góc nội tiếp

Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp CHƯƠNG 3: GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN Bài Góc nội tiếp I Lí thyết trọng tâm Định nghĩa K Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn α Cung nằm bên góc nội tiếp gọi cung bị chắn  tạo hai cạnh hai dây KA KB AKB  chắn cung AB AKB O A B Định lý Trong đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Có   sđ AB  AKB Hệ Trong đường tròn: a) Các góc nội tiếp chắn cung K M D O C A B   sđ CD   AKB   CMD  sđ AB TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung P B O N K A M   ANB   APB  (cùng chắn AB  ) AMB   AKB  Chú ý: phân biệt, tránh nhầm lẫn góc chắn cung lớn cung nhỏ AB AMB c) Góc nội tiếp (nhỏ 900 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung K O B A   AOB  AKB TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vng Còn gọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn K O A B M   AMB   90o (góc nội tiếp chắn đường kính AB ) AKB II Các dạng tập Dạng 1: Chứng minh hai góc nhau, đoạn thẳng nhau, tam giác đồng dạng Bài tốn 1: Chứng minh hai góc nhau, đoạn thẳng nhau, tam giác đồng dạng Phương pháp giải Dùng hệ để chứng minh hai góc Ví dụ 1: Cho O  điểm I nằm ngồi đường tròn Từ điểm I kẻ hai dây cung AB CD ( A nằm I B,C nằm I D ) Chứng minh rằng: IA.IB  IC.ID Hướng dẫn giải B A O I C D  góc ngồi ACD  ACI   ADC   DAC  Ta có: ACI   CDB  (tính chất tổng ba góc tam giác)  CAI TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp IAC IDB lại có I chung  IAC” IDB (g.g)  IA IC   IA.IB  IC.ID ID IB Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AK nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính AM  a) Tính ACM b) Gọi N giao điểm AK với đường tròn O  Tứ giác BCMN hình gì? c) Chứng minh tứ giác OKNC hình thang cân Hướng dẫn giải A O B K N C M  mà AM đường kính đường tròn tâm (O)  chắn cung AM a) Ta có: ACM   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  ACM   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) b) ANM  BC / /MN  MNBC hình thang   sđ CM   sđ BN   sđ CN   sđ BM  BM  CN  MNBC hình thang cân c) Ta có tam giác vuông: ABK AMC đồng dạng ( g-g)    OAC  BAK      BAK  OCA   OCA  OAC  TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp  tứ giác OKNC hình thang cân Bài tốn 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải Dùng hệ để chứng minh hai góc Ví dụ 1: Cho đường tròn O  hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm cung nhỏ MA MB Chứng minh rằng: P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB Hướng dẫn giải M I K P A B O   900 Ta có: M, A, B  (O) AMB  AB đường kính O   A,O, B thẳng hàng   900 ( góc nột tiếp chắn nửa đường tròn) Ta lại có: AMB  Theo giả thiết: K điểm cung MN   KB   MK  KB  MK   AK tia phân giác góc MAB  Tương tự ta chứng minh BI tia phân giác góc AMB Mà AK cắt BI P  P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O  , hai đường cao BD CE cắt H Vẽ đường kính AF a) Tứ giác BFCH hình gì? b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: OM  AH Hướng dẫn giải TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp A O E D H B C M F Ta có:   90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AB  BF (1) ABF AB  EH  E (2) Từ (1) (2)  BF / / EH Chứng minh tương tự ta được: BH / /CF  BFCH hình bình hành  M trung điểm HF  H, M, F thẳng hàng  OM đường trung bình AHF  OM  AH II Bài tập tự luyện Bài 1:Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH Kẻ đường kính AE a) Tính  ACE   OAC  b) Chúng minh BAH c) Gọi K giao điểm AH với đường tròn  O  Tứ giác BCEK hình gì? Bài 2:Cho tam giác ABC Đường tròn  I  nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, Abtheo thứ tự   60 D,E, F Cho biết Chứng minh BAC Bài 3:Cho nửa dường tròn  O  đường kính AB, K điểm cung AB Vẽ bán kính   60 Gọi M giao điểm AC OK OC cho BOC TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp a) Chứng minh MO  MC b) Cho OB  R , tính OM