Summary of the doctoral thesis: Inverse dynamics and motion control of delta parallel robot

The objective of this thesis is to apply Lagrange equations with multipliers to study dynamics and control of Delta parallel robots. Particularly, mechanical model, mathematical model, and control algorithms for Delta parallel robots are developed as a scientific basis for the research and development of parallel Delta robots.

        MINISTRY OF EDUCATION  VIETNAM ACADEMY OF SCIENCE  AND TRAINING  AND TECHNOLOGY  GRADUATE UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY …… ….***…………   NGUYEN DINH DUNG     INVERSE DYNAMICS AND MOTION CONTROL OF DELTA PARALLEL ROBOT                           Major: Engineering Mechanics  Code: 9 52 01 01 SUMMARY OF THE DOCTORAL THESIS Hanoi – 2018     The  thesis  has  been  completed  at  Graduate  University  of  Science  and  Technology, Vietnam Academy of Science and Technology      Supervisor 1: Prof. Dr. Sc. Nguyen Van Khang  Supervisor 2:  Assoc. Prof. Dr. Nguyen Quang Hoang        Reviewer 1: Prof. Dr. Dinh Van Phong  Reviewer 2: : Prof. Dr. Tran Van Tuan  Reviewer 3: :  Assoc. Prof. Dr. Le Luong Tai          The thesis is defended to the thesis committee for the Doctoral Degree, at  Graduate  University  of  Science  and  Technology  -  Vietnam  Academy  of  Science and Technology, on  Date    Month          Year 2018            Hardcopy of  the thesis can be found at:  - Library of Graduate University of  Science and Technology  - National Library of  Vietnam  1    INTRODUCTION The rationale for the thesis Parallel robots are robots with closed kinematics structure in which the  links  are  connected  by  joints.  Although  the  parallel  robot  has  a  complex  dynamic  structure,  and  is  difficult  to  design  and  control,  but  it  has  some  outstanding  advantages  over  the  serial  robot:  high  load  bearing  capacity,  high rigidity due to configuration. They can perform complex operations and  operate  with  high  accuracy.  Therefore,  study  on  the  problem  of  dynamics  and control of the parallel robot in order to take advantage of it is a scientific  and practical matter.  The objective of the thesis The  objective  of  this  thesis  is  to  apply  Lagrange  equations  with  multipliers  to  study  dynamics  and  control  of  Delta  parallel  robots.  Particularly, mechanical model, mathematical model, and control algorithms  for Delta parallel robots are developed as a scientific basis for the research  and development of parallel Delta robots.  The object and the main content of the thesis Research objects: Dynamics and control of two Delta parallel robots are  3RUS robots and 3PUS robots.  The  main  content  of  the  thesis  includes:  Study  of  mathematical  and  mechanical  modeling  problems,  study  of  dynamics  and  control  algorithms  for Delta parallel robot. The thesis does not study the problem of design and  manufacture of Delta parallel robots.  The outline of the thesis The  outline  of  the  thesis  contains  Introduction,  Four  main  chapters,  Conclusions and findings of the thesis.  Chapter  1:  Overview  of  the  study  of  dynamics  and  control  of  Delta  parallel  robot  in  and  outside  the  country  is  first  presented.  Since  then,  the      2    direction of the thesis has been selected to address scientific significance and  practical application.  Chapter  2:  Presents  the  construction  of  mechanical  models  and  application  of  Lagrangian  equations  with  multipliers  to  formulate  mathematical  models  for  two  Delta  Parallel  Robots.  Each  robot  offers  two  mechanical models for study and comparison.  Chapter 3: Presents some improvements in numerical methods to solve  the  inverse  kinematics  and  inverse  dynamics  of  parallel  robots.  Inverse  kinematic  problem    is  solved  by  applying  the  improved  Newton-Raphson  method.  Inverse  dynamics  problem  is  solved  by  reducing  Lagrange  multipliers to calculate moments or driving forces in active joints.  