De thi thu vao lop 10 truong THPT chuyen ha noi amsterdam

Tailieutructuyen.vn HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM NĂM 2017 Câu 1) Cho biểu thức A  x 2 ,B  x 1 x 3 x  36   với x  0, x  x 3 x 3 x 9 a) Rút gọn B , tìm x để A  B b) Tìm tất giá trị x để A nhận giá trị nguyên dương Câu 2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài đường chéo 13 m chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật Câu 3) Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Parabol  P  : y   x đường thẳng  d  : y  x  m  a) Khi m   , chứng tỏ  d  cắt  P  điểm phân biệt A, B Từ tính diện tích tam giác OAB b) Với giá trị m  d  cắt  P  điểm phân biệt D,E cho khoảng cách từ D đến trục Oy khoảng cách từ E đến trục Oy Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp  O; R  đường cao AD,BE cắt H , BE kéo dài cắt  O  F a) Chứng minh: Tứ giác CDH E nội tiếp b) Chứng minh: Tam giác AH F cân c) Gọi M trung điểm AB Chứng minh: M E tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE d) Giả sử BC cố định BC R , xác định vị trí A đường tròn để DH DA lớn Câu 5) Cho số thực dương x, y cho xy   x  y Tìm GTNN P  xy  1  x y Tailieutructuyen.vn HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1) Cho biểu thức A  x 2 ,B  x 1 x 3 x  36   với x  0, x  x 3 x 3 x 9 c) Rút gọn B , tìm x để A  B d) Tìm tất giá trị x để A nhận giá trị nguyên dương Giải: a) Ta có: B   x  3 x  3  36   x  3 x  3  x 2  12  x  1   x  3 x    x  x 1 x 3 x  36    x 3 x 3 x 9 12  x 3 AB  x 3  x  x 2 x 9     x  11 x 1   b) Ta có : 2 x 1       0 A   x 3  12 x  36 x 3  x 3   x  18  2   x   x  (TMĐK) 7 x 1  Vì A số nguyên dương nên ta có: 2 x 1     A 1  A  TH 1: A   x 2 1 x   x  thỏa mãn điều kiện 25 x 1 TH 2: A   x 2 16 23 x 4 x thỏa mãn điều kiện x 1 Câu 2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài đường chéo 13 m chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật Giải: Gọi chiều dài hình chữ nhật x (m) , điều kiện x  12 x 3 Tailieutructuyen.vn Chiều rộng hình chữ nhật là: x  (m) Vì độ dài đường chéo 13 m nên theo định lý Pitago ta có: x   x    132  x  14 x  120    x  12  x     x  12 ( x  ) Đối chiếu với điều kiện ta thấy x  12 thỏa mãn điều kiện Vậy chiều dài hình chữ nhật 12m, chiều rộng hình chữ nhật m Câu 3) Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Parabol  P  : y   x đường thẳng  d  : y  x  m  c) Khi m   , chứng tỏ  d  cắt  P  điểm phân biệt A, B Từ tính diện tích tam giác OAB d) Với giá trị m  d  cắt  P  điểm phân biệt D,E cho khoảng cách từ D đến trục Oy khoảng cách từ E đến trục Oy Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm  d   P  là:  x  x  m   x  x   m  a) Khi m   x  x   , ta có  '     nên phương trình ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 Hay  d  cắt  P  điểm phân biệt A, B Theo hệ thức Viet ta có: x1.x2  2  nên hai giao điểm A, B nằm phía trục Oy , giả sử A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  với x1   x2 ta có hình vẽ: Gọi H , K hình chiếu vng góc A, B lên trục Oy AH  x1   x1 , BK  x2  x2 , đường thẳng  d  cắt trục Oy I  0; 2   OI  Ta có SOAB  S AOI S BOI  1 AH OI  BK OI 2   x2  x1   x2  x1 Suy 2 2 SOAB   x2  x1    x1  x2   x1 x2 Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  2, x1 x2  2 suy S OAB  12  SOAB  Tailieutructuyen.vn b) Phương trình hồnh độ giao điểm  d   P  là:  x  x  m   x  x   m  Ta có  '  m , để d  cắt  P  điểm phân biệt  '   m   m  Khi giao điểm D  x1 ; y1  ,E  x2 ; y2  , gọi M , N hình chiếu vng góc D,E lên trục Oy khoảng cách từ D,E đến trục Oy tương ứng độ dài đoạn thẳng DM ,EN Ta có: DM  x1 , EN  x2 , yêu cầu toán tương đương với x1  x2  x1  x2  (*), vai trò D,E nên điều kiện (*) viết lại thành: x  x2  x 2  x1    2 x12  x22  x1 x2   2  x1  x2   x1 x2  x1 x2   x1  x2  2 Theo hệ thức Viet ta có:  suy 2  x1  x2   x1 x2  x1 x2   x1 x2   m  8  1  m    m  (1) Trường hợp 1:  m   m  m  1 đẳng thức (1) trở thành:  m2  1  4m2    m2   43 loại Trường hợp 2:  m   1  m  đẳng thức (1) trở thành: 1 1  m   1  m     m   m   thỏa mãn điều kiện Tóm lại m   giá trị cần tìm Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp  O; R  đường cao AD,BE cắt H , BE kéo dài cắt  O  F e) Chứng minh: Tứ giác CDH E nội tiếp f) Chứng minh: Tam giác AH F cân Tailieutructuyen.vn g) Gọi M trung điểm AB Chứng minh: M E tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE h) Giả sử BC cố định BC R , xác định vị trí A đường tròn để DH DA lớn Giải:   a) Do H DC H EC  900 nên điểm C,D,H ,E nằm đường tròn đường kính HC hay tứ giác CDH E nội tiếp gọi I trung điểm HC CDH E nội tiếp  HC  đường tròn  I ;      (cùng chắn cung FC ) b) Ta có F AC FBC   DAC  (cùng phụ với    , tam giác AHF có AE Lại có EBC ACB ) suy F AC  DAC đường cao đồng thời trung tuyến nên AHF tam giác cân c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDH E Tam giác AEB vuông E , M trung điểm cạnh huyền AB nên MA  ME    M EA  M AE (2), tam giác HEC vuông C có I trung điểm cạnh huyền HC nên   ICE  (2) Từ (2),(3) ta có: M  M    900 suy M E IE  IC suy IEC EA IEC AE  ICE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE   (cùng phụ d) Xét tam giác vuông BDH tam giác vuông ACD ta có: H BD  DAC BD AD  ACB ) suy BH DACD (g.g)   DH DA BDCD H D CD  BD CD  BDCD  3R BC 3R  suy DH DA  , dấu đẳng thức xảy 4 4 BD CD  ABC cân A , hay A điểm cung lớn BC Ta có  Câu 5) Cho số thực dương x, y cho xy   x  y Tìm GTNN P  xy  1  x y Tailieutructuyen.vn Giải: 2 1  x  y   xy  xy   xy    xy  x3 y  x y  18 xy  16 Ta có P  xy    xy  x y x2 y x2 y x2 y Từ giả thiết ta có: xy   x  y   xy  Ta có:  xy   2   x  y   xy  x y  xy     xy  1 xy    xy  suy xy  Ta chứng minh: x y  x y  18 xy  16   x y  x y  18 xy  16   2 x y  xy    x2 y  xy    Do xy  nên bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy  xy    x  y  Vậy GTNN P x  y ...    nên phương trình ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 Hay  d  cắt  P  điểm phân biệt A, B Theo hệ thức Viet ta có: x1.x2  2  nên hai giao điểm A, B nằm phía trục Oy , giả sử A  x1 ;... ngoại tiếp tam giác CDE h) Giả sử BC cố định BC R , xác định vị trí A đường tròn để DH DA lớn Giải:   a) Do H DC H EC  900 nên điểm C,D,H ,E nằm đường tròn đường kính HC hay tứ giác CDH E... AC  DAC đường cao đồng thời trung tuyến nên AHF tam giác cân c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDH E Tam giác AEB vuông E , M trung điểm cạnh huyền AB nên MA