Mục tiêu Luận án Tiến sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó nhằm xem xét khả năng hiểu của học sinh bậc THPT (lớp 12) về khái niệm đạo hàm; phân tích khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó trong các phạm vi và và hệ thống biểu đạt khác nhau (Hình học, đồ thị, giải tích, bảng biến thiên, ngôn ngữ).
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - HỒ THỊ BÌNH NGHIÊN CỨU KHẢ NĂNG HIỂU CỦA HỌC SINH VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN KIÊM MINH Huế, Năm 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Hồ Thị Bình ii Lời Cám Ơn Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần Kiêm Minh, người nhiệt tình hướng dẫn tận tình chu đáo giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạmHuế, Phòng đào tạo sau đại học, thầy khoaTốn, đặc biệt thầy thuộc chuyên nghành Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn tận tình giảng dạy truyền thụ cho nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu hai năm học vừa qua Tôi xin chân thành cám ơn tập thể lớp 12B1 trường THPT Phan Châu Trinh, thành phố Đông Hà,tỉnh Quảng Trị tạo điều kiện cho thực nghiệm thực thực tế Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, q thầy nhà trường, tổ chun mơn Tốn - Tin trường THPT Phan Châu Trinh tạo điều kiện cho học Sau xin chân thành cám ơn gia đình bạn bè tơi ủng hộ, quan tâm, động viên giúp đỡ tơi mặt để tơi hồn thành luận văn Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận hướng dẫn góp ý Chân thành cám ơn! Huế, tháng năm 2015 Học viên Hồ Thị Bình iiiiii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii lời cám ơn iii Mục lục Danh mục bảng Danh mục hình LỜI GIỚI THIỆU Chương ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Sơ lược lịch sử khái niệm đạo hàm 1.2 Khái niệm đạo hàm chương trình sách giáo khoa Việt Nam 12 1.3 Tổng quan về nghiên cứu về dạy học đạo hàm 19 1.4 Ghi nhận đặt vấn đề 20 Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 22 2.1 Hình ảnh khái niệm (concept image) định nghĩa khái niệm (concept definition) 22 2.2 Đối ngẫu quy trình/khái niệm lý thuyết APOS 22 2.3 Khái niệm ba phạm vi toán học phát triển tư toán học học sinh 25 2.4 Tư toán học ngữ cảnh đạo hàm 26 2.5 Hệ thống biểu đạt ký hiệu Duval 29 2.6 Câu hỏi nghiên cứu 30 Chương THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 31 3.1 Ngữ cảnh mục tiêu 31 3.2 Phương pháp nghiên cứu 31 3.3 Phiếu học tập 31 3.3.1 Nội dung phiếu học tập 31 3.3.2 Phân tích tiên nghiệm 32 3.4 Phỏng vấn 41 Chương KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 42 4.1 Định hướng phân tích kết nghiên cứu 42 4.2 Phân tích khả hiểu học sinh về khái niệm đạo hàm hệ thống biểu đạt khác 42 4.3 Phân tích khả hiểu học sinh về mối quan hệ hàm số đạo hàm thể thức hệ thống biểu đạt khác 51 Chương KẾT LUẬN 69 5.1 Trả lời kết luận cho câu hỏi nghiên cứu 70 5.2 Vận dụng 70 5.3 Đóng góp nghiên cứu hướng phát triển đề tài 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 PHỤ LỤC P1 DANH MỤC BẢNG Bảng 1.1 Bảng thống kê kiểu nhiệm vụ liên quan đến đạo hàm 18 Bảng 4.1 Kết định lượng 44 Bảng 4.2 Kết định lượng 47 Bảng 4.3 Kết định lượng 53 Bảng 4.4 Kết định lượng 10 53 Bảng 4.5 Kết định lượng 56 Bảng 4.6 Kết định lượng 59 DANH MỤC HÌNH Hình 2.1 Sơ đồ minh họa lý thuyết APOS 24 Hình 2.2 Ba phạm vi biểu đạt tốn học (Tall, 2013) 26 Hình 4.1 Hình ảnh làm học sinh 45 Hình 4.2 Hình ảnh làm học sinh 47 Hình 4.3 Hình ảnh làm học