Chapter  4:  Presents  tracking  control  of  parallel  robot  manipulators   based  on  the  mathematical  model  of  parallel  robots,  which  is  a  system  of  differential – algebraic  equations. The trajectory of  serial robots  described  by differential equations is often well studied. While the Delta parallel robot  trajectory  is  based  on  the  mathematical  model,  the  differential  –  algebraic  equations  system  is  rarely  studied.  Control  law  such  as  PD  control,  PID  control, sliding mode control, sliding mode control using neural network are  studied in this chapter.  CHAPTER OVERVIEW OF DYNAMICS AND CONTROL PARALLEL ROBOT 1.1 Parallel robot Parallel  robots  usually  consist  of  a  manipulator  connected  to  a  fixed  frame, driven in  multiple parallel  branches also called legs. The number of  legs is equal to the number of degrees of freedom. Each leg is controlled by  the  actuator  on  a  fixed  frame  or  on  the  leg.  Therefore,  parallel  robots  are  sometimes referred to as platformed robots.  1.2 Comparison between Serial and Parallel Manipulators     3    Parallel  robot  has  high  rigidity  and  load  bearing  capacity  due  to  load  sharing of each actuator operating in parallel. The accuracy of the position of  the parallel robot is high because there are no cumulative joint errors as the  serial  robot.  While  kinematic  chains  create  kinematic  constraints  and  workspace  limitations,  typical  designs  have  low  inertia  characteristics.  The  fields  of  parallel  robot  application  include:  CNC  machine,  high  precision  machine,  automation  machine  in  semiconductor  and  high  speed  and  high  acceleration  electronics  assembly  industry.  A  comparison  between  parallel  and serial robots is given in the following table:  Table 1.1: Comparison between Serial and Parallel Manipulators STT Features 1  2  3  4  5  6  7  Accuracy  Workspace  Stiffness  Payload  Inertial  Speed  Design/control  complexity  Serial robot Parallel robot Lower  Large  Low  Low  Large  Low  Simple  Higher  Small  High  High  Small  High  complex  8  Singularity problem   Some  Abundant  1.3 Research on dynamics and control of parallel robots outside of the country 1.3.1 Inverse dynamics of parallel robots On  the  mechanical  side,  parallel  robots  are  closed-loop  multibody  system.  Dynamic  computation  is  essential  to  designing  and  improving  the  control quality of parallel robots. The literature on the theory and calculation  method of robot dynamics is quite substantial [47, 73, 85-88, 96, 103]. The  methods  of  establishing  the  dynamic  equations  of  closed-loop  multibody      4    system  are  well  documented  in  [88,  103].  The  kinematics  and  dynamics  problems  are  then  more  specifically  mentioned  in  the  literature  on  parallel  robots [67, 96].  In  the  above  studies  on  Delta  parallel  robots,  the  methods  used  to  establish equation of motion are Lagrange equations with multipliers, virtual  work principle, Newton-Euler equation, subsystem   When establishing the  equation, the bar between the actuating link and the manipulator is modeled  with a uniform bar or with a zero-mass bar and two masses at the ends of the  bar. Up to now, there have been no comparative work on these two types of  models.  1.3.2 Tracking control of parallel robots The  documentation  on  robot  control  is  very  rich.  There  are  various  approaches  to  controlling  robots  given  by  Spong  and  Vidyasagar  [90],  Sciavicco and Siciliano [87]. However, these works are less focused on the  specific problems of parallel robots.  Recently, the works on improving the control quality of Delta robot was  also  published  quite  a  lot.  These  works  develop  control  law  based  on  the  equations of motion, which are obtained by simplifying the dynamics model  of each parallelogram by a zero-mass bar with two mass points at both ends.  Model  linearization  methods  are  used  to  establish  simple  control  laws.  