Giải pháp riemann cho bài toán khí động lực học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TRẦN XUÂN HOÀNG GIẢI PHÁP RIEMANN CHO BÀI TỐN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 08 năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TRẦN XN HỒNG GIẢI PHÁP RIEMANN CHO BÀI TỐN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP Hồ CHÍ MINH, tháng 08 năm 2017 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS Mai Đức Thành Cán nhận xét 1: TS Nguyễn Bá Thi Cán nhận xét 2: PGS TS Tô Anh Dũng Luận văn thạc sĩ bảo vệ trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày 03 tháng 08 năm 2017 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: PGS TS Nguyễn Đình Huy - Chủ tịch Hội đồng PGS TS Tô Anh Dũng - Phản biện TS Nguyễn Bá Thi - Phản biện TS Đặng Văn Vinh - Thư ký TS Huỳnh Thị Hồng Diễm - ủy viên Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn chỉnh sửa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS TS HUỲNH QUANG LINH ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐỘC LẬP - Tự Do - HẠNH PHÚC NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: TRẦN XUÂN HOÀNG Ngày, tháng, năm sinh: 19/10/1991 MSHV: 7140271 Nơi sinh: Bình Định Chuyên ngành: Toán ứng Dụng Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: GIẢI PHÁP RIEMANN CHO BÀI TỐN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG Đọc, tìm hiểu tổng hợp lại nội dung sau từ nhiều báo tài liệu tham khảo: - Kiến thức tổng quan - Những vấn đề liên quan đến khí động lực học - Giải pháp Riemann ứng dụng cho tốn khí động lực học III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 04/07/2016 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 04/07/2017 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS MAI ĐỨC THÀNH Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO (Họ tên chữ ký) (Họ tên chữ ký) TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC VÀ ỨNG DỤNG (Họ tên chữ ký) Lời cám ơn Trong suốt trình thực nghiên cứu đề tài luận văn thạc sĩ chuyên ngành Tốn ứng Dụng, tơi ln nhận nhiều quan tâm giúp đỡ từ phía Thầy Cô, người thân bạn bè Lời đầu tiên, xin chân thành kính gửi đến Thầy, PGS.TS Mai Đức Thành lời cảm ơn sâu sắc tận tình hướng dẫn Thầy tơi tồn thời gian làm luận văn Đó kiến thức tảng chuyên ngành, phương pháp kỹ trình bày luận văn thạc sĩ, tơi khơng giúp tơi hồn thành tốt luận văn mà hình thành phương pháp tự nghiên cứu học tập nhằm phục vụ cho công tác sau Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô mơn Tốn ứng dụng - khoa Khoa học ứng dụng phòng Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Bách Khoa TP.HỒ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ truyền đạt nhiều kiến thức quý báu suốt thời gian học lớp cao học trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn thân thương đến gia đình, đồng nghiệp bạn bè hỗ trợ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt giúp tơi theo đuổi công việc học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn! Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng năm 2017 Trần Xn Hồng TĨM TẮT LUẬN VĂN Trong luận văn tập trung tìm hiểu đặc trưng hệ phương trình khí động lực học chiều Trong chương 3, nghiên cứu phương pháp số giải toán Riemann matlab, thơng qua việc nghiên cứu sóng sở sóng sốc, sóng giãn, gián đoạn tiếp xúc Từ tìm nghiệm xác tốn Riemann cho hệ phương trình khí động lực học mơ hình khác Luận văn trình bày gồm chương Chương trình bày kiến thức Chương trình bày vấn đề liên quan đến khí động lực học Chương trình bày giải pháp Riemann ứng dụng có tốn khí động lực học ABSTRACT In this thesis, we make a closer study of the one-dimensional system of gas dynammics In chapter 3, we research numerical solution of the Riemann problem using matlab by researching base waves such as shock wave, rarefaction wave and contact discontinuity Base on that, we can find exact solution of the Riemann problem for gas dynamics and other systems The thesis contains three chapters Chapter presents the basic concept Chapter presents some problems related to gas dynamics Chapter presents numerical solution of the Riemann problem for gas dynamics Lời cam đoan Tôi tên Trần Xuân Hoàng, mã học viên: 7140271, học viên cao học chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh khóa 2014 Tôi xin cam đoan rằng: ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, cơng việc trình bày luận văn tơi thực chưa có phần nội dung luận văn nộp để lấy cấp trường trường khác Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng nm 2017 Trn Xuõn Hong Mc lc ô Lời cám ơn Danh mục hình vẽ Danh mục chữ viết tắt ký hiệu 10 Mở đầu 11 KIẾN THỨC TỒNG QUAN 13 1.1 Hệ luật bảo toàn không gian nhiều chiều 13 1.2 Nghiệm yếu định luật bảo toàn 18 1.2.1 Dưòng đặc trưng trường hợp vơ hướng chiều 18 1.2.2 Hệ thức Rankine-Hugoniot 20 1.2.3 Tính không nghiệm yếu 23 1.3 Nghiệm Entropy 24 1.3.1 Khái niệm entropy toán học 24 1.3.2 Sự tồn nghiệm entropy trưòng hợp vơ hưóng 27 NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐEN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC 29 2.1 Những đặc tính Entropy vật lý 29 2.2 Khí lý tưởng 35 GIẢI PHẤP RIEMANN ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC 38 3.1 Tính chất hệ phương trình khí động lực học 38 13.1.1 Tính Hyperbolicl 38 3.1.2 Các trưòng đặc trưng phi tuyến suy biến tuyến tính 41 3.2 Sóng sốc 45 3.2.1 Tập hợp Rankine-Hugoniot 45 3.2.2 Gián đoạn tiếp xúc 47 3.2.3 Sốc thỏa bất đẳng thức sốc Lax 50 3.2.4 Đường cong sốc chấp nhận cho hệ phương trình khí động lực học 51 3.3 Sóng giãn 56 3.3.1 Cơng thức sóng giãn 56 3.3.2 Đường cong tích phân 57 3.3.3 Đường cong tích phân cho hệ phương trình khí động lực học 59 3.4 Nghiệm toán Riemann 61 13.4.1 Rài toán Riemannl 61 3.4.2 Thiết lập phương trình cho áp suất vận tốc hạt 64 3.4.3 Phương pháp số cho toán Riemann 68 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 Vậy ta có: (3.60) với p* + BL py _ 1) Â-L = (r xlìn ’ BL = L , _L_ 1\PL' (7 + 1)PL (7 + 1) Hàm fL cho sóng giãn bên trái Theo luật đẳng entropy ta có: p = Cpi với c số, ta có: PL = Cpl ^c = PL/PI 2oi 2ữ*£, + -—7 — u* + ——-, 7—1 7—1 với (1R biểu thị tốc độ âm trạng thái trái phải xung quanh sóng giãn bên trái Vậy ta thu được: = 27 , U* = UL- JL(P*,WL), Hàm J lị cho sóng