Một số lớp bài toán tối ưu không lồi: thuật toán và ứng dụng tt

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tối ưu khơng lồi tối ưu tồn cục vấn đề quan trọng lí thuyết tối ưu với nhiều ứng dụng thực tế Cơng trình GS Hồng Tụy năm 1964 [1] việc tìm nghiệm tối ưu tồn cục tốn cực tiểu hàm lõm với ràng buộc tuyến tính xuất phát điểm cho hàng loạt nghiên cứu tối ưu không lồi tối ưu toàn cục nhiều nhà tốn học ngồi nước sau Trải qua nửa kỷ, cơng trình nghiên cứu vấn đề vô đa dạng, phong phú lí thuyết, phương pháp, thuật tốn ứng dụng Tuy nhiên, nhu cầu ứng dụng, hấp dẫn mặt tốn học tính phức tạp tốn tối ưu khơng lồi nên nay, việc nghiên cứu giải hiệu toán mang tính thời thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học nước (xem Tụy [2] danh mục tài liệu tham khảo kèm theo) Khó khăn lớn tốn tối ưu khơng lồi tổng qt có mặt tính khơng lồi Điểm khác biệt so với toán tối ưu lồi khơng có đặc trưng cụ thể cho nghiệm tối ưu tồn cục tốn tối ưu khơng lồi Đối với tốn tối ưu khơng lồi liên tục nghiệm tối ưu địa phương chưa nghiệm tối ưu tồn cục tốn Do việc tìm nghiệm tối ưu tồn cục cho tốn tối ưu khơng lồi, đặc biệt trường hợp số chiều lớn vơ khó khăn Một số phương pháp chung tiếng giải toàn cục tốn tối ưu khơng lồi phải kể đến là: phương pháp nhánh cận, phương pháp nhánh cắt, phương pháp siêu phẳng cắt Theo tiếp cận khác, ta giải tốn tối ưu khơng lồi cách sử dụng phương pháp tìm nghiệm tối ưu địa phương Một thuật toán địa phương hiệu áp dụng cho nhiều lớp toán tối ưu khơng lồi, kể tốn cỡ lớn, thuật toán DCA (Difference of two Convex functions Algorithm) (xem An Tảo [3] danh mục tài liệu tham khảo kèm theo) Theo GS Hoàng Tụy [2], nhiều tốn tối ưu khơng lồi xem xét hai cấu trúc: cấu trúc DC (difference of two convex functions) cấu trúc DM (difference of two monotonic functions) Tùy vào đặc điểm toán mà ta chọn cách nhìn nhận phù hợp để có lời giải hiệu Đặc biệt mơ hình tốn cụ thể thực tế, việc vận dụng kết hợp phương pháp thuật tốn cách linh hoạt quan trọng giúp việc giải vấn đề trở nên dễ dàng Chẳng hạn, thơng thường, việc giải tồn cục toán tối ưu rời rạc (thuộc lớp tốn tối ưu khơng lồi) gặp khó khăn sử dụng thuật toán truyền thống như: nhánh cận, nhánh cắt, siêu phẳng cắt sau chuyển toán tối ưu liên tục, kết hợp với số kĩ thuật tối ưu việc giải trở nên dễ dàng (xem [3, 4] ) Vậy, ngược lại, liệu đưa tốn tối ưu khơng lồi liên tục toán tối ưu rời rạc với lời giải dễ dàng hiệu không? Trong luận án này, chúng tơi nghiên cứu thuật tốn giải hai tốn tối ưu khơng lồi viễn thơng, có vận dụng hai cách tiếp cận Như biết, phương pháp giải toán tối ưu không lồi ứng dụng rộng rãi để giải nhiều toán tối ưu hàm mục tiêu theo điều kiện định Với toán cần tối ưu đồng thời nhiều mục tiêu khác ta cần cơng cụ Quy hoạch đa mục tiêu (hay Tối ưu đa mục tiêu Tối ưu véc tơ) Mục đích tốn tối ưu đa mục tiêu tìm cực đại cực tiểu đồng thời m ≥ hàm mục tiêu f1 , , fm tập khác rỗng X ⊂ Rn Do không gian giá trị Rm khơng có thứ tự đầy đủ nên tối ưu đa mục tiêu, khái niệm nghiệm hữu hiệu (hay nghiệm Pareto) sử dụng thay cho khái niệm nghiệm tối ưu thông thường Việc xác định phần toàn tập nghiệm hữu hiệu XE toán tối ưu đa mục tiêu nhiệm vụ khó khăn, đòi hỏi thời gian khối lượng tính tốn lớn trường hợp tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính, tức toán tối ưu đồng thời m hàm mục tiêu tuyến tính tập lồi đa diện khác rỗng tập nghiệm hữu hiệu XE , nói chung, tập không lồi với cấu trúc phức tạp Do đó, khối lượng tính tốn để xác định tồn XE tăng nhanh số chiều không gian định Rn , số hàm mục tiêu m số ràng buộc biểu diễn tập X tăng (xem Benson [5]) Tuy nhiên, thơng thường, nhiều tốn tối ưu đa mục tiêu nảy sinh thực tế thường có số hàm mục tiêu m nhỏ nhiều thứ nguyên n không gian định Rn nên có nhiều thuật tốn đề xuất để giải toán tối ưu đa mục tiêu theo hướng tiếp cận không gian ảnh Cụ thể, thay xác định phần tồn tập nghiệm hữu hiệu XE , thuật toán cho phép xác định phần toàn tập giá trị hữu hiệu YN = f (XE ), f (x) = (f1 (x), , fm (x))T Vì m n nên cấu trúc YN đơn giản nhiều so với cấu trúc XE tiếp cận không gian ảnh, cho phép giảm đáng kể thời gian tính tốn Bài tốn tối ưu đa mục tiêu liên tục nghiên cứu từ lâu theo cách tiếp cận không gian định khơng gian ảnh với nhiều thuật tốn đề xuất (xem [6, 7, 8, 9, 10] danh mục tham khảo kèm theo) Tuy nhiên, khoảng thập kỉ trở lại đây, toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc nghiên cứu nhiều phương pháp khác như: ε-ràng buộc, vô hướng hóa Tchebycheff, vơ hướng hóa tổng có trọng phương pháp biến thể khác (xem [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25]) Trong đó, đáng ý phải kể đến số cơng trình như: Przybylski [25], Klamroth cộng [24], Dăachert v Klamroth [13], Dăachert v cng s [23] với thuật toán hiệu đề xuất Những cơng trình ([13, 23, 24, 25]) sử dụng lược đồ chung (generic method, viết tắt GM) để tìm toàn tập điểm giá trị hữu hiệu sau: điểm giá trị hữu hiệu tìm sau bước lặp cách sử dụng phép vô hướng hóa; sau bước giải tốn vơ hướng hóa, phần không gian tập ảnh loại bỏ để tiếp tục tìm kiếm điểm giá trị hữu hiệu lại Miền khơng gian ảnh sử dụng việc tìm kiếm điểm giá trị hữu hiệu cập nhật sau bước lặp gọi chung miền tìm kiếm (the search region) Việc nghiên cứu cấu trúc cách cập nhật miền tìm kiếm đóng vai trò quan trọng ảnh hưởng đến tính hiệu phương pháp (xem [13, 23, 24, 25]) Một tốn tối ưu khơng lồi liên quan chặt chẽ với toán tối ưu đa mục tiêu Bài toán tối ưu tập hữu hiệu (hay Bài tốn tối ưu tập Pareto) Đó toán tối ưu hàm số tập nghiệm hữu