Luận án nhằm phát triển một số mô hình PTHH dùng trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Các mô hình này cần có độ tin cậy cao, tốc độ hội tụ tốt và đánh giá được ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số hình học cũng như có khả năng mô phỏng được ảnh hưởng của biến dạng trượt tới các đặc trưng dao động và các đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - TRẦN THỊ THƠM MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM CĨ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số : 9440107 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT Hà nội – 2019 Cơng trình hồn thành tại: Học viện Khoa học Cơng nghệ Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS Nguyễn Đình Kiên Người hướng dẫn khoa học 2: PGS.TS Nguyễn Xuân Thành Phản biện 1: GS.TS Hoàng Xuân Lượng Phản biện 2: GS.TS Phạm Chí Vĩnh Phản biện 3: PGS.TS Phan Bùi Khôi Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi … ’, ngày … tháng … năm 2019 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tính cấp thiết luận án Phần lớn công bố dao động dầm liên quan tới dầm có tính biến đổi theo chiều, chiều cao chiều dài dầm Trong nhiều tình thực tế, kết cấu FGM nói chung dầm FGM nói riêng chịu tải trọng cơ, nhiệt thay đổi theo nhiều phương khác Tối ưu hóa độ bền trọng lượng kết cấu cách thay đổi tỷ phần thể tích vật liệu thành phần FGM theo nhiều hướng khơng gian khác vấn đề có ý nghĩa thực tế, nhà khoa học giới, đặc biệt Nhật Bản thực năm gần Phân tích kết cấu có tính thay đổi theo nhiều phương khác nói chung dao động dầm FGM có tính biến đổi theo chiều cao chiều dài dầm (dầm 2D-FGM) nói riêng, có ý nghĩa khoa học, đặt từ nhu cầu thực tế Khi tính chất cơ-lý dầm 2D-FGM thay đổi theo chiều dài, hệ số phương trình vi phân chuyển động dầm hàm tọa độ không gian dọc theo trục dầm Vì phương pháp giải tích thường gặp khó khăn phân tích dao động dầm 2D-FGM Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) với nhiều mạnh phân tích kết cấu, lựa chọn hàng đầu để thay phương pháp giải tích truyền thống nghiên cứu toán Phát triển mơ hình PTHH, tức xây dựng ma trận độ cứng ma trận khối lượng, dùng phân tích dao động dầm 2D-FGM vấn đề có ý nghĩa khoa học, góp phần thúc đẩy ứng dụng vật liệu FGM vào thực tế Từ phân tích nêu trên, tác giả lựa chọn đề tài "Mơ hình phần tử hữu hạn phân tích dao động dầm có tính biến đổi theo hai chiều" làm đề tài nghiên cứu cho Luận án Mục tiêu nghiên cứu luận án Luận án nhằm phát triển số mơ hình PTHH dùng phân tích dao động dầm 2D-FGM Các mơ hình cần có độ tin cậy cao, tốc độ hội tụ tốt đánh giá ảnh hưởng tham số vật liệu, tham số hình học có khả mơ ảnh hưởng biến dạng trượt tới đặc trưng dao động đáp ứng động lực học dầm 2D-FGM Các nội dung nghiên cứu luận án Bốn nội dung nghiên cứu trình bày bốn chương Luận án Cụ thể, Chương trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu ngồi nước kết cấu dầm 1D 2D-FGM Chương trình bày mơ hình tốn học đặc trưng học cho dầm 2D-FGM Các phương trình cho mơ hình tốn học xây dựng dựa hai lý thuyết biến dạng trượt lý thuyết biến dạng trượt bậc lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến Chương trình bày việc xây dựng mơ hình PTHH sở lý thuyết dầm hàm nội suy khác Chương trình bày kết số nhận từ việc phân tích tốn cụ thể Chương TỔNG QUAN Chương trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu phân tích dầm FGM giới nước Các kết phân tích thảo luận sở hai phương pháp nghiên cứu phương pháp giải tích phương pháp số Phần phân tích tổng quan cho thấy phương pháp số có phương pháp PTHH lựa chọn cần thiết để thay phương pháp giải tích truyền thống việc phân tích kết cấu 2D-FGM nói chung dao động dầm 2D-FGM nói riêng Trên sở đánh giá tổng quan, Luận án lựa chọn đề tài nghiên cứu đề vấn đề nghiên cứu cụ thể Chương CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Chương trình bày mơ hình tốn học đặc trưng học cho dầm 2D-FGM Các phương trình dầm xây dựng dựa