Bộ 20 đề cơ bản ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2019 được biên soạn dựa theo cấu trúc đề minh họa của Bộ GD năm 2019, tập trung vào 2 mức độ cơ bản (Nhận biết và Thông hiểu) phù hợp cho đa số đối tượng học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình ôn luyện chắc kiến thức căn bản.
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tuyển tập Bộ ba câu phân loại Trong đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 MÔN TOáN * PT, HPT, BPT * PP tọa độ MP * BĐT, Tìm GTLN, GTNN DIỄN www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Mục lục I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 14 Lý thuyết chung 1.1 Hệ tọa độ 1.2 Phương trình đường thẳng 1.2.1 Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng: 1.2.2 Phương trình đường thẳng 1.2.3 Vị trí tương đối điểm đường thẳng 1.3 Góc khoảng cách 1.4 Phương trình đường tròn 1.5 Phương trình Elip Một số kĩ thuật 2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm 2.1.1 Dựa vào hệ điểm 2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm hai đường 2.1.3 Điểm thuộc đường 2.2 Tìm tọa độ hình chiếu điểm lên đường thẳng 2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm qua đường thẳng 2.4 Viết phương trình đường thẳng qua điểm, cách điểm cho trước khoảng cho trước 2.5 Viết phương trình đường thẳng qua điểm, tạo với đường thẳng khác góc cho trước 2.6 Viết phương trình đường phân giác góc 2.7 Viết phương trình đường tròn qua ba điểm 2.8 Viết phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm đường tròn 14 14 14 14 14 15 15 16 16 17 17 17 17 18 19 19 20 21 21 23 23 Phương pháp giải toán 24 3.1 Phương pháp chung 24 3.2 Một số hướng khai thác giả thiết 24 3.3 Ví dụ 25 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 29 29 29 29 29 30 30 30 Trục thức 1.1 Trục thức để xuất nhân tử chung 1.1.1 Phương pháp 1.1.2 Ví dụ 1.2 Đưa “hệ tạm” 1.2.1 Phương pháp 1.2.2 Ví dụ Biến đổi phương trình tích 31 2.1 Các biến đổi thường dùng 31 2.2 Ví dụ 31 Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phương pháp đặt ẩn phụ 3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 3.2 Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến 3.2.1 Phương trình dạng: a.A (x) + bB (x) = c A (x) B (x) 3.2.2 Phương trình dạng: αu + βv = mu + nv 3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 33 33 35 36 37 38 39 39 41 41 42 Phương pháp lượng giác hóa 5.1 Một số kiến thức 5.2 Xây dựng phương trình vơ tỉ phương pháp lượng giác hóa 5.3 Một số ví dụ 44 44 44 45 Phương pháp dùng Bất đẳng thức 46 Phương pháp hàm số 48 III MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT 51 Phương pháp đưa hệ phương trình 4.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường 4.2 Đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II 4.2.1 Hệ đối xứng 4.2.2 Dạng hệ gần đối xứng Những BĐT cổ điển thường dùng 51 1.1 BĐT hai biến 51 1.2 BĐT ba biến 51 Một số kĩ thuật chứng minh BĐT 2.1 Kĩ thuật ghép đối xứng 2.2 Kĩ thuật tách ghép 2.3 Kỹ thuật dùng BĐT 2.4 Kĩ thuật dùng miền xác định biến số 2.5 Một số cách biến đổi điều kiện thường gặp 2.6 BĐT 2.7 Kĩ thuật sử dụng hàm số 51 51 53 55 58 60 62 65 IV BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 68 Đề minh hoạ THPT 68 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên 68 THTT số 453 tháng 04 năm 68 THPT Số Bảo Thắng (Lào Cai) 69 THPT Bố Hạ (Bắc Giang) 69 Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 THPT Chu Văn An (Hà Nội) 69 THPT chuyên Hà Tĩnh 