sốc bên phải Tương tự cho sóng sốc bên trái, ta có giá trị đầu sốc pR,UR, PR giá trị sau sốc P*R,U*, p* Khi ta có vận tốc hạt ỏ vùng thỏa: Hàm fR cho sóng giãn bên phải Theo luật đẳng entropy ta có: 1/7 Áp dụng bất biến Riemann tổng quát cho sóng giãn bên phải ta được: với tốc độ âm cho bởi: a*R ’ ~ \PR ) => u* = UR + fR(p*, Wft), fiì(p*ĩ WK) = —-7 7-1 với 3.4.3 Phương pháp số cho toán Riemann Hoạt động hàm áp suất (xem [ ], trang 125) Với liệu PL,UL,PL pR,uR,pR, hàm áp suất /(p) hoạt động Hình 3.5 Đạo hàm cấp fỉí(K = L, R) p là: í /.-U-V'H (3.61) 68 Hình 3.11 Hoạt động hàm áp suất việc tìm nghiệm toán Riemann Khi f' = f'L + f'R f'K > hàm /(p) hàm đơn điệu Ta có đạo hàm cấp hai hàm ỈK'_ư^_Ỹ/2 r4BK±32±2Kl ,p>pK, (3.62) f"K = Z'fPx \PK) Khi ĩ" = f"L + f"R f"K< 0, hàm /(p) hàm lõm Từ phương trình (3.61) (3.62), ta thấy f'K -> p -> 00 f"K -> p -> 00 Độ lệch vận tốc Art = UR — UL giá trị áp suất PL PR tham số quan trọng /(p) Ta định nghĩa: Pmm = min(pL,pfl),pmax = max(pL,pR), /min = f(p ) > /max — f(p max) • Từ PL,PR, để xác định giá trị p* ta dựa vào độ lêch vận tốc Art Gọi 11, Í2, h ba khoảng xác định Hình 3.5, đó: p* nằm 11 = (0,0mm) /min > /max > p* nằm I2 = [Pmm.Pmax] /min < /max > p* nằm I3 = (Pmax, 00) /min < /max < Trong trường hợp Alt đủ lớn, (Au)! hình 3.5 Nghiệm p* P*1 nằm 11 p* < PL,P* < PR, hai sóng sóng giãn Trường hợp Au (Au)2 hình 3.6, p* = p*2 nằm PL PR, có sóng giãn sóng sốc Trường hợp giá trị Au đủ nhỏ: Au = (Au)3, p* = p*3 nằm J3 p* > PL,P* > PR, CĨ nghĩa hai sóng sóng sốc Phương pháp lặp tìm áp suất (xem [ ], trang 127) Với /(p) hàm trơn, ta tìm giá trị xấp xỉ /(p) điểm lân cận PQ + thông qua khai triển Taylor: /(po + ơ) = /(po) + ơf'(po) + Ơ(ơ2) (3.63) Nếu Pữ + nghiệm /(p) = thì: /(po) + ơf'(po) = 69 (3.64) đó: Pl = Pữ + = Pữ - /(po) /'(po) ' (3.65) Vậy ta có cơng thức tổng qt: ’ - ~f^' (3.66) Pm=ì ík lì Với Pk lần lặp thứ k Quá trình lặp dừng có thay đổi áp suất tương đối nhỏ dung sai nhỏ TOL, thông thường : TOL = 10-6 CHA = \P{k) _P(fc_1)L , + P(fc-i)J (3.67) Để áp dụng phương pháp lặp này, ta phải xác định giá trị ban đầu PQ Trường hợp sử dụng giải pháp Riemann cho hai sóng giãn, ta có: -I 27 "I 7-1 PTR = dL + aR- 2(7 - 1)(^B - UL) (3.68) 7-1 giá trị Pữ xác định theo: Pữ = max(TOL,ppy), < PPV = \(PL + PR} - ị(uR - uL)(pL + pR)(aL + aRỵ (3.69) với aR, aR số tốc độ âm bên trái bên phải / _ \ 1/2 1/2 a , R= Trường hợp sử dụng giải pháp Riemann cho hai sóng sốc, ta có: Pữ = max(T0L,pTS), n _ 9L(p)pL+gR(p)PR-Au rTS (1^ Ịfì\-I-no í-nì Si.(ỹ)+afi( 9K(P) = ỹ) 1/2 Kết chạy chương trình Ví dụ 1: Hệ thống gồm sóng giãn bên trái, tiếp xúc sóng sốc bên phải Với: 70 (3.70) Độ dài miền tính tốn: L = (m), vị trí xảy gián đoạn tiếp xúc Xtx = 0.5, số lượng tính tốn N = 10, tỉ số nhiệt dung riêng = 1.4, t = 0.15(s) UR = Ũ (m/s) UL = (m/.s) PL = (kg/m3) * pR = 0.125 (kg/m3') PR = 0.1 (7V/m2) PL = (TV/m2) Bước 1: tính áp suất vận tốc vùng Tính ấp suất vùng sao: Trước hết ta cần xác định Pữ, theo (3.69) ta có: Ppy = ^{PL + PR) - g(UR ~ UL)(PL + PR}(aL + aRỴ với ) = Of1)1/2 = 1,1832 (m/s), )1/2= (^F)1/2 = 0,8367 (m/s) => Ppy = 0.55(7V/m2) Lại có Pmm = min(pL,pp) = pR = 0.1 (N/m2), Pm&x = niax(pL,pR') =pL = (N/m2), Vì PPV > Pmin, nên ta chọn giải pháp Riemann cho hai sóng sốc (3.70) để tính PO; ta có: PTS = với 1/2 + í>py)) +??py l/2’ )) => PQ = PTS = 0.3561 (IV/m ) 5r(p) = Sử dụng phương pháp lặp ỏ để tìm áp suất vùng Trước hết ta cần xác định sóng bên trái sóng bên phải loại sóng sỏ hàm /p, ỊR tương ứng Với Po = 0.3561, PL = 1, PR = 0.1 71 - Ví dụ cho lần lặp thứ Sóng bên trái Ta thấy: Pữ < PL, sóng bên trái sóng giãn, hàm áp suất /L, đạo hàm f'L xác định dựa vào (3.45), (3.46), (3.61) cơng thức xác định /L cho sóng giãn bên trái ta được: A = A“L((S)T’ -1)=-0,8114, A = (^)(s) ” = 2’0480' Sóng bên phải Ta thấy: PQ > PR, sóng bên phải sóng sốc, hàm áp suất ỈR, đạo hàm f'R xác định dựa vào (3.45), (3.46), (3.61) cơng thức xác định j~R cho sóng sốc bên phải ta được: = 4.1667; BR = fèpR = 0.0333 AR = * ỈR = (po - PR)(AR/(BR + po))1/2 = 0.8376, f'R = (1-0,5(p0 - PR)/{BR + PQ)}\AR/(BR + Po))1/2 = 2,1956 + Ỉ'R) => P1 = Po - (/L + ĨR + = Po~ (JL + /R + UR- UL)/(Ĩ'L + Ĩ'R) = 0-3499, kiểm tra điều kiện dừng (3.67): CHA = ~ Po' = 0.0175 > TOL = 10“6, [pi + Po] tiếp tục trình lặp theo (3.66) điều kiên dừng (3.67) CHA < TOL = 10“6, ta được: p* = 0.3499 Theo (3.48) ta có vận tốc vùng sao: u* = Q.Ĩ>(UL + UR + ỊR — ĨL) = 0.8241 Bước 2: tính giá trị vận tốc, áp suất, mật độ nội tính tốn Với độ dài miền tính tốn L = l(m), số lượng tính tốn N = 10, ta có: AT = L/N = 1/10 = 0.1 (m) Nghĩa là, ta cần xác định giá trị vận tốc, áp suất, mật độ nội điểm (a?(í),t), với t = 0.15 (s), và: 72 x(i) = (i — 0.5)Aư? (1 < i < 7V), ta có hiệu số vận tốc điểm (ư?(z),0.15) điểm gián đoạn tiếp xúc (a?ía;,0.15): s = (x(i) - Xtx)/t Trường hợp 1: Nếu s STL, điểm điểm bên trái Pi = PL(P*/PLỶh, * Ui = u*, Pi=P*Ngược lại, nằm bên rẽ quạt bên trái: Uị = ^+1 (aL + ^2^UL + s) , C^^ĩ(aL + ^(uL-S)), Pi = PL(C/O.L)~, Pi = PL(C/aL)^ /2 - Sóng bên trái sóng sốc p* > pL, gọiP*L = p*/pL, SL = uL-aL(^-p*L + tốc độ sóng sốc, đó: Nếu s < SL điểm (a?(z), t) điểm bên trái, tức Pi = PL, * Uị = UL, Pi = PLNgược lại, điểm điểm bên trái 73 Pi = PL (p*L + , * Ui = u*, Pi = p*- Trường hợp 2: Nếu s > u* điểm nằm phía bên phải gián đoạn tiếp xúc, ta xét: - Sóng bên phải sóng sốc p* > pR, gọi P*R = p*/pR, SR = uR+aR Ọ^P*R + /2 tốc độ sóng sốc, đó: Nếu s > SR điểm xét điểm bên phải, tức là: pi = PR; * Ui = UR, Pi = PRNgược lại, điểm điểm bên phải Pi = PR (p*R + ^+1^ / * Ui = u*, , Pi = p*- Sóng bên phải sóng giãn p* < pR, gọi SHR = UR + aR tốc độ nhánh đầu sóng giãn, ta có: Nếu s > SHR điểm xét điểm bên phải, tức là: Pi = PR* Uị = UR, Pi = PRNgược lại, gọi STR = u* + aR(puf/pRyi~1l2'y tốc độ nhánh cuối sóng giãn, đó: 74 Nếu s < STR, điểm xét điểm bên phải: pi = PR(j>*/PRỸh, * Ui = u*, Pi = p*Ngược lại, điểm nằm vùng rẽ quạt bên trái: u i = (~aR + 2L2^UR + c = ^+1 (ữR - -^(UR - S)) , Pi = PR(C/aRy^, Pi = PR(C/aRy& Ta có kết i ỉ 10 jơt(Ajg-7M3) ỘM ?' j) 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.S5 0.95 0 Ũ 0.1527 0.7082 0.8241 0.8241 Ũ 0 1 0.B327 0.4095 0.3499 0.3499 0.1 0.1 0.1 1 0.8775 0.5206 0.4724 0.4631 0L2 Cl2 0.2 dự Cxnici lim rr rrlrvrt,'p-: m-vi Filltô-f |/ô-iXTằ