Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp CHƯƠNG 3: GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN Bài Góc nội tiếp I Lí thyết trọng tâm Định nghĩa K Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn α Cung nằm bên góc nội tiếp gọi cung bị chắn tạo hai cạnh hai dây KA KB AKB chắn cung AB AKB O A B Định lý Trong đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Có sđ AB AKB Hệ Trong đường tròn: a) Các góc nội tiếp chắn cung K M D O C A B sđ CD AKB CMD sđ AB TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung P B O N K A M ANB APB (cùng chắn AB ) AMB AKB Chú ý: phân biệt, tránh nhầm lẫn góc chắn cung lớn cung nhỏ AB AMB c) Góc nội tiếp (nhỏ 900 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung K O B A AOB AKB TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vng Còn gọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn K O A B M AMB 90o (góc nội tiếp chắn đường kính AB ) AKB II Các dạng tập Dạng 1: Chứng minh hai góc nhau, đoạn thẳng nhau, tam giác đồng dạng Bài tốn 1: Chứng minh hai góc nhau, đoạn thẳng nhau, tam giác đồng dạng Phương pháp giải Dùng hệ để chứng minh hai góc Ví dụ 1: Cho O điểm I nằm ngồi đường tròn Từ điểm I kẻ hai dây cung AB CD ( A nằm I B,C nằm I D ) Chứng minh rằng: IA.IB IC.ID Hướng dẫn giải B A O I C D góc ngồi ACD ACI ADC DAC Ta có: ACI CDB (tính chất tổng ba góc tam giác) CAI TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp IAC IDB lại có I chung IAC” IDB (g.g) IA IC IA.IB IC.ID ID IB Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AK nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính AM a) Tính ACM b) Gọi N giao điểm AK với đường tròn O Tứ giác BCMN hình gì? c) Chứng minh tứ giác OKNC hình thang cân Hướng dẫn giải A O B K N C M mà AM đường kính đường tròn tâm (O) chắn cung AM a) Ta có: ACM 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ACM 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) b) ANM BC / /MN MNBC hình thang sđ CM sđ BN sđ CN sđ BM BM CN MNBC hình thang cân c) Ta có tam giác vuông: ABK AMC đồng dạng ( g-g) OAC BAK BAK OCA OCA OAC TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp tứ giác OKNC hình thang cân Bài tốn 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải Dùng hệ để chứng minh hai góc Ví dụ 1: Cho đường tròn O hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm cung nhỏ MA MB Chứng minh rằng: P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB Hướng dẫn giải M I K P A B O 900 Ta có: M, A, B (O) AMB AB đường kính O A,O, B thẳng hàng 900 ( góc nột tiếp chắn nửa đường tròn) Ta lại có: AMB Theo giả thiết: K điểm cung MN KB MK KB MK AK tia phân giác góc MAB Tương tự ta chứng minh BI tia phân giác góc AMB Mà AK cắt BI P P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O , hai đường cao BD CE cắt H Vẽ đường kính AF a) Tứ giác BFCH hình gì? b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: OM AH Hướng dẫn giải TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp A O E D H B C M F Ta có: 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AB BF (1) ABF AB EH E (2) Từ (1) (2) BF / / EH Chứng minh tương tự ta được: BH / /CF BFCH hình bình hành M trung điểm HF H, M, F thẳng hàng OM đường trung bình AHF OM AH II Bài tập tự luyện Bài 1:Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH Kẻ đường kính AE a) Tính ACE OAC b) Chúng minh BAH c) Gọi K giao điểm AH với đường tròn O Tứ giác BCEK hình gì? Bài 2:Cho tam giác ABC Đường tròn I nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, Abtheo thứ tự 60 D,E, F Cho biết Chứng minh BAC Bài 3:Cho nửa dường tròn O đường kính AB, K điểm cung AB Vẽ bán kính 60 Gọi M giao điểm AC OK OC cho BOC TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp a) Chứng