hai lý thuyết biến dạng trượt lý thuyết biến dạng trượt bậc (FSDT) lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến (ITSDT) Shi [40] đề nghị Đặc biệt, theo ITSDT, phương trình xây dựng dựa hai cách biểu diễn, sử dụng góc quay thiết diện ngang θ góc trượt ngang γ0 làm hàm độc lập Ảnh hưởng nhiệt thay đổi thiết diện ngang xét tới phương trình 2.1 Mơ hình dầm 2D-FGM Giả sử dầm tạo bốn vật liệu thành phần khác nhau, hai gốm - ký hiệu C1 C2 hai loại kim loại - ký hiệu M1 M2 Dầm đặt hệ tọa độ Đề-các (Oxyz) minh họa Hình 2.1 Z z C2 C1 h y X M1 M2 b L, b, h Hình 2.1 Mơ hình dầm 2D-FGM Tỷ phần thể tích vật liệu thành phần giả định thay đổi theo chiều cao chiều dài dầm sau: z nz x nx + 1− h L nz z x nx VC2 = + h L x z nz 1− + VM1 = − h L nz n x z x VM2 = − + h L VC1 = nx (2.1) Các tính chất hiệu dụng P (chẳng hạn mô-đun đàn hồi, mô-đun trượt, mật độ khối, ) dầm 2D-FGM Luận án đánh giá theo mơ hình Voigt: P = VC1 PC1 +VC2 PC2 +VM1 PM1 +VM2 PM2 (2.2) Khi dầm đặt mơi trường nhiệt độ, tính chất hiệu dụng dầm khơng phụ thuộc vào tính chất vật liệu thành phần mà phụ thuộc vào nhiệt độ mơi trường Khi đó, ta viết biểu thức cho tính chất hiệu dụng dầm dạng xác sau: z nz x nx + + PM1 (T ) − h L nz z x nx PC2 (T ) − PM2 (T ) + + PM2 (T ) h L (2.4) PC1 (T ) − PM1 (T ) P(x, z, T ) = + Với số trường hợp riêng, chẳng hạn nx = nz = 0, hai gốm giống hai kim loại giống nhau, mơ hình dầm Luận án quay mơ hình dầm 1D-FGM, cho phép ta kiểm nghiệm mơ hình PTHH Luận án cách so sánh với kết phân tích dầm 1D-FGM khơng có kết số dầm 2D-FGM Lưu ý mật độ khối bị thay đổi nhiệt độ giả thiết đại lượng khơng phụ thuộc vào nhiệt độ [41] Tính chất vật liệu thành phần phụ thuộc vào nhiệt độ dạng hàm phi tuyến nhiệt độ [125]: P = P0 (P−1 T −1 + + P1 T + P2 T + P3 T ) (2.7) Luận án nghiên cứu dầm 2D-FGM với chiều rộng chiều cao thay đổi tuyến tính theo trục dầm, tức dầm thon, với ba dạng thon [138]: x x Dạng thon A : A(x) = A0 − c , I(x) = I0 − c L L x x Dạng thon B : A(x) = A0 − c , I(x) = I0 − c (2.9) L L x x , I(x) = I0 − c Dạng thon C : A(x) = A0 − c L L 2.2 Lý thuyết dầm Dựa ưu, nhược điểm lý thuyết dầm, Luận án sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc (FSDT) Timoshenko [127] lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến Shi đề nghị (ITSDT) [40] để xây dựng mơ hình PTHH 2.3 Phương trình dựa FSDT Việc xây dựng phương trình biểu thức lượng dựa lý thuyết FSDT ITSDT tương tự Mục 2.4 trình bày chi tiết trình thiết lập phương trình dựa ITSDT 2.4 Phương trình dựa ITSDT 2.4.1 Phương trình biểu diễn theo θ Từ trường chuyển vị Luận án nhận biểu thức cho biến dạng, ứng suất Khi lượng biến dạng đàn hồi cho dầm, UB nhận là: L UB = A11 εm2 + 2A12 εm εb + A22 εb2 − 2A34 εm εhs − 2A44 εb εhs + 25 + A66 εhs 1 B11 − B22 + B44 γ02 dx 16 2h h (2.27) Các đại lượng A11 , A12 , A22 , A34 , A44 , A66 B11 , B22 , B44 phương trình độ cứng dầm, định nghĩa sau: E(x, z, T )(1, z, z2 , z3 , z4 , z6 )dA (A11 , A12 , A22 , A34 , A44 , A66 )(x, T ) = A(x) G(x, z, T )(1, z2 , z4 )dA (B11 , B22 , B44 )(x, T ) = A(x) (2.28) Động dầm L T = 1 I11 (u˙20 + w˙ 20 ) + I12 u˙0 (w˙ 0,x + 5θ˙ ) + I22 (w˙ 0,x + 5θ˙ )2 16 − 25 10 I34 u˙0 (w˙ 0,x + θ˙ ) − I44 (w˙ + θ˙ )(w˙ + 5θ˙ ) + I66 (w˙ 0,x + θ˙ )2 dx 3h2 6h 9h (2.29) ρ (x, z) 1, z, z2 , z3 , z4 , z6 dA (I11 , I12 , I22 , I34 , I44 , I66 )(x) = A(x) (2.30) mô-men khối lượng Các độ cứng mô-men khối lượng cho dầm biểu diễn dạng: Ai j = AiC1M1 − AiC1M1 − AiC2M2 j j j Bi j = BiC1M1 − j BiC1M1 − BiC2M2 j j x L x L nx nx (2.31) với AiC1M1 , BiC1M1 độ cứng dầm 1D-FGM tạo C1 M1; j j C2M2 C2M2 Ai j , Bi j độ cứng dầm 1D-FGM tạo C2 M2 Các độ cứng dầm 1D hàm z thu dạng tường minh 2.4.2 Phương trình biểu diễn theo γ0 Bằng cách sử dụng góc trượt ngang (hay gọi biến dạng trượt cổ điển), γ0 = w0,x + θ , hàm độc lập, ta viết chuyển vị dọc trục chuyển vị ngang (2.13) dạng: u(x, z,t) = u0 (x,t) + z 5γ0 − 4w0,x − z3 γ0 3h (2.35) w(x, z,t) = w0 (x,t) Tương tự