LTĐH_Chuyên đề Tích phân

Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ Hoàng 1. Bảng nguyên hàm của các hàm số. 2. Các phương pháp tính tích phân: a) Phương pháp đổi biến số: * Loại 1:  Dạng: 2 2 β α − ∫ a x dx , 2 2 β α − ∫ dx a x đặt x = asint.  Dạng: 2 2 β α + ∫ dx x a đặt x = atant, 2 2 ( ) β α + + ∫ dx ax b c đặt tan+ =ax b c t * Loại 2: ( ( )) '( ) . ∫ b a f u x u x dx Đặt t = u(x). + Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx. + Ta cũng có thể biến đổi: ( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))= ∫ ∫ b b a a f u x u x dx f u x d u x b) Phương pháp tích phân từng phần:  Dạng: ( )sin , ∫ b a P x xdx ( )cos , ∫ b a P x xdx ( ) , ∫ b x a P x e dx Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = e x dx).  Dạng: 2 2 , , cos sin ∫ ∫ b b a a x x dx dx x x Đặt u = x, dv = 2 cos dx x hoặc dv = 2 sin dx x . 3. Một số tích phân thường gặp: a) Tích phân hữu tỉ: ( ) ( ) ∫ b a P x dx Q x P(x), Q(x) là các đa thức. + Nếu bậc P(x) ≥ bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x). + Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc phương pháp hệ số bất định. b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác. + Nắm vững các công thức biến đổi. c) Tích phân hồi quy:  Dạng sin , ∫ b x a e xdx cos . ∫ b x a e xdx Đặt u = sinx (u = cosx), dv = e x dx. Tích phân từng phần 2 lần.  Dạng: sin(ln ) , cos(ln ) . ∫ ∫ b b a a x dx x dx Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tích phân từng phần 2 lần. d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và: + y = f(x) chẵn thì 0 ( ) 2 ( ) − = ∫ ∫ a a a f x dx f x dx . + y = f(x) lẻ thì: ( ) 0 − = ∫ a a f x dx . e) Tích phân dạng ( ) 1 α α − + ∫ x f x dx a trong đó f(x) là hàm số chẵn. Cách giải: Tách thành 2 tích phân : 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 α α α α − − = + + + + ∫ ∫ ∫ x x x f x f x f x dx dx dx a a a Xét tích phân 0 ( ) 1 α − + ∫ x f x dx a đổi biến số x = -t. Kết quả ta được 0 ( ) ( ) 1 α α α − = + ∫ ∫ x f x dx f x dx a . f) Tích phân dạng: 0 0 ( ) ( )− = ∫ ∫ a a f a x dx f x dx trong đó f(x) là hàm số liên tục trên [0; a]. Đổi biến x = a - t. Bài 1: Tính tích phân 1 3 2 0 1 = + ∫ x I dx x . ĐS I =1/2(1-ln2). Bài 2: Tính tích phân ln3 3 0 ( 1) = + ∫ x x e I dx e HD: đưa về dạng α ∫ b a u du . ĐS 2 1= −I Bài 3: Tính tích phân 0 2 3 1 ( 1 ) − = + + ∫ x I x e x dx HD Tách thành 2 tích phân. ĐS I=3/4e -2 - 4/7 Bài 4: Tính tích phân 2 6 3 5 0 1 cos .sin .cos π = − ∫ I x x dx HD: t = 6 3 1 cos− x ⇒ cos 3 x = 1- t 6 . ĐS I =12/91 Bài 5: Tính tích phân 2 3 2 5 1 . 4 = + ∫ I dx x x HD: nhân tử và mẫu với x rồi đặt 2 4= +t x . ĐS I=1/4.ln5/3 Bài 6: Tính tích phân 4 0 1 cos 2 π = + ∫ x I dx x HD:Đưa về dạng tích phân từng phần. ĐS I = π /8-1/4.ln2 Bài 7: Tính tích phân 1 3 2 0 1= − ∫ I x x dx Bài 8: Cho hàm số 3 ( ) . ( 1) = + + x a f x bx e x . Tìm a,b biết rằng f’(0) = -22 và 1 0 ( ) 5= ∫ f x dx Bài 9: Tính tích phân 3 2 4 cos . 1 cos π π = + ∫ tgx I dx x x HD: Biến đổi về dạng 3 2 2 4 tg cos . tg 1 π π = + ∫ x I dx x x .