minh MO MC b) Cho OB R , tính OM theo R Bài 4:Cho đường tròn O , dây AB BD vng góc với điểm I Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt BD M Qua B kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt AC K Chứng minh rằng: AMB a) ABM KBM b) ABKM hình thoi Bài 5:Cho đường tròn O đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn Gọi E điểm đối xứng với A qua D a) Tam giác ABE tam giác gì? b) Gọi K giao điểm EB với đường tròn Chứng minh OD vng góc với AK c) Cho AB cm Tìm vị trí điểm D để tam giác ABE có diện tích lớn Tính diện tích lớn ABKM hình thoi Bài 6:Cho đường tròn O ; R , dây AB Qua điểm I thuộc dây AB IA IB , vẽ dây CD vng góc với AB Kẻ đường kính COE a) Tứ giác ABED hình gì? b) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến BC Chứng minh OH AD c) Chứng minh tổng AD2 BC có giá trị khơng đổi d) Gọi M trung điểm AD Chứng minh MI song song với OH Bài Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn O đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh rằng: a) AI vng góc với BC IAE b) IDE 60 c) Tam giác DOE tam giác BAC Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc A cắt BC D cắt đường tròn M Đường phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABC cắt đường tròn N Chứng minh rằng: TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp ABC a) BMC ACB b) OM vng góc BC c) Ba điểm M, O, N thẳng hàng d) AD.AM AB.AC e) MB.MC MD.MA Bài Cho hai đường tròn O O cắt A B Một đường thẳng cắt hai đường tròn bốn điểm C, D, E, K theo thứ tự đường thẳng Chứng minh rằng: DBE 180 CAK Bài 10 Cho hai đường tròn O O cắt A B Qua A vẽ hai cát tuyến chung CAD EAG, C E thuộc O , D G thuộc O , A nằm C D, A nằm E G Biết AB tia phân giác góc CAG Chứng minh rằng: a) CBD đồng dạng EBG b) CD EG Bài 11 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh DB.DC AD.HD b) Đường tròn O đường kính BC cắt đoạn thẳng AH I Tính AI biết AD cm, HD cm 60 , BC a Tính độ dài EF theo a c) Cho BAC Bài 12 Cho tam giác nhọn ABCđường cao tam giác H trực tâm a) Kẻ đường kính COE Tứ giác AHBE hình ? b) Gọi I hình chiếu O BC So sánh độ dài OI AH c) Gọi giao điểm khác A AD với đường tròn O K Chứng minh BHK tam giác cân d) Qua K kẻ dây KM song song với BC Xác định dạng tứ giác AEMC, BHCM Bài 13 Cho tam giác ABC cân A, AB=10cm,BC=12cm Đường tròn (O) đường kính AC cắt AB BC theo thứ tự D H a) Gọi M trung điểm BD Chứng minh HM tiếp tuyến đường tròn (O) b) Tính độ dài BD TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp Bài 14 Cho nửa đường tròn O đường kính AB=10cm, C điểm cung AB, M trung điểm BC, E giao điểm AM cung AB Gọi H hình chiếu E BC a) Chứng minh EH=2MH b) Chứng minh tam giác BHE ACM đồng dạng c) Tính độ dài EH Bài 15 Cho nửa đường tròn O đường kính AB=10cm Lấy điểm C, D thuộc cung AB cho AC CD cm a) Tính độ dài BD c) Tính diện tích tứ giác ACDB Bài 16 Cho hai đường tròn O O cắt A B Qua A vẽ cát tuyến d bất kì, cắt O O theo thứ tự C A (A nằm C D) Tìm vị trí d để tam giác CBD có diện tích lớn Bài 17 Cho nửa đường tròn O đường kính AB, bán kính OC vng góc với AB Dựng điểm E cung BC, cho gọi D giao điểm AE OC DO DE TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page ... c) Góc nội tiếp (nhỏ 900 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung K O B A AOB AKB TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vng... Trung Góc nội tiếp b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung P B O N K A M ANB APB (cùng chắn AB ) AMB AKB Chú ý: phân biệt, tránh nhầm lẫn góc chắn cung lớn cung nhỏ AB AMB c) Góc. .. đường tròn góc vng Còn gọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn K O A B M AMB 90o (góc nội tiếp chắn đường kính AB ) AKB II Các dạng tập Dạng 1: Chứng minh hai góc nhau, đoạn thẳng nhau,