cách xây dựng phương trình theo cách biểu diễn theo θ , Luận án nhận phương trình biểu diễn theo γ0 2.5 Ứng suất nhiệt Giả sử dầm khơng có ứng suất nhiệt nhiệt độ nhiệt độ quy chiếu T0 chịu ứng suất nhiệt thay đổi nhiệt độ Ứng suất nhiệt sinh tăng lượng nhiệt ∆T cho [18, 70]: T σxx = −E(x, z, T )α (x, z, T )∆T (2.41) mô-đun đàn hồi E(x, z, T ) hệ số giãn nở nhiệt α (x, z, T ) tính từ phương trình (2.4) T có dạng [18, 65]: Năng lượng biến dạng sinh σxx L UT = NT w20,x dx (2.42) T NT tổng lực dọc trục, sinh ứng suất nhiệt σxx : T σxx dA = − NT = A(x) E(x, z, T )α (x, z, T )∆T dA (2.43) A(x) Năng lượng biến dạng tổng thể tổng lượng biến dạng đàn hồi UB lượng sinh tăng nhiệt độ UT [70] 2.6 Thế lực Trường hợp dầm chịu tác động lực P không đổi (lực giả sử gây uốn cho dầm), di động với vận tốc không đổi v xét Luận án, lực di động, V , cho bởi: V = −Pw0 (x,t)δ x − s(t) (2.44) δ (.) hàm delta Dirac; x hồnh độ tính từ đầu trái dầm đến vị trí lực; t thời gian tính từ thời điểm lực P vào nút trái dầm, s(t) = vt quãng đường lực P 2.7 Phương trình chuyển động Việc xây dựng phương trình chuyển động thực cho trường hợp ITSDT với γ0 hàm độc lập Phương trình chuyển động cho dầm dựa FSDT ITSDT với θ hàm độc lập nhận cách tương tự Áp dụng nguyên lý biến phân Hamilton cho biểu thức lượng, ta thu hệ phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGM đặt trường nhiệt độ chịu lc di ng nh sau: I11 uă0 + 5ă0 4wă 0,x I12 I34 ă0 A11 u0,x 3h (2.51) + A12 5γ0,x − 4w0,xx A34 0,x 3h I11 wă + I12 uă0 + 5ă0 4wă 0,x I22 I44 ă0 3h + A22 5γ0,x − 4w0,xx − A44 γ0,x 3h ,x − A12 u0,x ,x = NT w0,x ,xx =0 ,x − Pδ x − s(t) (2.52) 1 I12 uă0 + I22 16 + I66 ă0 9h I34 uă0 I44 ă0 wă 0,x 3h2 3h 1 A12 u0,x + A22 5γ0,x − 4w0,xx − A34 u0,x 16 3h 5ă0 4wă 0,x − 5 A44 γ0,x − w0,xx − A66 γ0,x 3h2 9h +5 ,x 1 B11 − B22 + B44 γ0 = 16 2h h (2.53) Để ý thấy hệ số hệ phương trình vi phân chuyển động độ cứng mô-men khối lượng dầm, đại lượng hàm biến không gian theo chiều dài dầm nhiệt độ, việc giải hệ phương pháp giải tích gặp nhiều khó khăn Phương pháp PTHH Luận án lựa chọn để tính toán đặc trưng dao động dầm Kết luận Chương Chương xây dựng phương trình cho dầm 2D-FGM Các phương trình thiết lập sở hai lý thuyết biến dạng trượt FSDT ITSDT Ảnh hưởng nhiệt độ thay đổi thiết diện ngang xem xét việc thiết lập phương trình Các biểu thức lượng trình bày chi tiết cho FSDT ITSDT Chương Đặc biệt, với ITSDT, phương trình biểu thức lượng xây dựng sở coi góc quay thiết diện ngang góc trượt ngang hàm độc lập Biểu thức cho lượng biến dạng sinh tăng nhiệt độ biểu thức lực di động đề cập Chương Hệ phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGM xây dựng cho trường hợp ITSDT với γ0 hàm độc lập Các biểu thức lượng sử dụng để thiết lập ma trận độ cứng ma trận khối lượng dùng phân tích dao động dầm 2D-FGM Chương Chương MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN Chương xây dựng mơ hình PTHH, tức thiết lập biểu thức cho ma trận độ cứng ma trận khối lượng cho phần tử đặc trưng dầm 2D-FGM Mơ hình PTHH xây dựng từ biểu thức lượng nhận sử dụng hai lý thuyết dầm Chương Các hàm dạng khác lựa chọn thích hợp để phần tử dầm nhận có độ tin cậy cao tốc độ hội tụ tốt Véc-tơ lực nút thuật toán số dùng phân tích dao động dầm 2D-FGM đề cập cuối chương 11 đó: l kSmθ Sθ Bm = T l Sθ A11 Bm dx ; kSbθ BSbθ = T A22 BSbθ dx 0 l kSs θ = 25 T BSs θ 1 B11 − B22 + B44 BSs θ dx 16 2h h l Sθ = khs Sθ Bhs T Sθ dx A66 Bhs l kSc θ BSmθ = T Sθ A12 BSbθ − Bm T A34 BShsθ − BbSθ T A44 BShsθ dx (3.36) tương ứng ma trận độ cứng sinh từ biến dạng dọc trục, biến dạng uốn, biến dạng trượt, biến dạng trượt ngang bậc cao biến dạng tương hỗ Khác với ma trận độ cứng phần tử FSDT, ma trận độ cứng phần tử lý thuyết biến dạng trượt bậc ba có thêm thừa số sinh từ biến dạng trượt bậc cao Tất nhiên, biểu thức cho ma trận độ cứng tương hỗ (3.36) khác với trường hợp mơ hình FBKo mơ hình FBHi Động dầm viết dạng: T = nE ˙ K T ˙ K (d ) m d 2∑ (3.13) với ma trận khối lượng phần tử quán cho bởi: 22 34 44 66 11 12 m = m11 uu + muθ + mθ θ + muγ + mθ γ + mγγ + mww (3.37) 12 l m11 uu NTu I11 Nu dx = l = NTu I12 (Nw,x + 5Nθ )dx l m22 θθ ; m12 uθ = NTu I34 (Nw,x + Nθ )dx 0 m44 θγ = − l T (N + 5NTθ )I22 (Nw,x + 5Nθ )dx ; m34 uγ = − 16 w,x 3h2 l 12h2 (NTw,x + 5NTθ )I44 (Nw,x + Nθ )dx 66 mγγ = l l 25 9h4 (NTw,x + NθT )I66 (Nw,x + Nθ )dx ; m11 ww = NTw I11 Nw dx 0 (3.38) ma trận khối lượng phần tử qn thành phần 3.2.2 Mơ hình phần tử TBSγ Với γ0 hàm độc lập, véc-tơ chuyển vị nút cho phần tử hai nút điển hình, (i, j), gồm thành phần: dSγ = {ui wi wi,x γi u j w j w j,x γ j }T (3.39) Chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang góc trượt ngang nội suy từ chuyển vị nút bởi: u0 = Nu dSγ , w0 = Nw dSγ , γ0 = Nγ dSγ (3.40) với Nu , Nw Nγ tương ứng ma trận hàm dạng cho u0 , w0 γ0 Ở hàm dạng tuyến tính dùng để nội suy cho chuyển vị dọc trục u0 (x,t) góc trượt ngang γ0 , hàm Hermite sử dụng cho chuyển vị ngang w0 (x,t) Việc xây dựng ma trận độ cứng ma trận khối lượng phần tử nhận hoàn toàn tương tự mơ hình phần tử TBSθ 3.3 Ma trận độ cứng nhiệt độ Sử dụng hàm nội suy cho chuyển vị ngang w0 (x,t) ta viết biểu thức cho lượng biến dạng sinh nhiệt độ (2.42) dạng ma trận sau: nE UT = ∑ dT kT d (3.44) 13 l kT = BtT NT Bt dx (3.45) ma trận độ cứng phần tử sinh tăng nhiệt độ Với lý thuyết dầm khác nhau, ma trận độ cứng phần tử nhiệt độ có dạng (3.45) Điểm khác khác hàm dạng Nw lựa chọn cho w0 (x,t) dẫn tới khác ma trận biến dạngchuyển vị Bt = (Nw ),x (3.45) 3.4 Phương trình chuyển động rời rạc Bỏ qua ảnh hưởng cản vật liệu dầm, phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGM sau rời rác hóa viết dạng ngơn ng PTHH nh sau: ă + KD = Fex MD (3.49) ă tng ng l cỏc vộc-t chuyn v v gia tốc tổng thể D, D điểm nút dầm, K, M, Fex tương ứng ma trận độ cứng, ma trận khối lượng véc-tơ tải trọng nút tổng thể Trong trường hợp dao động tự do, vế phải phương trình (3.49) gỏn bng 0: ă + KD = MD (3.52) 3.5 Thuật tốn số Việc giải phương trình (3.52) đưa việc giải toán giá trị riêng Phương trình (3.49) giải phương pháp tích phân trực tiếp Newmark Phương pháp gia tốc trung bình khơng đổi với khả ổn định số không điều kiện sử dụng Luận án Kết luận Chương Chương xây dựng mơ hình PTHH cho phần tử dầm hai nút dựa hai lý thuyết biến dạng trượt Với phần tử dầm FSDT, mơ hình PTHH xây dựng dựa hai hàm dạng khác nhau, hàm dạng Kosmatka hàm dạng thứ bậc Mô hình PTHH sử dụng ITSDT xây dựng từ hàm tuyến tính hàm dạng Hermite, hàm Hermite dùng để nội suy chuyển vị ngang Biểu thức cho ma trận độ cứng ma trận khối lượng cho mơ hình dựa ITSDT xây dựng sở coi góc quay thiết diện ngang góc trượt ngang hàm độc lập Biểu 14 thức cho ma trận độ cứng sinh tăng nhiệt độ véc-tơ lực nút cho trường hợp dầm chịu lực di động xây dựng Chương Chương KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN Kết số trình bày sở phân tích ba tốn: (1) Dao động tự dầm 2D-FGM môi trường nhiệt độ; (2) Dao động tự dầm thon 2D-FGM; (3) Dao động cưỡng dầm 2D-FGM chịu tác động lực di động Từ kết số nhận được, số kết luận liên quan tới ảnh hưởng tham số vật liệu, tham số thiết diện, nhiệt độ môi trường độ mảnh dầm tới tần số dao động riêng mode dao động rút Ứng xử động lực học dầm 2D-FDM tác dụng lực di động thảo luận Chương 4.1 Sự hội tụ độ tin cậy mơ hình PTHH 4.1.1 Sự hội tụ mơ hình PTHH Sự hội tụ bốn mơ hình PTHH phát triển Luận án đánh giá tham số tần số dao động µ dầm 2D-FGM tựa giản đơn có thiết diện ngang khơng đổi (c = 0), khơng tính tới ảnh hưởng nhiệt độ (∆T = 0K) kiểm tra Luận án Một số nhận xét rút sau đây: - Tham số tần số dầm 2D-FGM nhận từ bốn mơ hình PTHH phát triển Luận án sát - Ba số bốn mơ hình PTHH, cụ thể mơ hình FBKo, mơ hình FBHi mơ hình TBSγ , có tốc độ hội tụ cao Khi sử dụng ba mơ hình để tính tốn, tham số tần số dao động dầm 2D-FGM hội tụ tới giá trị không thay đổi với 16 18 phần tử Mơ hình phần tử TBSθ hội tụ chậm, cần tới 70 