Thông tin số

ĩ ì:- , • *> f< Giả sử tín hiệu x(t) cấp lên hệ thơng dải LTI có đáp ứng xung h(t) hàm truy ềni H(f) Giả sử đáp ứng tần số hệ giới hạn ±B xung quanh fc- Độ rộng băng B củ a hệ thống thường hẹp 2W tín hiệu Ta muốn biểu diễn đáp ứng xung thơng díải h(t) thành hai thành phần đồng pha vuông pha: " h(t) = 2h,(t)cos(2jtf^t)-2hp(t)sin(27if^t) Nhân tử đưa thêm để thuận tiện bước sau Ta có đáp ứng xuing; phức hệ thơng dải là: íì(t) = hi(t)+jhQ(t) h(t) = Re[íì(t)exp(j2ư^t)] Chú ý hi(l) hQ(t), íì(t) đèu hàm thơng thấp giới hạn [-W ,W ] Sau tương tự ta có: ' Í2H(f) f> Ị f< 0 - í ' f> [2H (f) f< Giả sử x(t) H(f) tín hiệu thơng dải hàm truyền hệ có phổ xung quainh í, y(t) tín hiệu lối cùa hệ thơng dải Và y(í)= \ h(T)x(t - T)dT với y(t) = Re[ỳ(t)exp{j27if^t)] Trong miền tần số ta có: Y(f) = H (f)X(í) Thay vào phương trình ta có: Y (f) = l [ H ( f - f,)X (f - 198 ) + H * ( - f - f,)X * ( - f - )] ỉ)cm giản kết Đặc biệt tích chéo H * (f - f^)X(f - r[(f f ) băng khơng I a có biến dồi Fouricr đường bao lối phức lù: Ỳ ( f - f ) = Hay tương đương Ỳ (f) = H (f)X (f) Chuyển sang miền thời gian; ỳ (t)= íh (T )x (t-T )d x = h (t)* x (t) -T Kêt cho thây làm việc với tín hiệu hệ thơng tín hiệu tương đương thông thấp hệ thống thông dải, ta cần quy Phụ lục B CÁC HỆ THỨC VVIENER-KHINTCHINE Hàm tự tưoTig quan Rx(t) cung cấp tham số thống kê bậc trình dừn Tmh chất 2: Giá trị trung bình bình phương trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng băng diện tích tổng cộng đường mật độ phổ công suất: T E[X^(t)]= J s ,(f)d f -■r Tính chất 3: Mật độ phổ cơng suất cùa q trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng ln khơng âm: 199 Sx(f) > với f Tính chất 4: Mật độ phổ cơng suất q trình ngẫu nhiên thực hàm chẵn tần ^S(ố; S x (-f) = S x(0 Ví dụ: Ơn trắng Q trình ồn trắng đặc trưng mật độ phổ công suất hàng số: S w (f ) = N o /2 Nhân tử 1/2 biểu thị '/2 công suất gắn với tần sổ dưomg nửa lạii gắn với tần số âmrNo đo w/Hz Hàm tự tương quan biến đổi Pourier ngượg sẽỉ là: R wW = y « i ) Điều có nghĩa hai mẫu khác ồn trắng khơng tương quan với nhaiu Ví dụ 2: Sóng nhị phân ngẫu nhiên Phụ lục c PHÂN BỐ G A U SS, R A Y LEIG H VÀ RICE Giả sử ta quan sát trình ngẫu nhiên X(t) có trọng sổ g(t) khốntg thòi gian [0,T] Lấy tích phân q trình: Y -|g (t)X (t)d t Y gọi phiếm hàm tuyến tính X Phiếm hàm phụ thuộc vào tồn thiể tiốn trình hay nhiều hàm số biến rời rạc N ói cách khác: miên phiếm hàm tập hay kliông gian hàm tham gia vùnig không gian toạ độ Nếu hàm trọng số g(t) làm cho Y hữu hạn biến ngẫu nhiên Y lià biên phân bố Gauss hàm g(t) trình X(t) gọi q trình Gausís NĨI cách khác q trình X(t) gọi trình Gauss phiếm hàm tuyến tímh X(t) biến ngẫu nhiên Gauss Biến ngẫu nhiên Y có phân bố Gauss hàm mật độ xác suất có dạng; f (y) = _ ^ _ _ e x p \l2na^ ĩĩiy trung bình ơy^ phương sai biến ngẫu nhiên Y N hư mộọt biêr ngẫu nhiên Gauss xác định biết giá trị trung bình phương sai Đ ờng con^ biểu diễn hàm mật độ xác suất cho hình (C l) vcri iTiy = ơy - 0 c l Phàn bố Gauss đâ chiiân hố Q trình Gauss có hai ưu điểm chính; thứ có nhiều tính chất tính tốn được, thư hai tượng vật lý tạo nên trình ngẫu nhiên thường có phân bố Gauss Dịnh lý giới hạn trung tâm chứng minh tính đắn sử dụng q trình ngẫu nhiên làm mỏ hinh cho sơ lớn tượng vật lý khác nhau, biến