Bai giang c3

Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt Chương TÍCH PHÂN MẶT 3.1 Tích phân mặt loại 3.1.1 Định nghĩa tích phân mặt loại Cho mặt cong S hàm số f ( M )  f ( x, y, z ) xác định mặt S Chia mặt S cách tùy ý thành n mảnh nhỏ không dẫm lên Gọi tên diện tích mảnh nhỏ S1 , S , , S n Trên mảnh cho Si chọn tùy ý điểm  n  M i ( xi , yi , zi ) i  1, n lập tổng I n   f ( xi , yi , zi )Si i 1 Gọi d i đường kính mảnh Si Khi n   cho max d i  mà I n i dần tới giới hạn hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia mặt S cách lấy điểm M i , giới hạn gọi tích phân mặt loại hàm f ( x, y, z ) mặt S ký hiệu I   f ( x, y, z )dS S Khi hàm f gọi khả tích mặt S Người ta chứng minh mặt S trơn (tức có pháp tuyến khác biến thiên liên tục S) hàm f ( x, y, z ) liên tục mặt S tích phân I   f ( x, y, z )dS tồn S 3.1.2 Tính chất Tích phân mặt loại có tính chất giống tính chất tích phân kép Tính chất 1: Nếu hàm f ( x, y, z ), g ( x, y, z ) khả tích mặt S, a, b số Khi  af (x,y,z) bg(x,y,z) dS a f (x,y,z)dS b g(x,y,z)dS S S S Tính chất 2: Nếu S  S1  S2  f (x , y, z )dS   f (x, y, z )dS   f (x, y, z )dS S S1 S2 Trang 40 Lê Thị Thanh Hải Tính chất 3: Chương 3: Tích phân mặt  dS  S , S diện tích mặt cong S S 3.1.3 Cách tính Phương pháp chung đưa tích phân mặt I   f ( x, y, z )dS tích phân kép S Giả sử mặt cong S cho phương trình dạng z  z ( x , y ) với z ( x, y ) hàm liên tục, đơn trị có đạo hàm riêng z x/ ( x, y ), z y/ ( x, y ) liên tục miền D hình chiếu mặt S lên mặt phẳng Oxy Hàm f ( x, y, z ) liên tục mặt S Xét yếu tố diện tích mặt dS điểm M ( x, y )  D hình chiếu điểm mặt S có bán kính vecor r ( x, y , z )   x , y , z ( x, y )  k z n  dS y O dx dy x     Vector pháp tuyến M n ( M )   z x' ( x, y )i  z 'y ( x, y ) j  k Gọi  góc vector n (M ) trục Oz, ta có cos   n.k n       z x'  z 'y Mặt khác ta thấy hình chiếu dS lên mặt phẳng Oxy yếu tố diện tích D, dS vơ bé nên ta xem dS diện tích phẳng Suy dS  dxdy   z x'  z 'y dxdy cos      Trang 41 Lê Thị Thanh Hải Vậy Chương 3: Tích phân mặt  f ( x, y, z)dS   f ( x, y, z ( x, y )) S  z x/  z /y dxdy D Chú ý  Nếu đường thẳng song song với trục Oz cắt mặt S nhiều điểm, ta chia mặt S thành số hữu hạn mảnh nhỏ, cho đường thẳng song song với trục Oz cắt mảnh nhỏ không điểm  Nếu f ( x, y, z )  ta có cơng thức tính diện tích mặt cong S S   dS    z x/  z /y dxdy S D  Nếu mặt S cho dạng phương trình ẩn F ( x, y, z )  pháp vector F ( x, y , z ) từ phương trình F ( x, y , z )  xác định hàm ẩn z  z ( x, y ) Khi  f ( x, y, z )dxdy   f ( x, y, z ( x, y )) S S Ví dụ 3.1: Tính I   S  F ( x, y , z ) Fz' ( x, y , z ) dxdy x dS với S phần tám mặt cầu x  y  z  R x  y2 nằm góc phần tám thứ x  0, y  0, z  Giải z Ta có phương trình mặt S z  R  x  y / x z  x R  x2  y  z x/  z /y  / y , z  R y R2  x2  y2 R2 R2  x2  y o R x Áp dụng công thức tính tích phân mặt loại ta có I   D x x  y2 x  y  R2 dxdy với D :  R2  x2  y  x  0, y  R  x  r cos   y  r sin  Chuyển sang tọa độ cực  Trang 42 R y Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt   / 0    J  r Khi đó, D  D :  0  r  R r cos  r2 I   D/  R R r R dr rdrd   R  cos  d  R r  R  r R R  R sin  ar sin  R Ví dụ 3.2: Tính I    xy  yz  zx  