Đề cương học kỳ I

Trêng THPT §¨kglei Gi¸o Viªn : Phan H÷u §Ư Trêng thpt ®¨kglei ®Ị c¬ng «n tËp häc kú i n¨m häc 2008-2009 Tỉ to¸n - tin m«n : to¸n líp 11 Gv so¹n : phan h÷u ®Ư §¹I Sè PHẦN I. LÝ THUYẾT CHƯƠNG I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 1. Đònh nghóa, các tính chất và đồ thò của các hàm số lượng giác. 2. Phương trình lượng giác cơ bản. 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản. CHƯƠNG II. Tổ hợp – Xác suất 1. Hai quy tắc đếm cơ bản. 2. Hoán vò – Chỉnh hợp – Tổ hợp. 3. Nhò thức Newton – Tam giác Paxcal. 4. Các loại biến cố cơ bản, xác suất của biến cố. 5. Các quy tắc tính xác suất. CHƯƠNG III. Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân 1. Phương pháp quy nạp toán học 2. Dãy số 3. Cấp số cộng 4. Cấp số nhân PHẦN II. DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 1. Chứng minh các tính chất của 1 hàm số lượng giác, vẽ đồ thò hàm số lượng giác. 2. Giải phương trình lượng giác. 3. Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên 1 tập cho trước. 4. Một số bài toán có chứa tham số về điều kiện có nghiệm của 1 phương trình lượng giác. Lưu ý: Xem lại các bài tập phần ôn tập chương I. CHƯƠNG II. Tổ hợp – Xác suất 1. Các bài toán đếm: sử dụng hai quy tắc đếm cơ bản, sử dụng hoán vò – chỉnh hợp – tổ hợp. 2. Viết khai triển nhò thức Newton, xác đònh số hạng – hệ số của 1 số hạng trong khai triển. Tính 1 số tổng liên quan đến các hệ số trong 1 khai triển. 3. Xác đònh không gian mẫu, xác đònh biến cố và tập kết quả thuận lợi cho biến cố. 4. Tính xác suất của biến cố. Lưu ý: Xem lại các bài tập phần ôn tập chương II. ¤n tËp häc kú 1 - líp 11 Trêng THPT §¨kglei Gi¸o Viªn : Phan H÷u §Ư CHƯƠNG III. Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân 1. Bài toán chứng minh công thức tổng S n và chứng minh chia hết 2. Viết các sô hạng đầu và dự đoán công thức, chứng minh bằng quy nạp ; chứng minh dãy số tăng, giảm và dãy số bò chặn 3. Chứng minh là CSC, tìm u 1 , d ? và dạng toán giải hệ phương trình tìm u 1 , d; tính tổng của n số hạng đầu và tìm n ? 4. Chứng minh là CSN, tìm số hạng tổng quát, công bội. Tính tổng của n số hạng đầu. Lu ý : Xem l¹i c¸c bµi tËp «n tËp ch¬ng III CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ CHƯƠNG I : Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lỵng gi¸c sau: a) sin3x = 2 2 , b) cos( 0 75x − ) = 1 2 c) sin3x = cos2x, d) 2 1 sin 2 x = , e) cos( 2 6 x π + ) = 2 2 − Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lỵng gi¸c sau: (pt c¬ b¶n biÕn ®ỉi vỊ pt c¬ b¶n) a) 4 4 2 cos sin 2 x x− = , b) cos( sin(2 1)) 1x π + = − c) 2 2 cos 5 sin 3 1x x+ = , d) tan( (sin cos )) 1x x π − = , e) cot( (sin cos )) 1x x π + = − f) sin( cos(2 )) 1 5 x π π + = . g) cos5 sin 4 cos3 sin 2x x x x = , h) sin 6 2 sin 5 cos6x x x= − i) 2 2sin 4 sin10 1x x+ = . Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lỵng gi¸c sau:(pt bËc nhÊt chøa mét hslg) a) 2cos 3 1 0x − = , b) 5sin(2 1) 1 0x + + = , c) 1 cot 4 0 2 x − = , d) 0 tan(2 70 ) 1 0x − + = Bµi 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lỵng gi¸c sau:(pt biÕn ®ỉi vỊ ptlg bËc nhÊt mét Èn) a) 2 cos 6 .sin 3 cos3 0 2 x x x − = , b) sin 8 cos 4 0x x + = c) 2 sin 3 cos 6 2 0x x− − = , d) sin sin 3 sin 5 0x x x − + = , e) 2 2 2 sin sin 2 sin 3x x x+ = f) cos3 cos5 sinx x x − = . g) sin 3 sin 5 sin 7 0x x x+ + = , i) sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos 3 0x x x x x x+ + − − − = h) 2sin cos 2 1 2 cos 2 sin 0x x x x− + − = . Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lỵng gi¸c sau:(pt bËc hai mét Èn) a) 2 5sin 3sin 2 0x x− − = , b) 5sin 3 cos 6 2 0x x + + = c) 4 2 4sin 3 12 cos 3 7 0x x+ − = , d) 2 6cos 4 11cos 4 2 0x x+ − = , e) 2cos 2 cos 1x x + = f) 2 2 2sin 4 cos 3cosx x x+ = . g) 2 tan (1 3) tan 3 0x x+ − − = , i) 2 2cot cot 3 0x x− − = . Bµi 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lỵng gi¸c sau:(pt biÕn ®ỉi vỊ pt bËc hai mét Èn) a) 2 2 5sin 2 3sin 2 cos 2 2 cos 2 0x x x x− − = , b) 2 2 5sin 10sin cos 4 cos 0x x x x− + = ¤n tËp häc kú 1 - líp 11 Trờng THPT Đăkglei Giáo Viên : Phan Hữu Đệ c) 2 2 2sin 3 5sin 3 cos 3 cos 3 2x x x x = , d) 2 2 3sin 3 cos (3 3) sin cos 0x x x x = , e) 2 2 cos sin 3 sin 2 1x x x = f) 4 4 sin cos 3sin cos 0x x x x = . g) 1 4cos 6sin sin x x x = + , i) 3 3 2 4sin 3cos sin sin cos 0x x x x x+ = . h) 3 3 2 cos 4sin 3cos sin sin 0x x x x x + = k) 3 3 cos sin sin cosx x x x = Bài 7: Giải các phơng trình lợng giác sau:( pt bậc nhất đối với sin và cos) a) 3 sin 3 cos 3 2 0x x = , b) 2sin 2 cos 2 3 cos 4 2x x x+ = c) 3 cos 2 sin 5 2 2 x x = , Bài 8: Giải các phơng trình lợng giác sau: a) 3 cos sin 0x x+ = , b) sin 4 3 cos 4 2x x+ = c) 2cos 2sin 2x x = , d) 5cos 2 12sin 2 13x x + = e) 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = f) 0 0 cos(2 15 ) sin(2 15 ) 1x x + = g) 5 2 2cos( ) 3cos( ) 6 3 2 x x + + = , h) 2 2 cos 3 sin 2 1 sinx x x = + Bi 9: Gii cỏc phng trỡnh sau: a. sinx + 3 cosx = 2 b. 2sinx 5cosx = 5 c. 2cosx sinx = 2 d. sin5x + cos5x = -1 e. 3sinx 4cosx = 1 f. 2sin 2 x + 3 sin2x = 3 g. sin5x + cos5x = 2 cos13x h. sinx = 2 sin3x cosx CHệễNG II Bài 1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đợc bao nhiêu: 1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? 2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ? Bài 2: Có 4 con đờng nối điểm A và điểm B, có 3 con đờng nối liền điểm B và điểm C. Đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình đi và về nếu không muốn dùng đờng đi làm đờng về trên cả hai chặng AB và BC? Bài 3: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng bìa này đặt lần lợt cạnh nhau từ trái sang phải để đợc các số gồm 3 chữ số. Lập đợc bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn? Bài 4: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập đợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. Bài 5: Một ngời có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó có 2 quần đen; và có 3 đôi giày, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi ngời đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo - quần - giày, nếu: 1) Chọn áo, quần và giày nào cũng đợc. Ôn tập học kỳ 1 - lớp 11 Trờng THPT Đăkglei Giáo Viên : Phan Hữu Đệ 2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào và giày nào cũng đợc; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc với quần đen và đi giày đen. Bài 6: Có n ngời ngồi quanh một bàn tròn (n >3). Có bao nhiêu cách xếp sao cho: 1) Có 2 ngời ấn định trớc ngồi cạnh nhau. 2) 3 ngời ấn định trớc ngồi cạnh nhau theo một thứ tự nhất định Bài 7: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kỹ s. Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kỹ s làm tổ trởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Bài 8: Trong một lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ. Lớp học có 10 bàn, mỗi bàn có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Các học sinh ngồi tuỳ ý. b) Các học sinh ngồi nam cùng 1 bàn, các học sinh nữ ngồi cùng 1 bàn Bài 9: Với các số: 0, 1, 2, , 9 lập đợc bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số. Bài 10: Từ hai chữ số 1; 2 lập đợc bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít nhất 3 chữ số 1 và ít nhất 3 chữ số 2. Bài 11: Tìm tổng các số có 5 chữ số khác nhau đợc viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5 Bài 12: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý. 2) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn. Bài 13: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập đợc bao nhiêu số chia hết cho 3 và gồm 5 chữ số khác nhau Bài 14: Có 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5. a) Với 6 số đó, ta lập đợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? b) Với yêu cầu nh câu a) nhng số tạo thành là các số chẵn? c) Với yêu cầu nh câu a) nhng số tạo thành phải lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 4000 Bài 15: Cho A là một tập hợp có 20 phần tử. a) Có bao nhiêu tập hợp con của A? b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? Bài 16: Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau đợc tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6? Bài 17: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đợc tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 và các số đó nhỏ hơn số 345? Bài 18: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Trong các số đã lập đợc, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? Ôn tập học kỳ 1 - lớp 11 Trờng THPT Đăkglei Giáo Viên : Phan Hữu Đệ Bài 19: Một trờng tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Bài 20: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập đợc bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789? Bài 21: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 thành lập đợc bao nhiêu số có 7 chữ số, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. Bài 22: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 ngời sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. Tìm : n P , k n A , k n C : Bài 24: Giải bất phơng trình: 3 4 1 3 1 14 1 P A C n n n < + Bài 25: Tìm các số âm trong dãy số x 1 , x 2 , , x n , với: x n = nn n PP A 4 143 2 4 4 + + Bài 26: Cho k, n là các số nguyên và 4 k n; Chứng minh: k n k n k n k n k n k n CCCCCC 4 4321 464 + =++++ Bài 27: Chứng minh: P n = 1 + P 1 + 2P 2 + 3P 3 + + (n - 1)P n - 1 , n 2 là số nguyên. Bài 28: Cho k và n là các số nguyên dơng sao cho k < n. Chứng minh rằng: 1 1 11 2 1 1 ++++= k k k k k n k n k n CC .CCC Bài 29: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: a, 12 1 + x x b, 17 4 3 3 2 1 + x x c, 17 4 3 2 1 + x x , x 0 Bài 30: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức: ( ) n x 1 2 + bằng 1024 hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng a.x 12 trong khai triển đó. Bài 31: Cho đa thức P(x) = (3x - 2) 10 1) Tìm hệ số của x 2 trong khai triển trên của P(x) 2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x) Bài 32: GPT Ôn tập học kỳ 1 - lớp 11 Trờng THPT Đăkglei Giáo Viên : Phan Hữu Đệ a, 443 1 23)(24 x x xx ACA = + b, 2 2 2 ã 50.2 x AA =+ )( Nx c, xCCC xxx 2 7 321 =++ d, 8 3 2 2 = xPxP e, 210 . 3 4 1 2 = + PA P x x x f, xCA x x 14 23 ã =+ Bài 33: Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. a) Xác định không gian mẫu. b) Xác định các biến cố: A:"Hai bi cùng màu trắng". B:"Hai bi cùng màu đỏ" C:"Hai bi cùng màu" D:"Hai bi khác màu" c) Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc, các biến cố đối nhau Bài 34: Một lớp học có 60 sinh viên trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp,và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất của các biến cố: a, A:Sinh viên đựoc chọn học tiếng Anh b, B:Sinh viên đựoc chọn học tiếng Pháp c, C:Sinh viên đựoc chọn học cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp d, D:Sinh viên đựoc chọn không cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp Bài 35: Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả cầu đỏ và 2 quả xanh; hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xan. Lẫy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả.Tính xác suất sao cho: a, Cả hai quả đều đỏ b, Hai quả khác màu c, Hai quả cùng màu CHƯƠNG III Bài 1: CMR: a, Với mọi số nguyên dơng n ta luôn có: 1.2 + 2.5 + + n(3n - 1) = n 2 (n + 1) b, n (2n 2 3n + 1) chia hết cho 6 Bài 2: Cho dãy số (u n ) xác định bởi 1 1 1 ( 1) 7 n n u n u u + = = + Bài 3: Xét tính đơn điệu của dãy số sau: a, 2 3 2 1 1 n n n u n + = + b, 2 2 1 2 1 n n n u n + + = + c, 1 1 n n u n + = Ôn tập học kỳ 1 - lớp 11 Trêng THPT §¨kglei Gi¸o Viªn : Phan H÷u §Ư Bµi 4: XÐt tÝnh t¨ng gi¶m cđa c¸c d·y sè sau a, 1 3 2 n n n u + = b, 2 n n n u = c, 2 3 n n u n = Bµi 5: CMR ba sè d¬ng a,b,c theo thø tù lËp thµnh CSC khi vµ chØ khi c¸c sè 1 b c + , 1 c a + , 1 a b+ lËp thanh CSC Bµi 6 : Cho SCS (u n ) tháa m·n: 1 5 3 1 6 10 7 u u u u u + − =   + =  a, T×m u 1 vµ d b, Tinh u 10 , u 20 c, Tinh S 15 Bµi 7 : Cho CSN (u n ) sao cho: 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 4 15 85 u u u u u u u u + + + =   + + + =  a, T×m u 1 vµ q b, Tinh u 15 , u 20 c, Tinh S 10 HÌNH HỌC PHẦN I. LÝ THUYẾT CHƯƠNG I. Phép dời hình, phép đồng dạng trong mặt phẳng 1. Đònh nghóa phép biến hình, phép dời hình, phép đồng dạng. 2. Các phép dời hình: phép tònh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay. 3. Phép vò tự. Lưu ý: xác đònh hợp thành của 1 số phép nêu trên, tính chất của phép hợp thành 4. Các tính chất của phép dời hình, phép đồng dạng. 5. Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục Ox, Oy. CHƯƠNG II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song 1. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian. 2. Các cách xác đònh 1 mặt phẳng. 3. Vò trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. 4. Hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng (đònh nghóa, điều kiện, các tính chất). PHẦN II. DẠNG BÀI TẬP ¤n tËp häc kú 1 - líp 11 Trêng THPT §¨kglei Gi¸o Viªn : Phan H÷u §Ư CHƯƠNG I. Phép dời hình, phép đồng dạng trong mặt phẳng 1. Xác đònh ảnh của một hình qua phép biến hình (dựng ảnh, xác đònh phương trình). 2. Chứng minh tính chất đặc biệt của tam giác, tứ giác. 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song. 4. Bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình. Lưu ý: Xem lại các bài tập phần ôn tập chương I. CHƯƠNG II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song 1. Xác đònh giao tuyến của hai mặt phẳng, xác đònh giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. 2. Xác đònh thiết diện của 1 mặt phẳng với 1 hình chóp, 1 hình lăng trụ. 3. Chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng. Lưu ý: Xemlại các bài tập sau SGK PHẦN III. BÀI TẬP BỔ SUNG Bài 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường thẳng d vuông góc với AB tại B. Với đường kính MN thay đổi của đường tròn (MN khác AB), gọi P và Q lần lượt là giao điểm của d với các đường thẳng AM và AN. Đường thẳng đi qua M, song song với AB cắt đường thẳng AN tại H. 1) Chứng minh H là trực tâm tam giác MPQ. 2) Chứng minh ABMH là hbh 2) Tìm quỹ tích điểm H. 4) Tìm quỹ tích trực tâm tam giác NPQ. Bài 2. Cho điểm A cố đònh nằm trên đường tròn (O) và điểm B cố đònh nằm trên đường thẳng d, d không qua A. Hãy xác đònh trên d một điểm C sao cho tam giác ABC có trọng tâm trên(O). Bài 3. Cho điểm A(2; -1), đường thẳng d: 2 x – y + 3 = 0 và đường tròn (C): ( ) ( ) 2 2 2 3 4x y− + + = . Xác đònh ảnh của A, d, (C) qua mỗi phép sau đây: 1,Phép tònh tiến theo vectơ ( ) 1; 2v = − r 2,Phép đói xứng tâm I(-2;3) 3,Phép Đ Ox 4,Phép Đ Oy Bài 4.Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và SC. 1) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây: (SBC) và (SAD); (AMN) và SAD. 2) Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (AMN). 3) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(AMN). Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy trung điểm M, trên cạnh BC lấy 1 điểm N bất kì khác B và C. Gọi (P) là mặt phẳng qua đường thẳng MN và song song với CD. a) Xác đònh thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) ¤n tËp häc kú 1 - líp 11 Trêng THPT §¨kglei Gi¸o Viªn : Phan H÷u §Ư b) Xác đònh vò trí của N trên BC sao cho thiết diện là 1 hình bình hành. Bài 6. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ 1) Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’. a) Chứng minh AI//A’I’. b) Tìm giao điểm của mp(AB’C’) với đt A’I. 2) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = 1 2 AB. Gọi E là trung điểm CA. a) Xác đònh thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mp(MEB’). b) Xác đònh giao điểm K của đường thẳng AA’ và mp(MEB’). Tính tỉ số ' AK AA . c) Xác đònh giao tuyến d của mp(MEB’) và mp(A’B’C’). Dut cđa BCM Dut cđa TCM Gi¸o viªn lËp Phan H÷u §Ư ¤n tËp häc kú 1 - líp 11 Trêng THPT §¨kglei Gi¸o Viªn : Phan H÷u §Ö ¤n tËp häc kú 1 - líp 11 . đ i nhau B i 34: Một lớp học có 60 sinh viên trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp,và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng. B i 22: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh gi i, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, m i tổ 8 ng i sao cho ở m i tổ đều