Một số dạng toán cơ bản về dao động điều hòa

Bài 1: Đại cương về dao động điều hòa 1. Các định nghĩa về dao động cơ ♦ Dao động cơ học. - Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là vị trí cân bằng. ♦ Dao động tuần hoàn - Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ, theo hướng cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định (Chu kì dao động) ♦ Dao động điều hòa - Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm cos hay sin theo thời gian. 2. Phương trình dao động điều hòa ♦ Phương trình li độ: - Phương trình dao động : Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa : + x : li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. Đơn vị tính (cm, m ) + A : Biên độ dao động hay li độ cực đại. Đơn vị tính (cm, m ) + ω : tần số góc của dao động , đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số dao động. Đơn vị tính (rad/s). + φ : pha ban đầu của dao động (t = 0), giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm ban đầu. Đơn vị tính (rad) + (ωt + φ) : pha dao động tại thời điểm t, giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm bất kỳ t. Đơn vị tính (rad) * Chú ý : Biên độ dao động A luôn là hằng số dương. ♦ Phương trình vận tốc Phương trình vận tốc : Nhận xét : - Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc: - luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0). ♦ Phương trình gia tốc Phương trình gia tốc: Nhận xét : - Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc , nhanh pha hơn li độ góc π. - luôn hướng về vị trí cân bằng. ♦ Phương trình liên hệ giữa x, A, v và ω độc lập với thời gian: Ta có : * Chú ý : Khi vật ở VTCB : x = 0; |v| max = ωA; |a| min = 0 Khi vật ở biên : x = ±A; |v| min = 0; |a| max = ω 2 A 3. Các đại lượng trong dao động cơ ♦ Chu kì dao động T(s): Là khoảng thời gian ngắn nhất để vật thực hiện được một dao động toàn phần, hay là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động được lặp lại như cũ. Nếu trong khoảng thời gian Δt vật thực hiện được N dao động thì ta có: Δt = N.T ♦ Tần số dao động f(Hz): Là số lần dao động trong một đơn vị thời gian, nó là đại lượng nghịch đảo của chu kỳ dao động. ♦ Mối quan hệ giữa chu kì, tần số và tần số góc: Biểu thức: 4. Năng lượng trong dao động cơ: Cơ năng = Động năng + Thế năng. ♦ Động năng: ♦ Thế năng : ♦ Định luật bảo toàn cơ năng: W = W đ + W t = = W đmax = W tmax = const Trong quá trình dao động thì động năng và thế năng có sự biến đổi qua lại, động năng tăng thì thế năng giảm và ngược lại nhưng tổng của chúng là cơ năng (năng lượng toàn phần) luôn được bảo toàn. * Chú ý : - Dao động điều hoà có tần số góc là ω, tần số f, chu kỳ T. Thì động năng và thế năng biến thiên với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kỳ T/2 - Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 ( nЄN*) là: 5. Một số dao động có phương trình đặc biệt: • x = a ± Acos(ωt + φ) với a = const. Các tham số của phương trình : - Biên độ là A, tần số góc là ω, pha ban đầu φ - x là toạ độ, x0 = Acos(ωt + φ) là li độ. - Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a ± A - Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a = v’ = x” = x0” - Hệ thức độc lập: a = -ω2x0 ; • x = a ± Acos2(ωt + φ) Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có: x = a ± Acos2(ωt + φ) = → Biên độ dao động là A/2; tần số góc 2ω, pha ban đầu 2φ. 6. Cách lập phương trình dao động điều hòa Gọi phương trình dao động là x = Acos(ωt + φ) (cm). Để viết phương trình dao động chúng ta cần tìm ba đại lượng A, ω, φ - Tìm ω từ các công thức: - Tìm A, φ từ điều kiện ban đầu. * Chú ý : - Với thể loại bài toán lập phương trình thì chúng ta cần xác định gốc thời gian (t = 0), nếu đề bài không yêu cầu thì để cho đơn giản hóa bài toán chúng ta chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. - Khi thả nhẹ thì ta hiểu là vận tốc ban đầu v 0 = 0, còn nếu cho vận tốc ban đầu v 0 ≠ 0 thì chúng ta áp dụng hệ thức liên hệ để tìm các thông số khác. 7. Ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình : a. Tính biên độ dao động, tần số góc, pha ban đầu, chu kỳ, tần số dao động. b. Lập phương trình vận tốc và phương trình gia tốc. c. Li độ, vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t = 4s; t = 4,2s. d. Giá trị cực đại của li độ, vận tốc và gia tốc. Hướng dẫn giải: Đây là một bài toán rất cơ bản về dao động điều hòa. Để làm tốt chúng ta chỉ cần nhớ các đặc trưng cơ bản nhất của dao động điều hòa. a. Đối chiếu với phương trình dao động điều hòa tổng quát ta tìm được các đại lượng : - Biên độ dao động A = 4cm - Tần số góc: - pha ban đầu: - Chu kỳ dao động: - Tần số dao động: b. Phương trình vận tốc: Phương trình gia tốc: c. Tại thời điểm t = 