hiệu XE toán tối ưu đa mục tiêu Việc giải toán giúp ta chọn nghiệm hữu hiệu tốt theo mục tiêu mà khơng thiết phải xác định tồn XE Điều có ý nghĩa đặc biệt việc lựa chọn phương án để đưa định thích hợp Bài tốn tối ưu tập Pareto nghiên cứu lần đầu cơng trình Philip [26] cho trường hợp tuyến tính Hướng nghiên cứu sau thu hút quan tâm nhiều tác giả nước (xem [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37] danh mục tài liệu tham khảo kèm theo) Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tôi, chưa có nghiên cứu cho trường hợp toán tối ưu tập hữu hiệu với hàm mục tiêu tựa lõm, đơn điệu tăng toán tối ưu đa mục tiêu tương ứng có tập chấp nhận tập hữu hạn điểm Thơng thường, tốn tối ưu đa mục tiêu dạng mơ hình toán học toán thực tế mà số liệu cho phương pháp thống kê Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, chúng tơi tiến hành nghiên cứu sau: • Mơ hình hóa tốn phân bổ tài ngun cho mạng khơng dây OFDMA/TDD dạng toán tối ưu rời rạc đưa toán toán tối ưu DC, đề xuất thuật tốn tồn cục (nhánh cận kết hợp DCA) để giải • Nghiên cứu tốn lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến (SCEP) đề xuất Astorino Miglionico [38] Đây tốn tối ưu (liên tục) khơng lồi khó với ràng buộc khơng lồi Astorino Miglionico [38] đề xuất thuật toán dựa tiếp cận địa phương để giải Chúng tơi đưa tốn (SCEP) dạng toán tối ưu đơn điệu rời rạc xây dựng thuật tốn tồn cục dựa lược đồ nhánh-giảm-cận để giải Ngồi ra, chúng tơi đề xuất thêm thuật toán địa phương hiệu cho tốn (SCEP) • Xuất phát từ ý nghĩa quan trọng miền tìm kiếm tốn tối ưu đa mục tiêu rời rạc sử dụng khái niệm đa khối (polyblock) nửa mở cho việc biểu diễn miền tìm kiếm Từ có nhìn trực quan miền tìm kiếm tốn tối ưu đa mục tiêu rời rạc Bên cạnh việc đề xuất thủ tục cập nhật miền tìm kiếm cho lược đồ chung GM để tìm tồn tập điểm giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc, nghiên cứu ảnh hưởng việc quản lí tốn (chính tốn có nhờ phép vơ hướng hóa) lưu suốt q trình tìm kiếm đến tính hiệu lược đồ GM Theo hiểu biết chúng tôi, vấn đề chưa nghiên cứu • Chúng tơi xét lớp toán tối ưu tập hữu hiệu với hàm mục tiêu (của toán tối ưu tập hữu hiệu) đơn điệu tăng tựa lõm, tập ràng buộc tập hữu hiệu XE tốn tối ưu đa mục tiêu rời rạc có miền ràng buộc X bao gồm hữu hạn điểm cho trước Chúng tơi đề xuất thuật tốn tồn cục giải toán tối ưu tập hữu hiệu Đối tượng nghiên cứu • Bài tốn phân bổ tài ngun cho mạng khơng dây OFDMA/TDD • Bài tốn lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến • Bài tốn tìm tồn tập giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc • Bài tốn tối ưu tập hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc Phạm vi nghiên cứu • Nghiên cứu xây dựng mơ hình • Nghiên cứu đề xuất thuật tốn giải tốn quan tâm • Tính tốn thử nghiệm thuật toán so sánh với thuật toán khác Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Kết thu đề tài góp phần nhỏ làm phong phú thêm cho lí thuyết tối ưu nói chung tối ưu khơng lồi nói riêng Tính hiệu thuật tốn đề xuất chúng tơi minh họa thơng qua việc lập trình chạy thử nghiệm so sánh với thuật tốn khác cho nhiều ví dụ sinh ngẫu nhiên ví dụ có sẵn với nhiều cỡ toán khác Những thuật toán đề xuất áp dụng vào việc giải vấn đề tương tự thực tiễn cách hiệu Cấu trúc luận án Nội dung luận án chia thành ba chương sau: Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị” trình bày số khái niệm, kết thuật toán quan trọng tối ưu DC, tối ưu đơn điệu Các kết xem chuẩn bị mặt lý thuyết để giải ba tốn tối ưu khơng lồi Chương Chương Chương 2: “Một số thuật toán giải hai tốn tối ưu khơng lồi viễn thơng” Chương dành để trình bày kết liên quan đến việc nghiên cứu hai tốn tối ưu khơng lồi viễn thơng là: tốn phân bổ tài ngun cho mạng khơng dây OFDMA/TDD tốn lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến Chương 3: “Thuật toán giải số toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc” Chương trình bày kết nghiên cứu liên quan tới tốn tìm tồn tập giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc toán tối ưu tập hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc Các đánh số chương, mục, định lý, tóm tắt giữ nguyên luận án Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tối ưu DC 1.1.1 Một số khái niệm Xét toán α = inf{f (x) = g(x) − h(x) | x ∈ Rn }, (P) với g, h ∈ Γ0 (Rn ) (Γ0 (Rn ) tập tất hàm nửa liên tục lồi thường Rn ) Hàm f toán (P) gọi hàm DC g, h gọi thành phần DC f Bài toán (P) gọi toán tối ưu DC Nếu g h hàm lồi đa diện tốn (P) gọi toán tối ưu DC đa diện Nếu g h có giá trị hữu hạn Rn ta nói f hàm DC hữu hạn Rn Chú ý với quy ước +∞ − (+∞) = +∞ ta viết lại tốn sau: α = inf{h∗ (y) − g ∗ (y) | y ∈ domh∗ } (D) Khi ta nói (P) (D) cặp toán đối ngẫu đối xứng Để tránh trường hợp tầm thường giá trị α −∞ ta ln giả thiết domg ⊂ domh domh∗ ⊂ domg ∗ phần Điểm x∗ gọi cực tiểu địa phương g −h Rn g(x∗ )−h(x∗ ) hữu hạn (tức x∗ ∈ domg ∩ domh) tồn lân cận U x∗ thỏa mãn g(x∗ ) − h(x∗ ) ≤ g(x) − h(x), ∀x ∈ U (1.1) Điểm x∗ gọi điểm tới hạn g − h ∂g(x∗ ) ∩ ∂h(x∗ ) = ∅ 1.1.2 Thuật toán DCA DCA thuật toán giải toán tối ưu DC tổng quát theo hướng tiếp cận địa phương Thuật toán DCA đề xuất lần đầu GS Phạm Đình Tảo năm 1986, sau nghiên cứu phát triển, mở rộng nhiều cơng trình hợp tác GS Lê Thị Hoài An GS Phạm Đình Tảo từ năm 1994, chi tiết xem [3] danh mục tài liệu tham khảo kèm theo Ý tưởng DCA xây dựng hai dãy {xk } {y k } cho giá trị tương ứng hàm mục tiêu toán gốc toán đối ngẫu giảm dần Hơn hai điểm tụ hai dãy tương ứng điểm tới hạn tốn gốc tốn đối ngẫu Nói cách khác, DCA hai dãy {xk } {y k } xây dựng thỏa mãn (i) Hai dãy {(g − h)(xk )} {(h∗ − g ∗ )(y k )} hai dãy giảm (ii) Mỗi điểm tụ x∗ ( tương ứng (t.