Qua tang danh cho cac mooners mod bac

Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Toán Moon.vn QUÀ TẶNG DÀNH CHO CÁC MOONERS (Tài liệu tặng mooners Tết 2015) Thực Mod VŨ VĂN BẮC 1.1 Chặt chẽ tốn học sai lầm khó hiểu 1.1.1 Sai lầm toán giải phương trình lượng giác Ví dụ 1.1.1 Giải phương trình lượng giác tan x   sin x  sin x cos x ( x   ) (1)  Lời giải sai lầm ĐK: cos x   x  Khi (1)    k  (*) sin x   2sin x sin x  1  2sin x   2sin x cos x sin x  1 cos x cos x sin x  1  sin x 12sin x cos x 1     2sin x cos x    sin x  1  x    k 2 (k  ) Đã thỏa mãn (*)   x    k 2 nghiệm nghiệm (1)  2sin x cos x   sin x   x  x    k 2  x   k  ( k  ) Đã thỏa mãn (*)   k  nghiệm nghiệm (1)   Đ/s: x    k 2; x   k  k    Phân tích sai lầm  Sai lầm thứ (*) sai lầm nhiều đề thi thử ĐH thi HSG cấp Lý sai lầm tính tuần hồn lượng giác Thật  Nghiệm x    k 2 không thỏa mãn tốn Nhìn thống qua nghiệm thỏa mãn (*)  thực chất chúng có quan hệ với mà rõ ràng chút nghiệm x    k 2 chứa     k  2n   k    n 2   2  k  Xét mối quan hệ sau       k  2n 1   k    2 n 1     n 2  2 n     Tuy k n khác chất   k 2   n 2 tính tuần hồn 2 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Toán Moon.vn Từ việc giải (*) sai lầm ! Một phân tích khác sin x  1  1  cos x   cos x  Rõ ràng không thỏa mãn (*)  Sai lầm thứ hai từ kia, ta ghi nghiệm Lý lại tính tuần hồn lượng   3 giác Rất đơn giản x    k 2    2  k 2   k 2 2  Lời giải xác ĐK: cos x  (*) Khi (1)  sin x   2sin x sin x  1  2sin x   2sin x cos x sin x  1 cos x cos x sin x  1  sin x 12sin x cos x 1     2sin x cos x   sin x  1  1  cos x   cos x  Không thỏa mãn (*)  Loại  2sin x cos x   sin x   x  TH1 k  2n ( n   )  x     k 2  x   k  (k  )   n     cos x  cos   2n  cos    thỏa mãn (*)   TH2 k  2n  (n  )  x   5  2 n  1    n 4  5  5  cos x  cos   2n  cos    thỏa mãn (*)   Đ/s: x    k  (k  )  Cách sử lý thông minh 2sin x cos x   sin x  cos x  2sin x cos x   sin x  cos x   sin x  cos x  cos x  cos x   cos x     thỏa mãn (*) Khi có 2sin x cos x   sin x   x  x    k 2  x   k  ( k   )   k  nghiệm (1) Ví dụ 1.1.2 Điều kiện sin x  (*) Ta tìm sin x  Ak đến nhiều bạn nhẩm đốn đầu 12  nên có cách làm sai lầm sau sin x   sin x   không thỏa mãn (*)  Loại  bị điểm nhá ! Chú ý sin x   sin x  1 nên trường hợp sin x   thỏa mãn Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Tốn Moon.vn Ví dụ 1.1.3 (Kỹ thuật kiểm tra điều kiện giải phương trình lượng giác)  Điều kiện cos x  (*) Ta tìm sin x  muốn kiểm tra xem thỏa mãn không ! 1 2 sin x      cos x   cos x     thỏa mãn (*)   3   x  Điều kiện cos     (*) Ta tìm x    k  muốn kiểm tra xem thỏa mãn không !   