SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn: TỐN (Đáp án có 06 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Lưu ý : 1/ Các cách giải khác mà cho điểm tương ứng với biểu điểm 2/ Điểm tổng tồn khơng làm tròn Câu Sơ lược cách giải Ý Điểm Cho đường thẳng d m : y mx 2m parabol (P): y x 3x (m tham số thực) Chứng minh d m cắt (P) điểm phân biệt với giá trị tham số m Tìm m để khoảng cách từ đỉnh I parabol (P) đến đường thẳng d m đạt giá trị lớn PT hoành độ: x (3 m) x 2m 0,25 Có ' m 2m Biến đổi ' (m 1) m �� 0, 25 Gọi M (a; b) điểm cố định họ đường thẳng d m Suy (a 2)m b với m 0,25 (2,5 đ) �a �a �� �� � M (2;1) 1 b b 1 � � �3 � I � ; � Đỉnh (P) �2 �, uuu r � 5� r MI � ; � u d � �và véctơ phương m 1; m Gọi H hình chiếu I lên d m khoảng cách từ I lên đường thẳng IH �IM nên IH đạt giá trị lớn IM uuur r IM d � IM u m Suy uuu rr � MI u � m � m m Đáp số Cho phương trình x x (2m 3) x 12 x 16 (m tham số thực) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm thực Nhận thấy x = không nghiệm phương trình, chia vế phương trình cho x2: 12 16 x x 2m x x (2,5 đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 � 4� � 4� � �x � �x � 2m 11 � x� � x� 4 t x , t x �4 x �0 x x Đặt Phương trình trở thành t 3t 11 2m Trang 0,25 0,5 0,25 Bảng biến thiên cho hàm f (t ) t 3t , t � �; 4 � 4; � 0,5 Từ bảng biến thiên suy f (t ) �4 Phương trình có nghiệm m� Đáp số 7x x2 Giải phương trình : 2 11 � 2m m 0,25 0,25 2x 1 2x 1 3 2x x ( x ��) Điều kiện: x , nhân vế phương trình với x PT trở thành x x x x x x 2 x � x 1 2x 2x Đặt x x a, 0,25 � 3x x x x x x 2 x x (2,5 đ) x 1 2x 2x 0,5 0 x b, (a,b > 0) 0,25 2 PT trở thành a 3ab 2b ab � � (a b)(a 2b) � � a 2b � 0,25 TH1: a = b suy x x x � ( x 1)(2 x 1) x � 4( x 1)(2 x 1) (2 x) 0,25 ĐK: x �2 0, 14 x �2 TH2: a = 2b suy x x 2 x � x2 � x x 1: x x 2, Đáp số: (2,5 đ) x 0,25 x x suy PT vô nghiệm 14 0,25 � x y x y x (1) � � x y (2) � xy x � Giải hệ phương trình : Điều kiện: x 0, y �0, x y �0, x y �0 Trang x; y �� 0,25 (1) � � 8x y x 8x y x 8x y x x y x y 1 x y 1 0 0,25 � � 1 � x y 5 � 0 � � 8x y x � x y � � � x y 5 � x y 5 8x y x y 8x y x x y 1 x � x y 1 9x 8x y � � x y 5 � 0 � x y 1 x 8x y � � � � � � � � 1 � � x y y x 1 � � x y 1 x 8x y � 4 4 43 � �1 4 4 44 x,y�TXD � � � x y y x 1 TH1: x y � y x thay vào phương trình (2) : x(5 x ) x � x x 3x x � 0;5 x ĐK: 1 x � x x 1 x � x 1 x 5 x � � � � � (1 x) � 1� � 54 x2 4243 � � � � x� 0;5 � � x � y thỏa mãn điều kiện TH 2: y x � y x thay vào phương trình (2) : x(8 x 1) 2 � x 8x x � x 8x x x VT x x x x x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x �0 x 0,25 Suy phương trình vơ nghiệm (2,0 đ) �x � Đáp số : hệ có nghiệm �y Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi d đường thẳng cố định qua G d’ đường thẳng song song với d Chứng minh tổng bình phương khoảng cách từ đỉnh tam giác đến đường thẳng d khơng vượt q tổng bình phương khoảng cách từ đỉnh tam giác đến đường thẳng d’ Trang 0,25 Gọi H, H’, I, I’, K, K’ hình chiếu A, B, C lên đường thẳng d d’ uuuur uur uuuur r uuuur uuur2 uuuu r2 2 Đặt HH ' II ' KK ' x Ta có AH ' BI ' CK ' AH ' BI ' CK ' uuur uuuur uur uur uuur uuuur AH HH ' BI II ' CK KK ' uuur r uur r uuur r AH x BI x CK x r uuur uur uuur r AH BI CK x AH BI CK x uuur uur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur Ta có: AH BI CK AG GH BG GI CG GK uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uur uuur AG BG CG GH GI GK GH GI GK uuur uuur uuur r Vì AG BG CG theo tính chất trọng tâm uuur uur uuur uuu r uuur uuur GH GI GK GA Nhận thấy , uuu,r uurlà hình , GB , GC lên đường uuur chiếu uuu r uuurcácuuvéctơ ur r thẳng d nên ta có GH GI GK GA GB GC r AH '2 BI '2 CK '2 AH BI CK x �AH BI CK Từ suy r r Dấu bất đẳng thức xảy x hay d’ trùng với