ư.1 ), y ∗ ) dãy {xk } (t.ư., {y k }) điểm tới hạn g − h (t.ư., h∗ − g ∗ ) Lược đồ tóm tắt DCA giải tốn (P) sau (xem [46]) Khởi tạo: Chọn x0 ∈ domg, số thực > đủ nhỏ, k := 0, er := Bước 1: Tính y k ∈ ∂h(xk ) Bước 2: Tính xk+1 ∈ ∂g ∗ (y k ) = argmin{g(x) − x, y k | x ∈ Rn } Bước 3: Cập nhật er := ||xk+1 − xk || |f (xk+1 ) − f (xk )| , max{ xk , 1} max{|f (xk )|, 1} Bước 4: Nếu er < dừng thuật tốn, kết luận xk+1 nghiệm thu DCA Ngược lại gán k := k + quay lại Bước Các kết hội tụ tính chất thuật tốn DCA xem Mục 3.1 [39] 1.2 Tối ưu đơn điệu 1.2.1 Một số khái niệm Hàm f : Rn+ → R gọi tăng f (x) ≤ f (x ) với ≤ x ≤ x ; tăng chặt f (x) < f (x ) với ≤ x < x Hàm f gọi hàm giảm −f hàm tăng Một hàm gọi đơn điệu hàm tăng hàm giảm Tập G ⊂ [a, b] ⊂ Rn gọi chuẩn x ∈ G ⇒ [a, x] ⊂ G Tập H ⊂ [a, b] gọi đối chuẩn x ∈ H ⇒ [x, b] ⊂ H Như g(x), h(x) hàm tăng [a, b] G = {x ∈ [a, b]|g(x) ≤ 0} tập chuẩn H = {x ∈ [a, b]|h(x) ≥ 0} tập đối chuẩn Từ chữ "tương ứng" viết tắt "t.ư." Bao chuẩn (t.ư., bao đối chuẩn) tập A ⊂ [a, b] định nghĩa tập chuẩn (t.ư., đối chuẩn) nhỏ chứa A Giả sử P (t.ư., Q) bao chuẩn (t.ư., đối chuẩn) tập hữu hạn T ⊂ [a, b] Khi P (t.ư., Q) gọi đa khối(t.ư., đối đa khối) với tập đỉnh T Từ Mệnh đề [41] ta có đa khối P = ∪z∈T [a, z] (đối đa khối Q = ∪z∈T [z, b], t.ư.) Đỉnh z ∈ T đa khối P (t.ư., đối đa khối Q) gọi đỉnh khơng tồn đỉnh z = z, z ≥ z (t.ư., z ≤ z) Đỉnh không đỉnh thuộc T khơng phải đỉnh Đương nhiên đa khối (t.ư., đối đa khối) xác định hồn tồn tập đỉnh nó; hay nói cách khác đa khối (t.ư., đối đa khối) bao chuẩn (t.ư., bao đối chuẩn) tập đỉnh [a, z) (t.ư., Q = (z, b]) ta gọi P (t.ư., Q ) Trường hợp P = z∈T z∈T đa khối nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở) với tập đỉnh T Và tương tự, ta có khái niệm đỉnh đỉnh khơng đa khối nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở); đa khối nửa mở (t.ư., đối đa khối nửa mở) hoàn toàn xác định biết tập đỉnh 1.2.2 Thuật tốn giải tốn tối ưu đơn điệu Có hai thuật tốn giải tốn tối ưu đơn điệu, thuật tốn xấp xỉ ngồi đa khối thuật tốn nhánh-giảm-cận Thuật tốn xấp xỉ ngồi đa khối chủ yếu sử dụng cho toán tối ưu đơn điệu dạng tắc: max{f (x) | g(x) ≤ ≤ h(x), x ∈ [a, b]}, (MO) f, g, h hàm tăng [a, b] ⊂ Rn+ ; mở rộng cho toán tối ưu đơn điệu rời rạc dạng tắc tương ứng max{f (x) | g(x) ≤ ≤ h(x), x ∈ [a, b], (x1 , , xs ) ∈ S}, (DMO) S ⊂ Rs+ (s ≤ n,) tập rời rạc Chi tiết thuật toán hội tụ thuật tốn xem Thuật tốn Định lí 15 [41] Với toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát dạng max{f (x) | g(x) − h(x) ≤ 0, x ∈ [a, b] ∩ S ∗ }, (DDM) f (x) = f + (x) − f − (x) f + , f − , g, h : Rn+ → R hàm tăng, S ∗ = {x ∈ [a, b] | (x1 , , xs ) ∈ S}, S tập rời rạc Rs+ Để áp dụng Thuật tốn xấp xỉ ngồi đa khối cho tốn (DDM) trước hết ta cần đưa dạng tắc tốn (DMO) Việc làm tăng số chiều biến định, vậy, sau bước lặp số đỉnh đa khối tăng lên nhanh chóng nút thuật tốn xấp xỉ ngồi đa khối có n đa khối sinh (n số chiều biến định) Vì [41], tác giả đề xuất thuật tốn giải trực tiếp cho toán tối ưu đơn điệu rời rạc tổng quát Đó thuật tốn nhánh-giảm-cận Sau nội dung chi tiết thuật toán (xem Thuật toán [41]) Thuật toán nhánh-giảm-cận (BRB) cho toán (DDM) Khởi tạo: Đặt P1 := {M1 }, M1 = [a, b], R1 = ∅ Gọi CBV giá trị hàm mục tiêu tốt Gán k := Bước Với hộp [p, q] ∈ Pk , h(q) − g(p) < loại hộp [p, q] ∗ khỏi tập Pk , ngược lại gán [p, q] := redSγ [p, q] Bước Nếu Pk = ∅, với hộp M ∈ Pk tính cận ω(M ) Ngược lại, chuyển sang Bước Bước Cập nhật CBV đặt Rk+1 = {B ∈ Rk ∪ Pk |ω(B) ≥ CBV }, Bước Nếu Rk+1 = ∅ dừng thuật tốn: CBV = −∞ tốn khơng có nghiệm chấp nhận nào, ngược lại x ¯ nghiệm tối ưu toán với f (¯ x) = CBV Bước Nếu Rk+1 = ∅ lấy Mk ∈ argmax{ω(M ) | M ∈ Rk+1 } Chia đôi hộp Mk theo cạnh dài thành hai hộp Mk1 , Mk2 Đặt Pk+1 = {Mk1 , Mk2 } Gán k := k + quay lại Bước Về hội tụ thuật toán nhánh-giảm-cận cho toán (DDM) xem Định lí 17 [41] Chương THUẬT TỐN GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN TỐI ƯU KHƠNG LỒI TRONG VIỄN THƠNG 2.1 Thuật tốn giải tốn phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD 2.1.1 Mô tả tốn Giả sử mạng khơng dây OFDMA/TDD có K người dùng, chia sẻ M kênh (sub-channel) N khe thời gian (time slot) Khi người dùng cần sử dụng dịch vụ, cần cấp phát lượng tài nguyên phù hợp Nếu thời điểm khe thời gian có nhiều người dùng xảy xung đột Kí hiệu bijk , ≤ i ≤ M, ≤ j ≤ N, ≤ k ≤ K lượng liệu mà người dùng k cần gửi cung cấp kênh i khe thời gian j Bài tốn đặt tìm cách phân bổ tài nguyên vô tuyến cho khung OFDMA/TDD cho băng thông sử dụng cách hiệu (xem [53]) Tức tổng lượng liệu truyền lớn Việc truyền liệu phải thỏa mãn hai điều kiện: • Tại thời điểm (đặc trưng khe thời gian) kênh có tối đa người dùng (điều để tránh xung đột người dùng) • Tài nguyên (dữ liệu) cấp cho người dùng có dạng hình chữ nhật (theo tiêu chuẩn IEEE802.16e mạng WiMAX) Bằng cách xây dựng biến nhị phân xijk ∈ {0, 1} với ≤ i ≤ M, ≤ j ≤ N, ≤ k ≤ K (2.1) với quy ước xijk = người dùng k cấp kênh i khe thời gian j , trường hợp lại ta tính tổng lượng liệu truyền công thức K N M bijk xijk f (x) := (2.2) k=1 i=1 j=1 Mơ hình tối ưu tốn phân bổ tài ngun có dạng tốn học sau K N M bijk xijk , max f (x) := (RAP) k=1 i=1 j=1 K xijk ≤ ∀i ∈ {1, , M }, j ∈ {1, , N }, v.