Cấp số cộng cấp số nhân

– – Phần Cấp số cộng……………………………………………………………………………………… Phần Cấp số nhân ……………………………………………………………………………….… Phần Ứng dụng hình học ……………………………………………… ……… Phần Ứng dụng CSC –CSN để tìm số hạng tổng quát …… Phần Cấp số cộng Câu Cho hai cấp số cộng hữu hạn, cấp số có 100 số hạng: un  : 4;7;10;13; vn  : 1;6;11;16;21; Hỏi có tất số có mặt đồng thời hai cấp số cộng nói trên? A 10 B 19 C 20 D 33 * un   n 1  3n    n, m   Lời giải Dễ dàng ta có  với       n , m  100 v   m   m      m   Cho un  v m   3n   5m   3n  m 1 Suy 1 2  • n chia hết cho tức n  5t Do  n  100 nên  5t  100   t  20 • m  chia hết cho tức m  3k  Do  m  100 nên  k  33 Từ 1 2  suy có 20 số hạng chung Chọn C Câu Cho cấp số cộng un  với u1  3, công sai cấp số cộng vn  có v1  2, cơng sai Hỏi có tất số có mặt đồng thời 2018 số hạng hai cấp số cộng nói trên? A 335 B 673 C 674 D 1009 *  n, m   un   n  1  n   Lời giải Dễ dàng ta có  với        1  n, m  2018 vm   m 13  3m 1 Cho un  v m   2n   3m 1  3m  n  1 Suy • n  chia hết cho tức n  3t 1 Do  n  2018 nên  t  673 • m chia hết cho tức m  k Do  m  2018 nên  k  1009 Từ 1 2  suy có 673 số hạng chung Chọn B 1 2  Câu Cho un  cấp số cộng có tổng n số hạng đầu tính theo cơng thức S n  5n  3n với n   * Tìm số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng u1  8 u1  8 u1  u1  A  B  C  D      d  10 d  10 d  10 d  10 S1  5.12  3.1  u1  u1     Lời giải Có       d  u2  u1  10 Chọn C   S  5.2  3.2  26  u1  u2  26  u2  18  Câu Cho dãy số an  có tổng n số hạng S n  2n  3n Khi A an  cấp số cộng với công sai B an  cấp số nhân với công bội C an  cấp số cộng với công sai D an  cấp số nhân với cơng bội Lời giải Ta có số hạng thứ n dãy là: an  S n  S n1  n  3n  n 1  3n 1  n  Suy an 1  n  Khi an 1  an    an  cấp số cộng với công sai Chọn A Câu Cho un  cấp số cộng với u5  18 4S n S n Tìm số hạng u1 công sai d cấp số cộng A u1  2; d  B u1  2; d  Lời giải Ta có: u5  18  u1  d  18 C u1  2; d  D u1  3; d   2u  n 1 d  2u1  2n 1 d Lại có: 4S n S2 n   n   2n  2u1  d  2   Từ 1 2  suy u1  2; d  Chọn A 1 2  Câu Cho un  cấp số cộng với số hạng dương S n tổng n số hạng Giả sử S2018 20182 u a a  2018  với phân số tối giản a, b số nguyên dương S2019 2019 u2019 b b Tổng a  2b A 6055 B 6056 C 12107 D 12109 Lời giải Gọi u1 d số hạng đầu công sai cấp số cộng un   2u1  2017d   .2018  S2018 2018 2u  2017d 2018  20182 Theo đề:       d  2u1 2   u  2018 d S2019 2019 2u1  2018d 2019  2019 2019    u u  2017d u1  2017.2u1 4035 a  4035 Khi 2018       Chọn D b  4037 u2019 u1  2018d u1  2018.2u1 4037 Câu Cho hai cấp số cộng un  vn  có tổng n số hạng S n Tn Biết Sn 6n  u  Tỉ số 11 Tn 9n  v11 A u11 77  v11 100 Lời giải Ta có B u11 121  v11 181 C u11 127  v11 190 D u11 133  v11 199 u11 u  10d  với d d  công sai un  vn  v11 v1  10d  n  2u1  n 1 d  n  2u  n  1 d Sn 6n  6n  Theo giả thiết:      n  Tn 9n  2v1  n 1 d 9n  2v1  n 1 d   n   2 u 6.21  2u1  20d 127 u1  10d 127 Thay n  21, ta    hay 11  Chọn C   9.21  2v1  20d 190 v1  10d v11 190 Câu Cho cấp số cộng un  có S m  Sn m  n  Giá trị S m n A B 2Sn C 4S n 2u1  m  n 1 d   m  n  Lời giải Ta có S m n   2u  m 1 d 2u  n  1 d Theo giả thiết: S m  Sn  m  n 2 D S n2  2m.u1  m m 1.d  2n.u1  n n 1.d  2u1 m  n   m  n m  n 1 d   m  n   2u1  m  n 1 d   Vì m  n nên 2u1  m  n 1 d  suy S m n  Chọn A Câu Cho cấp số cộng un  thỏa mãn 5S7  7S5  70 Công sai cấp số cộng A B D 70 C 37,5 Lời giải Gọi u1 d số hạng đầu công sai cấp số cộng un  Ta có 5S7  7u1  21d   35u1  105d 7S5  5u1  10d   35u1  70 d Theo đề: 5S7  7S5  70  35u1  105d  35u1  70d   70  35d  70  d  Chọn A 4355 Giá trị biểu thức 2017 