Điện tử viễn thông chương v khotailieu

Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Chương V THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ Như phân tích chương trước, hầu hết hệ thống LTI có chức lọc Vì vậy, vấn đề thiết kế lọc số đóng vai trò quan trọng xử lý tín hiệu số Có nhiều phương pháp thiết kế lọc số đề xuất ứng dụng thực tế Chương trình bày phương pháp thiết kế ứng dụng để thiết kế lọc khác 5.1 THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ BẰNG CÁCH ĐẶT CÁC CỰ VÀ ZERO TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC Đây phương pháp thiết kế lọc số đơn giản áp dụng cho nhiều loại lọc FIR IIR Tuy nhiên, để có đáp ứng tần số theo ý muốn, số trường hợp, ta cần phải thêm vào cực zero theo thủ tục thử sai Như biết, vị trí cực zeros mặt phẳng phức mô tả hàm truyền đạt H(z), hệ thống có tính ổn định nhân Vì vậy, qui định đặc tính số hệ thống Phương pháp thiết kế mạch lọc số cách đặt cực zeros mặt phẳng phức dựa nguyên lý là: đặt cực điểm gần vòng tròn đơn vị vị trí tương ứng với tần số dải thông, đặt zeros điểm tương ứng với tần số dải triệt Hơn nữa, cần phải tuân theo ràng buộc sau: Tất cực phải đặt vòng tròn đơn vị lọc ổn định Tuy nhiên, zeros đặt vị trí mặt phẳng z Tất cực zeros phức phải xuất với cặp liên hợp phức để hệ số lọc có giá trị thực Với tập cực - zeros cho, hàm truyền đạt H(z) lọc có biểu thức là: Ở G số độ lợi (gain constant) chọn để chuẩn hóa đáp ứng tần số Ở tần số xác định đó, ký hiệu ω0, G chọn cho: với ω0 tần số dải thông lọc Thông thường N (bậc lọc) chọn lớn M lọc có số cực không tầm thường (nontrivial) nhiều zeros Phương pháp dùng để thiết kế số lọc đơn giản quan trọng như: lọc thông thấp, thông cao, thông dải, dải chặn, lọc lược, cộng hưởng số, dao động số, Thủ tục thiết kế thuận tiện thực máy tính 5.1.1 LỌC THƠNG THẤP, THƠNG CAO VÀ THƠNG DẢI 5.1.1.1 Lọc thông thấp thông cao Với lọc thông thấp, thiết kế cực phải đặt điểm gần vòng tròn đơn vị vùng tần số thấp (gần ω = 0) zeros phải đặt gần hay vòng tròn đơn vị tương ứng với điểm tần số cao (gần ω = π), ngược lại cho lọc thơng cao Hình Giáo trình Xử lý tín hiệu số 134 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam 5.1 minh họa cho việc đặt cực zeros ba lọc thông thấp ba lọc thông cao Đáp ứng biên độ pha cho lọc đơn cực có hàm truyền đạt là: Được vẽ hình 5.1 với a = 0,9 Độ lợi G chọn - a, lọc có độ lợi tần số ω = độ lợi tần số cao tương đối nhỏ Thêm vào zeros z = -1 làm đáp ứng suy giảm nhiều tần số cao lọc có hàm truyền đạt là: Đặc tuyến đáp ứng tần số hai lọc H 1(z) H2(z) vẽ hình 5.2 Ta thấy, biên độ H2(z) giảm ω = π Tương tự, ta thu lọc thông cao đơn giản cách lấy đối xứng điểm cực - zero mạch lọc thông thấp qua trục ảo mặt phẳng z Ta thu hàm truyền đạt: Đặc tuyến đáp ứng tần số mạch lọc thơng cao vẽ hình 5.3 với a=0,9 Giáo trình Xử lý tín hiệu số 135 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Giáo trình Xử lý tín hiệu số 136 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Ví dụ 5.1: Một lọc thơng thấp hai cực có hàm truyền đạt là: Hãy