Hemici et al. [80-82] designed PID, H controllers based on linear models  to robustly control Delta robot. This model was also used by A. Mohsen [68]  to establish PD and PID control laws in combination with fuzzy supervision  to perform motion tracking control of  manipulator.  These  works  use  different  controllers  for  the  purpose  of  forcing  the  movement  of  the  manipulator  to  follow  a  desired  trajectory.  These  controllers partly meet the desired requirements. However, there is a lack of      5    comparative  studies  of  controllers  and  recommendations  on  how  to  choose  an appropriate ones.  1.4 Studies in Vietnam The  research  in  Vietnam  mainly  focuses  on  solving  the  kinematics  problem,  establishing  the  equation  of  motion  and  presenting  the  method  of  solving the equations of motion. Control problems are little researched.  1.5 The research problem of the thesis From  the  review  and  evaluation  of  the  work  that  scientists  have  been  working on in Delta parallel robot, this thesis will investigate the following  issues:  Development of the solution for the inverse dynamics problem with the  aim of improving numerical accuracy.  Study and comparison of different dynamic models for a parallel robot,  the  complexity  of  the  models  and  their  effect  on  the  computational  torque  moment. On that basis, it is advisable for the user to use a suitable model.  Design of direct control law based on differential – algebraic  equations.  Research  comparing  the  quality  of  the  controllers  using  different  mechanical models.  Conclusions of chapter Based on the results obtained from domestic and foreign researches, the  thesis  has  identified  the  need  for  in-depth research  in  order  to  improve  the  quality of control for parallel robots, mechanical and mathematical modeling  and numerical algorithms for solving dynamic and control problems for two  parallel robots, 3RUS and 3PUS.  CHAPTER BUILDING THE MECHANICAL MODEL AND MATHEMATICAL MODEL FOR DELTA PARALLEL ROBOT In  this  thesis,  the  new  matrix  form  of  the  Lagrange  equations  with  multipliers  [51]  is  used  to  establish  the  equation  of  motion  of  two  parallel      6    robots, the 3RUS robot and the 3PUS robot. With the MAPLE or MATLAB  software,  we  obtain  the  analytic  form  of  differential  –  algebraic  equations  describing the movement of parallel robots.    2.1 Dynamic model of Delta parallel robot 2.1.1 Dynamic model of Delta parallel robot 3RUS From realistic models of robots from Figure 2.1, it can be seen that the  parallelogram  will  make  the  kinematic  and  dynamic  computation  on  the  robot quite complex. For simplicity we build two models of robot dynamics  based on real model as follows:      R1   m1,L1, I1         m2, L2, I2        mp r    Figure 2.1: Delta parallel robot 3RUS Model  1:  The  parallelogram  mechanisms  is  modeled  by  a  bar  with  a  uniformly distributed mass over the length of the bar. The mass and length  of the bars correspond to the mass and length of the parallelogram.  Model  2:  The  parallelogram  mechanisms  is  modeled  by  a  weightless  bar with a concentric mass at both ends, the mass of each bar end equals half  the mass of the parallelogram.      7    2.1.2 Dynamic model of 3PUS Delta parallel robot Spatial  3PUS  Delta  robot  is  a  variant  of  the  3RUS  robot    when  replacing  rotary  actuation  joints  linear  actuation  joints  as  shown  in  Figure  2.4. The  3PUS robot  is  also  equipped  with two  dynamic  models  similar to  the 3RUS.              Figure 2.4: Delta parallel robot 3PUS 2.2 Establish equations of motion of the Delta parallel robot Applying  the  new  matrix  form  of  the  Lagrange  equation  with  multipliers [4, 51], the equation of motion of two 3RUS and 3PUS robots is  the differential - algebraic equations of the following general form:  M  s s  C  s, s  s  g  s   ΦTs  s  λ  τ   (2.20)      (2.58)  f s    2.3 Compare the equations of motion of robot models From the equation of motion of model 1 and model 2 of each robot we  have the comparison table as follows:      8    Table 2.1 Compare the equations of motion of Models 1 and 2  Number of   Degree of freedom  generalized  coordinates  Model 1.  