phần tử để tính tốn tần số dao động dầm - Giá trị cặp tham số vật liệu (nx , nz ) không ảnh hưởng tới tốc độ hội tụ mơ hình PTHH Từ hội tụ mơ hình PTHH phân tích đây, Luận án sử dụng mơ hình có hội tụ tốt để tính tốn so sánh kết số Sự hội tụ mơ hình phần tử FBHi đánh giá tham số tần số dầm thon Luận án thực Tốc độ hội tụ mơ hình PTHH tính tốn tần số dao động dầm thon chậm tính tốn tần số dao động dầm có thiết diện khơng đổi Mơ hình FBHi cần tới 30 phần tử để đạt tốc độ hội tụ đánh giá tần số dầm 15 4.1.2 Độ tin cậy mơ hình PTHH Do chưa có kết công bố dao động dầm 2D-FGM tạo từ bốn vật liệu thành phần với tỷ phần thể tích thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa nghiên cứu Luận án, việc so sánh thực cho dầm 1D-FGM, trường hợp riêng dầm 2D-FGM Các kết so sánh nhận mục cho thấy tần số dao động riêng có tính tới ảnh hưởng nhiệt độ thay đổi thiết diện ngang đáp ứng động lực học nhận từ mơ hình PTHH phát triển Luận án đáng tin cậy Kết cho phép khẳng định độ tin cậy mơ hình PTHH chương trình tính tốn số Luận án dùng để nghiên cứu dao động dầm 2D-FGM 4.2 Dao động tự 4.2.1 Dầm có thiết diện khơng đổi 4.2.1.1 Ảnh hưởng tham số vật liệu Hình 4.1 minh họa ảnh hưởng tham số vật liệu lên bốn tham số tần số dầm S-S với ∆T = 50K 20 µ2 µ1 2 1.5 nx 0.5 0 0.5 1.5 15 10 2 nz 1.5 nx 40 0.5 0 0.5 1.5 nz 60 µ4 µ3 50 30 40 20 1.5 nx 0.5 0 0.5 1.5 nz 30 1.5 nx 0.5 0 0.5 1.5 nz Hình 4.1 Ảnh hưởng tham số vật liệu lên bốn tham số tần số dầm S-S với ∆T = 50K Từ Hình 4.1 ta thấy rằng: - Với giá trị cho trước nx , tham số tần số µ1 có xu hướng giảm nz tăng Đồng thời, giảm rõ nét giá trị nx lớn Ảnh hưởng tham số vật liệu theo chiều dài dầm, nx , tới 16 tham số tần số dầm ngược với ảnh hưởng nz Cụ thể, nx tăng, tham số tần số dầm tăng Thêm vào đó, tăng tham số tần số µ1 nhanh giá trị nz nhỏ - Tham số tần số dầm đạt giá trị lớn nx = nz = 0, trường hợp ứng với dầm 1D-FGM có tính biến đổi dọc trục tạo gốm - Quy luật phụ thuộc tham số tần số cao vào tham số vật liệu tương tự quy luật phụ thuộc tham số tần số vào tham số vật liệu, tức tham số tần số tăng lên nx tăng giảm nz tăng Quy luật không phụ thuộc vào giá trị ∆T 4.2.1.2 Ảnh hưởng nhiệt độ Hình 4.2 minh họa phụ thuộc tham số µ1 vào tham số vật liệu dầm tựa giản đơn với giá trị khác ∆T 4 µ1 µ1 3 2 1.5 nx 0.5 0 0.5 1.5 2 1.5 nx nz 0.5 (a) ∆T=0 K 1.5 nz (a) ∆T=20 K 5 µ1 µ1 2 0 0.5 1.5 nx 0.5 0 0.5 (c) ∆T=40 K 1.5 nz 2 1.5 n x 0.5 0 0.5 1.5 nz (d) ∆T=80 K Hình 4.2 Sự phụ thuộc tham số µ1 vào tham số vật liệu dầm tựa giản đơn với giá trị khác ∆T Một số nhận xét rút từ Hình 4.2 sau: - Quy luật phụ thuộc tham số tần số vào tham số vật liệu không thay đổi giá trị ∆T tăng lên Tuy nhiên, tăng tham số tần số nx tăng giảm tham số tần số nz 17 tăng chịu ảnh hưởng tăng nhiệt độ Đặc biệt, nz tăng từ đến 2, tham số tần số dầm giảm mạnh nhiều, đặc biệt nx lớn - Tham số tần số dầm giảm rõ rệt giá trị ∆T tăng lên 4.2.1.3 Dầm với điều kiện biên khác Một số nhận xét rút từ mục sau: - Tham số tần số dao động dầm 2D-FGM với biên C-C cao nhất, dầm với biên C-F có tham số tần số dao động thấp nhiệt độ phòng (∆T = 0K) quy luật phụ thuộc tham số tần số vào tham số vật liệu nhận cho dầm C-C C-F tương tự với dầm S-S Ngoài tham số tần số dầm C-F nhạy cảm với thay đổi tham số vật liệu theo chiều dài, đặc biệt nz nhỏ - Sự phụ thuộc tham số tần số lớn hơn, µ2 , µ3 µ4 dầm C-C C-F vào tham số vật liệu tương tự dầm S-S - Nhiệt độ môi trường, trường hợp dầm S-S, làm giảm tham số tần số dầm C-C C-F Tuy nhiên, suy giảm chịu ảnh hưởng rõ nét tham số vật liệu điều kiện biên Cụ thể, dầm C-C bị ảnh hưởng tăng nhiệt độ Ngược lại, dầm C-F nhạy cảm với tăng nhiệt độ 4.2.1.5 Ảnh hưởng độ mảnh dầm Quy luật phụ thuộc tham số tần số vào tham số vật liệu dầm với L/h = 10 L/h = 30, ta thấy từ Hình 4.7, Tuy nhiên tỷ số L/h tăng, tham số tần số dầm giảm đáng kể Cần lưu ý rằng, nghiên cứu trước với dầm nhiệt độ phòng, độ mảnh dầm tăng lên tham số tần số dầm