chuyeenddeetoans6 dãy số cách đều

Chuyờn toỏn 6 : dãy số cách đều Ngi vit : T Phm Hi Giỏo viờn trng THCS th trn Hng h Thỏi bỡnh A.Lý thuyt cn nh Xột bi tp : Hóy lit kờ 10 phn t liờn tip u tiờn ca tp hp : 1. A = { x N / x = 2n + 1 , n N } 2. B = { x N / x = 3n + 1 , n N } Gii : Ta cú A = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; . } B = { 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 ; 22 ; 25 ; 28 ; . } Cỏch vit tp A , B lit kờ nh trờn ta c mt dóy s. Khi ú x = 2n + 1 l cụng thc vit tp A ; x = 3n + 1 l cụng thc vit tp B , chỳng c gi l s hng tng quỏt ca dóy A , B . Vỡ hiu gia hai s hng liờn tip bt kỡ ca mi dóy (s ln tr s nh ) luụn l mt s khụng i , nờn cỏc dóy trờn c gi l cỏc dóy s cỏch u . Hiu hai s hng liờn tip ca dóy gi l khong cỏch ca dóy , kớ hiu l d. 1 ) Vớ d : Cỏc dóy s sau õy gi l cỏc dóy s cỏch u hữu hạn Dãy số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , , n có số hạng tổng quát là n với n N , d = 1 Dãy số 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , , 3n + 1có số hạng tổng quát là 3n + 1 với n N , d = 3 Dãy số có số hạng tổng quát là với n N , d = 1/2 v . v . 2 ) Mt s cụng thc ca dóy cỏch u : Xột dóy cỏch u hữu hạn tng quỏt : a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; . ; a n khoảng cách là d = a 2 a 1 = a 3 a 2 = a 4 a 3 = . n là số số hạng của dãy a n l số hạng cuối cùng của dãy Ta cú mt s cụng thc sau õy ( ó hc tiu hc ) S hng th n ca dóy c tớnh bng cụng thc : a n = a 1 + ( n 1)d S s hng ca dóy c tớnh bng cụng thc : 1 1 n a a n d = + Để tính tổng S các số hạng của dãy cộng: 1 2 3 4 5 , , , , , ., n a a a a a a . Ta viết: 1 2 1 1 2 1 n n n n S a a a a S a a a a − − = + + + + = + + + + L L 1 2 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n S a a a a a a a a a a n − − = + + + + + + + + = + L Do đó ta có công thức tính tổng của dãy cách đều là : 1 ( ) 2 n a a n S + = Ch ó ý : Nếu c¸c sè h¹ng cña d·y lµ c¸c sè tù nhiªn th× d·y cßn ®îc gäi lµ d·y ®ång d B. BÀI TẬP Bài 1 : trong các dãy số sau đây dãy số nào là dãy số cách đều • 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; . • 1; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; 16 ; . • 1 ; 4 ; 9 ; 25 ; 36 ; 49 ; . Bài 2 : Viết các dãy số biết số hạng tổng quát của nó là : • a n = 3n + 2 , n ϵ N • a n = 5n + 1 , n ϵ N Bài 3 : a) Tính tổng các số tự nhiên lẻ có hai chữ số b) Tính tổng các số tự nhiên chẵn có hai chữ số c) Tính tổng 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . + 2008 Bài 4 : Cho tổng S = 1 + 3 + 5 + 7 + . + 2009 1. Tổng trên có bao nhiêu số hạng ? 2. Tính giá trị của tổng S 3. Để viết tất cả các số hạng của tổng trên thì dùng hết bao nhiêu chữ số ? Bài 5 : Cho dãy số 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; . 1. Tìm số hạng tổng quát và viết thêm ba số hạng tiếp theo của dãy 2. Tính tổng của 100 số hạng liên tiêp đầu tiên của dãy 3. Tính tổng 1 + 5 + 9 + 13 + . + 9999 4. Viết 100 số hạng liên tiếp đầu tiên của dãy thì dùng bao nhiêu chữ số ? 5. Chữ số thứ 1000 khi viết liên tiếp các số hạng của dẫy trên là chữ số nào ? Bài 6 : Cho dãy số 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; . 1. Tìm số hạng tổng quát và viết tiếp ba số hạng tiếp theo của dãy 2. Số hạng thứ 2008 của dãy bằng bao nhiêu ? 3. Tính tổng 100 số hạng liên tiếp đầu tiên của dãy 4. Viết 100 số hạng liên tiếp đầu tiên của dãy phải dùng hết bao nhiêu chữ số ? Bi 7 : Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + .+ 98,99 + 99,10 Lời giải Ngoài cách giải bình thờng theo công thức , ta có thể giải nh sau : Ta đa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với 100, khi đó ta có: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + . + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + . + 9899) + 9910 (1011 9899).98 9910 2 + = + = 485495 + 9910 = 495405 . Vậy : E = 4954,05 Bi 8 : Cho dóy s 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; . vi n Z + a. S hng th 200 ca dóy l s no ? b. vit 100 s hng liờn tip u tiờn ca dóy thỡ cn bao nhiờu ch s ? c. Tớnh tng 300 s hng liờn tiờp u tiờn ca dóy d. Chữ số thứ 1000 của dãy là chữ số nào ? Bi 9 : Tỡm s t nhiờn x bit rng a. (x + 1 ) + ( x + 2 ) + ( x + 3 ) + + ( x + 100 ) = 5750 b. 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820 c. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + + ( 2x + 1 ) = 225 Bi 10 : a ) Hóy vit s 108 thnh tng ca 9 s t nhiờn liờn tip b ) Hóy vit s 100 thnh tng ca 10 s hng liờn tip ca dóy 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; . c ) Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp. Lời giải c õu c : Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là: S = a + (a + 2) + . + (a + 4006) = ( 4006) .2004 ( 2003).2004 2 a a a + + = + . Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028 a + 2003 = 4007 a = 2004 Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + . + 6010 Bi 11: Tỡm ch s th 1000 khi viột liờn tip lin nhau cỏc s hng ca dóy : 1; 3; 5; 7; . Gii : Dóy 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 cú 5 ch s Dóy 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; . ; 97 ; 99 cú : ( + 1 ).2 = 45.2 = 90 ch s Dóy 101 ; 103 ; 105 ; 107 ; . ; 997 ; 999 cú : ( + 1 ).3 = 450.3 = 1350 c/s Nh vy vit t 1 n 99 dựng ht 5 + 90 = 95 ch s nờn cũn li 999 95 = 904 ch s na l n ch s th 1000 cn tỡm . Ta thy vit t 101 n 999 dựng ht 1350 ch s nờn ch s th 1000 cn tỡm phi nm trong cỏc s hng cú 3 ch s ca dy ó cho. Vỡ 904 chia cho 3 bng 301d 1 nờn ch s th 1000 ca dy ó cho l ch s th 2 ca s hng th 302 ca dy 101 ; 103 ; 105 ; . ; 997 ; 999. ú l s : 101 + ( 302 1).2 = 703 ( theo cụng thc ) Võy ch s th 1000 ca dy 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; . l 0 Bi 12 : Cú s hng no ca dóy sau tn cựng bng 2 hay khụng? 1 ; 1 + 2 ; 1 + 2 + 3 ; 1 + 2 + 3 + 4 ; . H ớng dẫn : Vì công thức tổng quát để tính tổng 1 + 2 + 3 + 4 + . + n là : ( 1) 2 n n + Số hạng thứ n của dãy đã cho bằng: ( 1) 2 n n + Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4. Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6. Bi 13: a) Vit liờn tip cỏc s hng ca dóy s t nhiờn t 1 n 100 to thnh mt s A. Tớnh tng cỏc ch s ca A b) Cng hi nh trờn nu vit t 1 n 1000000 Hng dn: a) ta b sung thờm ch s 0 vo v trớ u tiờn ca dóy s (khụng lm thay i kt qu). Tm cha xột s 100. T 0 n 99 cú 100 s, ghộp thnh 50 cp: 0 v 99; 1 v 98; 2 v 97; mi cp cú tng cỏc ch s bng 18. Tng cỏc ch s ca 50 cp bng: 18.50 = 900. Thờm s 100 cú tng cỏc ch s bng 1. S: 901 b) Tng t: S: 27000001 Bài 14 : ( Vit dy s bit tng ca nú ) a. Hãy viết số 108 thành tổng của một dãy các số tự nhiên liên tiếp b. Hãy viết số 100 thành tổng của một dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp c. Hóy vit s 5050 di dng tng cỏc s t nhiờn liờn tip Giải a. Giả sử 108 viết