Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
12
Dung lượng
1,36 MB
Nội dung
Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG tỉnh Hưng Yên Năm 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM 2019 MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT Câu I (5,0 điểm) Cho hàm số cực tiểu Cho hàm số y = x − − m x2 − x + y = x − mx + 2m − ( C ) với m tham số Tìm giá trị m để hàm số có với m tham số Gọi A điểm thuộc đồ thị ( C ) có hồnh độ Tìm giá trị m để tiếp tuyến đồ thị ( C ) A cắt đường tròn ( T ) : x2 + y = hai điểm phân biệt tạo thành dây cung có độ dài nhỏ Câu II (4,0 điểm) sin x 5 ÷÷ Giải phương trình + 5cos2 x = x − + x + 2 Tính tích phân dx x x + + ( x + 1) x I= ∫ Câu III (5,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy lượt trung điểm cạnh góc với mặt bên Cho tứ diện ABCD hình thoi cạnh 2a ·ABC = 60° Gọi E , F SC , SD Biết SA = SC = SD mặt phẳng ( ABEF ) lần vuông ( SCD ) , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ABCD có độ dài cạnh AB = , AC = , AD = góc · = BAD · = 60° , CAD · = 90° Tính khoảng cách hai đường thẳng AB BAC Câu IV (2,0 điểm) Cho đa thức Biết phương trình f ( x ) = x + ax + bx + cx + f ( x) = có với a; b; c CD số thực không âm 4 nghiệm thực, chứng minh f ( 2018) ≥ 2019 y − y − y + = ln Câu V (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: x − x = y + y − ( ) ( x + + x + ln Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! y2 +1 − y ) Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG tỉnh Hưng Yên Năm 2019 u1 = * Câu VI (2,0 điểm) Cho dãy số xác định sau: un +1 = + 2unun +1 , ∀n ∈ ¥ Tìm số hạng thứ 10 dãy số cho Chứng minh u2019 số vô tỷ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM 2019 MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT vietanhhda1983@gmail.com Câu I (5,0 điểm) Cho hàm số cực tiểu Cho hàm số y = x − − m x2 − x + y = x − mx2 + 2m − ( C ) với m tham số Tìm giá trị m để hàm số có với m tham số Gọi A điểm thuộc đồ thị ( C ) có hồnh độ Tìm giá trị m để tiếp tuyến đồ thị ( C ) A cắt đường tròn ( T ) : x2 + y = hai điểm phân biệt tạo thành dây cung có độ dài nhỏ Lời giải Xét y = 2x − − m x2 − 4x + TXĐ: ¡ y′ = − m ( x − 2) x2 − x + ,∀x ∈ ¡ +) Hàm số có cực tiểu trước hết phương trình y' = ⇔ m = y ' = có nghiệm x2 − 4x + (*) x− 2 x2 − 4x + g ( x) = Đặt x−2 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ( x − 2) g '( x) = x − 4x + ( x − 2) − ( x − 2) Đề chọn HSG tỉnh Hưng Yên Năm 2019 x2 − 4x + = −2 ( x − 2) x − 4x + < 0, ∀ x ≠ BBT: m > ⇔ Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nghiệm m < −2 x − 4x + − y '' = − m +) ( x − 2) −m x2 − 4x + = , ∀x ∈ ¡ 2 x − 4x + ( x − x + 5) x − x + m > ⇒ y '' < : Hàm số khơng có cực tiểu Với