1 100 �7 x � dx I � d � 1 � � � � � � � � � x x x 100 x 900 � � � � � � � � x 0 x 2001 Câu 123 Tích phân I � 1002 dx có giá trị (1 x ) 1 2002.21001 Hướng dẫn giải A B 2001.21001 C 2001.21002 D 2002.21002 x 2004 I �3 dx � dx 1002 1002 x (1 x ) Đặt t � dt dx � 1 �1 x � 1� x x �x � 2 Câu 124 Giá trị tích phân cos(3 x � 2 )dx 3 2 B C 3 Hướng dẫn giải 2 2 4 Đặt u x Khi x u , x u 3 3 du Ta có du 3dx � dx Do đó: A 2 4 3 2 cos(3 x ) dx � 3 D 2 4 1 � 4 � 1� 3� cos udu sin u sin sin � � � � � � � 3� 3 � 3� 2 � Câu 125 Giá trị tích phân I cos x cos xdx � Trang 68/80 Hướng dẫn giải A I � cos x cos xdx B C D 1 (1 cos x) cos xdx � (1 cos x cos x) dx � 20 40 1 ( x sin x sin x) |0 /2 4 x sin x dx Câu 126 Giá trị tích phân: I � cos2 x 2 A Hướng dẫn giải 2 B 2 C t sin t dt x t � dx dt � I � cos t sin t � cos t 2 D dt I sin t d (cos t ) 2 � � � 2I � dt � I � � � cos t cos t �4 � 0 Câu 127 Giá trị tích phân J sin x 1 cos xdx � Hướng dẫn giải A B C D D ln D ln �2 J � sin x 1 cos xdx � � sin x sin x � �5 �0 sin x cos x dx Câu 128 Giá trị tích phân I � sin x ln Hướng dẫn giải A B ln C ln Đặt t sin x � t sin x � 2tdt 2cos xdx � dx tdt �I t cos x s inx dt ln t � t ln( 2) 1 ln 2 sin x Câu 129 Giá trị tích phân I dx � 3cos x ln Hướng dẫn giải A B ln C ln ln t dt 1 � I �dt ln Đặt t 3cos x � dt 3sin xdx � dx 3sin x 31t 3 Trang 69/80 Câu 130 Giá trị tích phân I �1 cos x sin x.cos xdx 21 A 91 Hướng dẫn giải 12 B 91 C 21 19 D 12 19 D Đặt t cos3 x � t cos x � 6t dt 3cos x sin xdx �t t 13 �1 12 2t dt 6 � dx � I t t dt � � � cos x sin x �7 13 �0 91 cos x Câu 131 Giá trị tích phân I dx � (sin x cos x ) Hướng dẫn giải A B C cos x I� dx dx Đặt t tan x 3 � (sin x cos x) (tan x 1) cos x 0 Câu 132 Giá trị tích phân I = sin xdx � (sin x + cos x) 1 1 B C D Hướng dẫn giải Đặt: x u dx du Đổi cận: x = � u = ; x = u = 2 � � sin � u � du 2 cos xdx �2 � I Vậy 3 � � � sin x cos x � � � � � sin � u � cos � u � � � � �2 � � �2 � A Vậy: 2I = sin x + cos x � sin x + cos x dx dx � (sin x + cos x) � � tan �x � dx � � 1 = � � 2cos � �x � � 4� Câu 133 Giá trị tích phân I cos x sin xdx � 32 Hướng dẫn giải A I I � cos x sin xdx B I 16 C I D I 1 cos x sin 2 xdx � (1 cos x)dx � cos x sin 2 xdx � 40 16 40 �x sin x � � sin x � 16 64 24 �0 32 � Trang 70/80 Câu 134 Giá trị tích phân I (sin x cos x)(sin x cos x) dx � 32 128 Hướng dẫn giải A I B I 33 128 Ta có: (sin x cos x)(sin x cos x) C I 31 128 D I 30 128 33 33 cos x cos8 x I 64 16 64 128 sin x