Cấp số cộng cấp số nhân

Tìm số hạng đầu tiên u và công 1sai d của cấp số cộng... Cho các số a b c theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1; đồng thời , , theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng

–

Phần 1 Cấp số cộng……… Phần 2 Cấp số nhân ……….… Phần 3 Ứng dụng trong hình học ……… ……… Phần 4 Ứng dụng của CSC –CSN để tìm số hạng tổng quát ……

Phần 1 Cấp số cộng

Câu 1 Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số có 100 số hạng:  un : 4;7;10;13; và

 vn : 1;6;11;16;21; Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai cấp số cộng nói trên?

• n chia hết cho 5 tức là n Do 15 t  n 100 nên 1 5 t 100  1 t 20  1

• m chia hết cho 3 tức là 1 m  Do 13k 1  m 100 nên 0 k 33  2

Từ  1 và  2 suy ra có 20 số hạng chung Chọn C

Câu 2 Cho cấp số cộng  un với u1 công sai bằng 2 và cấp số cộng 3,  vn có v1 công 2,sai bằng 3 Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt đồng thời trong 2018 số hạng đầu tiên của cả hai cấp số cộng nói trên?

• n chia hết cho 3 tức là 1 n  Do 13t 1  n 2018 nên 1 t 673  1

• m chia hết cho 2 tức là m2 k Do 1 m 2018 nên 1 k 1009  2

ud

ud

ud

Câu 4 Cho dãy số  an có tổng n số hạng đầu tiên là Sn 2n2 Khi đó 3n

A  an là một cấp số cộng với công sai bằng 4

B  an là một cấp số nhân với công bội bằng 4

C  an là một cấp số cộng với công sai bằng 1

D  an là một cấp số nhân với công bội bằng 1

Lời giải Ta có số hạng thứ n của dãy là:

Khi đó a   a 4  a là một cấp số cộng với công sai bằng 4 Chọn A

Câu 5 Cho  un là một cấp số cộng với u5 và 18 4SnS2n Tìm số hạng đầu tiên u và công 1sai d của cấp số cộng

A u12;d B 4 u12; d 3 C u12;d 2 D u13;d 2.Lời giải Ta có: u5  18 u1 4d18  1

2 2019

u

v  B 11

11

121.181

u

11

127.190

u

11

133.199

u

v Lời giải Ta có 11 1

1010



   với d và d lần lượt là công sai của  un và  vn

Theo giả thiết:  

2017 C

2017

4355 Lời giải Ta có 2 1 3 2 2018 2017

u uS

1009

2018

3 Lời giải Ta có

Câu 1 Cho cấp số nhân  un với u1 công bội 1, q và cấp số cộng 2  vn có v1 công 2,sai d Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt đồng thời trong 1000 số hạng đầu tiên của cả hai 2.cấp số cộng nói trên?

Do m1000 nên suy ra 2n 21000  n 2 log 10002 9,9

Suy ra có 11 giá trị n nên có 11 phần tử bằng nhau Chọn C

Câu 2 Cho các số a b c theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1; đồng thời , , theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng Biết tổng 148

,9

Lời giải Gọi ba số đó là x y z Do ba số là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp , ,

số cộng nên ta có: y  và x 7d z x 42d (với d là công sai của cấp số cộng)

Theo giả thiết, ta có: x  y z 217 3x 49d217

Mặt khác, do x y z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên , ,

Câu 4 Cho bốn số thực a b c d thỏa mãn , , , a d  và 14 b c 12 Biết rằng a b c theo , ,thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q còn , ,1; b c d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng Tìm q

q  Lời giải Do a b c theo thứ tự đó lập thành một CSN với công bội q nên , , baq c, aq2.Theo giả thiết ta có

Câu 5 Cho tam giác ABC cân tại A Biết độ dài cạnh đáy BC đường cao , AH và cạnh bên

AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q Giá trị của q bằng 2

.2

 D 2 2

.2

 Lời giải Vì BC AH AB theo thứ tự lập thành CSN , ,

S

u S SS

Câu 7 Cho x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 x2   4x a 0; x x là hai nghiệm của 3, 4

phương trình x236x b  Biết 0 x x x x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân 1, 2, 3, 4

Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?