tăng Tuy nhiên, thấy từ Hình 4.7, điều khơng ảnh hưởng nhiệt độ xét tới Điều giải thích độ cứng dầm có độ mảnh lớn giảm mạnh nhiều so với dầm có độ mảnh thấp dầm đặt môi trường nhiệt độ cao 4.2.1.4 Mode dao động Hình 4.8 minh họa ba mode dao động w0 , u0 γ0 dầm SS với hai cặp tham số vật liệu (nx , nz ) = (0.0, 0.5) (nx , nz ) = (0.5, 0.5), mơi trường nhiệt độ phòng (∆T = 0) Như ta thấy từ Hình 4.8, mode dao động dầm 2D-FGM, Hình 4.5 3.5 2.5 1.5 µ µ 18 1.5 n 0.5 x 0.5 0 (a) ∆T=50 K, L/h=10 1.5 n 4.5 3.5 2.5 1.5 1.5 n z x 0.5 0 0.5 1.5 n z (b) ∆T=50 K, L/h=30 Hình 4.7 Sự phụ thuộc tham số tần số dầm S-S với giá trị L/h khác (∆T = 50K) 1.5 w mode 1.5 mode u 1 γ 0.5 0.5 n =0, n =0.5 x −0.5 n =0.5, n =0.5 z 0.25 0.5 0.75 −0.5 mode 0.5 0.75 0.25 0.5 0.75 0.25 0.5 0.75 0.5 0 −0.5 −0.5 −1 −1 −1.5 1.5 0.25 0.5 0.75 −1.5 1.5 mode 1 0.5 0.5 0 −0.5 −0.5 −1 −1.5 z 0.25 mode 0.5 (a) x 1.5 1.5 mode −1 0.25 0.5 0.75 −1.5 (b) Hình 4.8 Ba mode dao động cho u0 , w0 γ0 dầm S-S với ∆T = 0K: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0.5) 4.8(b), khác so với mode dao động dầm 1D-FGM Hình 4.8(a) Trong mode dao động thứ thứ cho chuyển vị ngang w0 dầm 1D-FGM đối xứng qua trục qua điểm dầm với dầm 2D-FGM mode dao động khơng đối xứng Ta thấy rõ khác mode dao động u0 γ0 từ Hình 4.8(a) Hình 4.8(b) Ở mode dao động thứ hai, với dầm 1D-FGM, mode dao động cho γ0 đối xứng với trục qua điểm dầm tính đối xứng khơng cho dầm 2D-FGM Như vậy, thay đổi tính chất vật liệu 19 theo chiều dài dầm 2D-FGM ảnh hưởng đáng kể tới mode dao động dầm FGM Ngoài Luận án xét ảnh hưởng nhiệt độ giá trị cặp tham số vật liệu tới mode dao động dầm, nhiệt độ tham số vật liệu không làm thay đổi biên độ dao động lớn mà tính đối xứng mode 4.2.2 Dầm thon 4.2.2.1 Ảnh hưởng phân bố vật liệu Quy luật phụ thuộc tham số tần số vào tham số vật liệu dầm thon 2D-FGM nhận tương tự dầm có thiết diện khơng đổi Tuy nhiên tham số vật liệu theo chiều cao dầm ảnh hưởng tới tần số dao động dầm thon so với dầm có thiết diện ngang khơng đổi, đặc biệt với dầm thon có điều kiện biên C-F 4.2.2.2 Ảnh hưởng tham số thiết diện dạng thon Ảnh hưởng tham số thiết diện c tới tham số tần số dầm thon 2D-FGM với nz = 0.5 giá trị khác nx minh họa Hình 4.14-4.16 tương ứng cho điều kiện biên C-F, S-S C-C Như thấy từ Hình vẽ, thay đổi tham số tần số tham số thiết diện c thay đổi chịu ảnh hưởng mạnh điều kiện biên dạng thon Trong tham số tần số µ1 dầm C-F tăng tăng tham số thiết diện tham số µ1 dầm S-S C-C giảm Nhận xét cho ba dạng thon A, B C Với điều kiện biên cho trước, phụ thuộc tham số tần số µ1 vào tham số thiết diện chịu ảnh hưởng dạng thon Tốc độ thay đổi tham số tần số µ1 vào tham số thiết diện c mạnh cho dầm C-F S-S với dạng thon C Tuy nhiên, với dầm C-C điều lại xảy với dạng thon B 4.2.2.3 Ảnh hưởng độ mảnh dầm Một số nhận xét rút từ Mục sau: - Ảnh hưởng độ mảnh dầm tới tần số dao động dầm thon so với dầm có thiết diện ngang khơng đổi - Điều kiện biên đóng vai trò quan trọng tới ảnh hưởng độ mảnh dầm lên tham số tần số dầm Sự tăng tham số tần số dầm S-S L/h0 tăng nhiều đáng kể so với trường hợp dầm C-F điều với cặp giá trị tham số vật liệu tham số thiết diện 20 3 Case A Case B Case C 1.5 1.5 (b) n =0.5, n =0 (a) n =0, n =0.5 x 0.3 0.6 z x z 0.3 µ1 1.5 0.9 0.6 0.9 Case A Case B Case C 2.5 0.6 c Case A Case B Case C 2.5 1 0.9 c µ1 Case A Case B Case C 2.5 µ1 µ1 2.5 1.5 (c) nx=2, nz=0.5 0.3 0.6 0.9 (d) nx=0.5, nz=2 0.3 c c Hình 4.14 Ảnh hưởng tham số thiết diện tới tham số tần số dầm thon C-F: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0), (c) (nx , nz ) = (2, 0.5), (d) (nx , nz ) = (0.5, 2) 5 (a) nx=0, nz=0.5 (b) nx=0.5, nz=0 µ1 µ1 Case A Case B Case C Case A Case B Case C 0.3 0.6 0.9 0.3 (c) n =2, n =0.5 x 0.6 0.9 (d) nx=0.5, nz=2 z µ1 µ1 0.9 Case A Case B Case C 0.6 c c Case A Case B Case C 0.3 0.6 0.9 c 0.3 c Hình 4.15 Ảnh hưởng tham số thiết diện tới tham số tần số dầm thon