xác định giá trị G p cho đáp ứng tần số H(ω) thỏa điều kiện: Giải: 5.1.1.2 Lọc thông dải: Các nguyên tắc tương tự áp dụng để thiết kế mạch lọc thông dải Một cách bản, lọc thông dải chứa hay nhiều cặp cực phức gần vòng tròn đơn vị, lân cận băng tần mà hình thành dải thơng lọc Ví dụ 5.2.: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 137 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Hãy thiết kế mạch lọc thông dải hai cực có tâm băng tần ω = số H ( ω ) = ω = π , đáp ứng tần 4π H(ω) = ω = ω = π đáp ứng biên độ Giải: Rõ ràng lọc phải có cực tại: Vậy hàm truyền đạt là: zero z = z = -1 Hệ số khuếch đại G xác định cách tính H(ω) lọc tần số ω = Giáo trình Xử lý tín hiệu số 138 π Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Đáp ứng tần số lọc vẽ hình 5.4 Phương pháp nhằm mục đích minh họa ảnh hưởng cực zero lên đáp ứng tần số hệ thống Rõ ràng, chưa phải phương pháp tốt cho việc thiết kế mạch lọc số, để có đặc tuyến đáp ứng tần số ý muốn Các phương pháp thiết kế tốt hơn, ứng dụng thực tế trình phần sau 5.2 THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR 5.2.1 THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH DÙNG CỬA SỔ 5.2.1.1 Nguyên tắc: Từ đáp ứng tần số mong muốn Hd(ω) với tiêu tương ứng, ta lấy biến đổi Fourier ngược để có đáp ứng xung hd(n): Nói chung, hd(n) thu có chiều dài vơ hạn không nhân quả, ta thực thực tế Vì vậy, hệ thống phải sửa lại thành nhân buộc hạn phải hạn chế chiều dài h d(n) Phương pháp đơn giản cắt bỏ h d(n) từ giá trị n = M-1 thu lọc FIR có chiều dài M Sự “cắt ngọn” tương đương với phép nhân hd(n) với hàm cửa sổ (window) Hàm cửa sổ định nghĩa sau: ≠ 0, n = 0,1,2 M − w( n ) =  0, khác (5.29) Như vậy, đáp ứng xung lọc FIR trở thành: Gọi W(ω) biến đổi Fourier cửa sổ w(n), từ tính chất nhân biến đổi Fourier, ta thu đáp ứng tần số lọc sau: 5.2.1.2 Các bước phương pháp cửa sổ: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 139 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam • Chọn tiêu kỹ thuật lọc số: δ1, δ2 , ωp, ωs • Xác định đáp ứng xung mạch lọc lý tưởng • Chọn loại cửa sổ • Nhân với cửa sổ để có đáp ứng xung mạch lọc: hd(n) = h(n).w(n) • Thử lại miền tần số: Hd(ω) = H(ω)*W(ω) Nếu không thỏa mãn tiêu kỹ thuật, ta tăng M trở lại bước 5.2.1.3 Cửa sổ chữ nhật (Hình 5.14) Định nghĩa: Cửa sổ chữ nhật có chiều dài M định nghĩa miền thời gian sau: Trường hợp M lẻ, w(n) có dạng đối xứng với tâm đối xứng n = (M-1)/2 Biến đổi Fourier cửa sổ chữ nhật là: Cửa sổ có đáp ứng biên độ là: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 140 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Các tham số (các tham số định nghĩa chung cho loại cửa sổ khác): - Độ rộng múi ∆Ω (được tính lần dải tần số từ ω = đến ω p, tần số ωp tương ứng với giá trị zero múi chính), cửa sỗ chữ nhật: ∆Ω = 4π/M (5.36) - Tỉ số đỉnh múi bên đỉnh múi chính, ký hiệu λ, ta có: với ω1 tần số tương ứng với đỉnh múi bên đầu tiên, với cửa sổ chữ nhật ω1=3π/M Tham số thường tính theo dB sau: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 141 