sinh 48 Hình 4.4 Hình ảnh làm học sinh 50 Hình 4.5 Hình ảnh làm học sinh 54 Hình 4.6 Hình ảnh làm học sinh 10 55 Hình 4.7 Hình ảnh làm học sinh 57 Hình 4.8 Hình ảnh làm học sinh 60 Hình 4.9 Hình ảnh làm học sinh 62 Hình 4.10 Hình ảnh làm học sinh 64 Hình 4.11 Hình ảnh làm học sinh 11 65 Hình 4.12 Hình ảnh làm học sinh 12 66 Hình 4.13 Hình ảnh học sinh làm 67 Hình 4.14 Hình ảnh học sinh làm tập 68 LỜI GIỚI THIỆU Đạo hàm khái niệm quan trọng cơng cụ nền tảng Giải tích tốn học Trong chương trình mơn Tốn bậc THPT, khái niệm đạo hàm với khái niệm giới hạn tích phân tạo thành phân mơn Giải tích, thường giảng dạy lớp cuối cấp bước chuyển thể chế THPT/Đại học Nắm vững nội dung ý nghĩa khái niệm đạo hàm nền tảng để tiếp thu nội dung mơn học Vật lý, Hóa học, Sinh học… Nghiên cứu về dạy học đạo hàm Phổ thông Đại học nhiều tác giả quan tâm từ lâu (Tall and Vinner, 1981,[35]; Vinner and Dreyfus, 1989,[40]; Tall, 1991,[36]; Artigue, 1990,[6]; Aspinwall, Shaw & Presmeg, 1997,[8]; Asiala, Cottrill, Dubinsky & Schwingendorf, 1997; Zandieth, 2000,[41] ; Stahley, 2001,[34]; Habre & Abboud, 2006 ,[22]; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2009[32]; Ubuz, 2007,[39]; Villegas, Castro & Gutiérrez, 2009 ; Teuscher & Reys, 2012,[31]; Nagle, Moore-Russo,[32]; Viglietti & Martin, 2013; Aydin & Ubuz, 2014) Tuy nghiên cứu đều tập trung tìm hiểu khía cạnh liên quan đến dạy học khái niệm đạo hàm, hầu hết đều thừa nhận khái niệm đạo hàm khái niệm khó học sinh Khó khăn khả hiểu khái niệm đạo hàm ngữ cảnh phạm vi khác (vật lý, hình học, giải tích) liên quan đến khái niệm tốc độ thay đổi độ dốc tiếp tuyến (Moore-Russo,[32]; Conner & Rugg, 2011; Teuscher & Reys, 2012,[38]; Nagle, Moore-Russo,[24], Viglietti & Martin, 2013) Một khó khăn khác mà nhiều học sinh gặp phải học khái niệm đạo hàm khả hiểu khái niệm đạo hàm, đặc biệt mối quan hệ hàm số đạo hàm nó, hệ thống biểu đạt khác (Artigue, 1990,[6]; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2006; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2008) Học sinh hiểu nghĩa khái niệm đạo hàm thể thức hình học (độ dốc tiếp tuyến), đồ thị (hệ số góc tiếp tuyến), giải tích (biểu thức), ngữ cảnh vật lý (tốc độ thay đởi tức thời) lại gặp khó khăn kết nối thể thức hệ thống biểu đạt Chẳng hạn, học sinh vẽ đồ thị hàm đạo hàm, lại gặp khó khăn liên kết đồ thị với biểu thức giải tích hàm số tương ứng (Asiala, Cottrill, Dubinsky & Schwingendorf, 1997) Trong xu hướng này, số tác giả quan tâm đến nghiên cứu việc hiểu định tính mối quan hệ hàm số đạo hàm (Aspinwall, Shaw & Presmeg, 1997,[8]; Stahley, 2001,[34]; Habre & Abboud, 2006,[22]; Ubuz, 2007,[39]) Tuy nhiên, nghiên cứu chủ yếu tập trung phân tích mối liên hệ định tính hàm số đạo hàm thể thức đồ thị với đối tượng sinh viên năm đầu Đại học Trong chương trình mơn Tốn hành Việt Nam, học sinh tiếp cận khái niệm đạo hàm lớp 11 Nhìn chung, chương trình SGK chủ yếu tập trung vào khái niệm đạo hàm phạm vi giải tích, học sinh chủ yếu làm việc biểu thức giải tích hàm số thực phép tính về đạo hàm Có tốn đề cập đến khái niệm đạo hàm ngữ cảnh khác nhau, đặc biệt mối liên hệ định tính hàm số đạo hàm (cấp 1, cấp 2) đề cập Trong nghiên cứu này, tập trung nghiên cứu khả hiểu khái niệm đạo hàm học sinh THPT, đặc biệt mối quan hệ hàm số đạo hàm nó, phạm vi hệ thống biểu đạt khác hình học, đồ thị, giải tích, ngơn ngữ, bảng biến thiên… Chúng tơi mặt tập trung vào nghiên cứu khả hiểu học sinh