đ.k k=1 xijk ≤ 0, (|i1 − i2 | + 1)(|j1 − j2 | + 1)(xi1 j1 k + xi2 j2 k − 1) − i∈Ii1 i2 j∈Jj1 j2 (2.5) ∀i1 , i2 ∈ {1, , M }; j1 , j2 ∈ {1, , N }; (i1 , j1 ) = (i2 , j2 ) k ∈ {1, , K}, (2.6) xijk ∈ {0, 1}, i ∈ {1, , M }, j ∈ {1, , N }, k ∈ {1, , K} 2.1.2 Bài toán tối ưu DC đa diện tương đương với (RAP) Trong mục này, với việc áp dụng kĩ thuật hàm phạt (xem [44]) ta đưa toán (RAP) dạng tốn tối ưu DC đa diện Kí hiệu n = K·M ·N D = {x ∈ Rn | x thỏa mãn ràng buộc (2.5), (2.6)} Rõ ràng D đa diện lồi bị chặn khác rỗng khơng gian Rn Khi tốn (RAP) viết lại dạng sau α = cT x | x ∈ D, x ∈ {0, 1}n (2.7) n Xét hàm p(x) = n min{xi , 1−xi } Đặt S := {x ∈ D | x ∈ [0, 1]n } pi (xi ) = i=1 i=1 Dễ thấy p hàm lõm hữu hạn S, p(x) ≥ với x ∈ S toán (2.7) tương đương với α = cT x | x ∈ S, p(x) ≤ (2.8) Áp dụng định lí hàm phạt [44] ([44, Định lí 1]) ta có: với số τ đủ lớn (τ > τ0 ), toán (2.8) tương đương với: {cT x + τ p(x) | x ∈ S} (2.9) Bài tốn (2.9) viết dạng toán tối ưu DC đa diện sau {g(x) − h(x) | x ∈ Rn }, (2.10) với thành phần DC n g(x) = χS (x) h(x) = −cT x − τ min{xi , − xi } (2.11) i=1 Dưới thuật toán DCA áp dụng cho toán (2.10) Thuật toán 2.1: Thuật toán DCA áp dụng cho toán (2.10) Khởi tạo: Lấy > đủ nhỏ điểm xuất phát x0 Gán k := ; er := Bước 1: Tính y k ∈ ∂h(xk ) Bước 2: Tính xk+1 cách giải tốn quy hoạch tuyến tính − x, y k | x ∈ S Bước 3: Cập nhật er := ||xk+1 − xk || |f (xk+1 ) − f (xk )| , max{ xk , 1} max{|f (xk )|, 1} Bước 4: Nếu er < dừng thuật toán, kết luận xk+1 nghiệm thu DCA Ngược lại gán k := k + quay lại Bước Định lí 2.2 (Xem [39, 54, 45]) (i) Thuật toán DCA áp dụng cho toán (2.10) sinh dãy {xk } nằm V (S) cho dãy {cT xk + τ p(xk )} giảm (ii) Tồn số thực không âm τ1 cho với τ > τ1 dãy {p(xk )} giảm Đặc biệt, bước lặp r, xr nghiệm chấp nhận tốn (2.7) xk , k ≥ r nghiệm chấp nhận toán (2.7) 10 Bước 2: Nếu Pk = ∅, chuyển sang Bước Ngược lại, sử dụng thủ tục BOUNDING(B) cho hộp B Pk thu cận β(B) nghiệm chấp nhận z Bước 3: Cập nhật lại giá trị cận tốt γ nghiệm chấp nhận tương ứng x Đặt Rk+1 = {B ∈ Rk ∪ Pk |β(B) ≤ γ}, Bước 4: Nếu Rk+1 = ∅ ta chọn Bk ∈ argmin {β(B)|B ∈ Rk+1 } Chia đôi hộp Bk theo cạnh dài thành hai hộp Bk1 Bk2 theo thủ tục chia nhánh Lấy Pk+1 = {Bk1 , Bk2 } Gán k := k + quay lại Bước Bước 5: Nếu Rk+1 = ∅ dừng thuật tốn x nghiệm tối ưu toán với giá trị tối ưu γ Chú ý 2.5 Tương tự Thuật toán 2.4, Thuật toán 2.6 dừng sau hữu hạn bước lặp cho nghiệm tối ưu toàn cục tốn (2.23) 2.2.4 Kết tính tốn thử nghiệm Chúng tơi sinh ví dụ ngẫu nhiên tương tự quy tắc sử dụng báo Astorino Miglionico [38] lập trình thử nghiệm cho hai thuật tốn tồn cục lên số chiều 75, thuật toán địa phương tới số chiều 1000 Kết cho thấy hiệu thuật toán đề xuất Ngơn ngữ lập trình sử dụng Matlab R2012a máy tính cá nhân với hệ điều hành Win7-64 bit cấu hình máy RAM 8G, Intel core i7 2.26 GHz Chương THUẬT TỐN TRÊN KHƠNG GIAN ẢNH GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU RỜI RẠC 3.1 Bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc Bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc có dạng f (x) = (f1 (x), f2 (x), , fm (x)) v.đ.k x ∈ X, (MODO) X ⊂ Rn tập rời rạc bị chặn khác rỗng, fi (x) : X → R, i = 1, 2, , m, m hàm mục tiêu (m ≥ 2) Rn gọi không gian định, Rm gọi không gian ảnh Tập X gọi tập định, Y = f (X) ⊂ Rm gọi tập ảnh Với tập A ⊂ Rm , A = ∅ Điểm y¯ ∈ A gọi điểm hữu hiệu (t.ư., điểm hữu hiệu trên) A y ∈ A \ {¯ y } cho y ≤ y¯; tức (¯ y − Rm y} + ) ∩ A = {¯ (t.ư., y ∈ A \ {¯ y } cho y ≥ y¯; tức (¯ y + Rm y }) + ) ∩ A = {¯ 17 Kí hiệu Min A = {¯ y ∈ A | (¯ y − Rm y} + ) ∩ A = {¯ m (t.ư., Max A = {¯ y ∈ A | (¯ y + R+ ) ∩ A = {¯ y }) (3.1) (3.2) tập điểm hữu hiệu (t.ư., tập điểm hữu hiệu dưới) tập A Đặt YN = Min Y Khi YN gọi tập giá trị hữu hiệu toán (MODO) Điểm x ˆ ∈ X gọi nghiệm hữu hiệu nghiệm Pareto toán (MODO) f (ˆ x) ∈ YN Tập tất nghiệm hữu hiệu x ˆ ∈ X kí hiệu XE gọi tập hữu hiệu toán (MODO) I U Xác định điểm y I = (y1I , , ym ) y U = (y1U , , ym ) với: yiI := fi (x) yiU := max fi (x) ∀i = 1, 2, , m x∈X x∈X Kí hiệu e ∈ Rm véc-tơ gồm toàn số 1, lấy b ∈ Rm cho b ≥ y U + e Khi đó, ta có Y ⊂ [y I , b) 3.2 Thuật tốn tìm tồn tập giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc Bài tốn tìm tồn tập giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc vấn đề quan trọng tối ưu đa mục tiêu Gần nhóm cơng trình tác giả: Przybylski [25], Klamroth cộng [24], Dăachert v Klamroth [13], Dăachert v cng s [23] xuất số thuật toán hiệu giải toán dựa lược đồ chung (generic method, viết tắt GM) sau: (i) Tại bước lặp, giải toán con, tức toán tối ưu vơ hướng (đây kĩ thuật vơ hướng hóa) min{g(f (x)) | x ∈ X, f (x) < u}, (P (u)) g hàm đơn điệu tăng có dạng tổng có trọng số dương hàm mục tiêu fj , j = 1, , m Khi đó, nghiệm x ˆ tốn (P (u)) (nếu có) nghiệm hữu hiệu toán (MODO) yˆ = f (ˆ x) điểm giá trị hữu hiệu tương ứng không gian ảnh thỏa mãn y I ≤ y < u, chi tiết xem [24] Luận án sử dụng dạng đơn giản hàm g m g(f (x)) = j=1 fj (x) (ii) Sau bước giải tốn vơ hướng hóa, phần khơng gian tập ảnh loại bỏ để tiếp tục tìm kiếm điểm giá trị hữu hiệu lại (iii) Miền khơng gian ảnh sử dụng việc tìm kiếm điểm giá trị hữu hiệu cập nhật liên tục sau bước lặp gọi chung miền tìm kiếm (the search region), xem [13, 23, 24, 25] Quá trình tìm kiếm kết thúc miền tìm kiếm rỗng 18 Từ sau, ta gọi lược đồ lược đồ GM phương pháp GM Như vậy, việc nghiên cứu cấu trúc cách cập nhật miền tìm kiếm tốn (MODO) đóng vai trò quan trọng phương pháp Trong phần tiếp theo, trước hết sử dụng khái niệm đa khối nửa mở cho việc thiết lập biểu diễn miền tìm kiếm tốn (MODO) Với biểu diễn ta có nhìn trực quan miền tìm kiếm tốn tối ưu đa mục tiêu Đồng thời đề xuất thủ tục cập nhật miền tìm kiếm tốn (MODO) Cuối cùng, chúng tơi đề xuất thuật