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Người ta thường xét đến đại lượng ngược lại, tỉ số đỉnh múi đỉnh múi bên đầu tiên, ký hiệu η, ta có: Sau giá trị η tương ứng với độ dài M khác nhau: M = → η = 4,2426; M = → η = 4,5000; M = 50 → η = 4,7054; M = 100 → η = 4,7106; M → ∞ η ≈ 4,712 Ta thấy, M > 50 tham số η gần khơng đổi Hình 5.14.a trình bày cửa sổ chữ nhật miền thời gian, hình 5.14.b đáp ứng biên độ cửa sổ chữ nhật với M = Các tham số tương ứng sau: ∆Ω = 4π/M = 1,3963 rad; λ = -13,0643dB; η = 4,5000 Hình 5.15 trình bày đáp ứng biên độ cửa sổ chữ nhật với M là: 9, 51 101 Hiện tượng Gibbs Để giới hạn chiều dài đáp ứng xung h(n) lọc lý tưởng, ta nhân với hàm cửa sổ w(n) Đáp ứng tần số lọc thực tế có từ tích chập (5.31) Đối với lọc lý tưởng, đáp ứng biên độ chuyển đột ngột từ xuống (hoặc ngược lại) tần số cắt Nhưng lọc thực tế, tích chập miền tần số gây dao động dải thông dải chặn xung quanh tần số cắt ω c Sự phát sinh dao động gọi tượng Gibbs Ví dụ 5.4: Hãy thiết kế lọc FIR pha tuyến tính với tiêu kỹ thuật sau đây: δ1=0.01, δ2=0.01, ωp=π/4 - π/50 =0,7226, ω =π/4 + π/50=0,8482 ω = (ωp + ωs)/2 = π/4 Giải: - Chọn cửa sổ chữ nhật W(n) nhân có tâm đối xứng (M-1)/2 - Để minh họa tượng Gibbs, ta chọn đáp ứng tần số lọc thông thấp lý tưởng, ta có: Lấy biến đổi Fourier ngược, theo pt(5.28), ta đáp ứng xung h(n): Giáo trình Xử lý tín hiệu số 142 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Ta thấy hd(n) có chiều dài vơ hạn, khơng nhân có tâm đối xứng k miền thời gian Nếu ta chọn k = (M-1)/2 h(n) có tâm đối xứng (M-1)/2 - Nhân h(n) với cửa sổ chữ nhật w(n), đáp ứng xung lọc trở nên nhân có chiều dài hữu hạn: h(n) = hd(n).w(n) Hình 5.16 minh họa đáp ứng xung h(n) với M = 61 Đáp ứng tần số hệ thống thiết kế là: Hình 5.18 vẽ đặc tuyến đáp ứng biên độ lọc với M = 9, M = 61 M = 101 Ta thấy, tăng M, độ gợn sóng dải thơng dải chặn có biên độ không giảm ba trường hợp, tiêu độ gợn đề chưa thỏa mãn Tuy nhiên, độ rộng dải độ cải thiện (thu hẹp lại) M tăng Để làm giảm gợn sóng lớn dải thơng dải chặn, sử dụng hàm cửa sổ mà chứa đựng đỉnh nhọn suy giảm dần zero thay đột ngột hàm cửa sổ hình chữ nhật Một số hàm cửa sổ tiêu biểu thường dùng thiết kế mạch lọc FIR trình bày bảng 5.1 dạng số cửa sổ trình bày hình 5.17 Những hàm cửa sổ có múi bên (sidelode) thấp so với cửa sổ hình chữ nhật Tuy nhiên, với giá trị M chiều rộng múi hàm cửa sổ Giáo trình Xử lý tín hiệu số 143 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam rộng so với cửa sổ hình chữ nhật Do đó, hàm cửa sổ có tác dụng làm trơn (smoothing ) đáp ứng tần số thơng qua tích chập miền tần số, kết dải độ lọc FIR rộng Để giảm độ rộng dải độ, tăng chiều dài cửa sổ, kết mạch lọc lớn Giáo trình Xử lý tín hiệu số 144 Trường Đại học Điện Lực – Tập đồn Điện Lực Việt Nam Giáo trình Xử lý tín hiệu số 145 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Bảng 5.1: Các hàm cửa sổ Giáo trình Xử lý tín hiệu số 146 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Ghi chú: Cửa sổ Kaiser cửa sổ gần tối ưu, thành lập từ hàm