Đặt 2 1 tg= +t x ĐỀ THI ĐẠI HỌC Năm 2002 A: 2 ? : | 4 3 |; 3S y x x y x= − + = + B: 2 2 ? : 4 ; 4 4 2 x x S y y= − = ; D: 3 1 ? : ; ; . 1 x S y Ox Oy x − − = − Năm 2003 1 Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ Hoàng A: 2 3 2 5 4 dx x x + ∫ ; B: /4 2 0 1 2sin 1 sin2 x dx x π − + ∫ ; D: 2 2 0 | |x x dx− ∫ Năm 2004 A: 2 1 1 1 x dx x+ − ∫ ; B: 1 1 3ln ln e x xdx x + ∫ ;D: 3 2 2 ln( )x x dx− ∫ Năm 2005 A: /2 0 sin2 sin 1 3cos x x dx x π + + ∫ B: /2 0 sin2 cos 1 cos x x dx x π + ∫ D: /2 sin 0 ( cos )cos x e x xdx π + ∫ Năm 2006 A: /2 2 2 0 sin2 cos 4sin x dx x x π + ∫ B: ln5 ln3 2 3 x x dx e e − + − ∫ D: 1 2 0 ( 2) x x e dx− ∫ Năm 2007 A: ? : ( 1) ; ( 1) x S y e x y x e= + = + B: ? : ln ; 0; .Vox y x x y x e= = = D: 3 2 1 ln e x xdx ∫ . Năm 2007 (Dự bị – A, B, D). A 1 : 1 0 2 1 1 2 1 x dx x + + + ∫ A 2 : 2 ? : 4 ; . Ox V y x y x= = B 1 : − = = + 2 (1 ) ? : ; 0. 1 x x S y y x B 2 : = = − 2 2 ? : ; 2 .S y x y x D 1 : − − ∫ 1 2 0 ( 1) 4 x x dx x ; D 2 : π ∫ / 2 2 0 cosx xdx 2 Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ Hoàng DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY. 1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x); x = a; x = b có diện tích: S D = − ∫ ( ) ( ) b a f x g x dx 2) Miền (D) giới hạn bởi các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi quay quanh trục Ox nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : V Ox = π ∫ 2 ( ) b a f x dx 3) Miền (D) giới hạn bởi các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi quay quanh trục Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : V Oy = π ∫ 2 ( ) b a f y dy Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 1) y= 2 4 3x x− + ;y=3 (ĐS: 8(đvdt)) 2) y= 2 1 ; 5x y x− = + (ĐS: 73 ( 3 đvdt)) 3) x= y ; x+y-2=0 ;y=0. (ĐS: 5 ( 6 đvdt)) 4) y=x 2 ; y= 2 8 ; 8 x y x = (ĐS: 8ln3) 5) y=x 2 ; y= 2 27 ; 27 x y x = (ĐS: 27ln3) 6) y=x 2 ; x=y 2 . 7) y=e x ; y=e -x ;x=1. Bài 2 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay miền (D) giới hạn bởi các đường: 1) y=4-x 2 ; y=2+x 2 quanh Ox. (ĐS : 16 ) π 2) y=x 2 ; x=y 2 quanh Ox. 3) y=2x-x 2 ; y=x 2 -2x quanh Ox. (ĐS : 16 ) 5 π . 4) y=-x 2 +4x ; trục Ox : a) Quanh Ox. (ĐS : 512 ) 15 π b) Quanh Oy. (ĐS : 128 ) 3 π 5) y=(x-2) 2 ;y=4 a) Quanh Ox (ĐS : 256 ) 5 π b) Quanh Oy (ĐS : 128 ) 3 π 6) y=x 2 +1 ; Ox ; Oy ; x=2. a) Quanh Ox (ĐS : 206 ) 15 π b) Quanh Oy (ĐS : 12 ) π 3 Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ Hoàng Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây. 1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)  Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì b b a a f (x)dx F(x) F(b) F(a)= = − ∫  Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt buộc phải có để được sử dụng định lý. Nhiều bạn cứ tưởng có được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết : 3 3 4 4 0 2 0 dx I tgx 1 cos x π π = = = − ∫ (?) Lưu ý : 2 1 f (x) cos x = không xác định tại 3 x 0; 2 4 π π   = ∈     nên I không tồn tại. Thí dụ 1 : Tính 7 3 3 0 (x 1)dx I 3x 1 + = + ∫ (Đề ĐH Ngoại ngữ HN - 1999) Giải : 7 7 2 1 3 3 3 3 3 0 0 1 [(3x 1) 2]dx 1 I [(3x 1) 2(3x 1) ]d(3x 1) 3 9 3x 1 − + + = = + + + + + ∫ ∫ 7 5 2 3 3 3 0 1 3 46 (3x 1) 3(3x 1) 9 5 15     = + + + =     Thí dụ 2 : Tính 1 2 2 0 dx I (x 3x 2) = + + ∫ (Đề ĐH Ngoại thương HN - 1999) Giải : 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1 1 dx dx 1 1 I dx 2 dx x 1 x 2 x 1 x 2 (x 1) (x 2)     = − = + − −     + + + +    + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 0 x 1 2 3 (x 1) (x 2) 2ln 2ln x 2 3 4 − −   + = − + − + − = +   +   . Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối. Thí dụ 3 : Tính 3 2 1 I x x 2x .dx − = − ∫ Giải : 3 0 2 3 2 2 2 2 1 1 0 2 I x x 2x .dx x x 2x .dx x x 2x .dx x x 2x .dx − − = − = − + − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 0 2 3 2 2 2 1 0 2 4 3 4 3 4 3 x x 2x .dx x x 2x .dx x x 2x .dx 0 2 3 x 2x x 2x x 2x 4 1 0 2 4 3 4 3 4 3 − = − + − + + −       = − + − + + − =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ −       ∫ ∫ ∫ 2. Phương pháp biến đổi số : Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì u(b) b a u(a) f[u(x)].u'(x)dx f (t)dt= ∫ ∫ Thí dụ 4 : Tính 4 2 7 dx I x x 9 = + ∫ (Đề Học viện KTQS - 1999) Giải : Đặt 1 t x = ⇔ 1 x t = ⇒ 2 dt dx t = − . Đổi cận : x 7= ⇒ 1 t 7 = ; x = 4 ⇒ 1 t 4 = . Do đó : 1 1 1 7 4 7 2 2 2 1 1 1 4 4 7 dt 1 d(3t) 1 1 7 1 7 I ln (3t) 1 3t ln ln 3 3 3 2 6 4 9t 1 (3t) 1 −   = = = + + = =   + + ∫ ∫ Thí dụ 5 : Tính 1 4 x 1 x dx I 1 2 − = + ∫ (Đề Học viện BCVT - 1999) Giải : Đặt t = −x ⇔ x = −t ⇒ dx = −dt. Đổi cận : x = −1 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = −1 ta có : 1 1 1 1 4 t 4 4 1 4 5 1 4 t t 1 1 1 1 ( t) .( dt) 2 .t dt t dt 1 2 I t dt t I I 5 5 1 2 1 2 1 2 − − − − − − − = = = − = − = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ 1 I 5 = . Chú ý : - Để tính b a f (x)dx ∫ không nhất thiết phải tìm nguyên hàm F(x) của f(x). - Cách tích phân dạng x g(x)dx a 1 α −α + ∫ với a > 0 và g(x) là hàm số chẵn, đều làm như trên. 4 Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ Hoàng Thí dụ 6 : Tính 1 1 2 x ln dx 2 x − − + ∫ Giải : Đặt t = - x thì dx = - dt. Với x = -1 thì t = 1, với x = 1 thì t = -1.Do đó : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x 2 t 2 t I ln dx ln ( dt) ln dt 2 x 2 t 2 t 2 t 2 t ln dt ln dt I. 2 t 2 t − − − − − − − + + = = − = + − − − −     = = − = −  ÷  ÷ + +     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Suy ra : I = 0. Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ luôn bằng 0. + Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số : b b b a a a f (x)dx f (u)du f (t)dt= = ∫ ∫ ∫ = . Thí dụ 7 : Tính 0 x dx 1 sinx π + ∫ Giải : Đổi biến số u = x x uπ − ⇔ = π− . Ta có : x 0 u ; x u 0.= ⇒ = π = π ⇒ = Mặt khác : dx = -du. ( ) ( ) 0 0 0 0 x 1 I dx u ( du) 1 sinx 1 sin u u du du 1 sinu 1 sinu π π π π = = π − − + + π− π = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 0 2 0 1 u 2 d I 2 u u sin cos 2 2 1 u d I u 2 4 cos 2 4 π π   = π −  ÷     +  ÷   π   = π − −  ÷ π     −  ÷   ∫ ∫ Do đó : I = u tg 2 0 2 4 π π   = π − = π  ÷   . Chú ý : Nếu gặp tích phân b a f (x)dx ∫ mà tính mãi không được, các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x. Các thí dụ trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng. Thí dụ 8 : Chứng minh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có : a T T a 0 f (x)dx f (x)dx + = ∫ ∫ Giải : Ta có a T T a T a a T f (x)dx f(x)dx f (x)dx + + = + ∫ ∫ ∫ (*) Xét a T T J f (x)dx + = ∫ , đặt u = x - T ⇔ x = u + T ⇒ dx = du. Đổi cận : x = T ⇒ u = 0 ; x = a + T ⇒ u = a, do đó : a a a 0 0 0 J f (u T).du f (u)du f (x)dx= + = = ∫ ∫ ∫ . Thay vào (*) ta có đpcm. Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của hàm số tuần hoàn. Thí dụ 9 : Tính 2007 0 sinx dx π ∫ Giải : Chứng minh dễ dàng hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là π .Do đó : 2007 2 2007 0 0 2006 0 0 sinx dx sinx dx sinx dx . sinx dx 2007 sinx dx 2007 sinx.dx 2007cosx 5014 0 π π π π π π π π = + + + π = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3. Sử dụng công thức tích phân từng phần : Ta có : b b b a a a udv u.v vdu= − ∫ ∫ Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến : Thí dụ 10 : Tính 2 0 I sin xdx π = ∫ (Đề ĐH Đà Lạt - 1999) Giải : Đặt t x= ⇔ 2 x t= ⇒ dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 ; 2 x = π ⇒ t = π nên : 0 0 0 0 I 2 t sin tdt 2 t.d(cos t) 2 t cos t cos tdt π π π π     = = − = − −       ∫ ∫ ∫ = 0 2 sin t 2 π   − −π − = π   . Thí dụ 11 : Tính I = 1 5 x 0 x .e .dx ∫ 5 Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ Hoàng Giải : Xét 1 n x n 0 I x .e .dx= ∫ . Đặt n n 1 x x u x du nu ;dv e dx v e − = ⇒ = = ⇐ = . Theo công thức tích phân từng phần ta có : 1 1 1 n x n 0 0 0 1 n x n 1 x n 1 0 1 I x .e .dx udv uv vdu 0 1 x .e n x e dx e nI 0 − − = = = − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ với mọi n nguyên và n >1. Ta có : 1 1 x x x x 1 0 0 1 1 I x.e .dx xe e dx e e 1 0 0 = = − = − = ∫ ∫ . 2 1 3 2 4 3 5 4 I e 2I e 2;I e 3I e 3(e 2) 6 2e; I e 4I e 4(6 2e) 9e 24;I I e 5I e 5(9e 24) 120 44e = − = − = − = − − = − = − = − − = − = = − = − − = − Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt cho n = 2;3;4;5. 1. Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm. Các tính chất của nguyên hàm các bạn có thể đọc trong sách giáo khoa. Chỉ lưu ý tính chất đậm nét quan hệ giữa nguyên hàm và vi phân: [ ] ( ) ( )d F x F x C= + ∫ Từ đó, bằng các phép biến đổi vi phân, các bạn dễ dàng tìm được nguyên hàm. Xem lại các bài tự luyện và đáp án ở số này để theo dõi các thí dụ (các biến đổi vi phân trung gian đã lược bớt để cho gọn bài viết). Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm 1. ( ) ( ) 7 2 2 1 5 .x x x dx+ + + ∫ 2. 7 sinx.cos x.dx ∫ 3. ln .x dx x ∫ Giải 1. ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 2 2 2 2 1 5 . 5 . 5x x x dx x x d x x+ + + = + + + + ∫ ∫ = ( ) 8 2 1 5 8 x x C+ + + 2. 7 sinx.cos x.dx ∫ = 7 8 8 1 1 ( os x).d(cosx)= d - os x - os x+C 8 8 c c c   − =     ∫ ∫ 3. 2 ln . 1 ln . (ln ) ln 2 x dx x d x x C x = = + ∫ ∫ Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm 1. sin3 . os2x.dxx c ∫ 2. 1 dx x x + ∫ 3. 3 2 . 1 x dx x + ∫ Giải 1. [ ] 1 sin3 . os2x.dx sin5 s nx . 