tốn tồn cục tìm tập giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc (MODO) dựa lược đồ GM thủ tục cập nhật miền tìm kiếm đề xuất Trong đó, nghiên cứu thêm vấn đề chọn tham số u dùng phép vơ hướng hóa (P (u)) sử dụng lược đồ GM Cho đến nay, theo hiểu biết chúng tơi, chưa có cơng trình đề cập đến vấn đề 3.2.1 Biểu diễn miền tìm kiếm toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc (MODO) Kí hiệu N tập điểm giá trị hữu hiệu tìm được; S(N ) miền tìm kiếm tương ứng với N, tức S(N ) chứa điểm giá trị hữu hiệu lại tốn (MODO) mà khơng thuộc tập N Vì N tập hữu hạn điểm giá trị hữu hiệu biết toán (MODO) nên tập y∈N [y, b) khơng thể chứa điểm giá trị hữu hiệu lại Do miền tìm kiếm S(N ) tính theo cơng thức sau  [y I , b) N = ∅, S(N ) = [y I , b) \ ( [y, b)) trường hợp lại  y∈N  [y I , b) N = ∅, ⇔ S(N ) = I ([y , b) \ [y, b)) trường hợp lại  y∈N Từ Mệnh đề 1.6 Chú ý 1.2 ta có S(N ) đa khối nửa mở hoàn toàn xác định tập đỉnh T (N ), tức là: [y I , z) S(N ) = z∈T (N ) Vậy vấn đề đặt xác định tập đỉnh T (N ) Mệnh đề 3.1 Cho a, b ∈ Rm , a ≤ b Giả sử P = [a, z) đa khối nửa z∈T mở với tập đỉnh T ⊂ [a, b), x véc-tơ thuộc [a, b); T1 = {z ∈ T |x ≤ z}, T2 = T \ T1 Khi ta có (i) P = P \ [x, b) đa khối nửa mở với tập đỉnh T = T1 T2 , T1 = Tz , với Tz = {uzi = z + (xi − zi )ei , i = 1, , m} z∈T1 (ii) Giả sử T tập đỉnh P Khi ta có T2 ⊂ T 19 (iii) u ≤ z˜ với u ∈ T1 , z˜ ∈ T2 Theo Mệnh đề 3.1, tập đỉnh T P chia thành hai phần độc lập T2 T1 với T1 = {z ∈ T1 | z ∈ T \{z}, z ≤ z } = {z ∈ T1 | z ∈ T1 \{z}, z ≤ z } = Max T1 Nói cách khác, T = T1 T2 Dưới đề xuất thủ tục NEWVERTEX(T, x) cho phép xác định tập T từ tập T điểm x sau: Thủ tục: NEWVERTEX (T, x) [a, z), x ∈ [a, b) Đầu vào: Tập đỉnh T P = z∈T Đầu ra: Tập đỉnh T đa khối nửa mở P = P \ [x, b) Bước 1: Tính tập T1 , T2 Bước 2: Xác định tập T1 = Max T1 Bước 3: Tập cần tìm T := T1 T2 3.2.2 Thuật tốn tìm tồn tập giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc (MODO) Dưới đề xuất thuật tốn tìm tồn tập giá trị hữu hiệu toán (MODO) dựa lược đồ GM thủ tục cập nhật miền tìm kiếm NEWVERTEX đề xuất Mục 3.2.1 Thuật toán 3.1-NEWVERTEX: Tìm tập YN Bước 1: T := {b}, N := ∅ Bước 2: Nếu T = ∅ chuyển sang Bước Ngược lại chuyển sang Bước 2.1 Bước 2.1: Bước 2.1.1: Chọn đỉnh u ∈ T Bước 2.1.2: Giải toán (P (u)) Bước 2.2: ∗ Nếu toán (P (u)) có nghiệm x ˜ bổ sung điểm giá trị hữu hiệu f (˜ x) vào N : N := N {f (˜ x)} cập nhật tập đỉnh T cách sử dụng thủ tục NEWVERTEX 20 T :=NEWVERTEX(T, f (˜ x)) ∗ Nếu tốn (P (u)) khơng chấp nhận được, tức khơng tồn điểm giá trị hữu hiệu nào [y I , u) xóa u khỏi T : T := T \ {u} ∗ Quay trở lại Bước với tập đỉnh T cập nhật Bước 3: Dừng thuật toán Kết luận YN = N Cách chọn u quản lí tập đỉnh T Với Thuật toán 3.1-NEWVERTEX (Bước 2.1.1), khảo sát chiến lược sau cho việc chọn u từ tập T sau: • FIFO: điểm lưu chọn; • LIFO: điểm lưu sau chọn; • Priority 1: Tại bước lặp k (k ≥ 0) thuật tốn, kí hiệu Tk tập đỉnh T Chọn u cho bước lặp k + thỏa mãn điều kiện sau m u ∈ argmaxz∈Tk Wz | Wz = zi ; i=1 • Priority 2: Tại bước lặp k (k ≥ 0) thuật tốn, kí hiệu Tk tập đỉnh T Chọn u cho bước lặp k + thỏa mãn điều kiện sau m u ∈ argminz∈Tk Wz | Wz = zi i=1 3.2.3 Kết tính tốn thử nghiệm Chúng tơi thử nghiệm tính hiệu thuật toán với hai lớp toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc là: tốn tối ưu đa mục tiêu rời rạc dạng tuyến tính tồn phương Các thuật tốn lập trình Matlab R2012a, chạy máy tính cấu hình RAM 8G, Intel core i7 2.26 GHz hệ điều hành Win7-64bit Kết thu cho thấy, tính hiệu lược đồ GM khơng phụ thuộc vào cách cập nhật miền tìm kiếm mà phụ thuộc vào cách quản lí tập đỉnh T lớp tốn xét 3.3 Thuật toán giải toán tối ưu tập hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc 3.3.1 Mơ tả tốn 21 Trong phần này, ta xét toán tối ưu đa mục tiêu (MODO) Mục 3.1 với X tập hữu hạn điểm cho trước toán tối ưu tập hữu hiệu có dạng sau: min{ϕ(f (x)) | x ∈ XE }, (P ) ϕ : Rm → R Kí hiệu convY bao lồi Y Tập Y = convY + Rm + gọi bao Edgeworth-Pareto tập Y, xem [74, 75] Khi ta có Y = {y ∈ Rm |y = z + d, z ∈ convY, d ∈ Rm + } Dễ thấy dimY = m Với tập lồi đa diện P, kí hiệu V (P ) tập đỉnh P Khi đó, từ định nghĩa tập Y, Y , YN ta dễ dàng thu bao hàm thức sau V (Y ) ⊂ YN ⊂ Y ⊂ Y (1) Từ định nghĩa tập giá trị hữu hiệu YN ta thu kết sau: Mệnh đề 3.2 Điểm x∗ nghiệm tối ưu toàn cục toán (P ) y ∗ ∈ YN , với f (x∗ ) = y ∗ , nghiệm tối ưu toàn cục toán min{ϕ(y) | y ∈ YN } (OP ) Mệnh đề cho ta mối liên hệ toán (OP ) toán sau: min{ϕ(y) | y ∈ Y } (OP ) Mệnh đề 3.3 Giả sử ϕ(y) hàm đơn điệu tăng, tựa lõm Y Khi i) Bài tốn (OP ) đạt nghiệm tối ưu đỉnh Y ii) Nếu y ∗ ∈ V (Y ) nghiệm tối ưu tốn (OP ) nghiệm toán (OP ) 3.1.2 Thuật toán tồn cục giải tốn (P ) Từ Mệnh đề 3.2 Mệnh đề 3.3 ta thấy rằng, ϕ hàm hàm đơn điệu tăng, tựa lõm Y ta chuyển việc giải tốn (P ) tốn tìm cực tiểu hàm ϕ V (Y ) - tập đỉnh bao Edgeworth-Pareto không gian ảnh Thông thường, số phần tử tập V (Y ) nhỏ nhiều so với số phần tử tập Y, YN hay V (convY ) Với j ∈ {1, , m}, kí hiệu Yj ⊂ Rm−1 tập thu từ Y cách xóa tọa độ thứ j Dựa vào tập V (Yj ) ⊂ Yj , j ∈ {1, , m}, chúng tơi đề xuất thuật tốn tính V (Y ) sau Thuật tốn 3.2: Tính tập đỉnh bao Edgeworth-Pareto Y, tức tập V (Y ) Bước 1: Lấy y M ∈ Rm cho y M > y U Bước 2: Với j = 1, , m 22 – Xác định Yj := {pj (y)|y ∈ Y }, pj (y) thu từ y = (y1 , , yj , , ym )T cách xóa tọa độ thứ j – Tính Vj := {v ∈ Rm |pj (v) ∈ V (Yj ), vj = yjM } m Bước 3: Lấy Y := Y ∪ ( Vj ) ∪ {y M } xác định V (Y ) theo công j=1 thức V (Y ) = V (convY ) ∩ Y Tính đắn dừng hữu hạn thuật toán