Bessel biến dạng loại bậc không I0(x) Trong công thức định nghĩa cửa sổ Kaiser (Bảng 5.1), tham số (có tác dụng sửa dạng cửa sổ Với chiều dài M xác định, độ rộng múi ∆Ω đáp ứng biên độ cửa sổ gia tăng theo β Vì vậy, với cửa sổ Kaiser, ta điều chỉnh ∆Ω hệ số λ cách thay đổi tham số (.Tuy nhiên, biểu thức đại số cửa sổ phức tạp, không thân thiện với người dùng, nên việc sử dụng có hạn chế Bảng 5.2 trình bày đặc tính quan trọng số hàm cửa sổ miền tần số: Bảng 5.2 Loại cửa sổ Độ rộng xấp xỉ vùng độ Đỉnh múi (dB) Retangula 4π/M -12 r Bartlett 8π/M -27 Hanning 8π/M -32 Hamming 8π/M -43 Blackman 12π/M -58 Hình 5.19.a, b, c, d,e trình bày đáp ứng biên độ (dB) lọc thơng thấp có tần số cắt ω = π/4 = 0,7854 rad/sample (tương ứng với f = 0.125 cycle/sample), thiết kế cửa sổ Rectangular, Hanning, Hamming, Blackman Kaiser có chiều dài M = 61 So sánh lọc b, c, d,e với lọc thiết kế cửa sổ chữ nhật (a), ta thấy ảnh hưởng tượng Gibbs cạnh dải thông hạn chế kết múi bên có đỉnh thấp Tuy nhiên, độ rộng dải độ lại gia tăng Giáo trình Xử lý tín hiệu số 147 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Giáo trình Xử lý tín hiệu số 148 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam 5.2.3 THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH CĨ ĐỘ GỢN KHƠNG ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP Phương pháp cửa sổ kỹ thuật đơn giản cho việc thiết kế lọc FIR pha tuyến tính Tuy nhiên, phương pháp có vài bất lợi nhỏ Đó thiếu điều khiển xác tần số giới hạn tần số cạnh dải thông ωp cạnh dải chặn ωs Việc thiết kế lọc FIR pha tuyến tính có độ gợn khơng đổi xem toán gần Chebyshev Kết tối ưu, phải trả giá việc tính tốn phức tạp phải có trợ giúp máy tính Theo đó, sai lệch đáp ứng tần số mong muốn với đáp ứng tần số thực trải dải thông dải chặn, sai lệch cực đại cực tiểu hóa Kết xuất gợn sóng có biên độ dải thơng dải chặn Như ta trình bày mục 5.2.2., với lọc FIR pha tuyến tính có chiều dài M, Hr(ωk) xác định từ h(n) với trường hợp tổng kết lại sau: Trường hợp 1: Đáp ứng xung h(n) đối xứng, h(n)=h(M-1-n), M lẻ Nếu ta đặt k = [(M-1)/2 – n] định nghĩa tập tham số {a(k)} sau: Trường hợp 2: Đáp ứng xung h(n) đối xứng, h(n)=h(M-1-n), M chẵn Giáo trình Xử lý tín hiệu số 149 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Đổi số từ n thành k = (M/2 –n) định nghĩa thông số {b(k)} sau: b(k) = 2h(M/2 -k); k=1,2, ,M/2 (5.97) Để thực việc tối ưu hóa, ta viết lại pt(5.98) đưới dạng: Trường hợp 3: Đáp ứng xung h(n) phản đối xứng, h(n) = -h(M-1-n), M lẻ Trong trường hợp Hr(ωk)có biểu thức là: Ta thay đổi số n tổng k = [(M-1)/2 – n] định nghĩa tập thông số mới: Như trên, để thuận tiện, ta xếp pt(5.103) dạng: Trường hợp 4: Đáp ứng xung h(n) phản đối xứng, h(n) = -h(M-1-n), M chẵn Trong trường hợp Hr(ωk)có biểu thức là: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 150 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Ta thay đổi số n tổng k = [M/2 – n] định nghĩa tập thông số Như trên, ta xếp pt(5.108) dạng: Biểu thức Hr(ωk) bốn trường hợp biểu diễn dạng tổng quát sau: Hr(ω) = Q(ω)P(ω) (5.111) Tổng quát, Q(ω) P(ω) diển tả sau: với {α(k)} tham số đặc trưng cho lọc mà có quan hệ tuyến tính với đáp ứng xung h(n) và: Hàm sai số có trọng số E(ω) Ta thấy Q(ω), P(ω) hàm có giá trị thực, đó, Q(ω) hàm cố định biết P(ω) hàm cần phải tìm Gọi H dr(ω) đáp ứng tần số mong muốn có giá trị thực, H dr(ω) chọn cách đơn giản dải thơng, Giáo trình Xử lý tín hiệu số 151 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam zero dải chặn (Xem đáp ứng tần số lọc lý tưởng hình 4.7, chương4) Vấn đề phải tìm hệ số α(k) P(ω) cho sai số đáp ứng tần số H r(ω) lọc thực tế đáp ứng tần số Hdr(ω) lọc lý tưởng nhỏ Để thực điều này, ta định nghĩa hàm trọng số sai số gần (the weighting function on the approximation error) W(ω).Từ việc định Hdr(ω) W(ω), sai số lọc số thực tế lọc số lý tưởng đánh giá hàm sai số có trọng số E(ω) sau: E(ω) = W(ω)[Hdr(ω)-Hr(ω)] = W(ω)[Hdr(ω)-Q(ω)P(ω)] Về mặt qui ước tốn học, ta định nghĩa hàm trọng số biến dạng: Phương trình (5.118) sử dụng cho tất loại lọc FIR pha tuyến tính trình bày Bài toán gần xác định tập hệ số cho cực tiểu hóa giá trị tuyệt đối sai số E(ω) dải tần mà ta thực thực phép tính gần Ta giải vấn đề công thức tốn học sau: đó: S bao gồm dải thơng dải chặn mạch lọc mong muốn Xác định hàm trọng số W(ω): Hàm trọng số W(ω) xác định cách so sánh đáp ứng biên độ lọc thực tế với đáp ứng biện độ lọc lý tưởng Ví dụ, ta xét lọc thông thấp FIR thực tế với tần số cạnh dải thông ωp, tần số cạnh dải chặn ωs (xem lại tiêu chuẩn kỹ thuật trình bày đặt tuyến đáp ứng biên độ lọc thơng thấp hình 4.9, chương 4) Trong dải thông, đáp ứng tần số thỏa điều kiện: 1- δ1 ≤ Hr(ω) ≤ 1+δ1 ; ω≤ ωρ hay | |Hdr(ω)| - |Hr(ω)| | = δ1 (5.120) Trong dải chặn, đáp ứng tần số thoả điều kiện: -δ2 ≤ Hr(ω) ≤ δ2 ; ω> ωs hay | |Hdr(ω)| - |Hr(ω)| | = δ2 (5.121) Ở đây: δ1 gợn sóng dải thơng, δ2 gợn sóng dải chặn, (δs-δp) độ rộng dải độ Nói chung, δ1≠δ2 nên hàm trọng số chọn khác dải thông dải chặn việc chọn W(ω) phụ thuộc vào giá trị δ1 δ2 Ta đặt: δ = max|E(ω)| (5.122) thì: δ = max[δ1, δ2] (5.123) Giả sử δ1 > δ2 ta có: δ1 = δ2 , hàm trọng số chuẩn hóa dải chắn δ1/δ2 dải thơng, tức là: Giáo trình Xử lý tín hiệu số 152 Trường Đại học Điện Lực – Tập đoàn Điện Lực Việt Nam Parks McClellan (1972) vận dụng phép xấp xỉ Chebyshev, cụ thể định lý xoay chiều (Alternation theorem) để giải toán Định lý xoay chiều: Gọi S tập khoảng tần số [0,π), điều kiện cần miền đủ xấp xỉ với cách tốt theo nghĩa Chebyshev S hàm sai số E(ω) tồn L+2 thành phần tần số cực trị S Nghĩa phải tồn L+2 tần số ωi S cho Ta thấy rằng, hàm sai số đổi dấu hai tần số cực trị kề nên định lý gọi định lý xoay chiều Để làm rõ định lý xoay chiều Ta xét trường hợp thiết kế lọc thông thấp với dải thông 0≤ω≤ωp dải chặn ωs≤ω≤π Ta có: Vì W(ω) Hdr(ω) có giá trị (trên đoạn) nên: Từ phương trình (5.125) ta thấy tần số ω i tương ứng với đỉnh E(ω) tương ứng với đỉnh Hr(ω), với độ sai lệch cho phép Vì H r(ω) đa thức lượng giác bậc L, giả sử thiết kế lọc ứng với trường hợp 1, ta có: Ta nhận thấy Hr(ω) có (L-1) cực trị khoảng mở 0