dS , với S phần mặt nón z  x  y bị cắt S mặt trụ x  y  2ax z 2a Giải x Ta có : z x/  x y , z y/  y x  y2 Do  z x/  z y/   x2 y2  2 x2  y x2  y2  I   xy  y x  y  x x  y D  2a O y 2dxdy Với D hình tròn giới hạn đường x  y  2ax     x  r cos      Khi đó, J  r D  D / :  2  y  r sin  0  r  2a cos  Chuyển sang tọa độ cực   I a cos   d   r   2 sin  cos   r sin   r cos   2rdr a cos    r   sin  cos   sin   cos     d  Do tính chẵn lẻ nên I  4a 2.2  cos5  d  64 2a 15 Trang 43 Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt Ví dụ 3.3 : Tính I    x  y  dS , với S biên vật thể giới hạn S z x2  y  z  Giải Ta có S  S d  S xq  Trên S d : z  y z x/  z y/  x I1    x  y  dS    x  y  dxdy , với D : x  y  Sd D 2 Chuyển sang hệ tọa độ cực ta thu kết I1   d  r rd  0   Trên S xq : z  x  y Ta có  z x/  z y/  I    x  y  dS    x  y  2dxdy Sxq D 2 Chuyển sang hệ tọa độ cực ta thu kết I   d   r 2dr  Vậy I  I1  I    1   3.2 Tích phân mặt loại 3.2.1 Mặt định hướng Ta nói mặt cong S định hướng mặt định hướng vector  pháp tuyến n( M ) xác định điểm M biến thiên liên tục M chạy mặt S Khi xác định vector pháp tuyến, ta nói xác định hướng dương  hay phía dương mặt, tức phía mà ta đứng pháp vector n( M ) hướng từ “chân đến đầu” Phía ngược lại gọi phía âm hay hướng âm mặt S  n Trang 44 Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt Nếu mặt S xác định hướng coi xác định ln hướng đường cong biên Đó hướng mà ta đướng theo hướng dương mặt theo ln nhìn thấy mặt S phía tay trái Để nói đến hướng mặt người ta dùng từ phía trên, phía dưới, phía trong, phía ngồi  n M  n/ 3.2.2 Định nghĩa tích phân mặt loại Cho hàm P ( x, y, z ); Q( x, y, z ); R ( x, y, z ) xác định mặt định hướng S Chia mặt S cách tùy ý thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau, gọi tên diện tích mảnh nhỏ S1 , S , , S n Trên mảnh nhỏ Si lấy điểm   M i ( xi , yi , zi ) i  1, n lập tổng n I n    P ( xi , yi , zi ) cos  i  Q ( xi , yi , zi ) cos  i  R ( xi , yi , zi ) cos  i Si i 1          i  n( M ), Ox ; i  n( M ), Oy ;  i  n( M ), Oz Khi n   cho max d i  mà I n dần tới giới hạn hữu hạn, không i phụ thuộc vào cách chia mặt S cách lấy điểm M i , giới hạn gọi tích phân mặt loại hai hàm P ( x, y, z ); Q( x, y, z ); R ( x, y, z ) mặt S Ký hiệu I   [ P( x, y, z ) cos   Q( x, y, z ) cos   R( x, y, z ) cos  ]dS S Ngoài tích phân mặt loại hai hay viết dạng: I   [ P( x, y, z ) dydz  Q( x, y, z )dzdx  R( x, y, z )dxdy ] S Người ta chứng minh S mặt định hướng liên tục có pháp tuyến biến thiên liên tục, hàm P ( x, y, z ); Q( x, y, z ); R ( x, y, z ) liên tục mặt S tích phân mặt loại hai tồn Trang 45 Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt 3.2.3 Tính chất Tương tự tích phân mặt loại 3.2.4 Cách tính Phương pháp chung đưa tích phân kép thơng qua tích phân mặt loại sau Xét tích phân I   R( x, y, z ) dxdy S Giả sử đường thẳng song song với trục Oz cắt mặt S khơng q điểm mặt S có phương trình z  z ( x, y ) với z ( x, y ) hàm đơn trị I   R( x, y, z ) dxdy   R( x, y, z ) cos  dS S S   R( x, y, z ( x, y )) cos  Dxy dxdy cos  đó, z(x,y) phương trình mặt cong S Dxy hình chiếu mặt S lên mặt phẳng Oxy Khi   Nếu pháp tuyến dương n( M ) mặt S tạo với trục Oz góc nhọn