69 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An) 70 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc) 70 10 THPT chuyên Hưng Yên 70 11 THPT chuyên Lê Hồng Phong (Hồ Chí Minh) 71 12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) 71 13 THPT Lục Ngạn số (Bắc Giang) 71 14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) 71 15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 72 16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên) 72 17 THPT Minh Châu (Hưng Yên) 72 18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 73 19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên) 73 20 THPT Quỳnh Lưu (Nghệ An) 73 21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An) 74 22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) 74 23 THPT Thuận Châu (Sơn La) 75 24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa) 75 25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An) 75 26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh) 76 27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh) 76 28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh) 76 29 THPT chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp) 77 30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP HCM) 77 31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa) 77 32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh) 78 Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB 78 34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D 78 35 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 79 36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 79 37 THPT Thường Xuân (Thanh Hóa) 79 38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa) 80 39 THPT Triệu Sơn (Thanh Hóa) 80 40 Trung tâm dạy thêm văn hóa (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) 80 41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 81 42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh) 81 43 THPT Hậu Lộc (Thanh Hóa) 81 44 Đề 44 82 45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc (lần 1) 82 46 Sở GDĐT Vĩnh Long 82 47 Sở GDĐT TP Hồ Chí Minh 83 48 Sở GDĐT Thanh hóa 83 49 Sở GDĐT Quảng Ngãi 83 50 Sở GDĐT Quảng Nam 84 51 Sở GDĐT Lào Cai 84 52 Sở GDĐT Lâm Đồng 84 53 Sở GDĐT Bình Dương 85 54 THPT Nguyễn Văn Trỗi 85 55 THPT Chuyên ĐH Vinh 85 56 THPT Thủ Đức (TP Hồ Chí Minh) 86 57 THPT Nơng Cống (Thanh Hóa) lần 86 58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 86 59 THPT Lam Kinh 87 Trang www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 60 THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh) 87 61 THPT Đa Phúc (Hà Nội) 87 62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang) 88 63 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa) 88 64 THPT Quảng Hà 88 65 THPT Thống 89 66 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 89 67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc) 89 68 THPT chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 90 69 THPT chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) 90 70 Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) 90 71 Chun Lê Q Đơn (Bình Định) 91 72 Chuyên ĐH Vinh lần 91 73 Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) 91 V HƯỚNG DẪN VÀ LỜI GIẢI 92 Đề minh họa THPT Quốc gia 92 Sở GDĐT Phú Yên 93 THTT Số 453 95 THPT Số Bảo Thắng (Lào Cai) 96 THPT Bố Hạ (Bắc Giang) 98 THPT Chu Văn An (Hà Nội) 99 THPT Chuyên Hà Tĩnh 101 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An) 