Một cách kiểm tra sai lầm sau x    k      k   x    k   cos     cos      cos     cos    thỏa mãn (*)     3 6 2     k    Chú ý cos   k 2  cos chưa cos     cos      3  k     Mình dùng hai từ chưa có lý lẽ k  4n (n  )  cos     cos   n   cos    2 Cách làm thông thường sau   k     TH1 k  n (n  )  cos     cos   2n  cos  thỏa mãn (*)   3  2 Cách làm tương tự trường hợp lại k  n  1; k  n  2; k  4n  ( n  ) Cách kiểm tra cổ điển ta thấy tương đối dài, cách làm sau tốt nhiều ! x  x      cos      2cos       cos  x     cos  x    1        3 3 Cách làm đặc biệt lợi hại tìm nhiều họ nghiệm Nó giúp giảm bớt nhiều trường hợp Cách làm có hạn chế nhiều bạn bắt trước làm sau, lấy ví dụ chẳng hạn sin x   sin x   1 cos x   cos x  1 Và kiểm tra kiểm tra cos x  1 Đây sai lầm Lý dấu suy 1.1.2 Sai lầm toán tính tích phân  Ví dụ 1.1.4 Tính tích phân I  dx sin x  3cos x  2  Lời giải sai lầm  I    dx d tan x   d tan x 2 2     tan x   1  tan x  1 tan x  sin x  cos x     cos x cos x   Phân tích sai lầm Lý sai lầm việc đặt cos x ngồi mẫu mà khơng ý đến cận x   Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 Rõ ràng cos x  By Vũ Văn Bắc Mod Toán Moon.vn   Và đến bước cuối đặt tan x  t câu hỏi đắng lòng đặt  tan x  ??? Nhiều bạn cảm thấy hoang mang phải đề sai Câu trả lời không, đề không sai, đề chuẩn men Cách làm sau khắc phục lỗi lầm !  Lời giải xác  I    d cot x dx    2  3cos x cot x 1    3cot x  1  cot x  sin x 1     sin x sin x  Đặt cot x  t Khi x  Có I   d  cot x     t  3; x   t  dt dt  1        dt t 1 t  1t 1  t 1 t  1 3 3 1 1 3 1   d t 1   d t  1  ln t 1  ln t 1  ln t 1 t 1 2 1 0 1 Đ/s: I  ln 1 Rất ý giá trị tuyệt đối !  Ví dụ 1.1.5 Tính tích phân I dx sin x  3cos x  2 Đối với tốn việc đặt sin x hay cos x mẫu điều sin  cos   Phải :( :( :(  Ta nghĩ đến việc tách cận I     dx dx  2 sin x  3cos x  sin x  3cos x  2 1.1.3 Sai lầm việc khảo sát hàm số x 1  x   Ví dụ 1.1.6 Giải phương trình ( x  ) (1)  Lời giải sai lầm  x 1   x 1 ĐK:    x  (*) Khi (1)  x   x    (2)   x    x  Xét hàm số f  x  x 1  x   với x   2;  có f '  x  x 1  x2  0, x   2;   f  x  đồng biến  2;  Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Tốn Moon.vn Do 2; phương trình f  x   có nghiệm có nghiệm 3   2;  Mặt khác   x  nghiệm phương trình f  x   f 3    x  nghiệm (2) Kiểm tra lại x  thỏa mãn (*) Đ/s: x   Phân tích sai lầm  Sai lầm thứ khẳng định f '  x  Cách viết f '  x    x 1  x2 x 1  x2  0, x   2;   0, x   2;  Sai lầm thứ hai mà nói cách xác thiếu xót f '  x   vội vàng khẳng định f  x  đồng biến  2;  Cần có câu nói vơ dun (xem lời giải xác)  Lời giải xác  x 1   x 1   x  (*) Khi (1)  x   x    (2) ĐK:    x    x  Xét hàm số f  x  x 1  x   với x   2;  có f ' x   1   0, x   2;  x 1 x  Kết hợp với f  x  liên tục  2;   f  x  đồng biến  2;  Do 2; phương trình f  x   có nghiệm có nghiệm 3   2;  Mặt khác   x  nghiệm phương trình f  x    f 3    x  nghiệm (2) Kiểm tra lại x  thỏa mãn (*) Đ/s: x   Nhận xét Tương tự việc xét hàm số