Câu 135 Giá trị tích phân I dx � 6 sin x cos x A B C 3 Hướng dẫn giải sin x I� dx Đặt t sin 2 x I = sin 2 x 4 D �2 �= t dt �3 � � t� 1� 1 xdx Câu 136 Giá trị tích phân I � sin x B I C I Hướng dẫn giải Đặt: x t � dx dt Đổi cận: x � t , x � t A I D I ( t ) dt t � dt dt � � I � � dt � I �I � � � sin t sin t � sin t sin t sin( t ) 0� 0 �t � dt dt d� � � � 4� �t � � tan � � 0� t t � cos �t � � t 2 � � sin cos � � �2 �0 � � cos �2 � � � 2� � �2 � Tổng quát: xf (sin x)dx � f (sin x)dx 2� sin 2007 x Câu 137 Giá trị tích phân I dx 2007 2007 � sin x cos x 3 5 B I C I D I 4 Hướng dẫn giải Đặt x t � dx dt Đổi cận x � t , x � t Vậy 2 � � sin 2007 � t � cos 2007 t �2 � I � dx � 2007 dx J (1) � � sin t cos 2007 t 2007 � 2007 � sin � t � cos � t � �2 � �2 � A I Trang 71/80 Mặt khác I J dx (2) Từ (1) (2) suy I � Tổng quát: sin x cos n x dx � n dx , n �Z n n n � sin x cos x sin x cos x 0 n Câu 138 Giá trị tích phân cos � 11 xdx 250 693 Hướng dẫn giải A cos � 11 xdx B 254 693 C 252 693 D 256 693 C 63 512 D 65 512 10!! 2.4.6.8.10 256 11!! 1.3.5.7.9.11 693 Câu 139 Giá trị tích phân sin � 10 xdx 67 512 Hướng dẫn giải A sin � 10 xdx B 61 512 9!! 1.3.5.7.9 63 10!! 2.4.6.8.10 512 Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm): �(n 1)!! , ne� un le� 2 � � n !! n n cos xdx � sin xdx � � 0 �(n 1)!! , ne� un cha� n � n !! Trong đó: n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5; 6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10 dx Câu 140 Giá trị tích phân I � x 1 e �2e � A ln � � �e � Hướng dẫn giải �e � B ln � � �e � �e � C ln � � �e � �2e � D ln � � �e � 1 d 1 ex 1 ex �2e � 1 �I � dx � ln e x ln(1 e) ln ln � � Vì x x x 1 e 1 e 1 e �e � 0 ln Câu 141 Giá trị tích phân I �e ln Hướng dẫn giải A B e x dx 10 x 1 C 20 D Trang 72/80 �t �2 20 2tdt Đặt t e � t e � dx x � I � t 1 dt �3 t �1 e � � x x ln �e Câu 142 Giá trị tích phân I x 1dx Hướng dẫn giải A B C Đặt t e x � t e x � 2tdt e x dx � dx D 2tdt 2tdt ex t 1 2t � � �I � dt 2� 1 � dt � t 1 t 1 � 0� 1 ln �e Câu 143 Giá trị tích phân I A 2 Hướng dẫn giải B ex x 1 dx 1 C 2 D 2 2tdt tdt 12 1 Đặt t e � t e � 2tdt e dx � dx x � I �3 2 e t t 2 x x x e2 Câu 144 Giá trị tích phân I dx � x ln x e A ln Hướng dẫn giải B ln C ln D ln dt Đặt t ln x ; x e � t 1, x e � t � I � ln t t ln Câu 145 Giá trị tích phân: I �e ln A ln Hướng dẫn giải e x dx x B 2ln3 – ex 2 ln C ln D ln Đặt t e x , Khi x ln � t 0; x ln3 � t 1; e x t � e x dx 2tdt 1 1 (t 2)tdt 2t d (t