102 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc) 104 10 THPT Chuyên Hưng Yên 105 11 THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP HCM) 107 12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) 108 Trang 10 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 13 THPT Lục Ngạn số (Bắc Giang) 110 14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) 111 15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 112 16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên) 113 17 THPT Minh Châu (Hưng Yên) 116 18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 119 19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên) 120 20 THPT Quỳnh Lưu (Nghệ An) 123 21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An) 126 22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) 127 23 THPT Thuận Châu (Sơn La) 129 24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa) 131 25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An) 133 26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh) 135 27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh) 137 28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh) 140 29 THPT Chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp) 142 30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP HCM) 144 31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa) 146 32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh) 148 33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB 151 34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D 153 35 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 155 36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) 158 37 THPT Thường Xuân (Thanh Hóa) 160 38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa) 162 39 THPT Triệu Sơn (Thanh Hóa) 164 Trang 11 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 40 Trung tâm dạy thêm văn hóa - THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP HCM) 166 41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 167 42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh) 169 43 THPT Hậu Lộc (Thanh Hóa) 171 44 Đề 44 173 45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc lần 174 46 Sở GDĐT Vĩnh Long 176 47 Sở GDĐT TP Hồ Chí Minh 177 48 Sở GDĐT Thanh Hóa 178 49 Sở GDĐT Quảng Ngãi 180 50 Sở GDĐT Quảng Nam 181 51 Sở GDĐT Lào Cai 183 52 Sở GDĐT Lâm Đồng 185 53 Sở GDĐT Bình Dương 186 54 THPT Nguyễn Văn Trỗi (Hà Tĩnh) 187 55 THPT Chuyên ĐH Vinh 189 56 THPT Thủ Đức (TP Hồ Chí Minh) 192 57 THPT Nơng Cống (Thanh Hóa) lần 193 58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 196 59 THPT Lam Kinh (Thanh Hóa) 198 60 THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh) 199 61 THPT Đa Phúc (Hà Nội) 202 62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang) 203 63 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa) 205 64 THPT Quảng Hà (Quảng Ninh) 207 65 THPT Thống (Bình Phước) 210 66 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 212 Trang 12 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc) 215 68 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 216 69 THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) 218 70 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) 221 71 THPT Chun Lê Q Đơn (Bình Định) 222 72 THPT Chuyên ĐH Vinh lần 225 73 THPT Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) 227 Trang 13 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Lý thuyết chung 1.1 Hệ tọa