f  x   a; b  ,  a; b  , a; b ,  a; b , ; b  với a b số Khi xét hàm số f  x    mà viết thôi, không cần câu f  x  liên tục   Chú ý Khi ta đánh giá f '  x   khoảng  a; b  với a b số trước khẳng định f  x  đồng biến cần nói thêm dấu "  " xảy hữu hạn điểm Tương tự trường hợp f '  x   Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Tốn Moon.vn Ví dụ 1.1.7 Xét cách làm sau x  x  y  y  f  x   f  y  x  2; y  đưa hàm số đặc trưng f t   t  3t với t  3;  sai lầm, ta phải xét miền rộng t   2;  1.1.4 Sai lầm việc liên hợp giải toán Xét cách làm sau x 1  y  x  y 1   x 1  y x 1  y  x  y  Đây sai lầm lẽ phép biến đổi tương đương ta có x   y  Ở với điều kiện toán x   y  Nếu muốn dùng dấu tương đương phải xét trường hợp TH1  x    x  1 x   y       y   y   TH2 x   y  Khi x 1  y  x  y 1   x 1  y x 1  y  x  y  Một cách làm khác tốt ta dùng dấu suy x 1  y  x  y 1   x 1  y x 1  y  x  y 1 Nếu sử dụng cách làm tìm kết phải thử lại 1.1.5 Sai lầm giải phương trình có giá trò tuyệt đối  x 1  x Ví dụ 1.1.8 Phương trình x 1  x    x  x 1  x  x  x  x  Đây lầm dễ gặp lẽ   x  x  x    x   x 1   x   Cách làm sau x 1  x       x    x 12  x 1 x   x    1.2 Một số viết rời rạc Mod 1.2.1 Kỹ thuật Côsi ngược dấu Kỹ thuật Côsi ngược dấu kỹ thuật chứng minh BĐT mẻ, khéo léo, độc đáo đầy ấn tượng Mục đích Mod viết kỹ thuật cung cấp cho người kỹ thuật chứng minh BĐT, ý tưởng hay để sáng tác tốn tìm GTLN – GTNN, kỹ thuật Cơsi ngược dấu mang tính tích dồn biến để ta xét hàm Chúng ta làm quen với kỹ thuật qua số ví dụ Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Tốn Moon.vn Ví dụ (Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a b c    2 1 b 1 c 1 a Lời giải Áp dụng BĐT Cauchuy ta có Tương tự ta có Do a a(1  b )  ab ab ab ab   a   a  a 2 1 b 1 b 1 b 2b b bc c ca b ; c 2 1 c 1 a a b c ab  bc  ca    abc 2 1 b 1 c 1 a Mặt khác (a  b  c)2  3(ab  bc  ca)  ab  bc  ca  Khi ( a  b  c)  3 a b c 3    3  2 1 b 1 c 1 a 2 BĐT chứng minh, dấu xảy a  b  c  Nhận xét Với cách làm ta xây dựng bất đẳng thức tương tự với biến số a b c d     2 2 1 b 1 c 1 d 1 a2 Trong a, b, c, d số dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  d  Ví dụ (Dự bị ĐH Khối B năm 2010) Cho x, y, z số dương Tìm GTNN biểu thức P yz x  yz Lời giải Áp dụng BĐT Cauchuy ta có xy zx  y  zx z  xy yz x  yz  1 x x  1 x  yz x  yz xy zx y z  1 ;  1 x  y  z z  xy x yz y  zx Tương tự ta có Do P    x yz  P  Vậy P  đạt x  y  z x yz Ví dụ (Chuyên Nguyễn Huệ lần năm 2007) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 1    a  abc b  abc c  abc 2 Lời giải Áp dụng BĐT Cauchuy cho số dương ta có a  b  c  3 abc  abc  Khi 1 a2   a2 a2 a2 a        1 2 2 a  abc a  a 1 a 1 2a Tương tự ta có b c 1 ;  1 b  abc c  abc 2 Cộng vế ba BĐT ta có BĐT cần chứng minh, dấu xảy a  b  c  Nhận xét Bài toán