m < − ⇒ y '' > : Hàm số có cực tiểu Với Vậy m < − hàm số có cực tiểu Ta có Gọi A(1; m − 1) d tiếp tuyến đồ thị ( C ) A Phương trình đường thẳng d là: y = ( − 2m ) ( x − 1) + m − ⇔ ( − 2m ) x − y + 3m − = 3 I ;1÷ Đường thẳng d ln qua điểm cố định nằm đường tròn Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG tỉnh Hưng n Năm 2019 Do d ln cắt đường tròn hai điểm M , N Gọi H trung điểm MN Ta có: MN = 2MH = − OH ≥ − OI = MN ⇔ H ≡ I ⇔ OI ⊥ d ⇔ Vậy với m= 11 MN − 2m − 11 = ⇔ m= đạt giá trị nhỏ Thuanchy@gmail.com Câu II (4,0 điểm) sin x 5 ÷÷ Giải phương trình + 5cos2 x = x − + x + 2 Tính tích phân dx x x + + ( x + 1) x I= ∫ Lời giải Tác giả:Vũ Thị Thuần; Fb:Xu Xu Ta có: sin x 5 5 0< < 1;0 ≤ sin x ≤ ⇒ ÷÷ ≤ ÷÷ = > 1; − ≤ cos x ≤ ⇒ 5cos2 x ≤ 51 = sin x 5 ÷÷ Vậy + 5cos2 x ≤ , dấu xảy sin x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ ) cos x = x − + x + = − x + x + ≥ − x + x + = , dấu xảy Lại có ( − x ) ( x + 5) ≥ ⇔ − ≤ x ≤ sin x 5 ÷÷ Do x = kπ + 5cos2 x = x − + x + ⇔ ⇔ −5 ≤ x ≤ Vậy phương trình có hai nghiệm x = −π x = x = π ; x = dx dx I=∫ =∫ x x ( x + 1) x + x + 1 x x + + ( x + 1) ( ) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC =∫ ( ) x + − x dx x ( x + 1) ( = x − x +1 ) Đề chọn HSG tỉnh Hưng Yên Năm 2019 2 1 = ∫ − dx ÷ =∫ dx − ∫ dx x x+1 1 x x + 1 = − − tongangoquyen@gmail.com Câu III (5,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy lượt trung điểm cạnh góc với mặt bên Cho tứ diện ABCD hình thoi cạnh 2a ·ABC = 60° Gọi E , F SC , SD Biết SA = SC = SD mặt phẳng ( ABEF ) lần vuông ( SCD ) , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ABCD có độ dài cạnh AB = , AC = , AD = góc · = BAD · = 60° , CAD · = 90° Tính khoảng cách hai đường thẳng AB BAC CD Lời giải Tác giả: Trần Tố Nga; Fb: Trần Tố Nga S F E I A D O H B Gọi M trung điểm M C CD , I giao điểm EF SM , H giao điểm AM DO Có ABCD hình thoi cạnh 2a , ·ABC = 60° nên ∆ ACD cạnh 2a ⇒ Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Có SA = SC = SD nên hình chiếu S Đề chọn HSG tỉnh Hưng Yên Năm 2019 lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với H hay SH ⊥ ( ABCD ) Có ( ABEF ) ⊥ ( SCD ) Mà SM ⊥ EF (Do theo giao tuyến EF SM ⊥ CD ; EF // CD ) ⇒ SM ⊥ ( ABEF ) ⇒ SM ⊥ AI ⇒ ∆ AIM vuông I S I A +) Gọi K trung điểm H HM ⇒ IK K đường trung bình M ∆ SHM ⇒ Xét ∆ AIM vuông IK = AK KM ⇒ IK = I có IK ⊥ AM nên 2a a a 15 + ÷÷ = AH + HM ÷ HM = = a 36 a 15 a 15 ⇒ SH = 1 a 15 2a V = SH S ABCD = ( 2a ) sin 60° = Vậy S ABCD 3 3 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Gọi Vì N trung điểm AM = AC điểm cạnh AC cho AB = , AC = , AD = ⇒ AB = AM = AN = Lại có · = BAD · = 60° , CAD · = 90° nên BM = CN = 3; MN = BAC ⇒ ∆ BMN Gọi vuông B O trung điểm MN Lại có