độ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y cho điểm: A x A ; y A , B x B ; y B ,C xC ; yC −→ • Tọa độ vectơ: AB = x B − x A ; y B − y A • Tọa độ trung điểm J đoạn thẳng AB , trọng tâm G tam giác ABC là: x A + xB y A + y B x A + x B + xC y A + y B + y C J ; ; G ; 2 3 1.2 1.2.1 Phương trình đường thẳng Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng: → − − − • Vectơ → u (→ u = ) vectơ phương đường thẳng d có giá song song trùng với đường thẳng d → − − − • Vectơ → n (→ n = ) vectơ pháp tuyến đường thẳng d có giá vng góc với đường thẳng d − • Đường thẳng ax + b y + c = có vectơ pháp tuyến → n = (a; b) • Hai đường thẳng song song có vectơ phương (vectơ pháp tuyến) • Hai đường thẳng vng góc có vectơ pháp tuyến đường thẳng vectơ phương đường thẳng − − − − • Nếu → u ,→ n vectơ phương, vectơ pháp tuyến đường thẳng d → u → n = − − Do đó, → u = (a; b) → n = (b; −a) − • Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến, vô số vectơ phương Nếu → n vectơ → − pháp tuyến (vectơ phương) đường thẳng d k n (k = 0) vectơ pháp tuyến, vectơ phương d 1.2.2 Phương trình đường thẳng • Phương trình tổng quát đường thẳng: ax + b y + c = (a + b > 0) (1) − Đường thẳng qua điểm M (x ; y ) nhận → n = (a; b) vectơ pháp tuyến có phương trình dạng: a(x − x ) + b(y − y ) = (2) Đặc biệt: đường thẳng qua (a; 0), (0; b) có phương trình theo đoạn chắn: x y + =1 a b Trang 14 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 (3) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc) Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox y , cho tam giác ABC cân A , đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A d : 2x + y − = Đỉnh B thuộc trục hồnh, đỉnh C thuộc trục tung diện tích tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác Lời giải −→ Giả sử B (b; 0,C (0; c) Khi BC = (−b; c) Gọi H trung điểm BC Ta có H b c ; 2 Một vectơ phương đường thẳng d u = (−1; 2) Do tam giác ABC cân A nên: −→ BC u = ⇐⇒ H ∈d Suy ra: B (4; 0),C (0; −2) Ta có BC = 2, H (2; −1) Mặt khác: Giả sử A(a; − 2a) Ta có: b + 2c = ⇐⇒ 2b + c = S ABC = BC AH ⇐⇒ AH = AH = b=4 c = −2 a =1 a =3 ⇐⇒ Vậy A(1; 1) A(3; −3) Bài Giải hệ phương trình x + y + x − y = 12 y x − y = 12 Lời giải Điềukiện |x| ≥ |y| Đặt u = x − y 2, u ≥ v =x+y Vì x = −y khơng thỏa mãn hệ nên ta xét x = −y Ta có y = u2 v− v Hệ phương trình cho có dạng: u + v = 12 u2 u ⇐⇒ v − = 12 v • u=4 x2 − y = ⇐⇒ ⇐⇒ x+y =8 v =8 x =5 y =3 u = 4; v = u = 3; v = (thỏa mãn) Trang 215 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 u=3 x2 − y = ⇐⇒ ⇐⇒ x+y =9 v =9 • x =5 y =4 (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: (5; 3), (5; 4) Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: abc = Chứng minh rằng: a 2+b a + b 2+c b + c 2+a c ≥1 Lời giải Ta có: a 2+b a Tương tự: = a a + ba ≥ a + a + ba b 2+c b c 2+a c (do + a ≥ a) ≥ b + b + bc ≥ c + c + ac Cộng theo vế BĐT trên, ta có: a 2=b a + b 2+c b + c a b c + + + a c + a + ba + b + cb + c + ac abc b cb = + bc + bca + babc + b + cb b + bc + abc b cb = + =1 bc + + b + b + cb b + bc + ≥ Ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 68 THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần Bài Cho đường tròn (C ) có phương trình x + y − 2x − 4y + = P (2; 1) Một đường thẳng d qua P cắt đường tròn A B Tiếp tuyến A B đường tròn cắt M Tìm tọa độ M biết M thuộc đường tròn (C ) : x + y − 6x − 4y + 11 = Lời giải Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2), bán kính R = Gọi M (a; b) Vì M ∈ (C ) nên a + b − 6a − 