đợc thành tổng của k số tự nhiên liên tiếp là : ( n + 1 ) + ( n + 2 ) + ( n + 3 ) + + ( n + k ) = 108 ,với n N . áp dụng công thức tính tổng vế trái ta có [( n + 1) + ( n + k )].k : 2 = 108 hay ( 2n + k + 1)k = 216. Vậy 2n + k + 1 và k đều là các ớc của 216 với k < 2n + k + 1. Ta có : 216 = 1.216 = 2.108 = 3.72 = 4.54 = 6.36 = 8.27 = 9.24 = 12.18 = 24.9 = Ta lại thấy nếu k chẵn thì 2n + k + 1 lẻ và nếu k lẻ thì 2n + k + 1 chẵn nên chỉ cần xét những phân tích 216 thành tích hai thừa số chẵn lẻ khác nhau . Nếu k = 1 thì không thỏa mãn vì lời giải không có ý nghĩa Nếu k = 3 thì 2n + k + 1 = 72 2n + 4 = 72 2n = 68 n = 34 và ta có phân tích là : 108 = 35 + 36 + 37 đúng Nếu k = 8 thì 2n + k + 1 = 27 2n + 9 = 27 2n = 18 n= 9 và ta có phân tích là : 108 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 đúng Nếu k = 9 thì 2n + k + 1 = 24 2n + 10 = 24 2n = 14 n =7 và ta có phân tích là : 108 = 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 đúng Vậy bài toán có 3 đáp số nh trên b. Giả sử 100 viết đợc thành một dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp là : (n +2) + (n + 4) + (n + 6) + + (n + 2k) = 100 , với n là số nguyên lẻ và n > - 2 , k N kn + 2.( 1 + 2 + 3 + 4 + + k ) = 100 kn + 2.k.(k + 1 ) : 2 = 100 nk + k.(k + 1 ) = 100 k.( n + k + 1 ) = 100 . Vậy k và n + k + 1 là các ớc của 100 với n + k + 1 > k > 1. Ta có 100 = 2.50 = 4.25 = 5.20 = 10.10 Nếu k = 2 thì n + k + 1 = 50 n = 47 và ta có phân tích là 100 = 49 + 51 Nếu k = 4 thì n + k + 1 = 25 n = 20 . Loại vì n chẵn Nếu k = 5 thì n + k + 1 = 20 n = 14 .Loại vì n chẵn Nếu k = 10 thì n + k + 1 = 10 n = - 1. Và ta có phân tích là : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 đúng Và ta có hai đáp số nh trên . Bi 15 : Cho 1 2 3 4 1 2, 3 4 5, 6 7 8 9, 10 11 12 13 14, . S S S S = + = + + = + + + = + + + + Tớnh 100 S ? Hng dn: S s hng ca S 1 , ., S 99 theo th t bng 2; 3; 4; 5; 100 S: S 100 = 515100 Bi 16 : Vit dóy s 1 , 2 , 3 , 4 , , ht m ch s . Bit m . Tỡm Bi 17 : Tỡm n v a bit 1 + 2 + 3 + 4 + + n = Bi 18 : Cho 2009 im phõn bit sao cho khụng cú 3 im no thng hng . C ni hai im bt kỡ ta c mt ng thng . Hi ni c bao nhiờu ng thng vi 2009 im ó cho ? Bài 19 : Trên bảng của lớp học có viết dãy số tự nhiên là : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ., 1969 , 1970 Hãy xóa 2 số hạng bất kì của dãy và thay vào đó bởi hiệu của chúng . Chứng minh rằng có làm nh vậy bao nhiêu lần thì cũng không bao giờ đạt đợc kết quả là số còn lại trên bảng chỉ là chữ số 0 Bài 20 : Hai ngời chơi một trò chơi nh sau : Ngời thứ nhất đọc lên một số bất kì trong các số từ 1 đến 10 ; ngời thứ 2 cộng thêm vào số đó một số nào đó không lớn hơn 10 rồi đọc lên tổng tìm đợc ; tiếp theo ngời thứ nhất lại cộng thêm vào tổng đó một số nào đó trong nhóm từ 1 đền 10 rồi lại đọc lên tổng tìm đợc ; và cứ nh thế tiếp tục mãi . Ngời thắng cuộc chơi là ngời đọc lên số 100 trớc . Hỏi ngời thứ nhất phải đọc lên số nào để chắc chắn thắng cuộc ? . cßn ®îc gäi lµ d·y ®ång d B. BÀI TẬP Bài 1 : trong các dãy số sau đây dãy số nào là dãy số cách đều • 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; . • 1; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; 16. nhiêu chữ số ? 5. Chữ số thứ 1000 khi viết liên tiếp các số hạng của dẫy trên là chữ số nào ? Bài 6 : Cho dãy số 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; . 1. Tìm số hạng