Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi VMEO IV tháng 10 đăng tải trên diễn đàn Toán học với các đề thi dành cho cấp trung học cơ sở; cấp trung học phổ thông. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi để nắm chi tiết hơn các nội dung của từng bài tập.
ĐỀ THI VMEO IV THÁNG 10 Diễn đàn Toán học Ngày tháng 10 năm 2015 1 CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ Bài toán 1.1 Cho α số thực thỏa mãn α3 = α + Hãy xác định tất tứ hữu tỉ (a, b, c, d) thỏa mãn √ aα2 + bα + c = d Bài tốn 1.2 Cho tam giác ABC có góc A tù đường cao AH với H thuộc BC Trên CA, AB lấy điểm E, F cho ∠BEH = ∠C ∠CF H = ∠B Gọi BE cắt CF D Chứng minh DE = DF Bài tốn 1.3 Tìm tất số ngun a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3(ab + bc + ca) Bài toán 1.4 Trong Vượt ngục 4, Michael Scofield phải đột nhập vào Tổ Chức để lấy mảnh cuối Scylla Ở đây, anh bắt gặp loại mã hoá bảo vệ Scylla khỏi bị đánh cắp Loại mã yêu cầu chọn tất số thuộc bảng mã hố 2015 × 2015 cho số thoả mãn điều kiện sau: • Số nằm liền số bảng mã hố phải chia dư • Số nằm bên phải số bảng mã hoá phải chia dư • Số nằm liền số bảng mã hố phải chia dư • Số nằm bên trái số bảng mã hoá phải chia dư Hỏi Scofield phải chọn số ? Ở đây, bảng mã hố n × n bảng gồm n2 vng, ô đánh số từ đến n2 Số 1, 2, · · · , n đánh vào hàng thứ theo thứ tự tăng dần Số n + 1, · · · , 2n đánh vào hàng thứ hai theo thứ tự giảm dần, Ví dụ, bảng mã hố × có dạng: Hết đề cấp THCS VMEO IV Diễn đàn Toán học CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CẤP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Bài tốn 2.1 Với n số nguyên dương, dãy số an xác định công thức a1 = √ an+1 = − a1 + a2 + · · · + an Tìm giới hạn dãy số Sn xác định Sn = a1 + a2 + · · · + an Bài tốn 2.2 Cho tam giác ABC có P, Q hai điểm đẳng giác nằm bên Gọi AP, AQ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác QBC P BC M, N (M, N nằm tam giác ABC) a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn, gọi đường tròn (I) b) Gọi M N cắt P Q J Chứng minh đường thẳng IJ qua điểm cố định P, Q thay đổi Chú thích: P, Q gọi hai điểm đẳng giác tam giác ABC đường thẳng AP, BP, CP đối xứng với đường thẳng AQ, BQ, CQ qua đường phân giác góc A, B, C tam giác ABC Bài tốn 2.3 Cho trước số ngun dương k Tìm điều kiện số nguyên dương m theo k cho k tồn số nguyên dương n thoả mãn nm | 5n + Bài toán 2.4 Cho n số nguyên dương Xếp n bạn học sinh A1 , A2 , , An cách vòng tròn Phát cho họ người số kẹo với tổng m ≥ n kẹo Ta gọi cấu hình "cân bằng" với bạn học sinh Ai bất kì, ln tồn đa giác nhận Ai làm đỉnh, tất bạn học sinh đỉnh đa giác có số kẹo a) Với n cho trước tìm điều kiện tối thiểu m để phát kẹo cho học sinh tạo cấu hình "cân bằng" b) Giả sử bạn học sinh thực bước chuyền kẹo, bước bạn chuyền viên kẹo cho bạn kế bên (trái phải tùy ý) với điều kiện người nhận kẹo phải có kẹo người cho Chứng minh n tích nhiều số nguyên tố m tương ứng thỏa mãn câu a, với cách phát kẹo ban đầu nào, ta ln đưa cấu hình "cân bằng" sau hữu hạn lần chuyển kẹo Hết đề cấp THPT VMEO IV Diễn đàn Toán học ... hai theo thứ tự giảm dần, Ví dụ, bảng mã hố × có dạng: Hết đề cấp THCS VMEO IV Diễn đàn Tốn học CẤP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG CẤP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Bài tốn 2.1 Với n số nguyên dương, dãy số an xác... kẹo ban đầu nào, ta ln đưa cấu hình "cân bằng" sau hữu hạn lần chuyển kẹo Hết đề cấp THPT VMEO IV Diễn đàn Toán học ... "cân bằng" với bạn học sinh Ai bất kì, ln tồn đa giác nhận Ai làm đỉnh, tất bạn học sinh đỉnh đa giác có số kẹo a) Với n cho trước tìm điều kiện tối thi u m để phát kẹo cho học sinh tạo cấu hình