A a và 3.3 b B a và 5.5 b C a và 5.3 b D a và 3.5 b Lời giải Theo định lí Vi-et, ta có 1 2

1 2

4

Gọi q là công bội của CSN x x x x Suy ra 1, 2, 3, 4 2 3 4

Thử lại, ta nhận được hai cặp  a b, là: 3;243 và  12, 972  Chọn B

Câu 8 Cho cấp số nhân un có các số hạng đều dương và

n

P  

  D

2018 .2017

n

P 



 Lời giải Ta có    1 1 2 3  1  21 21

1

n n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 1. 1 1. .

1

n n

n

qq

n n

APB

Câu 10* Cho cấp số nhân  un với u1sin ,x u2cos ,x u3 tanx lần lượt là ba số hạng đầu tiên Tìm n để số hạng un 1 cos x

A n 7 B n 8 C n 9 D n10

Lời giải Từ giả thiết suy ra công bội của CSN là 2

2

cos.sin

q

 Theo tính chất CSN ta có u u1 3 u22 sin tanx xcos2xcos3xcos2x  1 0. 1

Đặt tcos , 1x    Khi đó t 1  1 trở thành t3   t2 1 0  2

A Nếu  un là cấp số cộng với công sai khác 0 thì  Pn cũng là cấp số cộng

B Nếu  un là cấp số nhân với công bội dương thì  Pn cũng là cấp số nhân

C Nếu  un là cấp số cộng với công sai khác 0 thì  Sn cũng là cấp số cộng

D Nếu  un là cấp số nhân với công bội dương thì  Sn cũng là cấp số nhân

Lời giải Giả sử dãy u u1; ; ;2 u là cấp số cộng có công sai n d 0

Câu 2 Một hình vuông ABCD có cạnh AB diện tích a, S Nối bốn trung 1

điểm A B C D theo thứ tự của bốn cạnh 1, 1, 1, 1 AB BC CD DA ta được , , ,

hình vuông thứ hai là A B C D có diện tích 1 1 1 1 S Tiếp tục như thế ta được 2

hình vuông thứ ba là A B C D có diện tích 2 2 2 2 S3, và cứ tiếp tục làm như

vậy mãi mãi, ta được các hình vuông lần lượt có

diện tích S S4, 5, ,Sn, Khi đó, tổng diện tích S của tất cả các hình vuông đó bằng

A S 2 a2 B

2

3.2a

S C S2 a2 D S3 a2

Lời giải Ta tính được 1 2; 2 ; 3 ; ; 1;

2 2 1

2

2 D 2018

2.2Lời giải Hình vuông A B C D có cạnh bằng 1 nên có chu vi bằng 1 1 1 1 u1 4

Gọi chu vi hình vuông A B C D là ,k k k k u suy ra k

k k

uu

Câu 4 Với hình vuông A B C D như hình vẽ bên, cách tô màu như 1 1 1 1

phần gạch sọc được gọi là cách tô màu ''đẹp'' Một nhà thiết kế tiến

hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:

Bước 1: Tô màu ''đẹp'' cho hình vuông A B C D 1 1 1 1

Bước 2: Tô màu ''đẹp'' cho hình vuông A B C D là hình vuông ở chính giữa khi chia hình 2 2 2 2vuông A B C D thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ 1 1 1 1

Bước 3: Tô màu ''đẹp'' cho hình vuông A B C D là hình vuông ở chính giữa khi chia hình 3 3 3 3vuông A B C D thành 9 phần bằng nhau Cứ tiếp tục như vậy Hỏi cần ít nhất bao nhiêu 2 2 2 2bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm 49,99%

