Nhận xét BDT A-2009 dễ hay khó?

NGHIÊN CỨU BÀI BẤT ĐẰNG THỨC TSĐH A-2009 * Câu V (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z)=3yz, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 x y x z 3 x y x z y z 5 y z + + + + + + + ≤ + ĐÁP ÁN BỘ GDĐT  Đặt a=y+z, b=z+x và c=x+y  Thì a+b+c=2(x+y+z)  Suy ra 2 a b c x y z + + + + =  2 b c a x + − = , 2 a c b y + − = , 2 a b c z + − =  Điều kiện x(x+y+z)=3yz trở thành 2 2 2 a b c bc= + − (1)  2 2 (1) ( ) 3a b c bc⇔ = + −  Mà 2 2 b c bc +   ≤  ÷   Nên (1) suy ra: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) 3 3 ( ) 4 4 a b c bc b c b c b c = + − + + ≥ + − =  Suy ra 2b c a + ≤ (2)  Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 3 3 3 3 5b c abc a+ + ≤ (3)  (3)⇔ 2 2 3 ( )( ) 3 5b c b c bc abc a+ + − + ≤ 2 3 ( ) 3 5b c a abc a⇔ + + ≤ (4) 2 ( ) 3 5b c a bc a⇔ + + ≤  Từ (2) ta có 2 ( ) 2b c a a+ ≤ (5)  Còn 2 2 2 3( ) 3(2 ) 3 3 4 4 b c a bc a + ≤ ≤ = (6)  Từ (5) và (6), cộng vế ta có (4). Bài toán được chứng minh. NHẬN XÉT ĐỀ:  Bài toán sử dụng Bất đẳng thức Côsi  Dùng 2 bất đẳng thức cùng chiều cộng vế để suy ra bất đẳng thức kết quả  Bài toán sử dụng 3 biến x,y,z và một điều kiện nên gây người giải toán dễ bị rối! NHẬN XÉT VỀ BƯỚC ĐẦU LỜI GIẢI:  Việc đặt a=y+z, b=z+x và c=x+y là hợp lý để đưa bài toán về dạng mới: “Cho các số dương a,b,c sao cho 2 2 2 a b c bc= + − . Chứng minh rằng 3 3 3 3 5b c abc a+ + ≤ ”. PHÂN TÍCH LOGIC LỜI GIẢI:  Từ gt 2 2 2 a b c bc= + − suy ra 3 3 2 ( )b c a b c+ = +  Điều cần chứng minh trở thành 2 3 ( ) 3 5a b c abc a+ + ≤ 2 ( ) 3 5a b c bc a⇔ + + ≤ (1)  Rõ ràng ta cần so sánh b+c với a và bc với a  Từ gt 2 2 2 a b c bc= + − suy ra: 2 2 2 2a b c bc bc bc bc= + − ≥ − = (2)  Từ gt 2 2 2 a b c bc= + − suy ra 2 2 2 2 2 3( ) ( ) ( ) 3 ( ) 4 4 b c b c a b c bc b c + + = + − ≥ + − = 2b c a ⇒ + ≤ (3)  Từ (2) và (3) suy ra 2 2 ( ) 3 .2 3 5a b c bc a a a a⇔ + + ≤ + =  Vậy (1) được chứng minh. KINH NGHIỆM RÚT RA: 2 2 2 2 0, 0, 0 . 2 a b c bc a a a a b c bc b c a a a > > >  ≤ = = + − ⇒  + ≤ + =   Bây giờ xem kết quả trên như bổ đề thì bài toán được giải “khá đơn giản”: 3 3 2 2 2 3 ( )( ) ( ) 2b c b c b c bc b c a a+ = + + − = + ≤ 2 3 3 3 . 3abc a a a≤ = 3 3 3 3 5b c abc a⇒ + + ≤ MÔT SỐ ÁP DỤNG:  Cho x>0, y>0 và 2 2 x y xy 1+ − = Chứng minh x+y+xy≤3  Cho x>0,y>0,z>0 và 2 2 2 z x y xy= + − . Chứng minh ( ) x y z xy yz zx 3z z 1+ + + + + ≤ + . toán sử dụng 3 biến x,y,z và một điều kiện nên gây người giải toán dễ bị rối! NHẬN XÉT VỀ BƯỚC ĐẦU LỜI GIẢI:  Việc đặt a=y+z, b=z+x và c=x+y là hợp lý. + ≤ ≤ = (6)  Từ (5) và (6), cộng vế ta có (4). Bài toán được chứng minh. NHẬN XÉT ĐỀ:  Bài toán sử dụng Bất đẳng thức Côsi  Dùng 2 bất đẳng thức cùng