Đây là dạng toán cho học sinh tiểu học đặc biệt dành cho các bạn thi tin học trẻ. Nó cũng là 1 phần của chương trình trung học cơ sở. Bài toán về dãy số cách đều là tập hợp các bài toán dạng dãy số mà các bạn phải biết cách tính tổng, số số hạng, số hạng, số hạng thứ 1, và số hạng thứ n
Trang 1Bài toán về dãy số cách đều
* TỔNG = (Số đầu + số cuối) x Số số hạng : 2
* SỐ CUỐI = Số đầu + Đơn vị khoảng cách x (số số hạng - 1)
* SỐ ĐẦU = Số cuối - Đơn vị khoảng cách x (số số hạng - 1)
* SỐ SỐ HẠNG = (Số cuối – Số đầu) : Đơn vị khoảng cách + 1
* TRUNG BÌNH CỘNG = Trung bình cộng của số đầu và số cuối
(Dãy số tăng dần)
Chú ý:
Nói đến dãy số cách đều, ta nên quan tâm đến tổng các cặp số bằng nhau
*.Phân tích dãy số cách đều: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-Có số số hạng là chẵn thì có đủ số cặp: 1+10 ; 2+9; 3+8 ; 4+7 ; 5+6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-Có số số hạng là lẻ thì số ở giữa bằng ½ tổng mỗi cặp (số đầu + số cuối):
1+11 ; 2+10 ; 3+9 ; 4+8 ; 5+7 Số 6 = (1+11):2
*.Cần xác định được hai số liên tiếp cách đều bao nhiên đơn vị, số hạng đầu, số hạng cuối, bao nhiêu số hạng
*.Tuỳ theo dãy số tăng hay giảm để vận dụng các công thức một cách hợp lí
Ví dụ: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25
Dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, có 9 số hạng, số hạng đầu là 1, số hạng cuối là 25
TỔNG = (1 + 25) x 9 : 2 = 117
SỐ CUỐI = 1 + 3 x (9 - 1) = 25
SỐ ĐẦU = 25 - 3 x (9 - 1) = 1
SỐ SỐ HẠNG = (25 - 1) : 3 + 1 = 9
TB CỘNG = (1+4+7+10+13+16+19+22+25) : 9 = (1 + 25) : 2 =13 hay bằng số ở giữa 13
Trang 2Bài 1:
Cho một dãy 10 số thập phân với các số cách đều nhau Biết tổng các số ở vị trí 1, 3, 5,
7, 9 bằng 24 Tổng các số ở vị trí 2, 4, 6, 8, 10 bằng 28 Hãy cho biết dãy số đó gồm những số nào?
(Ai thông minh hơn HS lớp 5 ngày 27-12-2012)
Giải
Cách 1:
Khoảng cách mỗi số là: (28 - 24) : 5 = 0,8
Tổng của 10 số đó là: 28 + 24 = 52
Số cuối hơn số đầu là: 0,8 x (10 - 1) = 7,2
Tổng số đầu và số cuối là: 52 : (10 : 2) = 10,4 (10 : 2 = 5 là số cặp số)
Số đầu là: (10,4 - 7,2) : 2 = 1,6
Dãy số đó là: 1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 4,0 ; 4,8 ; 5,6 ; 6,4 ; 7,2 ; 8,0 ; 8,8
Cách 2:
Khoảng cách mỗi số là: (28 - 24) : 5 = 0,8
Trung bình cộng 2 số ở giữa là: (24 + 28) : 10 = 5,2
Để 2 số liền nhau hơn kém nhau 0,8 đơn vị thì số bé ở giữa là: 5,2 - (0,8 : 2) = 4,8
Ta có được dãy số trên 1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 4,0 ; 4,8 ; 5,6 ; 6,4 ; 7,2 ; 8,0 ; 8,8
- Đây là bài toán dạng dãy số cách đều, cho biết tổng và thấy rõ số các số hạng Cả 2 dãy số tách ra cũng theo thứ tự cách đều, mỗi dãy gồm 5 số hạng Do vậy số chính giữa là trung bình cộng của dãy số
- Dãy số ở vị trí 1, 3, 5, 7, 9, Số trung bình cộng nằm ở vị trí 5 đó là: 24 : 5 (số hạng) = 4,8
- Dãy số ở vị trí 2 ,4 , 6 , 8 , 10 , Số trung bình cộng nằm ở vị trí 6 đó là: 28 : 5 ( số hạng ) = 5,6
Nhận xét 2 số hạng liền nhau vị trí 5 và 6 có qui luật là cách nhau 0,8
Mặt khác , trung bình cộng của 10 số hạng trên là : ( 24 + 28 ) : 10 = 5,2
mà (4,8 + 5,6 ) : 2 = 5,2 nên nhận xét trên là đúng Dãy số cần tìm là: 1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 4,0 ; 4,8; 5,6 ; 6,4 ; 7,2 ; 8,0 ; 8,8.