về mối quan hệ hàm số đạo hàm hệ thống biểu đạt, mặt khác nhấn mạnh khả kết nối chuyển đổi qua lại phạm vi hệ thống biểu đạt Theo Duval (2006), khả kết nối chuyển đổi để đạt việc hiểu sâu sắc đối tượng tốn học Trong nghiên cứu này, chúng tơi hướng đến mục tiêu là: Xem xét khả hiểu học sinh bậc THPT (lớp 12) về khái niệm đạo hàm Phân tích khả hiểu học sinh về mối quan hệ hàm số đạo hàm phạm vi và hệ thống biểu đạt khác (hình học, đồ thị, giải tích, bảng biến thiên, ngơn ngữ) Luận văn gồm chương: + Chương 1: Đặt vấn đề Trong chương giới thiệu sơ lược lịch sử khái niệm đạo hàm, tổng quan nghiên cứu về dạy học đạo hàm, khái niệm đạo hàm,ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số chương trình sách giáo khoa Việt Nam Các phân tích lịch sử, tởng quan nghiên cứu cho phép đặt nghiên cứu việc hiểu khái niệm đạo hàm học sinh THPT, đặc biệt mối quan hệ hàm số đạo hàm nó, thể thức hệ thống biểu đạt khác + Chương 2: Cơ sở lý thuyết Trong chương này, giới thiệu khung lý thuyết tham chiếu để làm sở khoa học bao gồm : hình ảnh khái niệm định nghĩa khái niệm, đối ngẫu quy trình/ khái niệm lý thuyết APOS, khái niệm ba phạm vi toán học phát triển tư học sinh, hệ thống biểu đạt ký hiệu Duval, xây dựng khung lý thuyết phân tích việc hiểu khái niệm đạo hàm Chúng tơi mơ tả phân tích làm rõ khung lý thuyết để đặt nghiên cứu việc hiểu khái niệm đạo hàm học sinh THPT, đặc biệt mối quan hệ hàm số đạo hàm nó, thể thức hệ thống biểu đạt khác Dựa khung lý thuyết này, cụ thể hóa mục tiêu nghiên cứu thành câu hỏi nghiên cứu Khung lý thuyết cho phép chúng tơi phân tích diễn giải liệu thực nghiệm chương sau + Chương 3: Thiết kế nghiên cứu Chương trình bày về ngữ cảnh, mục tiêu phương pháp nghiên cứu Chúng giới thiệu phiếu học tập, nội dung bảng hỏi, câu hỏi b̉i vấn Phân tích tiên nghiệm phiếu học tập nội dung bảng hỏi + Chương 4: Kết nghiên cứu Trong chương này, phân tích kết từ phiếu học tập bảng hỏi Đối với phiếu học tập, chúng tơi phân tích kết theo hai hướng việc hiểu khái niệm đạo hàm học sinh THPT, đặc biệt mối quan hệ hàm số đạo hàm nó, thể thức hệ thống biểu đạt khác dựa khung lý thuyết trình bày chương + Chương Kết luận Trong chương này, trước hết chúng tơi phân tích yếu tố cho phép đưa đến câu trả lời ban đầu câu hỏi nghiên cứu Sau nêu lên hạn chế nghiên cứu định vị nghiên cứu hướng nghiên cứu tại có liên quan đến chủ đề Bài toán 10: Dưới đồ thị : hàm số y = f(x), đạo hàm y = f’(x) nguyên hàm y = F(x) Hãy xác định đồ thị hàm số giải thích rõ cách xác định bạn P11 Bài toán 11: Cho đồ thị hàm số đây: c) Hãy lập bảng biến thiên tương ứng với đồ thị hàm số trên: d) Đưa số giải thích cho kết trên: P12 Bài toán 12: a) Vẽ đồ thị hàm số tương ứng với bảng biến thiên x y' - y 6 + - + b) Hãy giải thích cách vẽ: P13 Phụ lục CÁC BÀI LÀM CỦA HỌC SINH P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 P22 P23 P24 P25 ... quan hệ hàm số đạo hàm nó, phạm vi hệ thống biểu đạt khác hình học, đồ thị, giải tích, ngơn ngữ, bảng biến thiên… Chúng mặt tập trung vào nghiên cứu khả hiểu học sinh về mối quan hệ hàm. .. Trong nghiên cứu này, chúng tơi hướng đến mục tiêu là: Xem xét khả hiểu học sinh bậc THPT (lớp 12) về khái niệm đạo hàm Phân tích khả hiểu học sinh về mối quan hệ hàm số đạo hàm phạm... hiểu khả hiểu học sinh về mối quan hệ định tính đạo hàm cấp với hàm số phạm vi biểu đạt đồ thị Các nghiên cứu cho thấy học sinh gặp nhiều khó khăn mơ tả dáng điệu đồ thị hàm số đạo hàm