2 x c x i dx= + ∫ ∫ = 1 1 os5x-cosx 2 5 d c     −  ÷       ∫ = 1 1 os5x - osx +C 10 2 c c− 2. ( ) ( ) 2 2 1 1 d x dx x x x = + + ∫ ∫ ( ) ( ) 2ln 1 2ln 1d x x x x C   = + + = + + +   ∫ 3. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 2 1 3 2 2 3 1 . 1 1 . 1 2 1 2 1 d x x dx x d x x x − +   = = + +     + + ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 3 3 1 4 d x   = +     ∫ ( ) 2 2 3 3 1 4 x C= + + Thí dụ 3: Tìm nguyên hàm 1. sinx dx ∫ 2. 4 cos x dx ∫ Giải: 1. 2 2 2 sinx sin . os . os 2 2 2 2 x x d d dx x x x x c tg c      ÷  ÷     = = ∫ ∫ ∫ = 2 ln ln 2 2 2 x d tg x x d tg tg C x tg      ÷         = = +     ∫ ∫ 2. ( ) 4 2 2 2 cos x cos .cos cos d tgx dx dx x x x = = ∫ ∫ ∫ = ( ) 2 3 1 1 . ( ) 3 tg x d tgx d tgx tg x   + = +     ∫ ∫ = 3 1 3 tgx tg x C+ + 2. Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân. Nhiều khi các bạn muốn tính tích phân ( ). b a f x dx ∫ mà không thể tìm nguyên hàm của f(x). Có nhiều con đường xử lí, nhưng xin gợi ý một cách đổi biến đặc biệt, đặt t = a + b – x. Thí dụ 1: Tính 1 1 1 2 ln . 1 2 x dx x − −    ÷ +   ∫ Giải: Đặt t = -x ⇔ x = -t ⇒ dx = - dt Đổi cận: x = -1 ⇔ t = 1 và x = 1 ⇔ t = -1 Ta có: 1 1 1 1 1 2 1 2 ln . ln .( ) 1 2 1 2 x t I dx dt x t − − − +     = = −  ÷  ÷ + −     ∫ ∫ 1 1 1 1 1 1 2 1 2 ln . ln . 1 2 1 2 t t dt dt t t − − − + −     = =  ÷  ÷ − +     ∫ ∫ = 1 1 1 2 ln . 0 1 2 t dt I I t − −   − = − ⇒ =  ÷ +   ∫ Chú ý: Tích phân không phụ thuộc ký hiệu biến số. Cụ thể là ( ). ( ). b b a a f x dx f t dt= ∫ ∫ Thí dụ 2: Tính 2 2 2 . 2 1 x x dx − + ∫ Giải: Đặt t = -x ⇔ x = -t ⇒ dx = - dt 6 Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ Hoàng Đổi biến x = -2 ⇔ t = 2 và x = 2 ⇔ t = -2 Do đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 t t t dt t dt I − − − − − − = = + + ∫ ∫ = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 . . 2 . . 1 2 2 1 t t t t t dt t dt − −   + −   = + + ∫ ∫ = 2 2 2 2 3 2 2 2 . 1 . 2 3 2 1 t t dt t dt t I − − − = − − + ∫ ∫ 3 2 1 1 8 . . 2 2 3 3 I t⇒ = = − Thí dụ 3: Tính 2 0 sinx. sinx osx dx c π + ∫ Giải: Đặt t = 2 2 x x t dx dt π π − ⇔ = − ⇒ = − Đổi cận: x = 0 à 0 2 2 t v x t π π ⇔ = = ⇔ = Do đó: 0 2 2 0 0 2 sin .( ) 2 ost. osx. ost sint osx sinx sin os 2 2 t dt c dt c dx I J c c t c t π π π π π π   − −  ÷   = = = = + +     − + −  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ Vì I + J = 2 0 sinx. sinx osx dx c π + ∫ + 2 0 osx. osx sinx c dx c π + ∫ = 2 0 1 2 2 4 0 dx x I J π π π = = ⇒ = = ∫ Thí dụ 4: Tính 0 .sinx.sin3x.dxx π ∫ Giải. Đặt t = π - x ⇔ x = π - t ⇒ dx = -dt Đổi cận: x = 0 ⇔ t = π và x = π ⇔ t =0 Do đó: ( ) ( ) ( ) 0 .sin .sin3 .( )I t t t dt π π π π = − − − − ∫ = ( ) 0 .sin .sin3 .t t t dt π π − ∫ = 0 0 sin .sin3 . .sin .sin3 .t t dt t t t dt π π π ∫ ∫ = ( ) 0 os2t-cos4t 2 c dt I π π − ∫ ( ) 0 1 1 os2t-cos4t . sin2 sin4 0 0 4 4 2 4 I c dt t t π π π π   ⇒ = = − =  ÷   ∫ 7 . (ĐS : 12 ) π 3 Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ Hoàng Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Các bạn cần. F(x) của f(x). - Cách tích phân dạng x g(x)dx a 1 α −α + ∫ với a > 0 và g(x) là hàm số chẵn, đều làm như trên. 4 Chuyên đề tích phân & ứng dụng H