Bộ đề học sinh giỏi toán 9 những năm gần đây

1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO PHÚ YÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS Năm học : 2012 – 2013 Mơn thi : Tốn Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Số báo danh Chữ kí ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có trang) Họ tên thí sinh Câu 1: ( 5,0 điểm) A = 2012 − 2011; B= 2013 − 2012 So sánh A B? a Cho b Tính giá trị biểu thức: C = 15 + 26 − 15 − 26 c Cho x3 = y = z Chứng minh rằng: Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : (x Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : x2 + y + z + 2x + 2) 2+33+3 + (x =1 + x + 3) = 8 ( x + y ) − 10 ( x − y ) − ( x − y ) =   2x + y − =2  x − y  Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC ( Q khác B; C) Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB cắt AB; AC M, N a b Chứng minh : AM AN PQ + + =1 AB AC AQ Xác định vị trí điểm Q để AM ×AN ×PQ = AB ×AC ×AQ 27 Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán kính OA Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) D Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng CA, CD Gọi E tiếp điểm AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = – xy, x, y số thực thỏa mãn điều kiện : x 2013 + y 2013 = x1006 y1006 - Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị khơng giải thích thêm SỞ GD&ĐT BÌNH ĐỊNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/03/2017 ( Đề thi gồm có 01 trang ) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài 1: 1) Cho biểu thức P= 2m + 16m + m − + + −2 m+ m −3 m −1 m +3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên 2) Cho biểu thức P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c số nguyên Chứng minh a + b + c chia hết cho P chia hết cho Bài 2: 1 + ≥ a) Chứng minh rằng: với số thực x, y dương, ta ln có x y x + y b) Cho phương trình x + 3mx − = Tìm giá trị nhỏ biểu thức (m tham số) có hai nghiệm x1 ; x2 M = ( x1 − x2 ) 2  + x12 + x22  + − ÷ x x2   1 1 1 1  + + ≤  + + ÷ 2 Bài 3: Cho x, y, z ba số dương Chứng minh x + yz y + zx z + xy  xy yz zx  Bài 4: 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R M điểm di động cung nhỏ BC đường tròn a) Chứng minh MB + MC = MA b) Gọi H, I, K chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, BC, CA Gọi S, S’ diện tích tam giác ABC, MBC Chứng minh rằng: Khi M di động ta ln có đẳng thức MH + MI + MK = 3( S + 2S ′) 3R 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF đường cao Lấy M đoạn FD, lấy N tia DE · cho MAN · Chứng minh MA tia phân giác góc ·NMF = BAC Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị khơng giải thích thêm UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013 MƠN THI: TỐN – LỚP –THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 29 tháng năm 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC ============ Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức P= a2 − a a+ a +1 − 3a − a a + a− a−2 P Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Câu (4,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình y = x2 đường thẳng d có phương trình y = kx+1 (k tham số) Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) hai điểm phân biệt M, N cho MN = 10  ( x + y )( x + z ) = 12   ( y + x )( y + z ) = 15  Giải hệ phương trình:  ( z + x )( z + y ) = 20 (Với x, y, z số thực dương) Câu (3,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: Cho ba số a, b, c thỏa mãn Chứng minh rằng: x − y − x y − 4x − y − = a + b + c = ; a + b + c = ; a + b3 + c = a 2013 + b 2013 + c 2013 = Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d khơng qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Từ điểm M tùy ý đường thẳng d nằm ngồi đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP đường tròn (O) (N, P hai tiếp điểm) Dựng điểm M đường thẳng d cho tứ giác MNOP hình vng Chứng minh tâm đường tròn qua ba điểm M, N, P thuộc đường thẳng cố định M di động đường thẳng d Câu (3,0 điểm) Tìm hai số nguyên dương a b thỏa mãn a + b = [ a, b ] + 7( a, b ) (với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)) Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC Tìm giá trị lớn diện tích tam giác ABC Hết SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27/03/2013 ( Đề thi gồm có 01 trang ) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm): a) Rút gọn biểu thức: A= ( x − 50 − x + 50 x + = Tính giá trị biểu thức: B = x b) Cho Câu (2,0 điểm): 4x a) Giải phương trình x − 5x + x − 7x + 2 x + x − 50 với x ≥ 50 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018 3x + ) =6  x + y + xy = 16  b) Gi¶i hƯ phơng trình sau: x + y = 10 Câu (2,0 điểm): a) Với a, b số nguyên Chứng minh 4a + 3ab − 11b chia hết cho a4 − b4 