3  Model 2.  3  3x3 + 3 = 12  3 + 3 = 6  Constrained equations  9  3  Lagrangian multipliers  9  3  equations  21  9  M  M (s ),  C(s, s )    M(s)  const ,  C(s, s)    Matrices M and C    From  Table  2.1  we  find  that  the  equation  of  motion  of  model  2  is  simpler  and  easier  to  establish  than  model  1,  but  the  inertia  effect  is  not  clear.  2.3 Conclusions of chapter The establishment of analytical equation of the equation of motion of Delta  parallel robot is a very complex problem. Using the symbolic programming  technique, this thesis has achieved some new results as follows:  Using the new matrix form of equations Lagrange with multipliers [51],  the differential - algebraic equations describing the motion of the two kinds  Delta  parallel  robot  (robot  3RUS  and  robot  3PUS)  has  established  analytically.  In  addition  to  establishing  equations  of  motion  in  view  of  rigid  body,  the thesis also provides a simple equation for motion equation by replacing  the  parallelogram  mechanisms  by  two  mass  points.  These  mechanical  models  are  the  basis  for  computational  dynamics  and  control  of  parallel  robots 3RUS and 3PUS.      9    CHAPTER NUMERICAL SIMULATION OF INVERSE KINEMATICS AND INVERSE DYNAMICS FOR DELTA PARALLEL ROBOT Based on the explicit analytical form of the differential - algebraic equations  description of the motion of the Delta parallel robot set up in Chapter 2, this  chapter  applies  and  develops  numerical  algorithms  to  solve  the  inverse  kinematic and inverse dynamic problem for parallel robots 3RUS and 3PUS.  3.1 Calculation of inverse kinematic parallel robot by improved Newton-Raphson method The constrained equations of  robot are rewritten in vector form as follows:  f (s)  f (q , x)    (3.1)    r n m where:   f   , q   , x     Contents of the inverse dynamics problem: Given the motion law of the  manipulator, it  is necessary to  find the law of  motion of  the driving joints.  Here, we will present an improved Newton-Raphson method [4] to solve the  inverse kinematic problem:  Step 1: Correct the increment of the vector of generalized coordinates at  0  by  drawing  time  t0  =  0.  First,  we  can determine  the  approximate  vector  q method  (or  experiment).  Then  apply  Newton  -  Raphson  methods  to  find  a  better solution of q0  from nonlinear equations (3.1).  Step 2: Correct the increment of of the vector of generalized coordinates  at  time  tk+1.  The  approximate  initial  value  of  qk+1  is  approximated  by  the  formula:      k (t )   q k 1  q k  q k t  q   In  the  robot  kinematics  computation  [87],  the  infinitesimals  of  order  n≥2 are often neglected in the initial approximation of Newton-Raphson. In  this thesis, we take into  account the second order infinitesimals, neglecting        10    the  infinitesimals  of  order  3  and  taking  the  formula  (3.14)  as  the  approximation of the original Newton-Raphson loop.  After  each  step  of  calculating  the  coordinates  of  the  joints  using  the  improved  Newton-Raphson  method,  the  generalized  velocity  and  acceleration of the joints are calculated by the following formulas:  q  Jq1Jx x   (3.4)    1    (3.6)     J q J q q  J x x  J x  q x   3.2 Numerical method for solving the inverse dynamics problem of parallel robots 3.2.1 Inverse dynamics problem The general equations of motion of the robot is as follows:    + g(s) +ΦTs (s)   M(s)s +C(s,s)s  (3.20)      f (s)     (3.21)    r f Let  q a     be the vector of coordinates of active joints,  z     is the  vector  of  redundant  coordinates  (including  passive  coordinates  and    endeffector coordinates). Symbol:  T s  qTa , z T  , s   n ,  q a   f ,  z   r ,  n  f  r   The  inverse  dynamics  problem  of  the  parallel  robot  is  expressed  as:  The  equation  of  motion  of  the  robot  is  known  as  in  (3.20),  (3.21),  given  the  m motion  law  of  the  operation  x  xt , x     Determine  τ a   f the    driving momen / force required to produce the desired motion.  