1 S    u1  u2 u2  u3 u2017  u2018 Câu 10 Cho cấp số cộng un  với u1  1, công sai d  A 1950 67 B 2017 67 u2  u1 Lời giải Ta có S  u2  u1  u2018  u1 D u3  u2 u3  u2   2338 2017 C 2017 4355 u2018  u2017 u2018  u2017 u1  2017d  u1 2017 Chọn D 67 Câu 11 Cho cấp số cộng un  với u1  1, công sai d  Giá trị biểu thức 2018 1 S    u1 u2  u2 u1 u2 u3  u3 u2 u2018 u2019  u2019 u2018  A d B Lời giải Ta có  Do S    C un un 1  un 1 un un un 1 d  un 1  un un 1  un un un 1    1009 un  un 1 D 2018  un 1  un 1  1      un 1  un d  un un un 1 un 1   1 1 1   1               d  u1 u2 u2 u3 un un 1  d  u1 u2019   1009  1     Chọn C d  u1 u1  2018d  Câu 12 Cho cấp số cộng un  với u1  1, công sai d  Giá trị biểu thức S 1 1     u1u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50 49 C D 123 246 246 1 1 1 1 Lời giải Ta có S           u1u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50 1.6 6.11 231.236 241.246 1 1 1 1    49           Chọn C   1    1 6 11 231 236 241 246   246  246 Câu 13 Một cấp số cộng có số hạng đầu u1  2018 công sai d  5 Hỏi số hạng cấp số cộng nhận giá trị âm? A u403 B u404 C u405 D u406 A 23 B Lời giải Số hạng tổng quát CSC un  2018  n 1 2023  404,6 Chọn C Câu 14 Cho cấp số cộng un  có cơng sai d  3 u22  u32  u42 đạt giá trị nhỏ Tổng Để un   2018  n 1   n  100 số hạng cấp số cộng A 14250 B 14400 C 14650 D 15480 Lời giải Ta có P  u  u  u  u1  3  u1  6  u1  9  3u  36u1  126 2 2 Suy P đạt giá trị nhỏ u1  2 2.6  99.3 2u1  99d 100  100  14250 Chọn A 2 Câu 15 Có tất số nguyên dương n; k  biết n  20 số C nk 1 ; C nk ; C nk 1 Vậy S100  theo thứ tự số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm cấp số cộng? A B C D n   * , k   * Lời giải Điều kiện:   n  k  Theo tính chất cấp số cộng, ta có 2C nk  C nk 1  C nk 1  2.n ! n! n!    n  k   n  n  k ! k ! n  k  1!k 1! n  k 1!k  1! *  Do n  20  n   22, mà n  số phương n, k nguyên dương nên ta có trường hợp sau:   • n    n    k  loaïi  * k  * • n    n    k   k   * • n   16  n  14   k   Vậy có số thỏa mãn Chọn B Phần Cấp số nhân Câu Cho cấp số nhân un  với u1  1, công bội q  cấp số cộng vn  có v1  2, cơng sai d  Hỏi có tất số có mặt đồng thời 1000 số hạng hai cấp số cộng nói trên? A B 10 C 11 D 12 n 1 *  n, m   un   Lời giải Dễ dàng ta có  với        1  n, m  1000 vm   m 1  2m Cho un  v m   n1  2m  m  n 2 Do m  1000 nên suy n2  1000  n   log 1000  9,9 Suy có 11 giá trị n nên có 11 phần tử Chọn C Câu Cho số a, b, c theo thứ tự tạo thành cấp số nhân với cơng bội khác 1; đồng thời theo thứ tự chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng 148 Biết tổng a  b  c  , giá trị biểu thức T  a  b  c 20 52 20 52 A B C D 3 9 Lời giải Gọi m cơng sai, theo giả thiết ta có b  a  3m c  a  7m 148 Suy a  b  c  3a  10m  1 Theo tính chất cấp số nhân, ta có b  ac  a  3m   a a  m   m a  9m   • m  : suy a  b  c : không thỏa mãn (do cấp số nhân với công bội khác ) a   16 64 52 • a  9m  : kết hớp với 1, ta   T  Chọn D  b ; c  m  9  Câu Ba số phân biệt có tổng 217 coi số hạng liên tiếp cấp số nhân ; coi số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 cấp số cộng Hỏi phải lấy số hạng đầu cấp số cộng để tổng chúng 820 ? A 17 B 20 C 21 D 42 Lời giải Gọi ba số x , y, z Do ba số số hạng thứ 2, thứ thứ 44 cấp số cộng nên ta có: y  x  7d z  x  42d (với d công sai cấp số cộng) Theo giả thiết, ta có: x  y  z  217   x  49d  217 Mặt khác, x , y, z số hạng liên tiếp cấp số nhân nên d  y  xz   x  7d   x  x  42 d   d 4 x  7d     4 x  7d   217 217 2460 ● Với d  0, ta có: x  y  z  Suy n  820 :    3 217 4 x  7d   x  ● Với 4 x  7d  0, ta có:    Suy u1     3 x  49 d  217 d   