ngẫu nhiên quan sát thời điêm kết quà số lớn kiện ngẫu nhiên riêng lè Thèm việc dùng mơ hình Gaus mô tả tượng vật lý \ ậy thường khẳng định bàng thực nghiệm Như tính phô biến cùa lượng vật lý đặc tính dễ xừ lý tốn học làm q trình Gaus đặc biệt quan trọng nghiên cứu hệ truycn tin Sau số tính chât tiêu biếu: Nếu Irình Gauss X(t) tác dụng vào lối \ lọc tuyến tính ổn định q trinh Y(t) nhận lơi q trình Gauss Xél Ịập biến ngẫu nhiên X(ti) X(t2 ), X(t„) nhận dược băng quan sát X(t) thòi điêm tương ứng Nếu X(t) trinh (ìauss tập biển ngẫu nhiên ciìng hiên Gauss liên kết với n bất k)' với hàm mật độ xác suất liên kết dược xác dịnh hoàn toàn theo tập giá trị trung binh tập hàm tự liiệp phương sai; K , ( t , , t,) = E [ ( X ( t , ) - m , „ ^ , ) ( X { t , ) - - m „ , ,)l i, k = 1, 2, , n ính chấl hai thường dùng dể định nghía q trình Gauss Tuy nhicn dịnh nghĩa Ihê khó cho việc dùng để tính ánh hưởng lọc Nêu trình Gauss dừng theo nghĩa rộng, dừng theo nghĩa hẹp Nêu lập biên X(ti), X(t ) X(t„) nhận bàng việc lấy mầu trình Gauss khơng tương quan tức là: 'I^IÌ tệp biến ngẫu nhiên độc lập thống kê 26 TMÓNG TIN sổ 201 Áp dụng điều nghĩa là: Hàm mật độ xác suất liên kết tập biến ngẫu nhiêii X(ti), X(t ),. X(tn) biểu diễn tích hàm mật độ xác suất biếm ngau nhiên riêng rẽ tập c l Ôn băng hẹp Xét ồn băng hẹp biểu diễn hàm mẫu trình ồn N (t) trung bình kdiông, phổ công suất N(t) chiếm 2W xung quanh fc với điều kiện w Tích phân phía phải có dạng hàm Bessel loại bậc khơng: lo(x) = - — fexp(xcosvị;)dv|; 2n Thay X = ar/ơN^ ta viết lại: r +a' 2ơ ar Biến ngẫu nhiên R có hàm mật độ xác suất gọi có phân bố Rice Phân bố Rayleigh trường hợp đặc biệt Rice Điều suy từ tính chất hàn bessel là: Io (0 ) = Cũng tính hàm mật độ xác suất pha trường hợp đặc biệt a = pliâìn pha trở dạng phân bố Rayleigh Phụ lục D HÀM LỖI Hàm lỗi ký hiệu erf(u) định nghĩa là: erf(u) = - ^ Ịexp(-z^)dz Hàm lỗi có tính chất sau: erf(-u) = -erf(u) (đối xứng) Khi u tiến đến vô hạn: exp(-z )dz = Cho biến ngẫu nhiên X phân bố có giá trị trung bình mx phương sai Ơ;N^ xác suất để X nằm khoảng (mx - a, mx + a) định nghĩa là: P(rrix - a < X < + a) = erf Hàm lỗi bù định nghĩa: ^ erfc(u) = - ^ fexp(-z^)dz Vn 204 a T ỉã Mó liên hệ với hàm lỗi theo công thức: erfc(u) = - erf(u) Kem bảng: Bảng F.1 Hàm lỗi u erf(u) u erf(u) 0,00 0,00000 1,10 0,88021 0,05 0,05637 1,15 0,89612 0,10 0,11246 1,20 0,91031 0,15 0,16800 1,25 0,92290 0,20 0,22270 1,30 0,93401 0,25 0,27633 1,35 0,94376 0,30 0,32863 1,40 0,95229 0,35 0,37938 1,45 0,95970 0,40 0,42839 1,50 0,96611 0,45 0,47548 1,55 0,97162 0,50 0,52050 1,60 0,97635 0,55 0.56332 1,65 0,98038 0,60 0,60386 1,70 0,98379 0,65 0,64203 1,75 0,98667 0,70 0,67780 1.80 0,98909 0,75 0,71116 1,85 0,99111 0,80 0.74210 1,90 0,99279 0,85 0,77067 1,95 0,99418 0,90 0,79691 2,00 0,99532 0,95 0,82089 2,50 0,99959 1,00 0,84270 3,00 0,99998 1,05 0.86244 3,30 0,999998 D.l Biên hàm bù lỗi Thay u-x vào biến z ta có; erfc(u) = - ^ e x p ( -u -) V7t ‘r exp(2ux)exp(-x-)dx £ ổ i v i X th ự c c ó th ể k h a i tr iể n e x p ( - x ^ ) th n h ch u ỗ i: 1! 2! 3! 27 THỎNGỊ TN SCA 205 Vì với u > sử dụng n + số hạng (dấu số hàng cuối tuỳ thuiộc n le hay chẵn), đặt 2ux = -V dùng tích phân: v" exp(-v)dv = n! Ta nhận khai triển tiệm cận rút lại biên erfc(u) sau: - ^ ^ exp(-u-) erfc(u)