thể qua định lí sau Định lí 3.1 Thuật tốn 3.2 dừng sau hữu hạn bước lặp cho ta tập tất đỉnh bao Edgeworth-Pareto Y Cuối cùng, chúng tơi đề xuất thuật tốn giải tồn cục toán (P ) trường hợp ϕ hàm đơn điệu tăng, tựa lõm Y sau Thuật toán 3.3: Giải tồn cục tốn (P ) Bước Dùng thuật tốn biết để tính V (convY ), chẳng hạn thuật toán Quickhull [76] Bước Áp dụng Thuật toán 3.2 với Y := V (convY ) tính tập đỉnh V (Y ) bao Edgeworth-Pareto Y Bước Tính giá trị hàm mục tiêu ϕ điểm V (Y ) để tìm đỉnh nghiệm toán (OP ) y ∗ Khi y ∗ nghiệm tối ưu toán (OP ) giá trị x∗ thỏa mãn f (x∗ ) = y ∗ nghiệm tối ưu tồn cục tốn (P ) 3.3.3 Kết tính tốn thử nghiệm Chúng tơi lập trình thuật tốn ngơn ngữ Matlab phiên R2012a, máy tính cá nhân với cấu hình with RAM 8G, Intel core i7 2.26 GHz hệ điều hành Win7-64bit Kết thử nghiệm nhiều liệu sinh ngẫu nhiên với cỡ toán khác cho thấy tính hiệu thuật tốn đề xuất 23 KẾT LUẬN CHUNG Những đóng góp luận án Luận án nghiên cứu thuật tốn giải số tốn tối ưu khơng lồi có nhiều ứng dụng thực tế, cụ thể là: Đối với toán phân bổ tài nguyên cho mạng khơng dây OFDMA/TDD, chúng tơi xây dựng mơ hình toán học cho toán dạng tốn quy hoạch tuyến tính nhị phân Sau đó, sử dụng tiếp cận liên tục (kĩ thuật hàm phạt) toán đưa dạng toán tối ưu DC Cuối chúng tơi đề xuất thuật tốn tồn cục nhánh cận kết hợp DCA để giải toán Đối với toán lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến, xuất phát từ mơ hình tốn tối ưu khơng lồi liên tục khó (với ràng buộc khơng lồi), đề xuất Astorino Miglionico [38] Bằng cách khai thác tính chất từ cấu trúc đơn điệu tốn, chúng tơi đề xuất ba thuật tốn giải tốn trên, bao gồm: thuật tốn tìm nghiệm địa phương, thuật tốn tồn cục dựa lược đồ nhánh-giảm-cận cổ điển thuật toán cải tiến thuật tốn nhánh-giảm-cận cổ điển Trong đó, thuật tốn tồn cục thu sau tốn gốc đưa toán tối ưu đơn điệu rời rạc tương đương Đối với tốn tìm tồn tập giá trị hữu hiệu cho toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc, sử dụng khái niệm đa khối nửa mở cho biểu diễn miền kiếm tốn tối ưu đa mục tiêu rời rạc, chúng tơi đề xuất thủ tục cập nhật miền tìm kiếm dùng cho lược đồ GM để tìm tồn tập giá trị hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc Ngồi ra, chúng tơi nghiên cứu ảnh hưởng việc quản lí tốn lưu suốt q trình tìm kiếm thông qua việc khảo sát lược đồ GM với số cách quản lí khác Đối với tốn tối ưu tập hữu hiệu, chúng tơi xét lớp toán dạng với hàm mục tiêu không giảm tựa lõm, miền ràng buộc tập hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc với ràng buộc cho tập hữu hạn điểm Chúng tơi đề xuất thuật tốn tính tồn tập đỉnh bao EdgeworthPareto không gian ảnh sử dụng kết cho việc đề xuất thuật tốn tồn cục giải tốn Tất thuật toán đề xuất luận án lập trình thử nghiệm so sánh với phương pháp khác nhiều liệu sinh ngẫu nhiên có sẵn Kết số tổng hợp, phân tích kĩ lưỡng cho thấy tính hiệu ý nghĩa việc đề xuất thuật toán Hướng nghiên cứu Tiếp tục triển khai tìm hiểu tốn xuất phát từ vấn đề thực tế nghiên cứu xây dựng mơ hình tốn học thuật tốn phương pháp giải cho tốn 24 Tài liệu [1] H Tuy (1964), "Concave programming under linear contraints", Soviet Math Dokl., Vol 5, pp 1437-1440 [2] H Tuy (2016), "Convex Analysis and Global Optimization", the second edition, Springer International Publishing AG Switzerland [3] L.T.H An, P.D Tao (2018), "DC programming and DCA: thirty years of developments", Math Program., Ser B, https://doi.org/10.1007/s10107-0181235-y [4] L.T.H An, P.D Tao (2001), "A continuous approach for globally solving linearly constrained quadratic zero-one programming problems", Optimization, Vol 50, pp 93-120 [5] H.P Benson (1998), "An outer approximation algorithm for generating all efficient extreme points in the outcome set of a multiple objective linear programming problem", J Global Optim., Vol 13, pp 1-24 [6] I Das, J.E Dennis (1998), "Normal-boundary intersection: A new method for generating the Pareto surface in nonlinear multicriteria optimization problems", SIAM J Optim., Vol 8, pp 631-657 [7] Y.Y Haimes, L.S Lasdon, D.A Wismer (1971), "On a bicriterion formulation of the problems of integrated system identification and system optimization", IEEE Trans Syst Man Cyber., Vol 1, pp 296-297 [8] P.L Yu (1985), "Multiple-criteria decision making: Concepts, techniques and extensions", Plenum Press, New York [9] A Ben-Tal (1980), "Characterization of Pareto and lexicographic optimal solutions", Lecture Notes in Eco and Math Sys., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, Vol 177, pp 1-11 [10] R.E Steuer (1986), "Multiple criteria optimization: Theory, computation and application", Wiley, New York [11] M Laumanns, L Thiele, E Zitzler (2006), "An efficient, adaptive parameter variation scheme for metaheuristics based on the epsilon-constraint method", Eur J Oper Res., Vol 169(3), pp 932-942 [12] T Ralphs, M Saltzman, M.M Wiecek (2006), An improved algorithm for solving biobjective integer programs, Ann Oper Res., Vol 147, pp 43-70 25 [13] K Dăachert, K Klamroth (2015), "A linear bound on the number of scalarizations needed to solve discrete tricriteria optimization problems", J Glob Optim., Vol 61(4), pp 643-676 [14] C Dhaenens, J Lemesre, E.G Talbi (2010), "K-PPM: A new exact method to solve multiobjective combinatorial optimization problems", Eur J Oper Res., Vol 200(1), pp 45-53 [15] J Lemesre, C Dhaenens, E.G Talbi (2007), "Parallel partitioning method (PPM): A new exact method to solve bi-objective problems", Comput Oper Res., Vol 34(8), pp 2450-2462 [16] J Sylva, A Crema (2004), "A method for finding the set of non-dominated vectors for multiple objective integer linear programs", Eur J Oper Res., Vol 158(1), pp 46-55 [17] B Lokman, M Kăoksalan (2013), "Finding all nondominated points of multiobjective integer programs", J Glob Optim., Vol 57(2), pp 347-365 ă [18] M Ozlen, M Azizo˘glu (2009), "Multi-objective integer programming: a general approach for generating all non-dominated solutions", Eur J Oper Res., Vol 199, pp 25-35 [19] W Zhang, M Reimann (2014), "A simple augmented ε-constraint method for multi-objective mathematical integer programming problems", Eur J Oper Res., Vol 234(1), pp 15-24 [20] G Mavrotas (2009), "Effective implementation of the ε-constraint method in multiobjective mathematical programming problems", Appl Math Comput., Vol 213(2), pp 455-465 [21] G Mavrotas, K Florios (2013), "An improved version of the augmented ε-constraint method (AUGMECON2) for finding the exact Pareto set in multiobjective integer programming problems", Appl Math Comput., Vol 219(18), pp 9652-9669 [22] G Kirlik, S Sayın (2014), "A new algorithm for generating all nondominated points of multiobjective discrete optimization problems", Eur J Oper Res., Vol 232, pp 479-488 [23] K Dăachert, K Klamroth, R Lacour D Vanderpotten (2017), "Efficient computation of the search region in multi-objective optimization", Eur J Oper Res., Vol 160, pp 841-855 26 [24] K Klamroth, R Lacour, D Vanderpooten (2015), "On the representation of the search region in multi-objective optimization", Eur J Oper Res., Vol 245, pp 767-778 [25] A Przybylski, X Gandibleuc, M Ehrgott (2009), "A two phase method for multi-objective integer programming and its application to the assignment problem with three objectives", Discrete Optimization, Vol 7, pp 149-165 [26] J Philip (1972), "Algorithms for vector maximization problem", Math Prog., Vol 2, pp 85-106 [27] H.P Benson (1984), "Optimization over the efficient set", J Math Anal Appl., Vol 98, pp 562-580 [28] H.P Benson (1991), "An all-linear programming relaxation algorithm for optimizing over the efficient set", J Glob Optim., Vol 1, pp 84-104 [29] L.T.H An, L.D Muu, P.D Tao (1996), "Numerical solution for optimization over the efficient set by d.c optimization algorithms", Vol 19(3), Oper Res Lett., pp 117-128 [30] S Bolintineanu (1993), "Minimization of a quasi-concave function over an efficient set", Math Prog., Vol 61, pp 89-110 [31] H Bonnel, J Collonge (2013), "Stochastic optimization over a Pareto set associated with a stochastic multiobjective optimization problem", J Optim Theory & Appl., DOI 10.1007/s10957-013-0367-8 [32] J.P Dauer, T Fosnaugh (1995), "Optimization over the efficient set", , J Glob Optim., Vol 7, pp 261-277 [33] J Făulăop (1994), "A cutting plane algorithm for linear optimization over the efficient set", in: Generalized Convexity, Lecture notes in Economics and Mathematical System, Vol 405, pp 374-385, Springer-Verlag, Berlin [34] R Horst, N.V Thoai, Y Yamamoto, D Zenke (2007), "On optimization over the efficien set of linear multicriteria programming", J Optim Theory Appl., Vol 134, pp 433-443 [35] N.T.B Kim, L.D Muu (2002), "On the projection of the efficient set and potential application", Optim., Vol 51, pp 401-421 [36] H.Q Tuyen, L.D Muu (2001), "Biconvex programming approach to optimization over the weakly efficient set of a multiple objective affine fractional programming problem", Oper Res Lett., Vol 28, pp 81-92 27 [37] P.T Thach, H Konno, D Yokoda (1996), "Dual approach to optimization on the set of Pareto-optimal solutions", J Optim Theo Appl., Vol 88, pp 869-707 [38] A Astorino, G Miglionico (2016), "Optimizing sensor cover energy via DC programming", Optim Lett., Vol 10 (2), pp 355-368 [39] P.D Tao, L.T.H An (1997), "Convex analysis approach to DC programming: theory, algorithms and applications", Acta Math Vietnam., Vol 22(1), pp 289-355, Dedicated to Hoang Tuy on the occasion of his seventieth birthday [40] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu Nguyễn Hữu Điển (2014), "Giáo trình giải tích lồi ứng dụng", Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [41] H Tuy, M Minoux, N.T.H Phuong (2006), "Discrete monotonic optimization with application to a discrete location problem", SIAM J Optim., Vol 17, pp 78-97 [42] H Tuy (2000), "Monotonic optimization: Problems and solution approaches", SIAM J Optim., Vol 11, pp 464-494 [43] Hồng Tụy (2006), "Lí thuyết tối ưu", Bài giảng lớp cao học Viện Toán học [44] L.T.H An, P.D Tao, L.D Muu (1999), "Exact penalty in d.c programming", Vietnam Journal of Mathematics, Vol 27(2), pp 169-178 [45] L.T.H An, P.D Tao (2005), "The DC (Difference of convex functions) programming and DCA revisited with DC models of real world nonconvex optimization problems", Ann Oper Res., Vol 133, pp 23- 46 [46] L.T.H An, P.D Tao (2014), "DC programming in communication systems: challenging problems and methods, Vietnam J Comput Sci., Vol 1, pp 15-28 [47] T Ali-Yahiya, A.L Beylot, G Pujolle (2010), "Downlink resource allocation strategies for ofdma based mobile wimax", Telecommunication Systems, Vol 44, pp 29-37 [48] E.B Rodrigues, F Casadevall (2011), "Control of the trade-off between resource efficiency and user fairness in wireless networks using utility-based adaptive resource allocation", IEEE Communications Magazine, Vol 49, pp 90-98 28 [49] A Bacioccola, C Cicconett, L Lenzini, E Mingozzi, A Erta (2007), "A downlink data region allocation