3.2.2 Solving the inverse dynamics problem by eliminating the Lagrange multipliers [4] Through  the inverse  kinematic  with  the  given  trajectory  of  the  mobile  platform center, we have found the vector  s  t  ,  s  t  , s  t   From this, mass  matrices,  centrifugal  inertia  and  Coriolis  matrices,  matrices  Φ s ,  as  well  as  the vector g(s) have been completely determined. Thus, Equation (3.20) is a  linear  algebraic  equation  with  unknown  driving  torque  vector  τa and          11    Lagrange  multipliers  λ  with  equal  numbers  of  equations  and  numbers.  Thus,  we  can  directly  solve  this  system  of  equations  and  then  separate  the  resulting momen.  In  this  thesis,  we  will  not  directly  solve  equation  (3.20)  but  try  to  eliminate Lagrange  multipliers  λ , transforming the system of differential -  algebraic  equations  (3.20),  (3.21)  into  the  system  of  equations  of  only  unknowns of only joint moments  τa  as follows:  We put the symbol [4, 47]:   E  R  s   R(q a , z)   1   (3.24)   Φ z Φ q  f f     f  f  and   where E is the unit matrix size    Φ z  ,  Φ a  z T q a Left  multiplying  both  sides  of  (3.20)  by  matrix  R  s   and  simplying  it  yields     RT  s  M  s s  RT  s  C s , s  s  RT  s  g  s   τa    (3.29)  The expression in the left-hand side of equation (3.29) are known from the  results  of  the  inverse  kinematics  problem.  Thus,  active  joint  moments  are  calculated according to this equation.  3.3 Numerical simulation of inverse kinematics and inverse dynamics of Delta parllel robot 3.3.1 Numerical simulation of 3RUS inverse kinematics of robot To evaluate the correctness of algorithms and calculations of the thesis,  we  computed  the  inverse  dynamics  problem  of  3RUS    robot    with  the  DELTA-IMECH  program  developed  based  on  MATLAB  software.  For  comparison, the robot parameter data and manipulation motion are given in  [61] of Y. Li and Q. Xu.  Using  the  DELTA-IMECH  program  we  obtain  the  results  of  the  numerical  simulation  of  inverse  kinematics  and  have  the  following  comparison table:      12      The results of the thesis    100 Joint1 Joint2 The results of work [61]    Joint3 [degree] 80 60 40 20 [rad/s]                   0.5 t[s] 1.5   -1 -2 0.5 t[s] 1.5   [rad/s2] -2 -4 0.5 t[s] 1.5 Figure 3.11: Comparison of the results of the inverse kinematic problems against the literature [61]     13    Comment:  Figure  3.11  shows  that  the  results  of  the  inverse  kinematics  of  the thesis are consistent with the results of the paper [61].  3.3.1 Numerical simulation of inverse dynamics of robot 3PUS The robot parameter data and movement of the manipulator as follows:  L  0.242,  R  0.16,  r  0.029(m),  m1  0.12,  m2   0.15,  mP  0.2(kg)   2 2   xP  0.05cos  t  ;  yP  0.05sin  t  ;  zP  0.5 (m)  T   T  Numerical simulation results were computed based on models 1 and 2 of the  3PUS robot using the DELTA-IMECH program.  Model 1  Model 1  T = 1 (s), (Fast motion manipulator)      -4 -4.4 [N] -4.5 -4.6 [N] -5 -5.5 -6 -4.8 -5 0.2 0.4 0.6 0.8 -5.2 0.2 0.4 t[s] 0.6 0.8 t[s] T = 10 (s), (Slow motion manipulator)      -3 -3 -4 [N] [N] -4 -5 -6 -7 -5 -6 -7 10 t[s] 10 t[s] Figure 3.22: Results of numerical simulation inverse dynamics robot 3PUS     14    Comment: When  motion  of  the  manipulator  is  fast,  the  results  of  the  two  models are different. When motion of the manipulator is slow, the results of  the two models are the same Conclusions of chapter The contribution of the thesis in this chapter is:  1.  Develop  a  program,  called  DELTA-IMECH  program,  to  calculate  numerically inverse kinematics and inverse dynamics problems of 3RUS and  3PUS.  