n  20 2u1  n 1 d  n  2.3  n 1 n    Khi S n  820   820   820   41 Chọn A n   2  Câu Cho bốn số thực a, b, c , d thỏa mãn a  d  14 b  c  12 Biết a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với cơng bội q  1; b, c , d theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm q 19  73 B q  C q  D q  24 Lời giải Do a, b, c theo thứ tự lập thành CSN với cơng bội q nên b  aq, c  aq A q  a  d  14 a  d  14   b  aq , c  aq Theo giả thiết ta có b  c  12    aq  aq  12   b  d  2c aq  d  2aq 1 2 3 12 Thay vào 3 ta q  q2   q   loaïi 12q 14 q  14 q 12 24 q 2     q  13 q    Chọn C  q  q2 q  q2 q  q2  q  Câu Cho tam giác ABC cân A Biết độ dài cạnh đáy BC , đường cao AH cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q Giá trị q Vì q  nên từ 1 2 , ta có d  14  a a  1 1 2 B C 2 Lời giải Vì BC , AH , AB theo thứ tự lập thành CSN A D 2   AH  BC AB     AB   q2     BC Ta có: AH  AB   AB  BC AB AB 1  AB.BC        Chọn C     BC  BC BC 2 Câu Cho cấp số nhân un  có tổng n số hạng S n  3n  Tìm số hạng thứ 3n1 cấp số nhân cho A u5  B u5  C u5  35 D u5  3  35  S5  35   Lời giải Ta có   u5  S5  S    Chọn A   3 3 1 S  3  Câu Cho x1 , x hai nghiệm phương trình x  x  a  0; x , x hai nghiệm phương trình x  36 x  b  Biết x1 , x , x , x theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hỏi khẳng định sau đúng? A a b B a b C a b D a b  x  x  36  x1  x  4  Lời giải Theo định lí Vi-et, ta có      x1 x  a    x x  b Gọi q công bội CSN x1 , x , x , x Suy q  x  x 36     q  3 x1  x 4 ● Với q  x1  1; x  3; x  9; x  27   a  3, b  243 ● Với q  3 x1  2; x  6; x  18; x  54   a  12, b  972 Thử lại, ta nhận hai cặp a, b  là: 3;243 12, 972  Chọn B  u1  u2  u3   un  2017    Câu Cho cấp số nhân un  có số hạng dương  1       2018  un    u1 u2 u3 Tính tích P  u1 u2 u3 .un  2017   2017  A P   B P     2018   2018  n  2018  C P    2017   2018  D P    2017  n n Lời giải Ta có P  u1 u1 q  u1 q n1   u1n q 1 3 n 1 Theo giả thiết, ta có A  u1  u2  u3   un  u1  u1n q n n  n1 q n 1 q 1 1 1  1  Và B       1     n 1    u1 u2 u3 un u1  q q q  u1 n 1    u1.q    n 1 q n 1 qn  u1 q 1 q n1 1 q 1 n n n 1    A  2017  A  u12 q n1  u1 q  Vậy P      Chọn A   B     2018  B Suy Câu Xét cấp số nhân có 2n  số hạng dương ( n số nguyên dương) thỏa tổng tất số hạng 400 tổng tất nghịch đảo số hạng Giá trị lớn n A 17 B 18 C 19 D 20 Lời giải Ta có 400  u1  u2   u2 n 1  2n  1 n 1 u1 u2 u2 n 1 Lại có  2n  1 1     n  u1 u2 u2 n 1 u1 u2 u2 n 1 Nhân vế theo vế, ta 1600  2n  1 Suy 2n   40  n  39 Vậy n  19 giá trị lớn n thỏa mãn Chọn C Câu 10* Cho cấp số nhân un  với u1  sin x , u2  cos x , u3  tan x ba số hạng Tìm n để số hạng un   cos x A n  B n  C n  u cos x Lời giải Từ giả thiết suy công bội CSN q   u2 sin x D n  10 Theo tính chất CSN ta có u1 u3  u22  sin x tan x  cos x  cos x  cos x 1  1 Đặt t  cos x , 1  t  Khi 1 trở thành t  t   2   cos x  Ta có  cos x  un  u1.  sin x  n 1 Suy 1  cos x    1  t    cos n1 x sin n 2 x cos n 2 x cos n2 x  n 4 sin x 1  cos x n 2 t n 2  1  t  1  t  n 2  t n 2  1  t  t 1  t  1  t  n 2 n 2  1  t  t  1  t   t n   t  t  1  t   t n 2 n 2  t   t n   t n 6  t n 2  t n8  n 2 n 2  t 2n2 Suy n    n  Chọn B Phần Ứng dụng CSC – CSN hình học Câu Cho dãy hình vng H ; H ; ; H n ; Với số nguyên dương n, gọi un , Pn S n độ dài cạnh, chu vi diện tích cảu hình vng H n Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Nếu un  cấp số cộng với cơng sai khác  Pn  cấp số cộng B Nếu un  cấp số nhân với cơng bội dương  Pn  cấp số nhân C Nếu un  cấp số cộng với công sai khác S n  cấp số cộng D Nếu un  cấp số nhân với công bội dương S n  cấp số nhân Lời giải