algorithm for ieee 802.16e ofdma", in: Proc 6th Int Conf Information, Communications and Signal Processing, pp 1-5 [50] T Wand, H Feng, B Hu (2008), "Two-dimensional resource allocation for ofdma system", in: Proc IEEE Int Conf Communications Workshop,Beijing, China, pp 1-5 [51] C Cicconetti, L Lenzini, A Lodi, S Martello, E Mingozzi, M Monaci (2014), "Efficient two-dimensional data allocation in ieee 802.16 ofdma", IEEE/ACM Transactions on Networking, Vol 22 (5), pp 1645-1658 [52] E Rodrigues, F Casadevall, P Sroka, M Moretti, G Dainelli (2009), "Resource allocation and packet scheduling in ofdma-based cellular networks", in: Proc 4th International Conference on Cognitive Radio Oriented Wireless Networks and Communications, pp 1-6 [53] N.C Nam, P.T Hoai, T.V Huy (2015), "DC Programming and DCA approach for resource allocation aptimization in OFDMA/TDD wireless networks", Springer International Publishing Switzerland 2015, H.A Le Thi et al (eds.), Advanced Computational Methods for Knowledge Engineering, Advances in Intelligent Systems and Computing, 358, DOI: 10.1007/978-3319-17996-4_5 [54] L.T.H An, P.D Tao (2002), "DC Programming: Theory, Algorithms and Applications The State of the Art", 26 pages Proceedings of The First International Workshop on Global Constrained Optimization and Constraint Satisfaction (Cocos’ 02)", Valbonne-Sophia Antipolis, France [55] R Horst and H Tuy (1993), "Global Optimization: Deterministic Approaches", the second edition, Springer, Berlin, New York [56] N.T.B Kim (2014), "Các phương pháp tối ưu: lí thuyết thuật toán", Nhà xuất Bách Khoa, Hà Nội [57] P.D Tao, N.C Nam, L.T.H An (2009), "DC Programming and DCA for globally solving the value-at-risk", Comput Manag Sci., Vol 6(4), pp 477501 [58] P.D Tao, N.C Nam, L.T.H An (2010), "An efficient combined DCA and B&B using DC/SDP relaxation for globally solving binary quadratic programs", J Glob Optim., Vol 48(4), pp 595-632 [59] J Yick, B Mukherjee, D Ghosal (2008), "Wireless sensor network survey", Comput Netw., Vol 52, pp 2292-2330 29 [60] R Mulligan (2010), "Coverage in wireless sensor networks: a survey", Netw Protoc Algorithms, Vol 2, pp 27–53 [61] A Alfieri, A Bianco, P Brandimarte, C.F Chiasserini (2007), "Maximizing system lifetime in wireless sensor networks", Eur J Oper Res., Vol 181, pp 390-402 [62] N Bartolini, T Calamoneri, T La Porta, C Petrioli, S Silvestri (2012), "Sensor activation and radius adaptation (SARA) in heterogeneous sensor networks", ACM Trans Sensor Netw (TOSN), Vol 8(3), aricle 24, 34 pages, https://doi.org/10.1145/2240092.2240098 [63] M Cardei, D Du (2005), "Improving wireless sensor network lifetime through poweraware organization", Wirel Netw., Vol 11, pp 333-340 [64] M Cardei, J Wu (2006), "Energy-efficient coverage problems in wireless ad-hoc sensor networks", Comput Commun., Vol 29, pp 413-420 [65] M Cardei, L Mingming, M.O Pervaiz (2005), "Maximum network lifetime in wireless sensor networks with adjustable sensing ranges", In: Proceedings of the IEEE International Conference on Wireless and Mobile Computing, Networking and Communications (WiMob), Vol 3, pp 438-445 [66] R Cerulli, R De Donato, A Raiconi (2012), "Exact and heuristic methods to maximize network lifetime in wireless sensor networks with adjustable sensing ranges", Eur J Oper Res., Vol 220, pp 58-66 [67] Z Zhou, S.R Das, H Gupta (2009), "Variable radii connected sensor cover in sensor networks", ACM Trans Sensor Netw., Vol 5, pp 8-36 [68] M Ehrgott (2005), "Multicriteria Optimization", Springer, Berlin [69] D Klein, E Hannan (1982), "An algorithm for the multiple objective integer linear programming problem", Eur J Oper Res., Vol 9(4), pp 378-385 ă [70] M Ozlen, B.A Burton, C.A.G MacRae (2014), "Multi-objective integer programming: an improved recursive algorithm", J Optim Theory Appl., Vol 160(2), pp 470-482 [71] B Feng, Z.P Fan, Y Li (2011), "A decision method for supplier selection in multi-service outsourcing", Int J Production Economics, Vol 132, pp 240-250 [72] A.I Pospelov (2016), "Haussdorf methods for approximating the convex Edgeworth-Pareto hull in integer problems with monotone objectives", Comput Math & Math Phys., Vol 56, pp 1388-1401 30 [73] R.V Efremov (2015), "Convergence of Haussdorf approximation method for the Edgeworth-Pareto hull of a compact set", Comput Math and Math Phys., Vol 25, pp 1171-1178 [74] M Ehrgott, X Gandibleux, A Przybylski (2016), "Exact Methods for Multi-Objective Combinatorial Optimisation", Inter Series in Oper Res & Manag Sci., Vol 233, pp 817-850 [75] A.I Pospelov (2009), "Approximating the Convex Edgeworth Pareto Hull in Integer Multi objective Problems with Monotone Criteria", Comput Math & Math Phys., Vol 49 (10), pp 1686-1699 [76] C.B Barber, D.P Dobkin, H.T Huhdanpaa (1996), "The Quickhull Algorithm for Convex Hulls", ACM Transactions on Mathematical Software, Vol 22(4), pp 469-483 31 ... 25]) Một tốn tối ưu khơng lồi liên quan chặt chẽ với toán tối ưu đa mục tiêu Bài toán tối ưu tập hữu hiệu (hay Bài toán tối ưu tập Pareto) Đó tốn tối ưu hàm số tập nghiệm hữu hiệu XE toán tối ưu. .. bày số khái niệm, kết thuật toán quan trọng tối ưu DC, tối ưu đơn điệu Các kết xem chuẩn bị mặt lý thuyết để giải ba toán tối ưu không lồi Chương Chương Chương 2: Một số thuật toán giải hai toán. ..nghiên cứu thuật toán giải hai toán tối ưu khơng lồi viễn thơng, có vận dụng hai cách tiếp cận Như biết, phương pháp giải tốn tối ưu khơng lồi ứng dụng rộng rãi để giải nhiều toán tối ưu hàm mục