O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ BMN AB = AM = AN ( = 3) ⇒ AO ⊥ ( BMN ) Vì AD , M Đề chọn HSG tỉnh Hưng Yên Năm 2019 ∆ BMN vuông Đặt hệ trục toạ độ AO = AN − ON = B Oxyz 2 BO ⊥ MN ; BO = MN = nên 2 hình vẽ với: 3 2 A 0;0; ;0;0 ÷÷ M − ;0;0 ÷÷ B 0; ;0 ÷÷ ÷÷ N O ( 0;0;0 ) , , 2 , , +) Vì N trung điểm AD 3 2 D ;0; − ÷ ÷ nên uuur uuuur 2 AC = AM ⇒ AC = AM ⇒ C − 2 ;0; − ÷ 3 ÷ +) Có uuur uuur ⇒ AB , CD = ( −3; − 15; − 15 ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC uuur AC = − 2 ;0; − 2 ( Có Đề chọn HSG tỉnh Hưng Yên Năm 2019 ) uuur uuur uuur ⇒ AB , CD AC = + 30 = 36 uuur uuur uuur AB , CD AC d ( AB , CD ) = uuur uuur AB , CD Áp dụng công thức 36 102 = 17 + 225 + 225 ⇒ d ( AB , CD ) = Rinnguyen1991@gmail.com Câu IV (2,0 điểm) Cho đa thức phương trình f ( x ) = x + ax + bx + cx + f ( x) = có với a; b; c nghiệm thực, chứng minh số thực không âm Biết f ( 2018) ≥ 20194 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin Nhận xét: Nếu x0 f ( x) = nghiệm phương trình x0 < (vì x0 ≥ f ( x0 ) > ) Gọi Khi nghiệm phương trình f ( x) = − x1 ; − x2 ; − x3 ; − x4 với xi > 0, ∀ i = 1;4 f ( x ) = ( x + x1 ) ( x + x2 ) ( x + x3 ) ( x + x4 ) ; f ( ) = ⇔ x1 x2 x3 x4 = f ( 2018 ) = ∏ ( 2018 + xi ) = ∏ 11+42 + 43 + + xi ÷ 2018 lần ÷ i =1 i =1 Ta có 4 ( ) ≥ ∏ 2019.2019 xi = 20194.2019 x1 x2 x3 x4 = 20194 i =1 Dấu “=” xảy ⇔ x1 = x2 = x3 = x4 = tanznguyen.a1@gmail.com y − y − y + = ln Câu V (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: x − x = y + y − ( ) ( x + + x + ln y2 +1 − y ) Lời giải Tác giả: Nguyễn Trường An; Fb: Trường An Nguyễn Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ) ( ( y − y − y + = ln x + + x + ln x3 − x = y + y − ( ) ( 1) Cộng vế ( 2) Đề chọn HSG tỉnh Hưng Yên Năm 2019 ) y + − y ( 1) ta có: ) ( y + − y) + x − x ⇔ y − y − ln ( y + − y ) = x − x + ln ( x + + x ) ⇔ y − y + ln ( y + + y ) = x − x + ln ( x + + x ) ( 3) y + − y) ( y + + y) = ln y + + y ) = − ln ( (do ( nên ( f ( t ) = t − t + ln ( t + + t ) Xét hàm số ¡ y − y = ln ( x + + x + ln 3 3 2 2 y2 + − y )) t +1 t + f ′ ( t ) = 3t − + = 3t + −1 t2 +1 + t t2 +1 f ′′ ( t ) = 6t − t ( t + 1) t = ′′ f ( t) = ⇔ 6 ( t + 1) = 2 (phương trình ( t + 1) = vơ nghiệm ( t + 1) ≥ > 1, ∀ t ∈ ¡ ) 3 Bảng biến thiên: t f ′′ ( t ) f ′( t) Từ bảng biến thiên ta có Ta có: −∞ +∞ − f ′ ( t ) ≥ 0, ∀ t ∈ ¡ ⇒ ( 3) ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇔ +∞ + +∞ Hàm số f ( t) đồng biến ¡ y = x Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Thay y= x vào ( 2) ta có: Đề chọn HSG tỉnh Hưng Yên Năm 2019 x3 − x = x + x − ⇔ x3 − x − x + = ( ) t = x− Đặt Phương trình ( ) trở thành: 1 t + ÷ 3 1 1 − t + ÷ − t + ÷+ = 3 3 7 ⇔ t − t + = ( 5) 27 Với t< Thay t= 3t 3t 7 cos α