S-S: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0), (c) (nx , nz ) = (2, 0.5), (d) (nx , nz ) = (0.5, 2) 4.3 Dao động cưỡng 4.3.1 Ảnh hưởng vận tốc lực di động 21 9 µ1 µ (a) n =0, n =0.5 x (b) nx=0.5, nz=0 z Case A Case B Case C 0.3 0.6 0.9 Case A Case B Case C 0.3 c 0.9 0.6 0.9 µ1 µ1 (c) nx=2, nz=0.5 0.6 c (d) nx=0.5, nz=2 Case A Case B Case C 0.3 0.6 0.9 Case A Case B Case C c 0.3 c Hình 4.16 Ảnh hưởng tham số thiết diện tới tham số tần số dầm thon C-C: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0), (c) (nx , nz ) = (2, 0.5), (d) (nx , nz ) = (0.5, 2) Hình 4.17 minh họa mối liên hệ giá trị không thứ nguyên độ võng dầm, w0 (L/2,t)/wst , với giá trị không thứ nguyên thời gian, t/∆T ∗ , dầm 2D-FGM với giá trị khác tham số vật liệu vận tốc lực di động Ảnh hưởng tốc độ lực di động tới đáp ứng động lực học dầm thấy rõ từ Hình 4.17 Với giá trị tham số vật liệu cho trước, dầm thực chu trình dao động vận tốc lực di động lớn 4.3.2 Ảnh hưởng tham số vật liệu Mối liên hệ tham số động lực học với vận tốc lực di động minh họa Hình 4.18 cho giá trị khác tham số vật liệu nz nx Ta thấy đường cong biểu thị mối liên hệ tham số động lực học Dd vận tốc lực di động v dầm 2D-FGM có dạng tương tự với dầm chịu lực di động Tức là, vận tốc lực di động lớn giá trị đó, giá trị phụ thuộc vào tham số vật liệu, tham số Dd đơn điệu tăng đạt giá trị cực trị Sự thay đổi liên tục tăng giảm tham số Dd vận tốc nhỏ giải thích số chu trình dao động dầm thực nhiều vận tốc lực di động thấp Hình 4.18 cho thấy ảnh hưởng khác tham số vật liệu theo chiều dài dầm, nx , tham số vật liệu theo chiều cao 22 0.4 0.4 w (L/2,t)/w 0.2 0 w (L/2,t)/w st 0.6 st 0.6 −0.1 0.2 v=20 m/s v=50 m/s v=100 m/s 0.2 0.4 0.6 v=20 m/s v=50 m/s v=100 m/s 0.8 (a) −0.1 (b) 0.2 t/∆T* st 0.4 0.1 v=20 m/s v=50 m/s v=100 m/s −0.2 0.2 w (L/2,t)/w w (L/2,t)/w st 0.8 (c) 0.8 0.8 0.3 1.2 0.4 0.6 t/∆T* 0.2 0.4 t/∆T* 0.6 v=20 m/s v=50 m/s v=100 m/s 0.8 −0.05 (d) 0.2 0.4 0.6 t/∆T* Hình 4.17 Mối liên hệ độ võng không thứ nguyên dầm theo thời gian với giá trị khác tham số vật liệu: (a) (nx , nz ) = (1/3, 1/3), (b) (nx , nz ) = (3, 3), (c) (nx , nz ) = (0, 3), (d) (nx , nz ) = (3, 0) dầm, nz , tới tham số động lực học Dd dầm 2D-FGM Tham số động lực học dầm 2D-FGM giảm dần nx tăng lên, tham số tăng nz tăng Ảnh hưởng hai tham số vật liệu lên tham số động lực học Dd giải thích thay đổi độ cứng dầm tham số vật liệu thay đổi nói tới phân tích dao động tự dầm 2D-FGM Sự phân bố theo chiều cao ứng suất pháp không thứ nguyên thiết diện ngang dầm 2D-FGM minh họa Hình 4.20 cho trường hợp vận tốc lực di động v=100 m/s giá trị khác tham số vật liệu Ứng suất Hình 4.20 tính thời điểm lực di động tới dầm trực chuẩn theo công thức σ ∗ = σxx /σ0 , σ0 = PLh/8I Sự phân bố theo chiều cao ứng suất pháp dầm 2D-FGM khác xa so với phân bố ứng suất pháp dầm Ứng suất không bị triệt tiêu mặt dầm, trừ trường hợp nz = 0, dầm quay dầm 1D-FGM tạo gốm, với tính biến đổi theo chiều dài Ảnh hưởng tham số nz lên phân bố ứng suất pháp khác so với tham số nx Cường độ cực đại ứng suất nén ứng 23 0.9 0.9 nx=0 n =1/3 x nx=1 nx=3 nz=1/3 0.8 0.7 nx=1/3 0.8 0.7 0.6 D d Dd 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 (a) 0.2 nz=0 nz=1/3 n =1 z nz=3 50 100 150 200 250 300 (b) 350 0.2 50 100 150 200 250 300 350 v (m/s) v (m/s) Hình 4.18 Mối liên hệ tham số động lực học với vận tốc lực di động: (a) nz = 1/3, nx thay đổi; (b) nx = 1/3, nz thay đổi 0.5 0.5 nx=0 nz=0 nx=1/3 nz=1/3 nx=1 0.25 nz=1 0.25 nz=3 z/h z/h nx=3 −0.25 −0.5 −2 −0.25 (a) nz=1/3 −1 σ* −0.5 −2 (b) nx=1/3 −1 σ* Hình 4.20 Phân bố theo chiều cao ứng suất pháp không thứ nguyên dầm với v = 100 m/s: (a) nz = 1/3, nx thay đổi, (b) nx = 1/3, nz thay đổi suất kéo giảm nx tăng, ngược lại, tăng nz tăng Như vậy, cách tăng tham số nx ta làm giảm tham số động lực học Dd đồng thời làm giảm cường độ cực đại ứng suất pháp Kết luận Chương Trên sở so sánh kết số nhận Luận án kết công bố, Chương chứng tỏ mơ hình PTHH phát triển Luận