The  results  computed  by  this  program  are  consistent  with  the  literature [61], [92]. This proves that the equations of motion of robots that  have been established and the algorithms and programs in DELTA-IMECH  are correct.  2.  The  numerical  simulation  results  show  that  when  the  movement  of  the  manipulator  is  not  fast,  a  simple  robot  model  can  be  used  to  compute  the  dynamics  of  two  types  of  research  robots.  However,  when  using  simple  models  the  inertial  effects  of  spatial  rigid  bodies  are  not  reflected  in  the  equation. That is the limitation that should be considered.   CHAPTER TRAJECTORY TRACKING CONTROL OF THE DELTA PARALLEL ROBOT BASED ON MECHANICAL MODELS The use of inverse dynamic methods to control position of  serial robot  has  been discussed extensively in engineering [1, 87]. In this chapter, based on  the differential - algebraic equations written explicitly in Chapter 2 and the  numerical  method  for  solving  the  inverse  dynamics  problem  in  Chapter  3,  the  PD,  PID,  Sliding  mode  control,  Sliding  mode  control  using  neural  network controller is built for 3RUS and 3PUS Delta parallel robots.  4.1 Overview of the tracking control of the manipulator          The task of the trajectory tracking control problem of the manipulator:  To guarantee that the end-effector moves along the desired trajectory in the      15    d work space. Given the desired trajectory  x (t) , it is required to control the  actual trajectory x to satisfy the following condition:  || x  xd ||     (4.1)    4.2 Trajectory tracking control of the parallel robots in joint space based on Lagrange equations with multipliers 4.2.1 Background of dynamics of closed-loop multibody systems Using  the  Lagrange  equations  with  multipliers,  equation  of  motion  of  parallel  robots  in  the  form  of  (3.20)  and  (3.21)  and  equation  (3.20)  is  transformed into (3.29), we proceed to modify this equation in the following  form:        a  C s , s  q a  g  s   d(s, s)  τa   M s q  (4.12)  M  s  : RT (s)M  s  R (s) T  (s, s)  C  s , s  R (s)  Where :    C  s , s  : R (s) M  s  R    T   g  s  : R (s)g  s    d(s, s ) : RT (s)d(s, s)   Equation  (4.12)  is  the  basis  for  establishing  the  control  law  for  parallel  robots.  4.2.2 Development of control algorithms In this thesis the trajectory  tracking control algorithms are built based  on  the  differential  -  algebraic  equations  describing  the  motion  of  parallel  robots.  The  stability  and  tracking  properties  of  the  control  algorithms  are  well proven.  4.2.2.1 PD control u  t   M  s  ν  C s, s  q a  g  s   d  s, s    da  KDe a  KPea with:  ν  q          (4.18)   (4.19)  16    K P  diag  kP1 , kP2 ,, kPna  ,  K D  diag  kD1 , kD ,, kDna  , kPi  0 , kDi     4.2.2.2 PID control u  t   M  s  ν  C s, s  q  g  s   d  s, s  t a     da  K De a  K Pea  K I  ea ( )d With:  ν  q K  diag  k P1 , k P ,, k Pna  ,  0K D  diag    k D1 , k D ,, k Dna  ,             P   K I  diag  k I , k I ,, k Ina                 where:   kDi  0, kPi  0, kIi  0, kDi kPi  kIi  0;      i  1,2, , na      (4.26)   (4.27)  4.2.2.3 Sliding Mode control a  C(s, s)q a  g  d  M(s)Λe a   u  t   M(s)q                            C(s, s ) Λe a  K PD ν  K S sign  ν     T where:    sign  ν   sign  v1  , sign  v2  ,, sign  vna     K  diag  kPD1 , kPD ,, kPDna  ,     kPDi            PD K  diag  kS1 , kS ,, kSna  ,     kSi           S   d d (4.45)   (4.46)  (4.47)  4.2.2.4 Sliding mode control using neural network  da  C(s, s )q da  g  d  M (s ) Λe a  C(s, s ) Λe a  Kν u  M (s )q               ν  1    Wσ ν  i   i ν   w  (4.62)   (4.63)   in  which  K  is  positive  definite  symmetric  matrix  of  size  na ,  and    ,      4.3 The numerical simulation of the control law of the Delta parallel robot based on the mechanical models 4.3 The numerical simulation of the control laws of the robots 3RUS and 3PUS Delta parallel       17    Table 4.1: Comparison of robot trajectory errors Using model in controller Using model in controller PD control, the robot errors and disturbance  -3 0.015 0.01 x 10 0.01 0.7 [m] 0.005 -2 0.6 