chia hết cho x= ax +bx+1= 5− b) Cho phương trình với a, b số hữu tỉ Tìm a, b biết 5+ nghiệm phương trình Câu (3,0 điểm): Cho điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi ln qua B C (O không nằm đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K a) Chứng minh điểm O, M, N, I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi c) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Câu (1,0 điểm): Cho An = (2n +1) 2n − Chứng minh rằng: với n ∈ ¥* A1 + A + A + + A n Chứng minh a b c b) Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTLN P= x y z + + x +1 y +1 z +1 Bài 4:   x+y+ x−y =6    − = −3 x−y a) Giải hệ phương trình  x + y b) Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, 60km nửa quảng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h quảng đường lại Do tơ đến tỉnh B sớm dự định Tính quảng đường AB Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E, F chân đường cao kẻ từ C B tam giác ABC D điểm đối xứng A qua O, M trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC a) Chứng minh M trung điểm HD b) Gọi L giao điểm thứ hai CE với đường tròn tâm O Chứng minh H, L đối xứng qua AB Bài 6: Cho hình vng ABCD cạnh Trên hai cạnh AB AD lấy hai điểm E, F cho EC phân giác góc BEF Trên tia AB lấy K cho BK = DF a) Chứng minh CK = CF b) Chứng minh EF = EK EF ln tiếp xúc với đường tròn cố định c) Tìm vị trí E, F cho diện tích tam giác CEF lớn -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN; LỚP: PHỔ THƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 15/3/2017 Đề thi có 01 trang Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: (4,0 điểm) a Tìm hệ số b, c đa thức P( x) = x + bx + c biết P(x) có giá trị nhỏ -1 x=2  x + xy − xy − y =  b Giải hệ phương trình:  y − 2( x + 1) − x ( y + 1) − y = Câu 2: (4,0 điểm) a Giải phương trình x + = − x2 + + x b Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=1 Tìm giá trị lớn biểu thức P= 2a + a2 + b + b2 + c + c2 Câu 3: (3,0 điểm) AC · = 135° , BC=5 cm đường cao AH=1 cm Tính độ dài cạnh AB Cho tam giác ABC có BAC Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D điểm cung DC khơng chứa A Dựng hình bình hành ADCE Gọi H,K trực tâm tam giác ABC, ACE; P,Q hình chiếu vng góc K đường thẳng BC, AB I giao điểm EK với AC a) Chứng minh điểm P, I, Q thẳng hàng b) Chứng minh đường thẳng PQ qua trung điểm HK Câu 5: (4,0 điểm) 1 1 + + + + =1 a Tìm tất số nguyên tố khác m,n,p,q thoả mãn m n p q mnpq b Trên hàng có ghi số Ta ghi số lên bẳng theo nguyên tắc Nếu có số x, y phân biệt bảng ghi thêm số z = ra) có dạng 3k+2 (với k số tự nhiên) xy + x + y Chứng minh số ghi bảng (trừ số -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HỐ CẤP TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN; LỚP: PHỔ THƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 16/12/2016 Đề thi có 01 trang Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề +1 x − x3 + x − 12 x − 11 2x = + + − P= Câu 1.(3,0 điểm) Cho + Tính 2x2 − 6x + Câu 2.(3,0 điểm) Cho hai hàm số: y = (m + 2) x − m3 − 3m + y=x-2m+1 có đồ thị d1 , d Gọi A ( x0 , y0 )   giao điểm d1 , d a) Tìm tọa độ điểm A x02 + 3x0 + T= y0 − y0 + nhận giá trị nguyên b) Tìm m nguyên để biểu thức Câu 3.(4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x − 11x + 21 = 3 x −  x y + x y − xy − x − = : 2 2 2) Giải hệ phương trình sau  x y − x y + x − x − = Câu (2,0 điểm) Cho tam giác MNP cân P Gọi H trung điểm MN, K hình chiếu vng góc H PM Dựng đường thẳng qua P vng góc với NK cắt HK I Chứng minh I trung điểm HK Câu 5.(4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tai A Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho 0AB) nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt tia phân giác góc ABC điểm thứ hai M Gọi P trực tâm tam giác BCM Chứng minh bốn điểm A,B.C,P thuộc đường tròn Đường thẳng H song song với AO cắt cạnh BC E Gọi F điểm cạnh BC cho CF=BE Chứng minh ba điểm A,F,O thẳng hàng Gọi N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM Chứng minh PN=PO Câu ( 1,0 điểm) Trên bàn có 100 thẻ đánh số từ đến 100 Hai người A B người lấy thẻ bàn cho người A lấy thẻ đánh số n đảm bảo người B chọn thẻ đánh số 2n+2 Hỏi người A lấy nhiều thẻ bàn thỏa mãn yêu cầu trên? Hết -• • Họ tên thí sinh: …………… .…………; Số báo danh: … ……; Phòng thi số: … Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay 116 • Giám thị khơng giải thích thêm ... KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/03/2017 ( Đề thi gồm có 01 trang ) ĐỀ THI CHÍNH... KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27/03/2013 ( Đề thi gồm có 01 trang ) ĐỀ THI CHÍNH... thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN; LỚP: PHỔ THƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 19/ 3/2017