DE VAO nguyen trai Hai Duong 05-06 (VONG2

sở giáo dục và đào tạo hải dơng ------------- đề thi chính thức kì thi tuyển sinh lớp 10 thpt nguyễn trãi năm học 2005-2006 môn thi toán Ngày thi: 1 tháng 7 năm 2005 Thời gian làm bài 150 phút (Đề thi gồm 1 tờ) ============= Bài 1 (2, 0 điểm) Cho phơng trình x 2 - 5x + 3 = 0 Gọi hai nghiệm của phơng trình là x 1 , x 2 . Tính giá trị của biểu thức: A = 12 21 + xx Bài 2 (3, 0 điểm) 1) Giải hệ phơng trình: =++ =++ 4106 4610 yx yx 2) Cho phơng trình (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 6) = (m 2 - 1)x 2 ; (ẩn x) Giả sử phơng trình có bốn nghiệm là x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . Chứng minh giá trị của biểu thức 1 1 x + 2 1 x + 3 1 x + 4 1 x không phụ thuộc vào m. Bài 3 (2, 0 điểm) Cho tam giác ABC ( A 90 0 ) nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng thẳng AB, AC cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác OBC tâm I lần lợt tại M, N. Gọi J là điểm đối xứng của I qua MN. Chứng minh: 1) Tam giác AMC là tam giác cân; 2) AJ vuông góc với BC. Bài 4 (1, 5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn, gọi M, H, K theo thứ tự là chân đờng vuông góc kẻ từ A đến CD, DB, BC. Chứng minh HM = HK khi và chỉ khi các đ- ờng phân giác của BAD , BCD và BD đồng qui. Bài 5 (1, 5 điểm) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn: a b c > 0 ; abc = 1 và a + b+ c > cba 111 ++ Chứng minh a + b > ab + 1. Hết ______________________________________ Họ và tên thí sinh: số báo danh: Giám thị số 1: Giám thị số 2 : Hớng dẫn chấm và biểu điểm môn Toán thi tuyển sinh trờng thpt nguyễn trãi Bài 1 = 13 x 1 + x 2 = 5 ; x 1 x 2 = 3 x 1 , x 2 > 0 0,50 x 1 2 5 x 1 + 3 = 0 (x 1 - 2) 2 = x 1 + 1 21 11 =+ xx 0,50 A = 11 21 ++ xx A 2 = x 1 + x 2 + 2 - 2 1 2121 +++ xxxx = 1 0,75 A 0 A = 1 0,25 Bài 2 1) Điều kiện x , y 6 0,25 +=+ +=+ )106(4)10()6( )610(4)6()10( yxyx yxyx 0,25 += +=+ )106(416 )610(416 yxyx yxyx 0,25 Trừ hai vế 8106610 =+++ xxyx 0,25 Mặt khác ta có 8106610 =+++++ yyxx 0,25 066 =+ yx x = 6; y = 6 0,25 2) (x 2 -7x + 6)(x 2 - 5x + 6) = (m 2 - 1)x 2 0,25 (x 2 - 6x + 6) 2 - x 2 = (m 2 - 1)x 2 (x 2 - 6x + 6) 2 = m 2 x 2 0,25 x 2 - 6x + 6 = mx ; x 2 - 6x + 6 = - mx 0,25 Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình x 2 - (6 + m)x + 6 = 0 Gọi x 3 , x 4 là nghiệm của phơng trình x 2 - (6 - m)x + 6 = 0 0,25 x 1 + x 2 = 6 + m ; x 1 x 2 = 6 và x 3 + x 4 = 6 - m ; x 3 x 4 = 6 0,25 = + + + =+++ 43 43 21 21 4321 1111 xx xx xx xx xxxx 2 0,25 Bài 3 Học sinh vẽ hình sai không chấm 1) MCO=MBO (chắn cung MO) MBO =MAO; OCA = OAC 0,25 MCA = MCO + OCA = = MBO + OAC = = MAO + OAC = MAC 0,50 Tam giác MAC cân 0,25 A N C B M J O I 2) Từ đó A nằm trên cung chứa góc đối xứng qua MN 0,25 I , J đối xứng qua MN J là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN 0,25 BCA = AMN = 2 1 AJN 0,25 AJC = 180 0 - 2JAN BCA = 90 0 - JAN 0,25 AJ vuông góc với BC Chú ý: Học sinh vẽ hình nh hai trờng hợp sau câu 1) chứng minh sẽ khác Bài 4 Chứng minh M, H, K thẳng hàng: Tứ giác ADMH là tứ giác nội tiếp DAM =DHM Tứ giác AHBK là tứ giác nội tiếp KAB =KHB Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp ADC =ABK ABK + KAB = 90 0 = ADC + DAM DAM =KAB DHM = KHB M, H, K thẳng hàng 0,25 ADH =AMK ; ABD =AKM ADB đồng dạng AMK AK AM AB AD = (1) ACD = ABD =AKH; AHK =ABK =ADC ACD đồng dạng với AKH KH CD AK AC = AK = CD KHAC. (2) AMH = ADH =ACB ; ABC+ ADC =AHM +ADM ABC đồng dạng với AHM HM BC AM AC = AM = BC HMAC. (3) 0,25 Thay (2) và (3) vào (1) CB CD HK HM AB AD = 0,25 * HM = HK CB CD AB AD = 0,25 Chứng minh bổ đề: OPQ, E trên PQ và QE PE OQ OP = OE là phân giác của POQ ; Giả sử OF là phân giác QF PF OQ OP = QF PF QE PE = PQ PF PQ PE = K A B D H M C ⇒ E trïng víi F 0,25 CB CD AB AD = ⇒ hai ®êng ph©n gi¸c vµ BD ®ång qui * Ba ®êng ®ång qui vµ CB CD HK HM AB AD = ⇒ HM = HK 0,25 Bµi 5 a ≤ 1 ⇒ a ≤ a 1 , a ≥ b ≥ c > 0 ⇒ b ≤ b 1 vµ c ≤ c 1 a + b + c cba 111 ++≤ m©u thuÉn 0,50 a > 1 NÕu b ≥1 ⇒ a - 1 > 1 - a 1 ; b - 1≥ 1 - b 1 0,25 (a – 1)(b – 1) ) 1 1)( 1 1( ba −−≥ ab – a – b + 1 ≥ 1 - abba 111 +− c 1 - a – b ≥ - ba 11 − + c cba 111 ++ ≥ a + b + c m©u thuÉn 0,25 ⇒ b < 1 ⇒ (a - 1)(b - 1) < 0 ⇒ ab - a - b + 1 < 0 0,25 a + b > ab + 1 0,25 . 1 tờ) ============= Bài 1 (2, 0 điểm) Cho phơng trình x 2 - 5x + 3 = 0 Gọi hai nghiệm của phơng trình là x 1 , x 2 . Tính giá trị của biểu thức: A = 12. )610(4)6()10( yxyx yxyx 0,25 += +=+ )106(416 )610(416 yxyx yxyx 0,25 Trừ hai vế 8106610 =+++ xxyx 0,25 Mặt khác ta có 8106610 =+++++ yyxx 0,25 066 =+