d Suy điều phải chứng minh 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (2,0 đ) 0, Cho tam giác ABC, lấy điểm M thuộc miền tam giác cho � MBC � MCA � MAB Chứng minh : cot cot A cot B cot C Đặt BC = a, CA = b, AB = c, S ABC S , S MAB S1 , S MBC S , S MCA S3 b2 c2 a2 cos A 2bc Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có S bc.sin A Áp dụng cơng thức tính diện tích ta có Suy cotA 0,25 0,25 b2 c2 a2 4S Trang a c2 b2 a b2 c2 cotC 4S 4S Tương tự , 2 a b c cot A cot B cot C 4S Suy (1) cotB 0,25 0,25 Xét tam giác ABM theo chứng minh ta có: AB AM BM AB AM BM cot � S1 S1 cot 0,25 BC BM CM AC CM AM S2 S3 cot cot Tương tự , 2 2 a b c a b c2 a b2 c2 S1 S2 S3 �S � cot cot cot 4S Suy Từ (1) (2) suy đẳng thức chứng minh (3,0 đ) (2) 0, 25 0,25 sin A sin B sin C Chứng Cho tam giác ABC có góc thỏa mãn minh tam giác ABC có góc nhọn Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a b c sin A ,sin B , sin C 2R 2R 2R Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC : a 2018 b 2018 c 2018 Đẳng thức trở thành � a 2018 b 2018 a b �A B � � 2018 2018 2018 a b c � � 2018 � �� � a c �A C a c 2018 � � Từ a 2018 b 2018 c 2018 � a a 2016 b b 2016 c c 2016 Lại từ � a a 2016 b a 2016 c a 2016 � a b c b2 c2 a2 cos A 0� 2bc Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta A góc nhọn Suy tam giác ABC có góc nhọn Trong mặt phẳng (Oxy) cho hình thang cân ABCD (cạnh đáy AB), AB = 2CD, � 1350 ADC Gọi I giao hai đường chéo, đường thẳng qua I vng góc với hai cạnh đáy d : x y Tìm tọa độ điểm A biết diện tích hình 2018 (1,0 đ) 0,25 2018 2018 0,25 0,25 0,25 0,25 15 thang ABCD , hoành độ điểm I trung điểm AB có tung độ khơng âm Gọi E AD �BC , gọi M trung điểm đoạn AB.Ta có tam giác EAB cân E � 1800 ADC � 450 EAB suy tam giác ABE vuông cân E Trang 0,25 Ta có DC AB , DC song song với AB suy DC đường trung bình tam giác EM AB EA IM 6 EAB suy I trọng tâm tam giác EAB S ECD ED EC S EA EB EAB Ta có S EAB S ABCD 10 EA2 Suy EA 20 � IM 0,25 0,25 0,25 10 0,25 � 1� xI � y I � I � 3; � 3� � Đường thẳng d trùng với đường thẳng IM, có 0,25 10 � 1� IM (3m 1) � m � (m �0) � 3� ,có � M 3m 4; m M thuộc d m0 � � � � m m �0 suy M(4;0) � Đường thắng AB qua M(4;0) vng góc với d suy phương trình đường thẳng AB x y 12 AB EA 10 2 a3 � AM (a 4) (3a 12) 10 � 10a 80a 150 � � a5 � A thuộc đường thẳng AB � A(a; 3a 12) , có Đáp số: (2,0 đ) A 3;3 AM A 5; 3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh a b c �2 3 b 1 c 1 a3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : b b2 b b2 b3 (b 1)(b b 1) � 2 a 2a 2 b b , dấu xảy b b b � b b 2b �2 c 2 Tương tự c , dấu xảy c c 2c � a a , dấu xảy a 2a 2b 2c �2 Suy ta cần chứng minh bất đẳng thức b c a 2a 2a ab ab2 ab 2b bc 2b bc a b b 2 b2 b ; c2 c ; c2 c 2 Có b �ab bc ca � (a b c) � ��2 b 2 c 2 a 2� � Bất đẳng thức viết lại (*) Trang 0,25 0,25 0,25 ab 2ab 2ab a b.b.2 a(b b 2) 2ab 2a � � b b2 b 3 b b 9 Có: Dấu xảy b bc 2bc 2b � Tương tự c , dấu xảy c ca 2ca 2c � a 2 , dấu xảy a 0,5 0,25 Suy �2ab 2a 2bc 2b 2ca 2c � �(a b c) � � (a b c ) ab bc ca 9 � � 9 VT(*) (a b c) (a b c )2 �3(ab bc ca ) � ab bc ca � 12 Lại có Dấu xảy a = b = c � 12 Suy VT(*) 2, dấu xảy a = b = c = 2, suy bất đẳng thức chứng minh -HẾT Trang 0,25 0,25 ... HH ' II ' KK ' x Ta có AH ' BI ' CK ' AH ' BI ' CK ' uuur uuuur uur uur uuur uuuur AH HH ' BI II ' CK KK ' uuur r uur r uuur r AH x BI x CK x r uuur uur... CK x AH BI CK x uuur uur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur Ta có: AH BI CK AG GH BG GI CG GK uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uur uuur AG BG CG GH GI GK... uuurcácuuvéctơ ur r thẳng d nên ta có GH GI GK GA GB GC r AH '2 BI '2 CK '2 AH BI CK x �AH BI CK Từ suy r r Dấu bất đẳng thức xảy x hay d’ trùng với d Suy điều phải