Giả sử dãy u1 ; u2 ; ; un cấp số cộng có cơng sai d  Suy un  u1  n 1 d , suy un  4u1  n  1 d Do dãy  Pn  có dạng u1 ;4 u2 ; ;4un cấp số cộng có cơng sai d  Vậy A Giả sử dãy u1 ; u2 ; ; un cấp số nhân có cơng bội q  Suy un  u1 q n 1 , suy • un2  u12 q n2  u12 q  n 1 bội q  Vậy D Do dãy S n  có dạng u12 ; u22 ; ;4 un2 cấp số nhân có cơng • un  4u1 q n 1 Do dãy  Pn  có dạng u1 ;4 u2 ; ;4un cấp số nhân với công bội q  Vậy B Bằng phương pháp loại trừ, ta Chọn C Câu Một hình vng ABCD có cạnh AB  a, diện tích S1 Nối bốn trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự bốn cạnh AB, BC , CD, DA ta hình vng thứ hai A1 B1C1 D1 có diện tích S Tiếp tục ta hình vng thứ ba A2 B2C D2 có diện tích S3 , tiếp tục làm mãi, ta hình vng có diện tích S , S5 , , S n , Khi đó, tổng diện tích S tất hình vng A S  2a B S  3a C S  a D S  3a Lời giải Ta tính S1  a ; S  a2 a2 a2 ; S3  ; ; Sn  n1 ; Ta thấy S n  cấp số nhân, có số hạng đầu S1  a công bội q  Suy S n  cấp số nhân lùi vô hạn, nên S1 a2   2a Chọn C 1 q 1 Câu Cho hình vng A1 B1C1 D1 có cạnh Gọi Ak 1 ; Bk 1 ; C k 1 ; S  S1  S2   Sn   Dk 1 thứ tự trung điểm cạnh Ak Bk ; Bk C k ; C k Dk ; Dk Ak (với k  1; ) Chu vi hình vng A2018 B2018C 2018 D2018 A 1006 B 1007 C 2017 D 2 2 Lời giải Hình vng A1 B1C1 D1 có cạnh nên có chu vi u1  Gọi chu vi hình vng Ak Bk C k Dk uk , suy Ak Bk  Suy Ak 1 Bk 1  2018 uk u 2 Ak Bk  k Do hình vng Ak 1 Bk 1C k 1 Dk 1 có chu vi uk 1  Ak 1 Bk 1  uk u  k 2 u1   Xét dãy số un  thỏa  nên có số hạng tổng u cấp số nhân có cơng bội q  uk 1  k  quát un  u1 q n 1   2 n 1 Suy u2018   2 2017  2  1007 Chọn B 21009 Câu Với hình vng A1 B1C1 D1 hình vẽ bên, cách tơ màu phần gạch sọc gọi cách tô màu '' đẹp '' Một nhà thiết kế tiến hành tơ màu cho hình vng hình bên, theo quy trình sau: Bước 1: Tơ màu '' đẹp '' cho hình vng A1 B1C1 D1 Bước 2: Tơ màu '' đẹp '' cho hình vng A2 B2C D2 hình vng chia hình vuông A1 B1C1 D1 thành phần hình vẽ Bước 3: Tơ màu '' đẹp '' cho hình vng A3 B3C D3 hình vng chia hình vng A2 B2C D2 thành phần Cứ tiếp tục Hỏi cần bước để tổng diện tích phần tơ màu chiếm 49,99% A bước B bước C bước 10 D bước Vậy u10  310  210  58025 Chọn C u1  2019  Câu Cho dãy số un  xác định  Số hạng thứ 2020  n 1   un 1  7un  , n  1;2;3; dãy có dạng 2019.M , khẳng định sau đúng? A M  12121 B M  12128 C M  16152 D M  16159 Lời giải Ta phân tích: un 1  a.7 n 1  un  a.7n  Khi tự triệt tiêu tham số a Do ta phải phân tích: un 1  a n  17 n 1  un  an7 n  Đồng với giả thiết, ta tìm a  1 Khi un 1  7un  n 1  un 1  n  17 n 1  un  n7 n  v1  2012 Đặt  un  n7 n      vn  cấp số nhân với công bội q  vn 1  7v n , n   *  nên có số hạng tổng quát v n  2012.7 n1 , suy un  2012.7 n 1  n7 n Vậy u2010  2012.7 2019  2010.7 2020  2019.2012  2020.7  2019.16152 Chọn C u1  Câu Cho dãy số un  xác định  Hỏi dãy số cho có bao  un 1  un  n2 , n   *  nhiêu số hạng số nguyên? A B C 19 D Vô số Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có 2un 1  un  2n1 Ta phân tích: un 1  a.2 n   un  a.2 n1 Đồng với giả thiết, ta tìm a   Khi  1  n 2 un 1  un   un 1  n   un  n 1    3  v1  Đặt  un  n 1     v n  cấp số nhân với công bội  * v  v , n    n 1 n 1 n  32 2 n  32 q  nên có số hạng tổng quát    , suy un     6.2 n 3.2 n 1 Cuối un   n  32 chia hết cho 3.2 n1 Do 2n  n  nên suy 32 n 1 chia hết cho n1 , suy n   hay n  Thử trực tiếp ta có u1  3, u2  2, u3  2, u4  Chọn B u1  2  u Câu Cho dãy số un  xác định  Giới hạn lim nn  n n *   un  5un1  2.3  6.7  12, n   A 21 B 1 C 3 D 157  3n  k.3n  5k.3n 1 Lời giải Ta có  , cho n  ta  n n n 1   7  l  5l Hơn 12  3  5.3  k      l   Từ 1 2 , suy công thức