Nguyen ham

§1 . §2 . §3 . §1 . I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: 1.Nguyên hàm: 2.Tính chất của nguyên hàm : 3.Sự tồn tại nguyên hàm: 4.Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp: II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM: 1.Phương pháp đổi biến số: 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: 1.Nguyên hàm: Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu : ( ) ( ) ( ) 2 2 1 ) 3 ; ) ; cos 2 2 a f x x x b f x x x π π   = ∈ −∞ +∞ = ∈ −  ÷   Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R . Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x ∈ K. Ví dụ 1: a) Hàm số F(x) = x 3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x 2 trên (-∞ ; +∞) , vì F’(x) = (x 3 )’ = 3 x 2 với mọi x ∈ (-∞ ; +∞) b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1 ; cos 2 2 f x x x π π   = ∈ −  ÷   Vì ( ) ( ) 2 1 ' tan ' ; cos 2 2 F x x x x π π   = = ∈ −  ÷   Nêu thêm một số ví dụ khác: c) Hàm số F(x) = 3x 2 + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số : ( ) ( ) 1 , 0;f x x x = ∈ +∞ Định lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K . Hãy tự chứng minh định lý này. Định lý 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số . Chứng minh: Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x ∈ K . Khi đó : (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 , x ∈ K. Vậy: G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K . Ta có : G(x) – F(x) = C Hay: G(x) = F(x) + C với mọi x ∈ K . F(x) + C , C ∈ R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu : ( ) ( ) ∫ f x dx = F x + C Ví dụ 2 : Chú ý : Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x ), vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx a) Với x ∈ (- ∞ ; + ∞ ) , 2 2xdx x C= + ∫ b) Với x ∈ ( 0 ; + ∞ ) , 1 lndx x C x = + ∫ c) Với x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) , cos . sinx dx x C= + ∫ 2.Tính chất của nguyên hàm : Tính chất 1: ( ) ( ) ' ∫ f x dx = f x + C Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm . Ví dụ 3: ( ) ( ) cos '. sin . cosx dx x dx x C= − = + ∫ ∫ Tính chất 2: ( ) ( ) k k ∫ ∫ f x dx = f x dx Chứng minh: Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x) Vì k ≠ 0 nên ( ) ( ) ' 1 1 '( )f x F x F x k k   = =  ÷   Theo t/c 1 ta có : ( ) ' 1 ( )k f x dx k F x dx k   =  ÷   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 k F x C F x kC C R k   = + = + ∈  ÷   ( ) F x C= + ( ) .k f x dx= ∫