4s: Tại thời điểm t = 4,2s: d. Li độ cực đại: x max = A = 4cm Vận tốc cực đại: Gia tốc cực đại: Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2s và biên độ dao động là 2cm. Viết phương trình dao động trong các trường hợp sau: a. khi t = 0 thì vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. b. khi t = 0 thì vật qua vị trí có li độ x = - 1cm theo chiều dương. Hướng dẫn giải: Gọi phương trình dao động điều hòa của vật là: Tần số góc dao động: a. Khi t = 0 ta có: Tần số góc dao động: Vậy phương trình dao động của vật là: b. Khi t = 0 ta có: Vậy phương trình dao động của vật là: Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa có phương trình: . Vận tốc của vật khi vật qua vị trí có li độ x = 3cm là bao nhiêu? Hướng dẫn giải : Đây là dạng bài toán mà cho biết 3 trong 4 đại lượng x, v, A và ω. Để giải quyết đơn giản chúng ta sử dụng hệ thức liên hệ. Áp dụng hệ thức liên hệ giữa x, v, A và ω ta có: Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa với phương trình: . Tìm những thời điểm mà vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Hướng dẫn giải : Đối với những dạng bài tập tìm thời điểm (thời gian t) thì chúng ta chỉ cần quan tâm đến li độ và chiều chuyển động ở thời điểm đó rồi giải phương trình lượng giác tìm t. Cụ thể với bài toán này thì thời gian t mà vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm thỏa mãn hệ phương trình: 8. Bài tập tương tự luyện tập: Bài 1: Một vật dao động điều hòa có phương trình: x = 2cos(10πt + π/4 ) (cm) a) Hãy cho biết biên độ, tần số, chu kì và pha ban đầu của dao động. b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở các thời điểm t = 0 và t = 0,5s. Bài 2: Hệ dao động đều hoà gồm quả cầu và lò xo. Gia tốc cực đại và vận tốc cực đại của quả cầu lần lượt là : amax = 18m/s 2 và v max = 3m/s . Xác định tần số và biên độ dao động của hệ. Bài 3: Một vật dao động với biên độ 3cm, chu kì 0,5s. Tại thời điểm t = 0, hòn bi đi qua vị trí cân bằng. a) Viết phương trình dao động của vật. b) Hòn bi có li độ x = 1,5cm; x = 3cm vào những thời điểm nào? Bài 4: Một chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục x với biên độ 10 cm và chu kì 2s. Lấy gốc tọa độ là vị trí cân bằng. Viết phương trình dao động trong các trường hợp: a) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm qua vị trí cân bằng theo chiều dương. b) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ cực đại theo chiều âm. c) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ x = +5 cm và đi theo chiều dương. Bài 5: Viết phương trình dao động của một chất điểm dao động điều hòa trong các trường hợp sau: a) Tần số f = 0,5 Hz, lúc t = 0 chất điểm có li độ x = cm, đi theo chiều dương và có tốc độ cm/s. b) Lúc t = 0, chất điểm có li độ x = 4 cm và v = 0. Vận tốc của chất điểm có giá trị cực đại là 8π cm/s. Một số dạng toán cơ bản về dao động điều hòa 1. Kiến thức nền tảng: - Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kỳ dao động là S = 4A. - Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = 2A. - Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = A. - Chiều dài quỹ đạo: 2A. 2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển động tròn đều. Xét một vật chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A và tốc độ góc là ω. Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm M 0 và tạo với trục ngang một góc φ. Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí điểm M và góc tạo với trục ngang là (ωt + φ). Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang là OP có độ dài đại số . Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động điều hòa. * Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công cụ rất mạnh" trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong dao động điều hòa. Không chỉ giới hạn trong phạm vi của chương Dao động cơ học này mà ở các chương về Dao dộng điện từ hay Dòng điện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó. Và việc hiểu để áp dụng được là một yêu cầu cần thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài toán. 3. Các dạng bài toán cơ bản: Dạng 1: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x 1 đến x 2 Cách giải : Chúng ta sử dụng ứng dụng của hình chiếu dao động điều hòa vào chuyển động tròn đều. Các bước thực hiện như sau : - Xác định các vị trí x 1 và x 2 trên trục quỹ đạo. - Tính các góc φ 1 , φ 2 với thỏa mãn (0 ≤ φ 1 , φ 2 ≤ π) - Thời gian ngắn nhất cần tìm là: * Ví dụ điển hình : Ví dụ 1 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 8s, tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí đến vị trí có li độ Hướng dẫn giải : Ta có tần số góc: Vậy thời gian ngắn nhất mà vật đi từ đến là . Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A. Tìm thời gian ngắn nhất mà vật đi từ vị trí: a. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí x = A. b. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí . c. đến vị trí x = A. Hướng dẫn giải : Thực hiện các thao tác như ví dụ 1 chúng ta có: a. [...]... của dao động (t = 0) • (ωt + φ) : pha dao động tại thời điểm t (rad) ♦ Tần số góc: -Tần số góc của con lắc lò xo ♦ Chu kì: (rad/s) -Chu kì của con lắc ♦ Tần số: -Tần số dao động của con lắc lò xo 3 Năng lượng dao động của con lắc lò xo ♦ Động năng: ♦ Thế năng (thế năng đàn hồi của lò xo): ♦ Cơ năng: Đơn vị : k (N.m); m (kg); x (m); A (m) 4 Các dạng dao động của con lắc lò xo 4.1 Con lắc lò xo chuyển động. .. lượng không đáng kể, một đầu cố định, đầu còn lại gắng vào vật có khối lượng m - Điều kiện để con lắc lò xo dao động điều hòa là bỏ qua ma sát, lực cản và vật dao động trong giới hạn đàn hồi 2 Phương trình dao động của con lắc lò xo x = Acos (ωt + φ) (cm) Với: • x: li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng (cm) • A: Biên độ dao động hay li độ cực đại (cm) • ω : tần số góc của dao động (rad/s) • φ... giải: a Chu kỳ dao động: b Gọi phương trình dao động là : Tại t = 0 : Vậy phương trình dao động là: Ví dụ 4 : Một lò xo có khối lượng không đáng kể và chiều dài , được treo thẳng đứng phía dưới treo một vật nặng khối lượng m Kích thích cho vật dao động điều hòa thì chiều dài của lò xo biến đổi từ 29cm đến 35cm Cho g = 10m/s2 a Tính chu kỳ dao động của con lắc b Viết phương trình dao động của con lắc,... dao động của vật là Khi treo lò xo thẳng đứng, tại vị trí cân bằng ta có: Tần số góc: Tại t = 0 : Vậy phương trình dao động là: b Lực đàn hồi cực đại c Chu kỳ dao động Do Tại t = , ta có Khi đó động năng và thế năng của vật: Ví dụ 2 : Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 20N/m và viên bi có khối lượng 0,2kg dao động điều hòa Tại thời điểm t, vận tốc và gia tốc của viên bi lần lượt là 20cm/s và động. .. S2 = 2A + Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox + Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn + Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2: trên Ví dụ điển hình : Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình vật đi được trong 1,1s đầu tiên với S là quãng... mà vật đi được trong là là Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất và tốc độ trung bình lớn nhất của vật trong Hướng dẫn giải : Góc quét Dạng 4: Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian Δt Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0 Cách giải: * Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt + φ) cho x = x0... và động Tính biên độ dao Hướng dẫn giải : Phương trình dao động của vật có dạng ; , trong đó Vậy A = 4cm Ví dụ 3: Một quả cầu nhỏ được gắn vào đầu một lò xo có độ cứng 80N/m để tạo thành một con lắc lò xo Con lắc thực hiện 100 dao động mất 31,4s a Xác định khối lượng quả cầu b Viết phương trình dao động của quả cầu, biết rằng khi t = 0 thì quả cầu có li độ 2cm và đang chuyển động theo chiều dương... định li độ của vật sau đó 0,3125s Hướng dẫn giải: 4 Bài tập tương tự luyện tập Bài 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình Gọi M và N là hai biên của vật trong quá trình dao động Gọi I và J tương ứng là trung điểm của OM và ON Hãy tính vận tốc trung bình của vật trên đoạn từ I tới J Bài 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ là A và chu kỳ T Tìm: a) Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong ... dao động là: Ví dụ 5 : Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nghiêng góc so với mặt phẳng nằm ngang Vật đang ở vị trí cân bằng O thì lò xo dãn một đoạn lấy g = 10m/s2 Kích thích cho vật dao động điều hòa nó sẽ dao động với tốc độ cực đại là 40cm/s Chọn trục tọa độ trùng với phương dao động của vật, gốc thời gian là khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương Viết phương trình dao động của vật Hướng dẫn... 450(N/m) 7 Bài tập tương tự luyện tập Bài 1 : Một vật nặng có khối lượng m = 100g, gắn vào một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu kia của lò xo treo vào một điểm cố định Vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với tần số f = 3,5Hz Trong quá trình dao động, độ dài của lò xo lúc ngắn nhất là 38cm và lúc dài nhất là 46cm a) Viết phương trình dao động của vật b) Tính độ dài của lò xo khi không . 1: Đại cương về dao động điều hòa 1. Các định nghĩa về dao động cơ ♦ Dao động cơ học. - Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác. dẫn giải: Đây là một bài toán rất cơ bản về dao động điều hòa. Để làm tốt chúng ta chỉ cần nhớ các đặc trưng cơ bản nhất của dao động điều hòa. a. Đối chiếu