Đề thi có đáp án toán cao cấp kết thúc học phần trường HUBT Tính thể tích V của vật thể được giới hạn bởi. Giải phương trình vi phân Tìm cực trị của hàm Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi
Đáp án đề thi kết thúc học phần TCC3 Đề 1 Giải: ⇔{ { ⇔{ ( Kết hợp (*) ) { Tính ∬ Giải: y l{ điểm dừng y x x ⇔x | y ⇔x y x y Miền D hình vẽ Từ hình vẽ thấy là: { ∬ { ; ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ | ( )| Tính thể tích V vật thể giới hạn bởi: ⇔x y ∬ Giải: ∫ ∫ ∫ )| ∫ ( ∫ ( )| Giải phương trình vi phân Giải: Ptđt ⇔ Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: Nghiệm riêng tìm dư i dạng Trong nghiệm riêng pt (*) nghiệm riêng pt (**) + Giải (*): Tính thay vào (*) được: , + Giải (**): thay Tính vào (**) được: , ⇔ Vậy nghiệm tổng quát ptvp cho l{ Đề Giải: ĐK: ⇔{ { ⇔{ ( ⏞{ { )( ) l{ điểm dừng nên có cực trị có cực tiểu ∬ Tính với D giới hạn Giải: Miền D giới hạn Điểm cắt: { √ ⇔{ Miền D: { √ ∬ ∫ √ √ ∫ √ √ √ √ { √ √ ∫ | ∫ * √ √ +| Xem phương trình √ √ √ | (1) ĐK + Nếu thỏa mãn ptvp nên nghiệm , chia vế (1) cho √ ta được: + Nếu √ (2) √ Đặt √ √ √ Thay vào (2) ta được: (3) √ √ Ta giải ptvp tương ứng: | | (4)⇔ Bây ta coi (4) | | tìm nghiệm (3) dạng Thay u, u’ vào (4) ta được: ⇔ ⇔ ⇔ | | ( Vậy, √ | | ) ⇔ ( | | ) -Trên miền D mở: { ⏞ ⇔ ⇔{ { ;{ { l{ đ dừng { - Trên biên D: ⇔ (*) Đặt ⇔{ { l{ phương trình tham số (*) Vì :{ { Tức là: t :{ { Tức là: So sánh giá trị tính ta có kết luận: Đề đ Tìm cực trị hàm ệ Giải: Hàm điều kiện Lập hàm Ta có hệ pt tìm điểm dừng: ⇔{ { ) { ( Ta có điểm dừng ⇔{ ( ) ; + Tại ( ) ; | + Tại | ( | ) | Tính | | ∬ ; | | với D giới hạn { ⇔{ Giải: Điểm cắt: { { Vẽ đồ thị hai hàm cho hệ trục tọa độ 0xy, ta Có miền D sau: D: { ∬ Tính ∫ ∫ ∫ ∫ | ∫ )| ( ∫ Xét ptvp: (*) Đặt (*) ptvp toàn phần tức ( ( ∫ ∫ ∭ √ Tính √ Với V xác định Giải: Đổi biến tọa độ cầu: { x rcos | | cos Miền V :{ ; Ta có √ ∭√ ∫ ∫ ∭ ∫ Đề (*) Giải: ⇔{ { ⇔{ l{ điểm dừng { Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số giác với đỉnh miền D tam Giải: Miền D xác định hình vẽ với: (0,0); A(0,3); B(2,0) AB có pt: | đị | + Trên 0B: ã ) nên Z hàm tăng đoạn [0, 2]: + Trên 0A: nên Z hàm giảm đoạn [0,3]: + Trên AB: AB : nên Z hàm tăng So sánh giá trị tìm thì: Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi: Giải: Điểm cắt: ⇔ { { { Vẽ đồ thị hai hàm hệ trục tọa độ 0xy Miền D: { ∬ ∫ )| ( ∫ ( ∫ ) (3 điểm) Giải phương trình vi phân Nếu (*) Giải: Ptđt ⇔ √ Nghiệm tổng quát ptvp là: ( Rõ ràng dạng: √ √ ) không trùng với nghiệm ptđt nên ta tìm nghiệm riêng (*) ; Thay vào (*) được: ⇔ , ⇔{ Vậy nghiệm ptvp cần tìm là: ( √ √ ) Giải: Xem ptvp (*) ⇔ Ptđt: ⇔ Nghiệm tổng quát ptvp tương ứng là: Bây ta tìm nghiệm riêng (*): Rõ ràng (không trùng nghiệm kép) nên ta tìm nghiệm dạng: ; Thay