A 4 bước B 7 bước C 8 bước D 9 bước

Lời giải Gọi diện tích được tô màu ở mỗi bước là u nn,   Dễ thấy dãy các giá trị  u là một n

cấp số nhân với số hạng đầu 1 4

9

u  và công bội 1

9

q Gọi S là tổng của k số hạng đầu trong cấp số nhân đang xét thì k 1 1

1

k k



Vậy cần ít nhất 4 bước Chọn A

Câu 5 Để trang hoàng cho căn hộ của mình, An quyết định tô màu một

miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1 Bạn ấy tô màu đỏ các hình vuông

nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, , , ,n trong đó cạnh của hình

vuông kế tiếp bằng một nửa hình vuông trước đó (như hình bên) Giả

sử quy trình tô màu của An có thể tạo ra vô hạn Hỏi bạn An tô màu

đến hình vuông thứ mấy thì diện tích

của hình vuông được tô nhỏ hơn 1

?1000

Câu 6 Cho hình vuông C có cạnh bằng 1 a Người ta chia mỗi

cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm

chia một cách thích hợp để có hình vuông C (hình vẽ) Từ hình 2

vuông C lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình 2

vuông C C C1, , , , 2 3 C Gọi n S là diện tích của hình vuông i

a

D

2

8.3

a

Lời giải Cạnh của hình vuông C là 2

S  S Tương tự ta có 3 10 2; ; 10 1.

S  S S  S 

      Chọn D

Câu 7 Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh

của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam

giác ABC Ta xây dựng dãy các tam giác A B C 1 1 1,

2 2 2, 3 3 3,

A B C A B C sao cho A B C là một tam giác đều cạnh 1 1 1

bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n tam giác 2, A B C n n n

là tam giác trung bình của tam giác A B Cn1 n1 n1 Với mỗi số

nguyên dương n, kí hiệu S tương ứng là diện n

tích hình tròn ngoại tiếp tam giác A B C Tính tổng n n n S     S1 S2 Sn

S  D S5 Lời giải Dễ dàng tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác A B C là 1 1 1 R1 3

nên S13 

Tam giác A B C có được qua phép biến hình 2 2 2 1

; 2

Câu 8 Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi A B C D là tứ diện với 1 1 1 1

các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam giác BCD CDA DAB ABC và có , , ,

thể tích V Gọi 1 A B C D là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm 2 2 2 2

tam giácB C D C D A D A B A B C và có thể tích 1 1 1, 1 1 1, 1 1 1, 1 1 1 V cứ như 2

vậy cho tứ diện A B C D có thể tích n n n n V với n là số tự nhiên lớn hơn n

V

C .27

V

D 82.81VLời giải Gọi M N lần lượt là trung điểm của , BD BC ,

     Chọn B

Câu 9 Cho hình cầu  C1 có bán kính R bên trong 1,  C1 ta dựng một

hình nón nội tiếp  N1 có góc đỉnh bằng 60  Bên trong hình nón

 N1 ta dựng một mặt cầu  C2 nội tiếp  N1 ; và cứ tiếp tục như thế

ta dựng đến hình cầu thứ n là  Cn Gọi V V1, , ,2 V là thể tích của n

8

.7

R

1

16.7

R

1

16.21

R

1

32.21

R

I  Lời giải Gọi bán kính của các khối cầu    C1 , C2 , , Cn lần lượt là R R1, 2, ,R n

3 1

R

     Chọn D

Câu 10 Cho khối nón có góc ở đỉnh của thiết diện qua trục là

3

 Một khối cầu  S1 nội tiếp trong khối nón Gọi S là khối 2

cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với S S là 1; 3

khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

2; ; n

S S là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của

nón và với Sn1 Gọi V V1, 2, ,V lần lượt là thể tích của khối n

.9

.13

T Lời giải Gọi bán kính của các khối cầu S S1, 2, ,S lần lượt là n R R1, 2, , R n

13

n n

5

.4

3 , 3

3? Ta làm thế này, coi như chưa biết số đó là bao nhiêu và đặt là , khi đó ta cần có un1  3un Từ đó suy ra 2.

3

 

Đặt 1  

* 1

172

33

vq

n n

Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn bài tốn là n146 Chọn C

Câu 2 Cho dãy số  un xác định 1 *

 



 

 nên cĩ số hạng tổng quát 1 n 1 10 ,n

bậc nhất theo bậc nhất theo 1

n n

21

 



  

 nên cĩ số hạng tổng quát   1

A 1023

1133

2 C 1023 D 1078

Lời giải Tương tự như trên, ta có un1  n 1 2unn

* 1

u a n b u an b thì không

tìm được a b Lí do là bài này hệ số của , un1 và u bằng nhau n

Ta phải phân tích như thế này

Câu 7 Cho dãy số  un được xác định bởi công thức truy hồi 1 2 *

21

 



