4 1 4 3 copy

4.1: Dãy số Một dãy số hàm số có miền xác định ℕ Định nghĩa trực quan: Một dãy số danh sách Kí hiệu: s n  {sn } s s  lim sn n  ( 1/n ) hội tụ Ý tưởng: Khi n tăng lên, 1/n nhỏ nn n! 3n en n4 n2 n √n ∜n ln n  3n      n  5n  Hội tụ  3n3      n  5n  Phân kỳ đến vô  3n      n  5n  Hội tụ  ln n      n5 n  Hội tụ  5e n  n    n 2 n  Phân kì đến ∞ Proof:  k ar  k 0 Sn  a  ar   ar n r Sn  ar   ar  ar n 1  ar n 1 (1  r ) Sn  a n 1 a  ar lim Sn  lim n n (1  r ) n a  1 r If and only if | r | 1  2    k 0   k  1   k  k 1 1 1           k 0   1 1     k 1   1     1 1   Ví dụ giải nghịch lý Zeno!!  k 1 k  k 2  k  2*2  4 k k 2 2 2 8    8    3 k 0   k   2  8   k 2   k 2  8    1 k 2    2 2  32    24         3  k 2     k k  24  k k 1  1 k 1   k 2  k 4*4  1 k  k 2 k  4  4  20    20  20        k 0  k  4  100 20        k 2  k  4    20     k 2  k  4   20  100 20        4  k 2        64 20         k k   3k  3   k 1   14    k 1  2 k 1   Phân kỳ Chuỗi suy biến   k 1  k (k  1)   k 1 1  k (k  1) Dùng phân thức thành phần 1 1 1 1 1   1 Sn  1                 1 n 1 2  3 3 4   n n 1    k 1 k (k  1)  lim Sn  lim   n  n  n 1 4.3: Tiêu chuẩn phân kỳ & Tiêu chuẩn tích phân Tiêu chuẩn phân kỳ Nếu dãy {an} không hội tụ 0,  chuỗi  ak phải phân kỳ k 1  k  k 1 2k  Phân kỳ  3k  k 7 k 1 Phân kỳ   k 1 k Tiêu chuẩn phân kỳ KHƠNG CHO KẾT LUẬN GÌ ! Chú ý: Bạn khơng nói chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn phân kỳ Không bao giờ!! Tuyệt đối khơng!! (I really mean it) Tiêu chuẩn tích phân Giả sử ak  f (k ) với k = 1, 2,… f hàm giảm khơng âm Khi a k   f ( x) dx hội tụ phân kỳ   k 1 k Chuỗi điều hòa  1 x dx  Nlim  Vậy k N ln N  ln1   1 x dx  Nlim  phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân Phân kỳ P-Chuỗi kp Hội tụ p>1  k ln k   1 dx  lim x ln x N  N  1 dx  lim N  x ln x ln N  ln du u lim ln | ln N |  ln | ln |   N  Phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân ... ? ?1  2 k ? ?1   Phân kỳ Chuỗi suy biến   k ? ?1  k (k  1)   k ? ?1 1  k (k  1) Dùng phân thức thành phần 1? ?? ? ?1 1 ? ?1 1   ? ?1 Sn  ? ?1                 1? ?? n ? ?1 2  3? ?? ? ?3. ..  Một chuỗi a k ? ?1 hội tụ k n Nếu dãy tổng riêng Sn   ak k ? ?1 hội tụ Example   k ? ?1 ? ?1? ??   2 k 1     S1  1 S2   1 S3    1 1 S4     16 n Sn   ak k ? ?1 Định nghĩa  k ar... 2   k 2  8    1? ?? k 2    2 2  32    24         ? ?3? ??  k 2     k k  24  k k ? ?1  ? ?1? ?? k ? ?1   k 2  k 4* 4  ? ?1? ?? k  k 2 k  ? ?4? ??  ? ?4  20    20  20  