vào (*) được: ⇔ , ⇔{ Vậy nghiệm tổng quát ptvp cho l{ Đề Tìm giá trị lớn nhỏ hàm miền Giải: Miền D hình chữ nhật hình vẽ với: -Trên miền D mở (không kể biên) { ⇔{ { -Trên biên D: +Trên 0A: ó ự đạ điểm dừng; ngồi ra: +Trên CB: {đ ể hàm có cực đại: ngồi +Trên 0C: điểm dừng hàm có cực đại: +Trên AB: điểm dừng hàm có cực đại: Từ giá trị tìm trên, ta có: Tính ∬ √ ⇔ Giải: Vẽ đồ thị hai hàm (*) hệ trục tọa độ ta có điểm cắt: ⇔ { { Miền D viên phân nhỏ: { Chuyển √ sang tọa độ cực (thay tọa độ cực vào (**)) | | { , √ ∫ { | ∬ √ ∫ ∫ ∫ ∫ Giải: Điểm cắt: ⇔ { { { Vẽ đồ thị hai hàm hệ trục tọa độ 0xy Miền D: { ∬ ∫ )| ( ∫ ( ∫ ) Xem ptvp (*) ⇔ Ptđt: ⇔ Nghiệm tổng quát ptvp tương ứng là: Bây ta tìm nghiệm riêng (*): Vì (trùng nghiệm kép) nên ta tìm nghiệm riêng dạng: Tính Thay vào (*) được: ⇔{ , Vậy nghiệm tổng quát ptvp cho là: Mặt cắt mặt theo hình tròn Mặt phẳng tâm (0,0) bk cắt mặt (**) tâm (0,0) bk √ theo hình tròn Thể tích V vật thể là: ∭ ∬ ∬ ∫ Chiếu hai hình tròn lên mặt 0xy ta miền D hình vành hăn: Dùng tọa độ cực mặt phẳng 0xy: {√ | | , (do thay tọa độ cực vào (*) (**)) ∬ ∫ | ( ∫ ) Đề 25 đ Tìm cực trị hàm ệ Giải: Hàm điều kiện Lập hàm Ta có hệ pt tìm điểm dừng: ⇔{ { ) { ( Ta có điểm dừng ⇔{ ( ) ; + Tại ( ) ; | + Tại | | ( | | ) | ; | | { Giải phương trình vi phân ⇔ Giải: Ptđt Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: Nghiệm riêng tìm dư i dạng Trong nghiệm riêng pt (*) nghiệm riêng pt (**) + Giải (*): Tính thay vào (*) được: , + Giải (**): Tính thay vào (**) được: ⇔ , Vậy nghiệm tổng quát ptvp cho l{ Miền D: hình tròn tâm (0,0) Bán kính Dùng tọa độ cực , | | { ∬ ∫ ∫ | ∫ ∫ | mặt nón Eliptic, mặt Paraboloit Từ hình vẽ có √ (*) Dùng tọa độ trụ: { ;| | với { ⏞ ⇔ Vì { Thay tọa độ trụ vào (*) ∭ Vậy, ( ∫ )| ( ∫ ∫ ∫ ) Đề 26 Xét pt (*) ⇔ Ptđt: Nghiệm tổng quát pttn tương ứng (*) là: Ta tìm nghiệm riêng (*) dạng , nghiệm pt (1) nghiệm pt (2) Giải (1): vế phải (1) có dạng trùng với nghiệm ptđt nên ta tìm nghiệm riêng dạng Thay , vào (1) ta được: ⇔{ Giải (2): vế phải (2) có dạng khơng trùng với nghiệm ptđt nên ta tìm nghiệm riêng dạng: Thay vào (2) ta được: ⇔{ , Vậy, nghiệm tổng quát (*) là: Điểm cắt hai đường cho: ⇔[ { Vẽ đồ thị hai đường cho hệ trục 0xy Miền D: { ∬ Vậy ∫ ∫ ∫ | ∫ * ∫ Giải cực trị hàm +| phương trình đường tròn tâm (0,0) bán kính Ta tìm đường tròn Đường tr n có phương trình tham số { với Z= xy = (*) = 9sintcost = sin2t Mà nên suy ra: t= k nguyên Theo đ (*) thì t = x=y= t= x = y= - √ √ k nguyên t= t = x= t= x=- √ √ √ ,y=- √ ,y= Tóm lại: ( ( Xét √ √ √ ) √ √ ( ) ( √ √ √ ) ; ) ∭ √ hình cầu tâm (0,0,0) bán kính R Dùng tọa độ cầu: { | | { √ Vậy: ∭ √ ∫ | | Đề 27 Điểm cắt: { ⇔[ Vẽ đồ thị hai đường hệ trục tọa độ 0xy ∫ ∫ Miền D: { ∬ Vậy ∫ ∫ | ∫ ∫ ( )| Miền D hình