trường hợp tổng quát a n  b b  c n  với n   * Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Tốn Moon.vn Ví dụ (Chun ĐH Vinh lần năm 2012) Xét a, b, c số không âm thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN P    3 x 1 y 1 2z  Lời giải Áp dụng BĐT Cauchuy ta có x3  Tương tự ta có y 1  x3   x3 x3 x3 x3 2x        1 3 3 2x 1 2x 1 x  x 1 3x 1 2y 2z ; 1 2z 1 Do P   ( x  y  z )    Vậy P  đạt x  y  z  Nhận xét Với cách làm ta hoàn toàn giải tốn sau Cho n  * a, b, c số dương thỏa mãn n x n  y n  z n  Chứng minh  n  n 2x  y  z   Ví dụ (KHTN lần năm 2012) Cho a, b, c số dương thỏa ab  bc  ca  3abc Tìm GTNN P a2 b2 c2   c(c  a ) a(a  b ) b(b  c ) Lời giải Áp dụng BĐT Cauchuy ta có a2 c c 1       2 c (c  a ) c c  a c 2ca c 2a Tương tự ta có Do P  b2 1 c2 1   ;   2 2 a ( a  b ) a 2b b(b  c ) b 2c 1 1 1 ab  bc  ca       c 2a a 2b b 2c 2abc 3 Vì ab  bc  ca  3abc nên P  Vậy P  đạt a  b  c  2 Nhận xét Với làm ta thay đổi giả thiết thành ab  bc  ca  3abc a n  b n  c n  với n   * Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c số thực dương a3 b3 c3 a bc    2 2 2 a b b c c a Lời giải Áp dụng BĐT Cauchuy ta có Tương tự ta có a3 ab2 ab b  a   a  a 2 2 a b a b 2ab b3 c c3 a  b  ; c 2 2 b c c a Cộng vế ba BĐT ta có BĐT cần chứng minh, dấu xảy a  b  c Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Toán MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Tốn Moon.vn BÀI TẬP Cho a, b, c, d số dương thỏa mãn a  b  c  d  Tìm GTNN P a b c d    2  b c  c d  d a  a 2b (Đề tự luyện số năm 2012 điễn đàn Học mãi) Cho a, b, c số dương nhỏ Chứng minh 1 a  b2  c     2a 2b 2c 2 Cho x, y, z số dương thỏa mãn xyz  Chứng minh x4 y y4 z z4x    2 x 1 y 1 z 1 1.2.2 Những bất ngờ từ đẳng thức đơn giản Với a, b, c số thực ta có (a  b)(a  c)  a  ab  bc  ca  a(a  b  c)  bc Từ đẳng thức ta có kết (KQ) sau Kết Nếu a  b  c  ( a  b)( a  c)  a  bc Kết Nếu ab  bc  ca  (a  b)(a  c)  a  Sử dụng hai KQ nêu ta giải nhiều toán hay khó Bài tốn (By Vũ Văn Bắc) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c  Chứng minh ( a  bc)(b  ca )(c  ab)  Lời giải Sử dụng KQ1 ta a  bc  ( a  b)( a  c), b  ca  (b  c)(b  a ), c  ab  (c  a )( c  b) Do (a  bc)(b  ca)(c  ab)  (a  b) (b  c) (c  a)  BĐT chứng minh, dấu xảy ba số a, b, c có số hai số lại đối Bài toán (Chuyên Quốc học Huế lần năm 2013) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx  Tìm GTNN P  ( x  y ) z   ( y  z ) x   ( z  x) y  Lời giải Sử dụng KQ2 ta x 1  ( x  y)( x  z ), y 1  ( y  z )( y  x), z 1  ( z  x)( z  y) Khi dễ dàng có P   x  y  y  z  z  x   x y  yz  zx Ta có ( x  y )( y  z )( z  x )  ( x  y  z )( xy  yz  zx )  xyz  x  y  z  xyz Áp dụng BĐT Cơ si ta có  xy  yz  zx  3 x y z  xyz   3 Mặt khác x  y  z  3( xy  yz  zx)   x  y  z  xyz     x  y  y  z  z  x  3 3  3 