án đáng tin cậy việc đánh giá đặc trưng dao động dầm FGM Ba mơ hình PTHH, mơ hình FBKo, FBHi mơ hình TBSγ , khẳng định có tốc độ hội tụ cao mơ hình TBSθ có tốc độ 24 hội tụ chậm nhiều Sử dụng mô hình PTHH chương trình tính tốn số xây dựng được, Chương tiến hành phân tích toán dao động tự dao động cưỡng dầm 2D-FGM Các kết số nhận Chương minh họa bảng biểu đồ thị Trên sở kết số nhận được, Chương đưa số nhận xét liên quan tới ảnh hưởng phân bố vật liệu, tham số hình học tới đặc trưng dao động dầm 2D-FGM Các kết số nhận Chương giúp cho việc thiết kế tối ưu hóa kết cấu dầm 2D-FGM chịu tải trọng động KẾT LUẬN Luận án xây dựng bốn mơ hình PTHH dùng phân tích dao động dầm 2D-FGM, có hai mơ hình dựa lý thuyết biến dạng trượt bậc (FSDT) hai mơ hình dựa lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến (ITSDT) Ảnh hưởng nhiệt độ thay đổi thiết diện ngang xét tới việc xây dựng mơ hình PTHH Ba bốn mơ hình đem lại hội tụ tốt sử dụng để so sánh tính tốn tốn cụ thể Trên sở phân tích toán cụ thể dao động tự dao động cưỡng mơ hình PTHH chương trình tính tốn số xây dựng được, Luận án đánh giá ảnh hưởng tham số vật liệu tham số hình học, nhiệt độ, lực di động đến đặc trưng dao động đáp ứng động lực học dầm NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN Luận án có số điểm sau đây: Mơ hình dầm 2D-FGM: Dầm 2D-FGM tạo từ bốn vật liệu thành phần, hai gốm hai kim loại, với tỷ phần thể tích thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa theo chiều cao chiều dài dầm đề xuất nghiên cứu lần Luận án Mơ hình PTHH: Các mơ hình PTHH cho dầm 2D-FGM phát triển lần đầu sở FSDT sử dụng hàm dạng Kosmatka thứ bậc Đặc biệt, mơ hình PTHH sở ITSDT sử dụng góc trượt ngang làm hàm độc lập nhằm cải thiện tính hội tụ cơng thức PTHH DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ NGUYEN DINH KIEN and TRAN THI THOM, Free vibration of tapered BFGM beams using an efficient shear deformable finite element model, Steel and Composite Structures, 2018, 29(3), 363377 (ISI Journal) TRAN THI THOM and NGUYEN DINH KIEN, Free vibration analysis of 2-D FGM beams in thermal environment based on a new third-order shear deformation theory, Vietnam Journal of Mechanics, 2018, 40(2), 121-140 TRAN THI THOM and NGUYEN DINH KIEN, Free vibration of two-directional FGM beams using a higher-order Timoshenko beam element, Journal of Science and Technology, 2018, 56(3), 380-396 NGUYEN DINH KIEN, NGUYEN QUANG HUAN, TRAN THI THOM and BUI VAN TUYEN, Vibration of bi-dimensional functionally graded Timoshenko beams excited by a moving load, Acta Mechanica, 2017, 228, 141–155 (ISI Journal) TRAN THI THOM, NGUYEN DINH KIEN and NGUYEN DUC HIEU, Beam element based on a new third-order shear deformation theory for vibration analysis of 2-D FGM beams, Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X, Hà Nội, 2017, 1165-1172 TRAN THI THOM, NGUYEN QUANG HUAN, NGUYEN DINH KIEN and BUI VAN TUYEN, Fundamental frequency analysis of FG porous beams in thermal environment using the improved thirdorder shear deformation theory, Proceedings of 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA4), Hanoi, 2016, 393-400 TRAN THI THOM, BUI VAN TUYEN and NGUYEN DINH KIEN, Vibration of functionally graded sandwich beams in high temperature environment, Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đại học Duy Tân, Đà Nẵng, 2015, 1388-1395 ... nói chung dao động dầm FGM có tính biến đổi theo chiều cao chiều dài dầm (dầm 2D-FGM) nói riêng, có ý nghĩa khoa học, đặt từ nhu cầu thực tế Khi tính chất cơ- lý dầm 2D-FGM thay đổi theo chiều dài,... có ý nghĩa khoa học, góp phần thúc đẩy ứng dụng vật liệu FGM vào thực tế Từ phân tích nêu trên, tác giả lựa chọn đề tài "Mơ hình phần tử hữu hạn phân tích dao động dầm có tính biến đổi theo hai. .. hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tính cấp thiết luận án Phần lớn công bố dao động dầm liên quan tới dầm có tính biến đổi theo chiều, chiều