t 1) (t ) dt = � (t 1)dt + � I = �2 = 2� t t 1 t t 1 t t 1 0 0 1 = (t 2t ) + 2ln(t2 + t + 1) = 2ln3 – ln Câu 146 Cho M 2e3 x e x dx Giá trị e M 3x 2x x � e e e Hướng dẫn giải A ln M 2e x e x dx 3x 2x x � e e e ln B C 11 D ln 3e3 x 2e x e x (e3 x e x e x 1) dx 3x 2x x � e e e �3e3 x 2e2 x e x � 1� dx ln e3 x e x e x 1 �3 x x x � e e e � � ln ln x ln 11 11 � eM 4 Trang 73/80 e ln x ln x dx Câu 147 I � x 3� 25 � � 8� Hướng dẫn giải A B e 3� 24 � � 8� C e 3� 25 � � 8� D 3� 24 � � 8� e ln x ln x I � dx � ln x ln xd ln x � ln x d ln x x 21 1 ln x e �3 4 � � 8� ln(1 x) Câu 148 Giá trị tích phân I � dx 1 x ln Hướng dẫn giải A I B I ln C I ln D I Đặt x tan t � dx (1 tan t )dt Đổi biến: x � t 0, x � t ln ln(1 tan t ) �I � tan t dt � ln(1 tan t )dt tan t 0 Đặt t u � dt du ; Đổi cận: t � u , t � u 4 � � � � �I � ln(1 tan t )dt � ln � tan � u � du � �4 � � � 0 � tan u � � � � ln � 1 du � ln � du � ln 2du � ln tan u du ln I � � tan u � � tan u � � 0 0 ln Câu 149 Cho hàm số f(x) liên tục � thỏa f ( x) f ( x) cos x Giá trị tích Vậy I phân I �f ( x)dx Hướng dẫn giải A I Xét tích phân J B I C I D I �f ( x)dx Đặt x t � dx dt Đổi cận: x �t , x �t 2 2 Trang 74/80 Suy ra: J �f ( x )dx �f (t )dt �f (t )dt I Do đó: 3I J I cos xdx � cos xdx f ( x ) f ( x ) dx � � II VẬN DỤNG CAO Vậy I f ( x)dx Câu 150 Tìm hai số thực A, B cho f ( x ) A sin x B , biết f '(1) � �A 2 �A � � A � B � 2 B B � � � � Hướng dẫn giải f ( x) A sin x B � f '( x ) A cos x f '(1) � A cos � A 2 0 �A 2 � C � B � � � �A D � � B � f ( x)dx � � ( A sin x B) dx � � A A cos 2 B cos � B � a (4 4a) x x3 � xdx đẳng thức Câu 151 Giá trị a để đẳng thức � � �dx � A Hướng dẫn giải B C D � � 12 � a (4 4a) x x � a x (2 2a ) x x � �1 � a � �dx � a dx (a 0) Câu 152 Giá trị tích phân I �2 x a2 4a Hướng dẫn giải A B 2 4a C 2 4a D 4a �x � t � � � Đặt x a tan t ; t �� ; �� dx a (1 tan t )dt Đổi cận � x a � t �2 � � � Vậy I a (1 tan t ) dt dt � a tan t a a� 4a 0 cos x Câu 153 Giá trị tích phân I dx � cos x A Hướng dẫn giải B 2 C 4 D Trang 75/80 �x � t � Đặt t sin x � dt cos xdx Đổi cận : � �x � t � cos x dx Vậy I � cos x dt �3 2t dt �3 t � t �u � � 3 Đặt t , suy cos u � dt sin udu Đổi cận : � 2 � t �u � � sin udu dt 1 I du u � � � 2 2 t cos u 4 2 dt Câu 154 Cho I � Tích phân sau có giá trị với giá trị tích 1 t x phân cho x x x dt A � 1 t dt B � 1 t C dt � 1 t D x dt � 1 t Hướng dẫn giải 1 1 Đặt u � t � dt du Đổi cận t x � u ; t � u t u u x 1 du 1 x x dt du du dt