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Toán Moon.vn Áp dụng BĐT Cauchuy cho số dương ta có x  y  y  z  z  x  33  P   x  y  y  z  z  x .3 x  y y  z z  x x  y y  z z  x  3  x  y  y  z z  x 2    P  3    Vậy P  đạt x  y  z   3  Bài toán (Tạp chí Tốn Tuổi thơ số 60) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm GTLN P  a a2 1  b b2   c c2  Lời giải Ta có (a  b  c)2  3(ab  bc  ca )  3(ab  bc  ca)   ab  bc  ca  Sử dụng KQ2 ta có P  a ( a  b)( a  c)  b (b  c)(b  a )  c ( c  a )(c  b) Khi áp dụng BĐT Cauchuy ta có 1 a a  1 b b  1 c c   ab bc ca  P              2 ab ac  2bc b a  2c a cb  2 ab bc ca  Vậy Pmax  đạt a  b  c  Nhận xét Nếu thay giả thiết a  b  c  thành ab  bc  ca  ta có tốn đề thi thử ĐH lần năm 2011 trường THPT Minh Châu – Hưng Yên Bài toán (APMO 2002) Cho x, y, z số dương thỏa mãn Chứng minh Lời giải Đặt 1    x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z 1  a,  b,  c suy a, b, c  a  b  c  x y z BĐT cần chứng minh trở thành A   ab  bc  ca A  a  bc  b  ca  c  ab Sử dụng KQ1 BĐT Bunhiacopski ta có a  bc  (a  b)(a  c)  a  bc ; b  ca  (b  c)(b  a )  b  ca ; c  ab  (c  a )(c  b)  c  ab Do A  a  b  c  ab  bc  ca Kết hợp với a  b  c  ta có BĐT cần chứng minh Dấu xảy x  y  z  Nhận xét Trên Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS số 85 có toán tương tự toán Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a  b  c  Chứng minh a  b c  b  c a  c  a   ab  bc  ca Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Toán Moon.vn Bài toán (Chuyên SP lần năm 2012) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm GTLN P  ab bc ca   c  ab a  bc b  ca Lời giải Sử dụng KQ1 BĐT Cauchuy ta có ab ab 1 a b       c  ab (c  a)(c  b)  c  a c  b  Tương tự ta có bc 1 b c     ; a  bc  a  b a  c  ca 1 c a      b  ca  b  c b  a  1 a b bc ca  3 Do P       Vậy Pmax  đạt a  b  c  2 a b bc ca  2 Nhận xét Bài tốn có ý tưởng giống với toán Bài toán (Chuyên SP lần năm 2011) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh ab bc ca    c  ab a  bc b  ca Lời giải Sử dụng KQ1 BĐT Svacso ta có ab bc ca ab bc ca      c  ab a  bc b  ca (c  a )(c  b) (a  b)(a  c) (b  c )(b  a )  ab( a  b )  bc (b  c )  ca (c  a ) a (b  c )  b (c  a )  c (a  b )  ( a  b)(b  c)(c  a ) ( a  b )(b  c )(c  a )  a2 b2 c2   ( a  b )( a  c ) (b  c )(b  a ) (c  a )(c  b )  (a  b  c )2   (a  b )(a  c)  (b  c)(b  a )  (c  a )(c  b) a  bc  b  ca  c  ab  (a  b  c ) 1 BĐT chứng minh, dấu xảy a  b  c  Nhận xét Trên Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS số 86 có toán tương tự toán Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm GTNN P a b c   ab  2c bc  2a ca  2b Như vậy, với hai KQ đơn giản nêu ta giải tốn hay khó Kết thúc viết tơi xin nêu số tập để bạn đọc rèn luyện BÀI TẬP Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  