truy hồi dãy viết lại sau 1 2  un  3.3n  21.7 n   un 1  3.3n1  21.7 n1  3 v1  157  Đặt vn1  un 1  3.3n1  21.7 n 1      v n  cấp số nhân  *   vn  5vn1 , n   với công bội q  nên có số hạng tổng quát v n  157.5n 1 Suy un  157.5n 1  3n 1  3.7 n 1  nên lim un  21 Chọn A 7n u1   u Câu Cho dãy số un  xác định  Giới hạn lim nn  n *   un  2un1   n, n   11 A 11 B  C D Lời giải Xem vế trái 0, vế phải 3n Ta phân tích a.3n  2a.3n 1 tìm a  3 Xem vế trái 0, vế phải n Ta phân tích bn  c  b n  1  c  tìm b  1, c  2 Do cơng thức truy hồi dãy viết lại sau un  2un1  3n  n  un  3.3n  n   un 1  3.3n1  n 1   v1  11 Đặt  un  3.3n  n       vn  cấp số nhân với công bội vn  2vn1 , n   *  q  nên có số hạng tổng quát  11.2 n1 un  Chọn D 3n  u1  19 u Câu Cho dãy số un  xác định  Giới hạn lim n n  n *  u   u  n  , n     5 n   n 1 955 191 191 955 A  B  C D 49 49 49 49 Lời giải Ta cần phân tích n  1 n đồng Cụ thể Suy un  11.2 n 1  3n 1  n  nên lim a n  1  b  n 1  5 an  b  n      Khai triển đồng nhất, ta a   , b   49 Do cơng thức truy hồi dãy viết lại sau   n   n 1 n 5  un 1  5un  n  1 n  un 1      5 un     n     49   49  20  v1   955 n 5 Đặt  un     n   49   v n  cấp số nhân với công   49  * vn 1  5v n , n   955 n 1 bội q  5 nên có số hạng tổng quát   49 n u 191 5 191 n Suy un  Chọn C 5     n nên lim n n    49 49 49 5 u1  2020  Câu Cho dãy số un  xác định  Số hạng u10  n *   un 1  un   2019, n   A 21212 B 21213 C 21214 D 21215 n   un 1  un   2019     un  un1  n 1  2019   Lời giải Ta có   un 1  u1  2  2   n   2019n     u3  u2  2  2019    u  u1   2019     un 1  2020  2 n 1  2019 n  n 1  2019n  2018 Suy un  n  2019n  nên u10  210  2019.10 1  21213 Chọn B u1     Câu Cho dãy số un  xác định  Giới hạn lim un   un 1  un2  n , n   *     A B C D 2 Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có un21  un2  n  un  un21  n11   u  u  1   2 2 n 1 n 2 Ta có  n2  un  u1       n 1    1  n    n   2      u  u  1  2 Suy un   n 1 Do lim un  Chọn B  u1   Câu Cho dãy số un  xác định  Giới hạn lim un   n * u  u  , n    n 1 n 2n  A B C D  Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có Đặt x n  n un , ta n 1.un 1  n.un  n  x1   x1        * *    x n 1  x n  n, n    x n 1  n  1    x n  2n  2, n   v1  Đặt  x n  2n       v n  cấp số nhân với công bội vn 1  2v n , n   *  q  nên có số hạng tổng quát  5.2 n1 , suy x n  5.2 n 1  2n  5.2 n1  2n  Do lim un  Chọn C n 2 u1     Câu 10 Cho dãy số un  xác định  Giới hạn lim un  2n   un 1  un2  , n  *  n    A B C D 2n  Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có un21  un2  2n n 1 2 un 1   n un2  2n  4n  Đặt v n  n un2 làm tương tự trên, ta un   Chọn C 2n Suy un  Dạng un1  g n .un  f n  với g n , f n  đa thức  u1   Câu Cho dãy số un  xác định    n 1 * un , n   un 1  3n  u u2 u3    10 10 3280 25942 29524 A B C D 243 6561 59049 59049 u u Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có n 1  n n 1 n  v1  un  Đặt       vn  cấp số nhân với công bội q   n * vn 1  v n , n    u u2 u3 Do S  u1     10 10 Tổng S  u1  22 1  10  q 10 29524  v1  v2  v3   v10  v1   Chọn D 1 q 1 59049  u1      Câu Cho dãy số un  xác định  Số hạng thứ 2019 n  1 un  u  , n  1;2;3;  n 1  n n     dãy số 2018 2019  2018  2019 A B C D 2019 2020 2020 2020 n2 n 1 Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có un 1  un n 1 n v1  n 1 Đặt  un      vn  dãy số khơng đổi nên có số hạng tổng vn 1  , n   * n  2n quát  2, suy un  Chọn D n 1  un  Câu Cho dãy số un  xác định  Tính lim un  *   un1  n un1  un , n   1 A B C D Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có n un  n  1 un1  n un  n  1n  1 un 1  n n 1 un  un1 n 