0.8 -0.005 -0.01 ex x 10 -2 -4 0.6 0.015 0.005 [m]   -3 0.2 ey 0.4 0.6 -0.005 ez 0.8 -0.01 0.7 0.8 ey ez ex 0.2 0.4 t[s] 0.6 0.8 t[s] PID control, the robot errors and disturbance  0.015 0.01 -2 0.6 0.005 [m] x 10 0.7 0.005 0.8 [m] 0.01 -0.005 -0.01 e e x -3 0.015 -3 0.2 0.4 0.6 z 0.8 -0.01 0.7 ex ey 0.8 -0.005 e y x 10 -2 -4 0.6 0.2 0.4 0.6 t[s] ez 0.8 t[s] Sliding mode control, the robot errors and disturbance  -4 0.01 0.005 -5 x 10 0.005 0.7 0.8 -0.01 ex ey -0.005 ez 0.2 0.4 0.6 0.8 0.7 ex   0.8 0.2 ey 0.4 0.6 t[s] t[s]   0.6 -0.01 x 10 -5 0.01 0.6 -0.005 -4 0.015 [m] [m] 0.015 ez 0.8 18    Sliding mode control using neural network, the robot errors and disturbance  0.015 -4 0.01 0.015 x 10 0.01 -2 -4 0.6 0.7 0.8 -0.005 -0.01 e e x 0.2 e y 0.4 0.6 0.8 -0.01 0.7 0.8 ex -0.005 z x 10 -2 0.6 0.005 [m] [m] 0.005 -4 0.2 t[s] ey 0.4 0.6 ez 0.8 t[s] 4.3.3 Comments on numerical simulation results It is easier to design the control law based on the model 1 than on the  model  2  because  the  model  1  has  larger  number  of  equations  and  is  more  complicated than model 2 (see Table 2.1)  When using the PD, PID to control the real robot with exact knowledge  of  the  dynamic  parameters  and  no  disturbance,  the  use  of  model  to  design  the control law produces less accurate results compared to when using model  1.  When  using  PD  and  PID  control  laws  to  control  real  robots  without  knowing exactly the dynamic and disturbance parameters, both models give  inaccurate results (~10-3  m see Figures 4.11, 4.12). , 4.19 and 4.20).  When  using  the  sliding  mode  controller,  controller  based  on  the  principle of sliding using neural network for the robot, with exact knowledge  of  the  dynamic  parameter  and  without  disturbances,  and  without  exact  knowledge  of  the  dynamic  parameter  and  with  disturbances,  same  good  results are obtained (accuracy of ~10-4 m is shown in Figure 4.27 to Figure  4.36).  So  when  using  the  sliding  mode  control  law  and  sliding  mode  control  using  neural  network,  we  only  need  to  use  simple  model  to  design  the      19    control rules. The control law will be very simple but still give good results  like when we use complex models.  The comments for control law design for the 3PUS robot are similar to  those of the 3RUS robot when simulating the tracking trajectory.  Conclusions of chapter The contribution of the thesis in this chapter is:  1. To prove theoretically the stability of PD, PID, sliding mode control  and  sliding  mode  control  using  neural  networks  laws  of  the  parallel  robot  based  on the differential -  algebraic equations describing the motion of  the  robot.  2.  When the  mechanical  model  of  a robot  is correctly  constructed and  there is no force disturbance during operation, the PD and PID control laws  can be used but must be set up from a complex mechanical model (model 1),  so that it still ensures the desired trajectory of operation.  3. When the mechanical model of the robot is not properly constructed  and  in  the  presence  of  disturbance  during  the  working  process,  modern  control rules such as sliding mode control sliding mode control using neural  network are used. It is required to design the controller only from a simple  mechanical  model  (model  2)  but  the  controller  still  ensures  the  desired  traction of the operation.  CONCLUSIONS AND FINDINGS OF THE THESIS The findings of the thesis 1)    Applying  the  new  matrix  form  of  the  Lagrangian  Equation  with  multipliers  establishes  differential  -  algebraic  equations  describing  the  movement of  3RUS and 3PUS Delta parallel robots. Equations are explicit  analytical equations but are quite complex.      20    2)  Transformation  the  differential  -  algebraic  equations  is  transformed  into  a  system  of  ordinary  differential  equations  based  on  the  idea  of    W.  Schiehlen and colleagues [28]. Then the driving moment/ force is calculated.  