theo R Bài 4:Cho đường tròn  O  , dây AB BD vng góc với điểm I Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt BD M Qua B kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt AC K Chứng minh rằng:   AMB  a)  ABM  KBM b) ABKM hình thoi Bài 5:Cho đường tròn  O  đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn Gọi E điểm đối xứng với A qua D a) Tam giác ABE tam giác gì? b) Gọi K giao điểm EB với đường tròn Chứng minh OD vng góc với AK c) Cho AB  cm Tìm vị trí điểm D để tam giác ABE có diện tích lớn Tính diện tích lớn ABKM hình thoi Bài 6:Cho đường tròn  O ; R  , dây AB Qua điểm I thuộc dây AB IA  IB , vẽ dây CD vng góc với AB Kẻ đường kính COE a) Tứ giác ABED hình gì? b) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến BC Chứng minh OH  AD c) Chứng minh tổng AD2  BC có giá trị khơng đổi d) Gọi M trung điểm AD Chứng minh MI song song với OH Bài Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn  O  đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh rằng: a) AI vng góc với BC   IAE  b) IDE   60 c) Tam giác DOE tam giác BAC Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc A cắt BC D cắt đường tròn M Đường phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABC cắt đường tròn N Chứng minh rằng: TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp   ABC  a) BMC ACB b) OM vng góc BC c) Ba điểm M, O, N thẳng hàng d) AD.AM  AB.AC e) MB.MC  MD.MA Bài Cho hai đường tròn  O   O  cắt A B Một đường thẳng cắt hai đường tròn bốn điểm C, D, E, K theo thứ tự đường thẳng Chứng minh rằng:   DBE   180 CAK Bài 10 Cho hai đường tròn  O   O  cắt A B Qua A vẽ hai cát tuyến chung CAD EAG, C E thuộc  O  , D G thuộc  O  , A nằm C D, A nằm E G Biết AB tia phân giác góc CAG Chứng minh rằng: a) CBD đồng dạng EBG b) CD  EG Bài 11 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh DB.DC  AD.HD b) Đường tròn  O  đường kính BC cắt đoạn thẳng AH I Tính AI biết AD  cm, HD  cm   60 , BC  a Tính độ dài EF theo a c) Cho BAC Bài 12 Cho tam giác nhọn ABCđường cao tam giác H trực tâm a) Kẻ đường kính COE Tứ giác AHBE hình ? b) Gọi I hình chiếu O BC So sánh độ dài OI AH c) Gọi giao điểm khác A AD với đường tròn  O  K Chứng minh BHK tam giác cân d) Qua K kẻ dây KM song song với BC Xác định dạng tứ giác AEMC, BHCM Bài 13 Cho tam giác ABC cân A, AB=10cm,BC=12cm Đường tròn (O) đường kính AC cắt AB BC theo thứ tự D H a) Gọi M trung điểm BD Chứng minh HM tiếp tuyến đường tròn (O) b) Tính độ dài BD TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp Bài 14 Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB=10cm, C điểm cung AB, M trung điểm BC, E giao điểm AM cung AB Gọi H hình chiếu E BC a) Chứng minh EH=2MH b) Chứng minh tam giác BHE ACM đồng dạng c) Tính độ dài EH Bài 15 Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB=10cm Lấy điểm C, D thuộc cung AB cho AC  CD  cm a) Tính độ dài BD c) Tính diện tích tứ giác ACDB Bài 16 Cho hai đường tròn  O   O  cắt A B Qua A vẽ cát tuyến d bất kì, cắt O  O theo thứ tự C A (A nằm C D) Tìm vị trí d để tam giác CBD có diện tích lớn Bài 17 Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB, bán kính OC vng góc với AB Dựng điểm E cung BC, cho gọi D giao điểm AE OC DO  DE TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page ... c) Góc nội tiếp (nhỏ 900 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung K O B A   AOB  AKB TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Ths Lê Hải Trung Góc nội tiếp d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vng... Trung Góc nội tiếp b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung P B O N K A M   ANB   APB  (cùng chắn AB  ) AMB   AKB  Chú ý: phân biệt, tránh nhầm lẫn góc chắn cung lớn cung nhỏ AB AMB c) Góc. .. đường tròn góc vng Còn gọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn K O A B M   AMB   90o (góc nội tiếp chắn đường kính AB ) AKB II Các dạng tập Dạng 1: Chứng minh hai góc nhau, đoạn thẳng nhau,