 

 nên có số hạng tổng quát 2.3 n 1

n

v   Suy ra 2 1 2.3n 1 1

u   v   Khi đó S2 1 3    1 32 3201732018 Chọn C 1

Câu 8 Cho dãy số  un xác định

23

2 , 3

vq

  



 

 nên có số hạng tổng quát  2 2 1

Câu 9 Cho dãy số  un xác định bởi

A 22015; 22016 B 22016; 22017 C 22017; 22018 D 22018; 22019 Lời giải Do

32

A M 12121 B M12128 C M 16152 D M 16159 Lời giải Ta phân tích: 1  

20127

2 ,2

81

3.2

u    Cuối cùng un  khi và chỉ khi 4n chia hết cho 32 3.2 n 1 Do 2n  nên suy ra 32 n 1chia hết cho 2 ,n 1 suy ra n  hay 1 5 n 4

ubằng

A 21 B  1 C  3 D 157

u bằng

A 11 B 11

.2

113.3 2

n

u        nên limn 3

3

n n

u

bằng

Đặt 1  

* 1

9555

492

là một cấp số nhân với công

bội q  nên có số hạng tổng quát 5 955 1

.5 49

n n

n n

, 2

2

12

1

, 2

Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có

1 1

2

2 2

n

n n

*

*

1 1

11

1

5.2 2 2

.2

1 2

2 1

1

1 , 3

un

131, 3

n

vu

11

, 1;2;3;

2

n n

2020 C

2 2018

.2020

 D 2 2019

.2020

 Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có 2 1 1 .

21

,

vn

11

2,

vn

2

2,3

n n

u uL

Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có n3un12nun

Nhân hai vế cho n1n2 , ta được

n1n2n3un12n n 1n2un

Đặt    1  

* 1

3 3

4 4

uuuu

u uL

1

, 1

un

Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có n1un1nunn  *

n

vn

Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 2019 Chọn C

Câu 8 Cho dãy số  un xác định bởi

1

* 1



Khi đó 2n 1

n

Pn u   Giả sử P là số chính phương khi đó tồn tại m  sao cho *

  Trừ  1 và  2 vế theo vế, ta có

1 2 11

1

01

, 2

n

vu

2

n

nnu

Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có  

12

., 1

n n

 đưa về cấp số cộng hoặc cấp số nhân

Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có

21

Câu 2 Cho dãy số  un xác định bởi

1

1

1

2

, 1,2,

3 4

n n

u  u  Đặt

1 1

*

*

1 1

11

53

23

.,

1 2 2 1

n n

4 1

n

un

128

256.390497Lời giải Ta có 1 1 1 4

n

u 

Suy ra

7

10.2 64

.155934.5 5.2

 Chọn B

Câu 5 Cho dãy số  un xác định bởi

8

n n

3

n n

au bu

n

n n

23

xx

xx

2 nên suy ra

1

5

4 .2

n

n

vv

n

uu

1 1

11

2 11

2

.2017

,2019

n n

xx

xxx

n

uu

n n

uu

1 1

11

Đặt 1  

* 1

20151

20162016

n n

4030

20152015.1009 1

x

xx

  

     Vì

125

x  không được đẹp nên

ta chỉ sử dụng nghiệm x  và tìm được 2 11

22.3 24.11.3 10

n

u   

Suy ra a24; b  nên 10 a b 14 Chọn C

Câu 4 Cho dãy số  un xác định bởi

1

* 1

2

.1

x xx

2

5 1, 3

n n

103 D

499

103 Lời giải Giải phương trình 5 1

n

nun

2 1

n n

n n u n n uĐặt vn n n2 1un, ta được 1

2

14

., 2;3; ;

n n

uu

1

1

1.4

n

un

u n u

uu

 Vậy 2020 1 3

.2020

u  Chọn C

Câu 4 Cho dãy số  un thỏa

uu

u uu

n

uu

4 2 1

3

n

u  n với mọi n Vậy 1 u20215388 Chọn B

Câu 5 Cho dãy số  un thỏa





A S 2020 B S 2019 C S2019 D S2020.Lời giải Ta có 2020  1 2 2019

i i