I   R( x, y, z ) dxdy   R( x, y, z ( x, y ) )dxdy S Dxy với Dxy hình chiếu mặt S lên mặt phẳng Oxy   Nếu pháp tuyến dương n( M ) mặt S tạo với trục Oz góc tù I   R ( x , y , z ) dxdy    R ( x , y , z ( x, y ) )dxdy S Dxy Tương tự ta tính tích phân  Q( x, y, z )dzdx  P( x, y, z)dxdy S S Chú ý:  Nếu đường thẳng song song với trục Oz cắt mặt S nhiều điểm ta chia mặt S thành mảnh nhỏ, cho mảnh nhỏ có tính chất  Nếu S mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz  R( x, y, z ( x, y ) dxdy  Tương tự, đường sinh song song với trục Ox S  P( x, y, z ( x, y) dydz  song song với trục Oy  Q( x, y, z ( x, y) dxdz  S S Trang 46 Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt  Nếu đổi hướng mặt cong S tích phân mặt loại hai đổi dấu Ví dụ 3.4: Tính I    x  y  dxdy , với S mặt hình tròn x  y  R S nằm mặt phẳng Oxy Giải Mặt S có phương trình z  , x  y  R Hình chiếu S xuống mặt Oxy z hình tròn D: x  y  R    Ta thấy n, Oz   nên ta có I     x  y  dxdy y S Chuyển sang hệ tọa độ cực ta có x 0    2 0  r  R Đặt x  r cos  , y  r sin  Suy J  r D  D / :  2 R  I    d  r rdr   0  R Ví dụ 3.5: Tính I   yz dxdy với S phía ngồi mặt giới hạn vật thể S z h x  y  R , x  0, y  0,  z  h S2 Giải S3 R S4 o R y S1 x Mặt S chia thành mặt: hai đáy S1 , S2 hai mặt bên S3 ( y  0), S4 ( x  0) mặt trụ S5  x  y  R  Các mặt S3 , S mặt trụ S5 song song với trục Oz nên tích phân theo mặt  Trên mặt S1 z  nên  yz dxdy  S1 Trang 47 Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt     Trên mặt S2 z  h n, Oz  nên I1   yz dxdy  h  ydxdy với Dxy : x  y  R , x  0, y  S2 Dxy  R Chuyển qua hệ tọa độ cực ta thu kết I1  h  sin  d  r dr  Vậy I  hR3 hR Ví dụ 3.6: Tính I   x dydz  y dzdx  z dxdy , với S phía nửa mặt S cầu x  y  z  R , z  z Giải R y R O R x  Tính I1   x dydz S    Ta thấy S  S1  S2 với S1 ứng với x  n, Ox     n, Ox   S ứng với x   Hình chiếu S1 , S2 lên mặt Oyz nửa hình tròn D yz Do I1   x dydz   x dydz   x dydz   x dydz   x dydz  S S1 S2 D yz D yz  Tương tự ta có I   y dzdx  S  Tính I3   z dxdy S    Ta có n, Oz   Dxy : x  y  R với z  R  x  y Trang 48 Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt Vì I3   z dxdy    R  x  y  dxdy S Dxy Chuyển sang hệ tọa độ cực ta thu kết 2 I3   R d   R  r  rdr   R 2 Vậy I  I1  I  I   R 3.2.5 Công thức Gauss – Ostrogratski Công thức cho ta mối liên hệ tích phân bội ba tích phân mặt loại hai sau: Định lý: Nếu hàm P ( x, y, z ); Q( x, y, z ); R ( x, y, z ) với đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền V ta có  P Q R   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy    x  y  z  dxdydz S V S biên miền V, tích phân mặt S lấy theo mặt ngồi Cơng thức gọi cơng thức Gauss - Ostrogratski Chú ý: Nếu P  x, Q  y, R  z ta có cơng thức tính thể tích V xdydz  ydzdx  zdxdy  S Ví dụ 3.7: Tính I   x 3dydz  y 3dzdx  z 3dxdy với S mặt mặt cầu S z x  y  z  R2 Giải y R O x Áp dụng công thức Gauss – Ostrograski ta có I  3  x  y  z  dxdydz V với V : x  y  z  R Trang 49 Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt  x  r sin  cos   Chuyển sang hệ tọa độ cầu cách đặt  y  r sin  sin   z  r cos   0    2  Khi đó, J  r sin  V  V : 0     0  r  R  / 2  R Suy I   d   sin  d  r r dr  0 12 R Ví dụ 