Bài 2:
Hãy so sánh từ 1 đến 100, tổng các số lẻ và tổng các số chẵn hơn kém nhau bao nhiêu đơn vị? Nêu rõ cách giải.
Giải:
Cách 1:
Từ 1 đến 100 có 100 số, trong đó:
50 số lẻ: 1; 3; 5; ………….; 97; 99
50 số chẵn: 2; 4; 6; ………….; 98; 100
Tương ứng với từng số lẻ có 1 số chẵn hơn số lẻ 1 đơn vị
Vậy tổng 50 số chẵn hơn tổng 50 số lẻ 50 đơn vị
Trang 3Cách 2:
Từ 1 đến 100 có 100 số, trong đó:
50 số lẻ: 1; 3; 5; ………….; 97; 99
50 số chẵn: 2; 4; 6; ………….; 98; 100
Tổng 50 số lẻ: (1 + 99) x 50 : 2 = 2500
Tổng 50 số chẵn: (2 + 100) x 50 : 2 = 2550
Tổng 50 số chẵn hơn tổng 50 số lẻ: 2550 – 2500 = 50
Đáp số: 50
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 5
Bài 15: Tính tổng các dãy số sau:
a) 1,4,7,10,13,16,19
b) 3,8,13,18,23,28,33,38,43,48
Giải
a).Dãy số trên là dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, có 7 số hạng, số hạng đầu là 1, số hạng cuối
là 19
Tổng trên là: (1 + 19) x 7 : 2 = 70
b) Dãy số trên là dãy số cách đều nhau 5 đơn vị, có 10 số hạng, số hạng đầu là 3, số hạng cuối là 48
Tổng trên là: (3 + 48) x 10 : 2 = 225
Đáp số: a) 70 b) 255
Bài 16: Dãy số sau đây có bao nhiêu số hạng?
a) 1,5,9,13, …… ,41, 45,49.
b) Các số chẵn từ 4 đến 52.
Giải
a) Dãy số trên là dãy số cách đều nhau 4 đơn vị, số hạng đầu là 3, số hạng cuối là 48
Số số hạng của dãy số trên là: (49 – 1) : 4 + 1 = 13
b) Các số chẵn từ 4 đến 52 là dãy số cách đều nhau 2 đơn vị, số hạng đầu là 4, số hạng cuối
là 52
Số số hạng của dãy số trên là: (52 – 4) : 2 + 1 = 25
Đáp số: a) 13 b) 25
Bài 17: a) Tìm số hạng thứ 20 của dãy số sau: 6,9,12, …
b) Tìm số hạng thứ 15 trong dãy số lẻ bắt đầu từ 11.
Giải
a).Dãy số trên là dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, số hạng đầu là 6
Số hạng thứ 20 của dãy số đó là: 6 + (20 – 1) x 3 = 63
b).Dãy số lẻ là dãy số cách đều nhau 2 đơn vị, số hạng đầu là 11
Số hạng thứ 15 của dãy số đó là: 11 + (15 – 1) x 2 = 39
Trang 4Đáp số: a) 63 b) 39
Bài 18: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 15.
Giải
Các số lẻ liên tiếp là dãy số cách đều nhau 2 đơn vị
Số hạng thứ 50 của dãy số là: 15 + (50 – 1) x 2 = 11
Tổng 50 số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 15 là: (15 + 113) x 50 : 2 = 3 20
Đáp số: 3 20
Bài 19: Tính tổng sau: 5+9+13+………+45+49+53
Giải
Dãy số trên là dãy số cách đều nhau 4 đơn vị, số hạng đầu là 5, số hạng cuối là 53
Số số hạng của dãy số là: (53 – 5) : 4 + 1 = 13
Tổng của dãy số trên là: (5 + 53) x 13 : 2 = 377
Đáp số: 377
Bài tập tham khảo:
Tính các tổng sau:
1/ 1+2+3+…+98+99+100
2/ 2+4+6+….+96+98+100
3/ 1+3+5+…+95+97+99
4/ 25 số lẻ bắt đầu từ 17.
5/ 1+6+11+… có 50 số hạng.
6/ Các số chăn từ 200 đến 300.
MỘT VÀI DÃY SỐ KHÁC:
a/ 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…
Kể từ số thứ 3 trở đi, mỗi số hạng bằng tổng 2 số hạng liền trước.
b/ 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …
Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của số hạng liền trước và số thứ tự của nó trong dãy số.
c/ Cho tích: 1 x 2 x 3 x 5 x 8 x … x 89 x 144.
Hỏi tích trên tận cùng bằng mấy chữ số giống nhau?
Giải
Tích đầy đủ là: 1x2x3x5x8x13x21x34x55x89x144 =
1x2x3x5x8x13x21x34x11x5x89x144 =
Ta thấy trong tích có 2 thừa số 5 và có hơn 2 thừa số chẵn, nên tích trên tận cùng có 2 chữ số
0 giống nhau