Đề thi VMEO IV tháng 11 – Diễn đàn Toán học

Đề thi VMEO IV tháng 11 năm 2015 đăng tải trên diễn đàn Toán học với các đề thi dành cho cấp trung học cơ sở; cấp trung học phổ thông. Để nắm chi tiết nội dung các bài toán mời các bạn cùng tham khảo đề thi.

ĐỀ THI VMEO IV THÁNG 11 Diễn đàn Toán học Ngày 17 tháng 11 năm 2015 1 CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ Bài toán 1.1 Cho đường thẳng (d) : y = x + √ mặt phẳng tọa độ Oxy Chứng minh đường tròn có tâm I thuộc (d) bán kính khơng chứa điểm nguyên Tìm số dương k lớn cho khoảng cách từ điểm nguyên mặt phẳng tới đường thẳng d không nhỏ k Bài toán 1.2 Cho tam giác BAC cân A có ∠BAC = 20o Dựng tam giác BDC cho D, A phía so với BC Dựng tam giác DEB cân D có ∠EDB = 80o C, E khác phía so với DB Chứng minh tam giác AEC cân E Bài tốn 1.3 Có số tự nhiên n bé 2015 mà chia hết cho Ở a số nguyên lớn không vượt a(a ∈ R) √ n ? Bài toán 1.4 Các bạn học sinh trường xếp hàng dọc cho đếm từ trái sang, hàng thứ có n bạn, hàng thứ có n − bạn, hàng thứ n có bạn Các bạn quay mặt phía hàng thứ Ví dụ với n = (mỗi dấu * đại diện cho bạn): * ** *** **** * * * * * (hàng thứ nhất) Mỗi bạn phép chọn mệnh đề hai mệnh đề để phát biểu (trừ bạn đứng đầu hàng) • Mệnh đề "Bạn trước mặt người nói thật, bạn bên trái bạn trước mặt người nói dối." • Mệnh đề 2: "Bạn trước mặt người nói dối, bạn bên trái bạn trước mặt người nói thật." Với n = 2015, tìm số người nói thật nhiều Chú thích: Nếu bạn học sinh nói dối bạn nói ngược thật Còn bạn học sinh nói thật bạn nói thật Hết đề cấp THCS VMEO IV Diễn đàn Toán học CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CẤP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Bài tốn 2.1 Với k cho trước a, b, c ba số thực dương cho a b c + + = (k + 1)2 + b c a k+1 Chứng minh a2 + b + c (k + 1)(ab + bc + ca) Bài toán 2.2 Cho tam giác ABC với hai điểm P, Q đẳng giác Gọi D, E hình chiếu P lên AB, AC G hình chiếu Q lên BC U hình chiếu G lên DE, L hình chiếu P lên AQ, K đối xứng L qua U G Chứng minh U K qua điểm cố định P, Q thay đổi Bài toán 2.3 Tìm tất số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố cho a2 + b | b2 + c, b2 + c | c2 + a tất ước nguyên tố a2 + b không đồng dư với modulo Hết đề cấp THPT VMEO IV Diễn đàn Toán học ... nhiều Chú thích: Nếu bạn học sinh nói dối bạn nói ngược thật Còn bạn học sinh nói thật bạn nói thật Hết đề cấp THCS VMEO IV Diễn đàn Tốn học CẤP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG CẤP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Bài tốn... b2 + c, b2 + c | c2 + a tất ước nguyên tố a2 + b không đồng dư với modulo Hết đề cấp THPT VMEO IV Diễn đàn Toán học ... nhất) Mỗi bạn phép chọn mệnh đề hai mệnh đề để phát biểu (trừ bạn đứng đầu hàng) • Mệnh đề "Bạn trước mặt người nói thật, bạn bên trái bạn trước mặt người nói dối." • Mệnh đề 2: "Bạn trước mặt người