1 n  v1  n 1 Đặt vn1  un1     vn  dãy số không đổi nên có số hạng tổng  n * vn  vn1 , n   n 1 n 1 quát  , suy un  Khi lim un  lim u  Chọn B 2n 2n    u1    Câu Cho dãy số un  xác định    2nun  un 1  , n  *   n 3   u u u  u Tính L  lim   22  33   nn  2 n   2  3 A L  B L  C L  2 Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có n  3un 1  2nun Nhân hai vế cho n  1n  2, ta n  1n  2n  3un 1  2n n  1n  2 un D L  v1  Đặt  n n  1n  2 un      vn  cấp số nhân với công bội vn 1  2v n , n   *  n 1 q  nên có số hạng tổng quát  4.2 n1  n 1 , suy un  n n  1n   Từ un 1       n n n  1n   n n  1 n  1n  2 n n  n  Ta có u1 u2 22 u3 23 u4 24  1     2         un    2n n n 1 n 2 u u u u 1 Suy  22  33   nn    nên 2 2 n 1 n  u 1 u u  u 1  L  lim   22  33   nn   lim      Chọn A   2 n   n    n  n   2 u1  2018  Câu Cho dãy số un  xác định  Đặt S  ui Khẳng định  n  un  un 1  n, n   * i 1  n 1 sau đúng? A S  20183 B S  20183 C S  20183 D S  20183 u u Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có n  n1  n n 1 v1  u Đặt  n      v n  cấp số cộng với công sai d  nên có số vn  vn1  n hạng tổng quát   n 1.1  n, suy un  n Khi S   ui  12  2   20182  2018 2018 2018  12.2018  1 i 1  20183 Chọn A u1    Câu Cho dãy số un  xác định  Số hạng thứ 2019  n  un 1  1  un , n  1;2;3;   n 1   dãy số 2018 2019 2020 2021 A B C D 2 2 24 Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có n  1 un 1  nun  n Ta phân tích: n  1 un 1  a n  1  b   n un  an  b  *  1 Đồng với giả thiết, ta tìm a   , b  Khi * tương đương với 2   1 1 n  1 un 1  n  1    n un  n     2  2  v1  1 Đặt  un  n       vn  dãy số không đổi số hạng vn 1  nvn 2 n 1 nên suy un  Chọn A u1   Câu Cho dãy số un  biết  Giá trị nhỏ n u  n  1 u  2n  3n 1, n   * n 1 n  n 2018 để un  n  n.3 A n  2017 B n  2018 C n  2019 D n  2020 un 1 3un Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có   n  2n 1 n 1 n u u  n 1  n  1  n  3n n 1 n  v  1 u Đặt  n  n      v n  cấp số nhân với công bội q  nên có số vn 1  3v n n hạng tổng quát v n  2.3n 1 un  n  32018   32018 n 1  2.3n1  32018  3n2019   n  2019  log  n  2019  log 2 Vậy giá trị nhỏ n 2019 Chọn C   u1  Câu Cho dãy số un  xác định  Tìm n để n.un số  2n  un 1  un  , n  *   n 1 n 1   phương A n  B n  C n  D n  Yêu cầu toán: un  n  n.32018  Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có n  1 un 1  2nun 1  n  1 un 1 1  nun 1 v1  Đặt  nun 1      v n  cấp số nhân với công bội q  nên có số vn 1  2vn 2n  hạng tổng quát v n  2.2 n 1  n , suy un  n Khi P  n.un  n  Giả sử P số phương tồn m   * cho n   m  n  m  1m 1  m   nk 1 n Từ suy  với k   *  k   k  2    m 1  Trừ 1 2  vế theo vế, ta có 2 k    k  nk  k   k 2 n2 k 1     Chọn B  n 2 k   1   2 n    u1   Câu Cho dãy số un  xác định  Giới hạn  u  n  u  n  12n  1 , n   * n  n  n  12   n  2 n    lim nun  n  A B C D un 1 2n  1 u  n n  n n  12   n        un 1 un  1          n 1 n  n   n  1    Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có un 1 u 1   n n  n  1  2 n n      v1  u Đặt  n      v n  dãy số không đổi   *  n n    vn 1  v n , n   u n Suy n    un  , n  * n n   n 2   n  Khi lim nun   lim    Chọn C n  n    n   u1   2n Câu 10 Cho dãy số un  xác định  u  n  1 un 1  , n  *  n 2 n  n  n  1   Số hạng u10 1 1 1 1 A    B           1   1  C D       10 10  210  10 10  210  26 Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có nun  n  1 un 1   n  1 un 1  nun  2n  n n  n  1 n  2n n  n  1 2 1 1 2 n  1  n  1  1   Ta có   *  2 2   n 1 n   n  n  1  n  1 n  1  1       nu  Do *  n  1 un 1  n  n2 1 n        v1  1  Đặt  nun       vn  cấp số nhân với công bội  n 1 v  v , n   *  n 1 n 1 1 1 