tròn tâm O (0, 0) bán kính + Trên miền D mở: Ta có Giải hệ: { ⇔ l{ điểm dừng M(0, 0) D Z(0, 0)=0 +Trên iên D phương trình nên ta xét trường hợp: - Từ (*) vai trò x, y hàm Z khác Z= nên có cực tiểu điểm dừng này: ì - Từ (*) nên hàm đạt cực đại điểm dừng này: So sánh giá trị tính kết luận: Xét pt Ptđt (*) ⇔ Nghiệm tổng quát pttn tương ứng là: Ta tìm nghiệm riêng (*) dạng: Trong nghiệm riêng pt (1) nghiệm riêng pt Giải (1): Tính Giải (2): (2) thay vào (1) Tính thay vào (2) Vậy, nghiệm tổng quát (*) là: ∭ Xét √ hình cầu tâm (0,0,0) bán kính R Dùng tọa độ cầu: { | | { √ Vậy: ∭ ∫ √ | ∫ ∫ | Đề 28 Giải: { ⇔{ { { ⏞ ⇔ ⇔{ { √ √ { √ √ { để nên hàm khơng có cực trị điểm dừng Giải: ĐK: Điểm cắt: √ { ⇔{ { Miền D: { √ ∬ ∫ ∫ ( √ ∫ √ ) | ∫ √ )| ( Giải phương trình vi phân Giải: Xét ptvp: (*) Pt tương ứng (*): (**) ặ Có pt đặc trưng: ên nghiệm (**) là: Ta viết (*) thành pt: (1) (2) Theo nguyên l chồng chất nghiệm nghiệm riêng (*) tổng nghiệm riêng (1) với nghiệm riêng (2) iải (1): Vế phải (1) có dạng Nên nghiệm pt đặc trưng Ta tìm nghiệm riêng (1)dưới dạng Thay , , vào (1) ta được: hay Vậy iải (2): Vế phải (2) có dạng nghiệm pt đặc trưng Ta tìm nghiệm riêng (2) dạng: Thay , , vào (2) ta được: ậ x Từ nghiệm tổng quát ptvp h ng (*) là: x x ∭ √ Xét hình cầu tâm (0,0,0) bán kính R Dùng tọa độ cầu: { | | { √ Vậy: ∭ √ ∫ | ∫ ∫ | Đề 29 { Tính ∬ Giải: y y x x ⇔x | y ⇔x y y Miền D hình vẽ Từ hình vẽ thấy là: { ; { x ⇔x y ∬ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ | )| ( { Tính ∬ | Giải: Miền D hình vẽ Từ hình vẽ thấy là: D: { ∬ ∫ ∫ ( ∫ | ∫ )| Giải phương trình vi phân Giải: Xét phương trình: (1) Phương trình vi phân tương ứng là: (2) Có pt đặc trưng: Do nghiệm tổng quát (2) có dạng: Vế phải (1) có dạng: Nên trùng với nghiệm phương trình đặc trưng tìm nghiệm riêng (1) dạng: (A =(A A +B nên ta (*) +B = Y’’ = + + x = Thay x x vào pt (1), chia vế cho x , ta được: x + 20( A +B x -9 = Hay: Suy ra: , , ; Thay vào (*) ta nghiệm riêng (1) là: ( Vậy nhiệm tổng quát (1) là: Dùng tọa độ trụ: { √ { √ ∭ ∫ ∫ ∫ ( √ ∫ √ √ ) |√ | | ; ; ; Điểm dừng: { { {đ ể { [ +Tại M(0,0): nên Z h ng đạt cực trị M(0,0) +Tại M(2,2): -36.2.2 < nên hàm có cực trị điểm M(2,2) ê { đạ ự ể : Đề 30 Từ điều kiện ta có: Z = 2x+8 (x Cho Z’=0 Z’’= nên hàm đạt cực đại điểm (32, 4): Vẽ đường cho hệ trục tọa độ 0xy Từ hình vẽ ta có miền D xác định: D: { ∬ Vậy: ∫ ∫ | ∫ ∫ * + )| ( Giải phương trình vi phân Giải: Ta có Ptđt: (*) là: (*) ⇔ nghiệm tổng quát ptvp tương ứng ; Ta tìm nghiệm riêng (*) dạng: ̅ nghiệm riêng của: nghiệm riêng của: Giải (**): Thay vào (**) được: Giải (***): Thay vào (***) được: ⇔ (**) (***) ⇔ { { ̅ Nghiệm tổng quát ptvp cho là: ; Xét ∭ √ hình cầu tâm (0,0,0) bán kính R Dùng tọa độ cầu: { | | { √ Vậy: ∭ ∫ √ | | ∫ ∫