Chứng minh x y z   1  xyz x 1    y z Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Toán Moon.vn Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz Chứng minh 1 x  1 y  1 z  (Đề thi thử ĐH lần năm 2011 trường THPT Chuyên ĐH QGHN) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  Tìm GTNN P x y z   2 y(1  x ) z (1  y ) x(1  z ) (Dự tuyển OLP 30 tháng năm 2010) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  Tìm GTNN P x2 y2  z2   x( x   x)  y ( y   y )  z ( z   z ) (Đề thi thử ĐH lần năm 2013 trường THPT Chun Thái Bình) 1.2.3 Một số kết đặc biệt Tích phân Tích phân có nhiều kết đặc biệt – kết đẹp, viết Mod giới thiệu phân tích tích phân thường gặp Đối với năm Mod thấy nghi ngờ :)) a  Kết  f  x dx  f  x hàm lẻ a  x9  x11 dx  cos x  Ví dụ Tính tích phân I      Hướng dẫn Đặt x  t  I      t   t  t t x11  x9 d t    dt   dx  I  cos t   cos t  cos x   11  11  2 (Chỗ viết tích phân khơng phụ thuộc vào biến)  I   I    x3  x  1 3cos x dx 1 f  x   k x dx   f  x dx a a  Kết x3  x5 dx  cos x  I   Bài áp dụng a  x2 sin x dx  3x  Ví dụ Tính tích phân I      Hướng dẫn Đặt x  t  I    t   3t   t  t x 3x sin t  d t   t sin t dt   x sin x dx 1 1   2  (Chỗ viết tích phân khơng phụ thuộc vào biến) Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015   By Vũ Văn Bắc Mod Toán Moon.vn  x 1  3x  x x  I I  sin x dx   x sin x dx   sin x dx  3x 1  3x       x    0  I   x sin x dx   x sin x dx   x sin xdx   Đến dùng tích phân phần tính I Bài áp dụng  sin x sin x cos5 x dx 1 ex  Tính tích phân I      Kết    x f sin x dx   f sin x dx  x sin x   cos Ví dụ Tính tích phân x dx Hướng dẫn Đặt x    t với ý  tổng hai cận    t  sin   t    t sin t I d   t    dt  cos   t   cos 2t  0       sin t t sin t  sin x x sin x  sin x dt  dt   dx  dx  dx I 2 2  cos t  cos t  cos x  cos x  cos x 0 0 I (Chỗ viết tích phân khơng phụ thuộc vào biến)   2I      sin x  sin x  dx  I   dx    d cos x 2  cos x  cos x  cos x Ngoài có số kết để người tham khảo aT  Kết  f  x  dx  f  x dx  f  x dx a  T  nT  Kết T T T f  x dx  n  f  x  dx 0 Bài áp dụng 2014  Tính tích phân I     ln sin x   sin x dx Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Toán MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 ... tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Toán Moon.vn Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz Chứng minh 1 x  1 y  1 z  (Đề thi thử ĐH lần năm 2011 trường THPT Chuyên ĐH QGHN) Cho. .. quen với kỹ thuật qua số ví dụ Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Tốn Moon.vn Ví... mơn Tốn MOON.VN để hướng đến kỳ thi THPT quốc gia 2015 Tài liệu tặng Mooners Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Tốn Moon.vn BÀI TẬP Cho a, b, c, d số dương thỏa mãn a  b  c  d  Tìm GTNN P a b c d