q  nên có số hạng tổng quát  n , suy un    n  Chọn C  2 n  n 1  n  2n Dạng un 1  un aun  b  u1   u u u u Câu Cho dãy số un  thỏa  Đặt S      n Giá trị  un  n , n  * un 1  un   nhỏ n để S  A 2018 2019 2020 B 2019 Phương pháp giải dạng xét un 1 C 2020 D 2021 1  b  a Đặt  đưa cấp số cộng un un cấp số nhân Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có 1   un 1 un v1       vn  cấp số cộng với công sai nên vn 1   1, n   * un  u 1 1   n 1.1  n  Suy un  , n   Do n    n 1 n n n  1 n n  Đặt     1 1 Khi S  1           1     n n 1 n 1 Ycbt   2019   n  2019 Do n  2020 thỏa mãn Chọn C n  2020 u1     Câu Cho dãy số un  xác định  Tính lim 2 n un  2un   u  , n  1, 2, n 1  3un     A B C D 5 1 Lời giải Từ hệ thức truy hồi, ta có   un 1 un v1    v1      Đặt       3 *   1   vn  , n   * un 1  2vn  , n         2     x1  Đặt x n        x n  cấp số nhân với công bội  *  x n 1  x n , n   5 5.2 n  nên x n  n1  n Suy  x n   2n     un  n 4 5.2  Vậy lim 2 n un   Chọn B    u1    Câu Cho dãy số un  xác định  Tổng 2020 số hạng đầu  un   un 1  , n  *    2n  1 un   tiên dãy số cho 4036 4038 A B 4037 4039 4042 4043 2 1 Lời giải Dễ dàng tìm un  Phân tích un    n 1 n  2n  2n   1 1 1  1  Khi S  u1  u2   u2020  1                2.2020 1 2.2020  1 C 4040 4041 D 4040  Chọn C 2.2020  4041  u1  Câu Cho dãy số un  xác định  Hỏi u7    10un 1  3un 1un  4un   1 128 256 D 78081 390497 un 10.2 n Lời giải Ta có 10un 1  3un 1un  4un   un 1  Tìm un  3un  10 4.5n  5.2 n A 32 3109 Suy u7  B 64 15593 C 10.27 64  Chọn B 4.57  5.27 15593 28 Câu S Cho dãy số u1  10  un  xác định  *   6  un 16  un 1   96, n   1    thuộc khoảng sau đây? u1 u2 u20 A 2;  1,7  B 1,7; 1,5 C 1,5;  1,3 D 1,3;  1 Lời giải Ta có 6  un 16  un 1   96  6un 1 16un  un un 1   un 1  Suy un 1 1 1 1 1         un 16 un 1 10  un 10  Tổng 16un  un  v1  1  Đặt        vn  cấp số nhân với công bội q   un 10 vn 1   n 1   30.8n Suy      un    16.3n  3.8n   1 1  1 1 20 Ta có S      v1    v     v 20    v1  v2   v20      u1 u2 u20  10   10  10  10 Do vn  CSN nên v1  v2   v20  v1  q 20 820  320 20  S    1,68 Chọn B 1 q 25.819 10 Dạng un 1  aun  b cun  d u1     Câu Cho dãy số un  xác định  Tính lim un 4u    un 1  n , n  1,2,  un     A 1 B C D 16  au  b   un 1  x1  n  x1   cun  d aun  b  Phương pháp giải dạng toán un 1  ta xét  với  aun  b cun  d  u  x   x  n 1 2  cun  d    ax  b x1 , x nghiệm phương trình x  cx  d  x  1 4x  Lời giải Xét phương trình x   x2  x 2    x  x 3  Ta có  un 1    un 1   4un  5u  5 un  1 1  n  ; un  un  un  un  2u  un   2  n  un  un  un  v1  un 1  un  u 1  Đặt  n      v n  cấp số nhân vn 1  v n un 1  2 un  un   n 1 5 với công bội nên suy  4.    Suy Từ  un  2v  16.5n  5.2 n   un  n  Suy lim un  Chọn B un   8.5n  5.2 n Cách Đặt trực tiếp  x u n   un     hai nghiệm phương trình un   un  ax  b Sau ta chứng minh vn  cấp số nhân, từ cx  d 4un  1 un  1 v un 1  un  un     v n 1    Suy n 1  u  un  un 1  2 un   n 2 un  ax  b có nghiệm chẳng hạn) cx  d 5u  u 3 u 1  2 1 Ta có un 1   n , suy  n  n   un  un 1  un  1 un  1 un  Cách (Dùng cho trường hợp phương trình x      v1  v1      Đặt           un    v   v  v  v     n 1  n 1  n n    5     u1      Câu Cho dãy số un  xác định  Biết số hạng tổng quát un có 2017  un  un 1  , n   *  2019  un    n 1 a.1009  2017 dạng un  Tổng a  b b.1009n1  A 2015 B 2018 C 2020 D 4030  x 1 2017  x Lời giải Giải phương trình x ta làm theo cách toán  x  2017 2019  x  2un  trước Ta có un 1 1  2019  un 2019  un Suy   un 1 1 2un   2un    2018 1009   2un  2 un  v1    v1       Đặt         vn 1    1009 vn     un  1    1009vn         2016  2016     30   z1  