De thi hoc sinh goi toan nam 2008 - 209

Hớng dẫn chấm Toán thi HSG 9 Năm học 2008 2009 Câu ý Điểm 1 4đ Câu2 3đ a 2,5đ b. 1,5đ a 1đ Đk: 0 0 9 0 9 4 2 0 x x x x x x Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 3 3 3 2 2 9 1 : 3 3 2 3 2 3 3 4 4 3 : . 3 3 2 3 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + = = + + + = Vậy P = 3 2x P = 1 1 = 3 2x 2 3 5 25x x x = = = Vậy với x= 25 thì P = 1 Với m = 1 hệ phơng trình đã cho: ( ) 2 1 2 1 2 m x my m mx y m + + = = Trở thành 2 1 1 x y x y = = Giải ra ta đợc x = 0; y = 1 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b 2đ ( ) 2 1 2 1 2 m x my m mx y m + + = = Từ (2) suy ra y = -m 2 + mx+2 thay vào (1) Ta đợc: (m+1)x + m(-m 2 +mx+2) = 2m 1 (m 2 +m+1)x = m 3 1 mà m 2 +m+1 = (m+ 1 2 ) 2 + 3 4 >0 với mọi m Hệ có nghiệm duy nhất là 1 2 x m y m = = + 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Ta có: P = x.y = (m-1).(2- m) = - m 2 +2m +m -2 = -(m 2 3m + 9 4 ) + 1 4 2 3 1 1 2 4 4 m = + ữ Dấu bằng xây ra khi và chỉ khi : m - 3 3 0 2 2 m= = Vậy gía trị lớn nhất của biểu thức p là: Max P = 1 4 3 2 m = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 3 3đ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 x x y y x x y y x x y y x x y y + + + + + + = + + = + + Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2009 2009 2009 2009 . 2009 2009 * x x y y x x y y x y y x + + + + = + + + = + Nếu x = 0 suy ra y = 0 suy ra S = 0 Nếu x 0 suy ra y 0 Từ (*) suy ra ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2009 0 0 2009 2009 2009 2009 2009 0 0 ma 0 0 x x xy y y x x Vay x y x y y y x y x y S x y xy x y + = > < + + = = = + + = = + = < 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 4 Ta có: 2 2 2 0 hoac a = b = c 0 a b c b c a c a b c a b a b c b c a c a b c a b a b c b c a c a b c a b a b c + + + = = + + + + = + = + + + + + + + = = + + = Vi a+b+c = 0 thì 1 1 1 . . . . 1 b c a a b b c c a P a b c a b a c a b a b c + + + = + + + = ữ ữ ữ = = 1đ 1đ Với a = b = c 0 thì ( ) ( ) ( ) 1 . 1 . 1 1 1 1 1 1 1 8 b c c P a b a = + + + = + + + = ữ ữ ữ 1đ Câu 5 5đ a 1đ H O B A M N M1 N1 P Q Ta có ã ã 1 1 1 M N N M BA= (Góc có cạnh tơng ứng vuông góc) Mà ã ã ã ã 1 1 1 M BA BMN M N N BMN= = 1đ b 2đ đặt AM 1 = a 1 ; BM 1 = a; AN 1 = b 1 ; BN 1 = b Ta có: 1 1 1 1 ; 2 a b PQ M BN + = V vuông tại B; 1 1 BA M N 2 2 1 1 1 1 . hay a 4BA AM AN b R = = Gọi H là trực tâm của thi H ABBPQ V Xét PAHV và BAQV có ã ã 1HAP BAQ v= = ã ã HPA QBA= (Cùng phụ với ã AQB ) 1 1 2 1 1 hay AH : : 2 2 2 4 2 4 4 2 b aAH PA PPH BAQ R AQ BA a b R R AH AH R R = = = = = V V Vậy trực tâm H của BAQV là trung điểm của OA 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ c 2đ Ta có: S BPQ = 1/2 AB.PQ = R. PQ Suy ra: S BPQ nhỏ nhất khi PQ nhỏ nhất. Suy ra M 1 N 1 nhỏ nhất (Vì 2.PQ = M 1 N 1 ) Từ: 1 1 1 1 2 2 a b PQ PQ a b + = = + mà a 1 .b 1 = 4R 2 không đổi 2PQ = a 1 +b 1 nhỏ nhất khi a 1 = b 1 = 2R. PQ = 2R khi và chỉ khi M 1 N 1 = 4R = 2AB AB = 1/2M 1 N 1 và AM 1 = AN 1 Tam giác BM 1 N 1 cân ã ã ã ã 1 1 1 1 1 1 / / tai O BMN BNM BN M BM N MN M N MN AB = = = Vậy Min S PQR = 2R 2 khi MN vuông góc với AB tại O 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ C©u 6 2® Ta cã: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 . . 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y xy x xy y xy x y x y y x y x xy x xy y x xy y xy x y xy y x x y y x y x x xy yx y x y xy x y xy y x xy y x y x x y     + − = − + −  ÷  ÷ + + + + + + +     − + + − + − − = + = + + + + + + +   − + − + − + − −   = = + + + + + +   − − − −   = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 x 1; y 1 1 1 1 y x xy Vi xy x y xy − − = ≥ ≥ ≥ + + + VËy 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + ≥ + + + 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® . có: P = x.y = (m-1).( 2- m) = - m 2 +2m +m -2 = -( m 2 3m + 9 4 ) + 1 4 2 3 1 1 2 4 4 m = + ữ Dấu bằng xây ra khi và chỉ khi : m - 3 3 0 2 2 m= . 1 2 m x my m mx y m + + = = Từ (2) suy ra y = -m 2 + mx+2 thay vào (1) Ta đợc: (m+1)x + m(-m 2 +mx+2) = 2m 1 (m 2 +m+1)x = m 3 1 mà m 2 +m+1