This method is used to solve the inverse dynamic problem of parallel robot  3RUS and 3PUS. The simulation results obtained according to the proposed  algorithm are consistent with known results.  3)  Transformation  the  differential-  algebraic  equations  of  motion  of  parallel  robots  into  the  ordinary  differential  equation  with  redundant  coordinates  the  new  mass matrices  M(s) ,  the inertial  force  matrix and the  new  coriolis  and  centrifugal  matrix  C(s, s )  are  obtained.  The  PD,  PID,  sliding  mode  control,  and  sliding  mode  control  using  neural  network   algorithms developed for serial robots then can be applied to control parallel  robots.  Stability  of  PD,  PID,  sliding  mode  control,  sliding  mode  control  using neural network is proven based on mathematical model of robot which  is the system of differential- algebraic equations 4)  Writing  a  program  named  DELTA-IMECH  for  calculating  inverse  kinematics,  inverse  dynamics,  and  motion  control  of  two  parallel  robots  3RUS  and  3PUS.  Some  examples  calculated  by  the  DELTA-IMECH  program  are  consistent  with  known  results.  The  algorithm  and  program  of  DELTA-IMECH are correct and reliable.  5) In engineering, the rigid body moving in space is sometimes replaced  by  a  model  of  mass  points.  In  this  thesis,  the  dynamic  and  control  calculations with this model are presented for the Delta parallel robot 3RUS  and  3PUS.  Caution  should  be  taken,  because  in  the  simplest  model  the  inertial effect of the system is not reflected accurately.   Suggestions Passive-based control of parallel robots.  Dynamics and control of parallel robots taking into account the elasticity of  the links.          LIST OF PUBLISHED WORKS Nguyen Van Khang, Nguyen Quang Hoang, Nguyen Duc Sang, Nguyen  Dinh  Dung  (2015),  “A  comparison  study  of  some  control  methods  for  Delta  spatial  parallel  robot”.  Journal of computer science and cybernetics, VAST, Vol. 31, pp 71-81.  Nguyen  Van  Khang,  Nguyen  Quang  Hoang,  Nguyen  Dinh  Dung,  Nguyen  Van  Quyen  (2016),  “Model-based  Control  of  a  3-PRS  Spatial  Parallel  Robot  in  The  Space  of  Redundant  Coordinates”.  Journal of Science and Technology Technical Universities, Vol. 112, pp. 49-53.  Nguyen Quang Hoang, Nguyen Van Khang, Nguyen Dinh Dung (2015),  Influence  of  models on computed torque  of delta spatial  parallel robot.  Proceedings of the 16th Asia Pacific Vibration Conference,  Hanoi,  pp.  791-798  Nguyen Dinh Dung, Nguyen Van Khang, Nguyen Quang Hoang (2016),  Modelling  and  sliding  mode  control  based  models  of  a  3RUS  spatial  parallel.  Proceedings of International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA4), Ha Noi, pp. 198-205.  Nguyen Van Khang and Nguyen Dinh Dung (2013), Về một dạng thức  mới  phương  trình  chuyển  động  của  robot  song  song,  The 2nd Vietnam Conference on Control and Automation VCCA-2013, Da Nang, pp. 457466.  Nguyen  Van  Khang,  Nguyen  Quang  Hoang,  Nguyen  Dinh  Dung,  Mai  Trong  Dung  (2015),  Xây  dựng  mơ  hình  cơ  học  cho  robot  song  song  Delta  không  gian  3PUS.  National Conference on Engineering Mechanics, Da Nang, pp. 398-406.  Nguyen  Van  Khang,  Nguyen  Dinh  Dung,  Nguyen  Van  Quyen  (2016),  Điều khiển bám quỹ đạo robot song song Delta  khơng gian 3-PRS dựa  trên  mơ  hình  hệ  các  phương  trình  vi  phân-đại  số.  The Vietnam Conference on Mechatronics 2016  (VCM  2016),  Can  Tho,  pp.  830  –  840     ... study  of dynamics and control algorithms  for Delta parallel robot. The thesis does not study the problem of design and manufacture of Delta parallel robots.  The outline of the thesis The ... of the thesis Research objects: Dynamics and control of two Delta parallel robots are  3RUS robots and 3PUS robots.  The main  content  of the thesis  includes:  Study  of mathematical  and ... The inverse dynamics problem  of the parallel robot is  expressed  as:  The equation  of motion of the robot is  known  as  in  (3.20),  (3.21),  given  the m motion law  of the