3.8 Tính I    y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy với S mặt S mặt nón z  x  y ,  z  z Giải y O x Nhận xét S  S  S d  S d  S1  S d với S1 mặt ngồi hình nón Xét I1    y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy , áp dụng cơng thức Gauss, ta có S1 I1       dxdydz  V Xét I    y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy Sd z  với Sd phía hình tròn  2 x  y  Ta có I    x  y  dxdy    x  y  dxdy với Dxy : x  y  Sd Dxy Chuyển qua hệ tọa độ cực ta thu 2 I2  2  d   r cos   r sin   rdr    cos   sin   d  r dr  0 0 Vậy I  I1  I  Trang 50 Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt 3.2.6 Công thức Stokes Công thức Stokes cho ta mối liên hệ tích phân đường loại hai tích phân mặt loại hai Giả sử S gồm số hữu hạn mặt liên tục có pháp tuyến biến thiên liên tục Ta có định lý sau Định lý: Nếu hàm P ( x, y, z ); Q( x, y, z ); R ( x, y, z ) liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng mặt S , ta có  R Q   P  Q R  P   Pdx  Qdy  Rdz    y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy L S L biên mặt S Chiều lấy tích phân L S chiều dương Nghĩa chiều chọn cho người đứng mặt S , hướng pháp tuyến dương từ chân đến đầu, nhìn thấy chiều L ngược chiều kim đồng hồ  n; L Nếu S hình phẳng vng góc với trục Oz từ z  z0 suy dz  ta có cơng thức Green Ví dụ 3.9 Tính I   ydx  zdy  xdz với L đường tròn mặt phẳng x  y  z  L cắt mặt cầu x  y  z  a , theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương trục Ox z a o -a a x -a Trang 51 a y Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt Giải Ta có S hình tròn với biên đường tròn L nằm mặt phẳng  x  y  z  , có n  1,1,1 Áp dụng cơng thức Stokes ta có I   ydx  zdy  xdz    dydz  dxdz  dxdy L S     cos   cos   cos   dS S với cos   , cos   , cos    cosin hướng vector pháp n Suy I    dS   3 a S 3.3 Trường vector 3.3.1 Định nghĩa trường vector  Ta nói miền V có trường vectơ F , điểm M  V   xác định đại lượng vectơ hay hàm vector F ( M )  F ( x, y , z )  Như cho trường vectơ F miền V cho hàm vectơ      F  M   F  x, y, z   P  x, y, z  i  Q  x, y, z  j  R  x, y, z  k xác định miền  Trường vectơ F gọi liên tục V P, Q, R hàm liên  tục Trường vectơ F gọi khả vi V P, Q, R hàm khả vi Ví dụ 3.10 a Trường vectơ vận tốc dòng chảy có hướng tiếp tuyến dòng chảy b Trường lực, trường gradient mặt cong trường vector 3.3.2 Thông lượng độ phân kỳ  Thông lượng     Cho trường vectơ F  x, y, z   P  x, y, z  i  Q  x, y, z  j  R  x, y, z  k mặt  định hướng S có pháp tuyến dương n Giả sử cos  , cos  , cos  côsin  hướng n Khi đại lượng Trang 52 Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt W    P cos   Q cos   R cos   dS   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy S S  gọi thông lượng trường vector F qua mặt cong S  n z  Nếu ta đặt Fn  Chn F Fn   Fn  F n  P cos   Q cos   R cos  ,  n   cos  , cos  , cos    F y O Khi thơng lượng viết dạng   W   F ndS x S   Ý nghĩa: Nếu F trường tốc độ dòng chất lỏng thơng lượng trường F  qua mặt cong S lượng chất lỏng chảy qua S theo hướng pháp tuyến n đơn vị thời gian     Ví dụ 3.11 Tính thơng lượng trường vectơ F ( x, y, z )  xi  y j  zk qua phía ngồi mặt xung quanh khối nón tròn xoay có trục