dt u � 2 2 � � � � � � 1 t u 1 1 t 1 t2 1 u 1 x x x u2 x Câu 155 Giá trị tích phân I � ln(sin x)dx sin x C ln Hướng dẫn giải � u ln(sin x) � du cot xdx � � dv dx � v cot x � sin x � D ln A ln B ln I � ln(s inx)dx cot x ln(sin x) 2 � cot xdx sin x 6 � � � ln cot x � x 2 ln � � 6 Trang 76/80 1, x dx Câu 156 Giá trị tích phân I � A B 4 C 3 D Hướng dẫn giải Xét hiệu số x đoạn [0; 2] để tìm 1, x 2 x3 1, x dx � x dx � dx x1 Vậy I � 3 0 2 Câu 157 Giá trị tích phân I 3 dx dx � x 1 x 8 A ln Hướng dẫn giải C ln B D ln �x 8 � t Đặt t x � x t � dx 2tdt Đổi cận � �x 3 � t 3 3 dx 2tdt tdt dt t 1 dx � 2� 2� ln ln Vậy I � 1 t t 1 8 x x 1 t t 1 t t a x3 ln x I dx ln Giá trị của a là Câu 158 Biết � x A B ln C Hướng dẫn giải a a D a x3 ln x ln x I � dx ln � xdx 2�2 dx ln x x 1 �a � �1 � � � � ln a 1� ln � a a � �2 � �a x ln x dx ln nên a HD casio: Nhập � x sin x Câu 159 Cho I1 cos x 3sin x 1dx , I dx Khẳng định sau sai ? � � (sin x 2) 0 14 Hướng dẫn giải B I1 I A I1 3 B I ln 2 D I ln t 14 I1 � cos x 3sin x 1dx � dt sin x 2� � I2 � dx 2� dt ln � � (sin x 2) t t � 2� m Câu 160 Tất giá trị tham số m thỏa mãn x dx � A m 1, m 6 B m 1, m 6 C m 1, m D m 1, m Trang 77/80 Hướng dẫn giải m x dx � ( x � m x) � m 5m � m 1, m 6 0 Hướng dẫn casio: Thay m m 6 vào thấy thỏa mãn sin x a cos x b cos x Câu 161 Cho hàm số h( x ) Tìm để h( x) (2 sin x) (2 sin x) sin x tính I � h( x)dx 2ln 3 C a 2, b 4; I ln Hướng dẫn giải Sử dụng đồng thức, ta thấy B a 4, b 2; I ln 3 D a 2, b 4; I ln A a 4, b 2; I �b a 4 � a cos x b cos x a cos x b cos x(2 sin x ) sin x � 1 h( x ) � �2 �� 2 b (2 sin x) sin x (2 sin x) (2 sin x) � � a 2b � 4cos x cos x � � �2 Vậy h( x)dx � dx � ln sin x � � � � � (2 sin x) sin x � � sin x �0 0� ln ln ln 3 Câu 162 Giá trị trung bình hàm số y f x a; b , kí hiệu m f tính b f x dx Giá trị trung bình hàm số thức m f ba � a theo công f x sin x 0; Hướng dẫn giải A m f B C D sin xdx � 0 dx 4 I K x 3x 1 dx Tích Câu 163 Cho ba tích phân , J sin x cos x dx � � � 3x 1 phân có giá trị A K Hướng dẫn giải 21 ? B I C J D J K dx 1 I � ln 3x ln 3x 0 Trang 78/80 0 J � sin x cos4 x dx � cos x sin x dx K x � 1 x 1 dx 21 a Câu 164 Với a , giá trị tích phân sau dx dx � x 3x 2 là: A ln a2 2a B ln a2 a 1 C ln a2 a 1 a2 2a D ln Hướng dẫn giải a a a dx � x2 a2 �1 � dx ln ln � � � x x �x x � x 1 a 1 x3 m dx Khi đó giá trị 144m bằng Câu 165 Cho � ( x 2) 2 Hướng dẫn giải A B C D 1 d ( x 2) 1 1 3.m � � 3.m � 3m � m ( x 2) ( x 2) 12 2 �1 � Vậy 144m 144 � � 12 � � Câu 166 Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm liên tục a; b , đồng thời thỏa mãn f ( a) f (b) Lựa chọn khẳng định khẳng định sau b b f '( x).e f ( x ) dx A � B a f '( x).e � f (x) dx a b b f '( x).e f ( x ) dx 1 C � D a f '( x).e � f (x) dx a Hướng dẫn giải b b a a b e f ( x ) f '( x)dx � e f ( x ) d ( f ( x)) e f ( x ) e f (b ) e f ( a ) � a dx Câu 167 Kết phép tính tích phân I � có dạng I a ln b ln ( a, b ��) x 3x Khi a ab 3b có giá trị A B Hướng dẫn giải C D 4 dx 1 � �1 2� dt � dt 2ln ln , Ta có I � � � t 1 t 1 t 1 � x 3x 2� suy a 2, b 1 Vậy a ab 3b Trang 79/80 Câu 168 Với n �, n , tích phân I cos x n sin xdx có giá trị � 2n Hướng dẫn giải A n 1 B n 1 C D n t n 1 I� t dt cos x sin xdx � n 1 n 1 n n Câu 169 Với n ��, n , giá trị tích phân n n B 4 Hướng dẫn giải Đặt t x � dx dt A � � � � sin x dx n sin x �cos x C 3 0 D 3 f (sin x)dx � f� sin � t � dt � f (cos t ) dt � f (cos x) dx � � � �2 � � n sin x dx I � dx � I n sin x �cos x n 2017 � cos 2xdx Câu 170 Giá trị tích phân A 3034 Hướng dẫn giải B 4043 C 3043 D 4034 Do hàm số f ( x ) cos x hàm liên tục tuần hồn với chu kì T nên ta có T f ( x) dx � � 2T �f ( x)dx T 3T �f ( x)dx 2T �f ( x)dx ( n 1)T nT T 2T nT T 0 T ( n 1) T f ( x) dx �f ( x)dx � �f ( x)dx 2017 � nT f ( x)dx �f ( x)dx n� 0 sin xdx 4034 � cos xdx 2017 �1 cos xdx 2017 � �(1 sin x)1 cos x � ln dx � � � � cos x � B 2 ln C ln Câu 171 Giá trị tích phân A ln Hướng dẫn giải � ln(1 sin x) � � Đặt x 1 cos x D 2 ln 0 ln(1 cos x) � (1 cos x) ln(1 sin x) dx � ln(1 cos x)dx �dx � t � dx dt Đổi cận x � t ; x � t 2 Trang 80/80 � � � � I� ln cos x dx � ln � cos � t � dt � ln sin t dt � ln(1 sin x)dx � �2 � � � 0 0 �I � (1 cos x ) ln(1 sin x)dx � ln(1 sin x)dx � cos x ln(1 sin x) dx ln b (3 x � Câu 172 Có giá trị b thỏa mãn 12 x 11)dx A Hướng dẫn giải b (3 x � B C 12 x 11)dx x x 11x b Câu 173 Biết 6dx � b 1 � � b 6b 11b � � b2 � b3 � a A Hướng dẫn giải b D xe dx a � x Khi biểu thức b a 3a 2a có giá trị B C D b 6dx � b +Ta có � a xe x dx +Tính � ux du dx � � � � x Khi đó, Đặt � x dv e dx � v e � Vậy b a 3a 2a a xe x dx xe x � a a � e x dx e a e a a � a b a dx A ,� 2dx B (với a, b ) Khi giá trị biểu thức Câu 174 Biết �2 x a2 0 B 2b A 2 Hướng dẫn giải 4aA a +Tính B C 3 D 4 dx � x a 2 � � Đặt t a tan x; a �� ; �� dx a (1 tan t )dt �2 � Đổi cận : x � t 0; x a � t Vậy b +Tính: 2dx 2b , suy � a (1 tan t ) 14 dt dt 2 � � a tan t a a0 4a B 2b Trang 81/80