2015   2016    z n  cấp số nhân có cơng bội  2016 *  z n 1  1009 z n , n   2015 2015 q  1009 số hạng đầu z1  nên z n  1009 n 1 2016 2016 2015.1009 n1  2017 a  2015 Từ suy un    a  b  4030 Chọn D b  2015 2015.1009 n1  Đặt z n  v n  u1     Câu Cho dãy số un  xác định  Biết số hạng tổng quát un 9un 1  24   un 1  , n  *  u  13  n 1   n 1 22.3  a có dạng un  Tổng a  b 11.3n1  b A 34 B 14 C 14 D 34  x  2 9 x  24 12 Lời giải Giải phương trình x   Vì x   không đẹp nên  x  12 / 5 x  13  22.3n1  24 ta sử dụng nghiệm x  2 tìm un  11.3n1 10 Suy a  24; b  10 nên a  b  14 Chọn C  u1     Câu Cho dãy số un  xác định  Hỏi u10  un 1   , n   *  un    10 10 11 A B C D 11 10 10 n 1 Lời giải Giải phương trình   x  x  Tìm un  Chọn D x n  u1     Câu Cho dãy số un  xác định  Hỏi u100 5u 1   un 1  n , n  *  un     106 107 499 C D 103 103 103 x 1 n 7 Lời giải Giải phương trình  x  x  Tìm un  Chọn C x 3 n 3 A B Dạng un1  f u1 ; u2 ;; un  u1     Câu Cho dãy số un  xác định  Giới hạn u  2u2   n 1 un1  un  , n  2;3;4;   n n   lim n  n un A S  B S  C S  18 D S  36 Lời giải Từ cơng thức truy hồi, ta có n  n  un  u1  2u2   n  1 un 1 Từ 1, thay n n  ta n  13  n  1 u  u  2u   n 1 u  nu n 1 n   n 1 Từ 1 2 , suy n  1  n  1 un 1  n  n  un  nun    n  3n  2 un 1  n un  n  1n  2 un 1  n un Nhân hai vế 3 cho n  1, ta n  1 n   un 1  n n  1 un 1 2  3 v1  4 Đặt  n n  1 un , ta     Suy un   vn 1  n n  1 Từ suy lim n  n  un  18 Chọn C    u1     Câu Cho dãy số un  thỏa mãn  Giới hạn  u1  4u2   n 1 un 1  u  , n  2;3; ;  n  n n 1    lim 2020n  4n   un A 2020 B 505 C 1010 D 2020 Lời giải Tương tự ta tìm n  1 nun 1  n nun  n  1 un 1  n un 2  v1  1 Đặt v n  n un , ta    Suy un     4n vn 1  Từ suy lim 2020n  n   un  505 Chọn B  u1     Câu Cho dãy số un  thỏa  Hỏi u2020 u  23 u2   n 3un  un 1  , n  1;2;3;   n  3n  3n  n   1 A 2020 B C D 3 2019 2020 20213 u  u2   n 3un u1  u2   n un Lời giải Ta có un 1   n  3n  3n  n n n  1 Suy n n  1 un 1  u1  u2   n  1 un1  n un   n n  1 un 1  n  1 n un  n 3un hay n  1 un 1  n un Từ tìm un  1 Vậy u2020  Chọn C n 2020 32 u1     Câu Cho dãy số un  thỏa  u Hỏi u2021 u u    un 1       n , n   *  1    2n 1   16172 B 5388 C 8078 Lời giải Từ cơng thức truy hồi, ta có u2  u  u u u un 2       n  n 1   n  n  1 D S  8082 A u u u  2u       n   n 1  n  1 n  2u 2n   un 1  n 1  un 1 2n  n  2n  2n    u2  2n  3 2n  2n 1 3 Suy un 1  2 n  1 với n  Vậy u2021  5388 Chọn B u1  2019 2019 Câu Cho dãy số un  thỏa  Tính S   ui  2019 * un 1   u1  u2    un , n   i 1  n A S  2020 B S  2019 C S  2019 D S  2020 2019 2019 Lời giải Ta có u2020   u1  u2    u2019 , suy S   ui  u2020 2019 i 1 Từ cơng thức truy hồi, ta có nun 1  2019 u1  u2    un  Từ 1, thay n n  ta n  1 un 2  2019 u1  u2    un  un 1  Từ 1 2 , suy n  1 un 2  nun 1  2019un 1  n  1 un 2  n  2019  un 1   Suy un 2 n  2019 n    2021   un 1 n 1 n 1 un 1 n  1  2021 n  2020   với n   * un n n u2 2019  ; u1 u3 2018  ; u2 u4 2017  ;; u3 2019 !.1 u Nhân vế theo vế, ta 2020  u1 2019! u2020 1  u2019 2019 2019 Vậy S  2019 Chọn C  1   u2012  u1  2019 1 2  ... B Nếu un  cấp số nhân với công bội dương  Pn  cấp số nhân C Nếu un  cấp số cộng với công sai khác S n  cấp số cộng D Nếu un  cấp số nhân với cơng bội dương S n  cấp số nhân Lời giải... có số thỏa mãn Chọn B Phần Cấp số nhân Câu Cho cấp số nhân un  với u1  1, công bội q  cấp số cộng vn  có v1  2, cơng sai d  Hỏi có tất số có mặt đồng thời 1000 số hạng hai cấp số cộng. .. 18  Câu Cho dãy số an  có tổng n số hạng S n  2n  3n Khi A an  cấp số cộng với công sai B an  cấp số nhân với công bội C an  cấp số cộng với công sai D an  cấp số nhân với công bội