Oz , đáy thuộc mặt phẳng Oxy , bán kính R  , độ cao h  z Giải Ta có S  S  Sd  Sd  S1  S d  Do đó, thơng lượng trường vectơ F W   xdydz  ydzdx  zdxdy R Vì S1 mặt kín tích phân lấy theo mặt nên I1    xdydz  ydxdz  zdxdy   3 dV  S1 I  O -R S V  R 2h  4   xdydz  ydxdz  zdxdy   Sd : z  Vậy W  I1  I  4 Trang 53 x R y Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt  Độ phân kỳ     F  x, y, z   P  x, y, z  i  Q  x, y, z  j  R  x, y, z  k Khi Cho trường vectơ  đại lượng divF  P Q R   gọi độ phân kỳ hay divergence trường x y z  vectơ F  Ý nghĩa mối quan hệ thông lượng độ phân kỳ     Cho trường vectơ F  x, y, z   P  x, y, z  i  Q  x, y, z  j  R  x, y, z  k , P, Q, R hàm liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền kín V có biên mặt S Khi dạng cơng thức Gauss - Ostrogratski có dạng    divFdV    F ndS V S  Như thơng lượng trường vectơ F qua mặt kín S tổng độ phân kỳ trường vector miền V giới hạn mặt S   Giả sử divF  M  liên tục divF  M   miền V ta thấy thông lượng W qua mặt S từ ngồi số dương Khi V có điểm  nguồn Ngược lại, divF  M   V có điểm rò Nếu xét điểm M  V , có lân cận cầu B0 có mặt cầu biên S0     divFdV  F ndS  divF (M )  dV   B0   divF ( M )  S0    F ndS S0 VB0 B0  mat thong luong cua truong F tai M 3.3.3 Hoàn lưu vector xốy  Hồn lưu     Cho trường vectơ F  x, y, z   P  x, y, z  i  Q  x, y, z  j  R  x, y, z  k xác định miền V L đường cong kín nằm V Khi đại lượng C   Pdx  Qdy  Rdz L  gọi hoàn lưu trường vectơ F dọc theo đường cong kín L Trang 54 Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt  Nếu d r vectơ nằm theo hướng tiếp tuyến dương đường cong L có   thành phần dx, dy, dz hồn lưu viết dạng C   Fd r L   Nếu F trường lực hồn lưu F dọc theo đường cong L  cơng sinh lực F tác động lên chất điểm dọc theo hướng L     Ví dụ 3.12 Tính hồn lưu trường vectơ F  x, y, z   x y i  j  zk  x2  y  L dọc theo hướng dương đường tròn :   z  3 z Giải O Ta có C   x y 3dx  dy  zdz x y L -3 L  x  2cos t  Phương trình tham số đường tròn L  y  2sin t , t   0, 2   z  3  2 Suy C   32 cos t.sin t  2sin t   cos t  dt 2 C  64 cos t.sin t  cos t  dt  8  Vector xoáy     Cho trường vectơ F  x, y, z   P  x, y, z  i  Q  x, y, z  j  R  x, y, z  k Khi  i  j  k    R Q    P R    Q P    rot F      i   k   j x  y z   z x   x y  P  y Q  z R  gọi vectơ xốy hay rơta trường vectơ F Trang 55 Lê Thị Thanh Hải Chương 3: Tích phân mặt  Ý nghĩa mối quan hệ hồn lưu vector xốy     Cho trường vectơ F  x, y, z   P  x, y, z  i  Q  x, y, z  j  R  x, y, z  k , P  x, y, z  , Q  x, y, z  , R  x, y, z  hàm liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng mặt S có biên L Khi cơng thức Stokes có dạng       rot  F  ndS   Fd r S L  Như vậy, ta thấy hoàn lưu trường vectơ F dọc theo đường cong kín L thơng lượng vector xốy qua mặt cong S có biên đường L L  F  Trong miền V ta đặt vòng tròn nhỏ L có gắn cánh mỏng, F  trường tốc độ dòng chảy tác động F cánh mỏng xoay  theo đường cong L quanh trục Hiệu xoay (công sinh lực F ) tạo  “xốy” cho trường F Nói cách khác, hồn lưu đặc trưng cho tính xốy trường vector     vector xoáy rot F đặc trưng cho tính xốy điểm Cụ thể rot F ( M )    M điểm xoáy, ngược lại rot F ( M )  M khơng điểm xốy Trang 56