4b + 11 = Gọi K trung điểm I M , suy K (a) a +1 b +2 ; 2 Trang 216 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phương trình đường tròn đường kính I M : a +1 x− 2 b +2 + y− 2 = (a − 1)2 (b − 2)2 + 4 ⇐⇒ x + y − (a + 1)x − (b + 2)y − a − 2b = Vì A, B thuộc (C ) (I M ) nên suy phương trình đường thẳng AB : (a −1)x +(b −2)y +1−a −2b = Do P ∈ AB =⇒ a − b − = Từ (a) (b) suy (b) a =4 =⇒ M (4; 1) b=1 Bài Giải hệ phương trình x + y + 2y − + x − y = (x, y ∈ R) y2 + = x y + y Lời giải Điều kiện Đặt a = 2y − ≥ y≥ ⇐⇒ x ≥ y2 x−y ≥0 2y − 1, b = a2 + x − y (a, b ≥ 0) Khi x − y = b2 Khi hệ cho trở thành Đặt y= =⇒ x + y = a + + b a2 + b2 + a + b − = a2b2 + a2 + b2 − = S + S − 2P = S = a +b (S, P ≥ 0, S ≥ 4P ) ta P + S − 2P = P = ab (a) (b) Trừ (a) cho (b) ta S − P = =⇒ S = P + Thay S = P + vào (b) ta P + P + 2P + − 2P = ⇐⇒ P + 3P − 2P − = ⇐⇒ (P − 1)(P + P + 4P + 2) = ⇐⇒ P =1 P + P + 4P + = Vì P ≥ nên (∗) ⇐⇒ P = =⇒ S = Từ a = b = =⇒ x =2 y =1 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) Trang 217 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài Với a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c + 3(ab + bc + ca) Hướng dẫn Kí hiệu P = P (a, b, c) = a + b + c + 3(ab + bc + ca) Dễ thấy cần xét a, b, c ≥ Giả sử a = max{a, b, c} đặt s = b2 + c , p = bc Ta chứng minh: (81) P (a, b, c) ≤ P (a, s, s) Khi đó, để ý a + s + s = 3, tốn đưa trường hợp có hai số Viết lại biểu thức theo s p , ta có: P (a, b, c) = 4s − 2p + 3p + 3a 2s + 2p = f (p) Xem f (p) hàm số biến p : 3a f (p) = −4p + + Vì ≤ p ≤ s ≤ ≤ a nên: f (p) ≥ −4 + + 2s + 2p 2+2 = >0 Do f (p) đồng biến [0, s] Suy ra: f (p) ≤ f (s) = P (a, s, s) (81) chứng minh xong Bây cần xét tốn có hai số (cụ thể trường hợp a ≥ ≥ b = c ) Bài toán trở thành biến, tính đạo hàm lập bảng biến thiên ta dễ dàng tìm max a = b = c = a = 2b = 2c = 69 THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) Bài Trong mặt phẳng hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường cao AH có phương trình 13x − 6y − = 0, x − 2y − 14 = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I (−6; 0) Lời giải Tọa độ A nghiệm hệ: x − 2y − 14 = =⇒ 13x − 6y − = Kẻ đường kính A A đường tròn ngoại tiếp x = −4 =⇒ A(−4; −9) y = −9 ABC Trang 218 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 A Khi A (−8; 9) Gọi K trực tâm ABC Dễ thấy B K C A có cặp cạnh đối song song nên B K C A hình bình hành Do M trung điểm A K Vì K M nằm đường thẳng AH AM nên tọa độ K (2k + 14, k) M m, M làtrung điểm A K , suy ra: 2k + 14 − = 2m 13m − =⇒ k + = I 13m − K H k = −1 =⇒ m=2 B K (12; −1) M (2; 4) C M A −−→ Đường thẳng BC qua M nhận AK làm vtpt nên BC : 2x + y − = Giả sử B (b; − 2b) Vì I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC nên I A = I B ⇐⇒ + 81 = (b + 6)2 + (2b − 8)2 ⇐⇒ b=3 b=1 Với b = ta có B (3; 2) Do C đối xứng với B qua M nên C (1; 6) Với b = ta có B (1; 6) Do C đối xứng với B qua M nên C (3; 2) Bài Giải bất phương trình 2x + x > 11 + x −2 Lời giải Điều kiện x ≥ 0, x = Bất phương trình cho tương đương: 2(x − 2) + x > + 7x ⇐⇒ 2(x − 2) + x > x −2 x −2 Dễ thấy x = không làm nghiệm bất phương trình Xét < x = 2, chia vế BPT cho Đặt t = x −2 x x ta 2(x − 2) x +5 > x x −2 , BPT trở thành t >1 2t + 5t − 2t + > ⇐⇒ > ⇐⇒ t (2t + 7)(t − 1) > ⇐⇒ − hay x ( x + 1)( x − 2) > ⇐⇒ x > x 7 x −2 Với − < t < ta có − < < hay 2 x 0 0, x, y ∈ R a b a +b Áp dụng đánh giá ta có: (a + b)2 − (a + b) (a + b)2 P≥ + = + −1 2+a +b a +b a +b +2 a +b (a + b)2 Đặt t = a + b , = a + b + ab ≤ a + b + =⇒ a + b ≥ nên t ≥ Khảo sát hàm số f (t ) = t2 3 + − với t ≥ ta thu f (t ) ≥ f (2) = t +2 t Vậy P ≥ Đẳng thức xảy a = b = Vậy P = t2 3 Nhận xét Để tìm GTNN biểu thức + ta sử dụng kĩ thuật túy BĐT t +2 t sau: t2 t2 t +2 1 t (t + 2).2 + = + + − ≥3 − = t +2 t t +2 2t t (t + 2).2t t 2 Đẳng thức xảy t = hay a = b = 71 THPT Chuyên Lê Q Đơn (Bình Định) Bài Trong mặt phẳng hệ tọa độ Ox y , cho hình thang cân ABC D ( AD ∥ BC ) có phương trình đường thẳng AB : x −2y +3 = đường thẳng AC : y −2 = Gọi I giao điểm AC B D Tìm tọa độ đỉnh hình thang cân ABC D , biết I B = I A 2, hoành độ I lớn −3 M (−1; 3) nằm đường thẳng B D Trang 222 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Lời giải A A = AB ∩ AC =⇒ A(1; 2) D E Lấy E (0; 2) ∈ AC Suy E A = Qua E kẻ đường thẳng song song B D cắt AB F Theo I M F EA IA = =⇒ E F = E A = EF IB B C −→ Vì F ∈ AB =⇒ F (2t − 3; t ) Do E F = (2t − 3; t − 2) t =1 11 Suy (2t − 3)2 + (t − 2)2 = ⇐⇒ t= −→ −→ Với t = F (−1; 1) =⇒ E F = (−1; −1) Vì E F ∥ B D nên E F vtcp B D , M ∈ B D nên phương trình B D : x − y + = Và I = B D ∩ AC =⇒ I (−2; 2) định lý Thales Vì B = B D ∩ AB =⇒ B (−5; −1) Bởi ABC D hình thang cân nên IB IB = =⇒ I B = I A ID −→ −→ 2.I D =⇒ I B = − I D =⇒ D − 2; +2 −→ −→ IA=− IC =⇒ C (−3 − 2; 2) Với t = 11 −→ E F = ; vtcp B D , từ phương trình B D : x − 7y + 22 = 5 I = B D ∩ AC =⇒ I (−8; 2) (loại x I > −3) Bài (1 − y)(x − 3y + 3) − x = (y − 1)3 x Giải hệ phương trình (x, y ∈ R) x − y + x − = 2(y − 2) Lời giải y ≥1 Điều kiện x ≥ y x ≥0 ⇐⇒ x2 ≥ y x ≥ 1, y ≥ Đánh số phương trình đầu (a), phương trình sau (b) (a) ⇐⇒ 3(y − 1)2 − x(y − 1) − x = (y − 1) y −1 x Nhận xét y = không nghiệm hệ Xét y > 1, chia vế (a) cho (y − 1)2 ta được: x x 3− − y −1 y −1 Đặt t = = x y −1 x (t > 0), ta có: y −1 t + t + t − = ⇐⇒ t =1 ⇐⇒ t = t + t + 2t + = (do t > 0) Trang 223 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Với t = y = x + 1, thay vào phương trình (b) ta x2 − x − + x − = 2(x − 1) ⇐⇒ x2 − x − + ⇐⇒ x2 − x − + ⇐⇒ x2 − x − 1 + x − − (x − 1)3 3 (x − 4)2 + x − 4.(x − 1) + (x − 1)2 6(x − x − 1) =0 (x − 4)2 + x − 4.(x − 1) + (x − 1)2 x2 − x − (x − 4)2 + x − 4.(x − 1) + (x − 1)2 ⇐⇒ x − x − = ⇐⇒ x = Với x = 1+ (x ≥ 1) 1+ 3+ =⇒ y = 2 So điều kiện hệ có nghiệm (x, y) = 1+ 3+ , 2 Bài Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn 2x + 3y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x y + y + 5(x + y ) − 24 8(x + y) − (x + y + 3) Lời giải Ta có 5(x + y ) = (4 + 1)(x + y ) ≥ 2x + y Và (x + y − 3)2 = x + y + + 2x y − 6(x + y) ≥ nên 2(x y + x + y + 3) ≥ 8(x + y) − (x + y + 3) Từ suy P ≥ 2(x y + x + y) − 24 2(x y + x + y + 3) Mặt khác từ giả thiết suy (2x + 3y + 5)2 x + y + x y = (x + 1)(y + 1) − = (2x + 2)(3y + 3) − ≤ −1 ≤ 24 Đặt t = 3 2(x + y + x y + 3) < t ≤ 2 3 Xét hàm số f (t ) = t − − 24t với < t ≤ 2 Ta có f (t ) = 3t − 24 < ∀t ∈ (0; 2] 3 Vậy f (t ) nghịch biến (0; 2] Do f (t ) ≥ f (2 2) = 10 − 48 3 Vậy P ≥ 10 − 48 Đẳng thức xảy a = 2, b = Vậy P = 10 − 48 Trang 224 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 =0 =0 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 72 THPT Chuyên ĐH Vinh lần Bài ; có đường tròn ngoại tiếp (C ) tâm I Biết điểm M (0; 1), N (4; 1) đối xứng I qua đường thẳng AB, AC , đường thẳng BC qua điểm K (2; −1) Viết phương trình đường tròn (C ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có trọng tâm G Lời giải A Gọi H , E trung điểm M N , BC =⇒ H (2; 1) Từ giả thiết ta suy I AM B, I ANC hình thoi Suy AM N , I BC tam giác cân =⇒ N Hc AH ⊥ M N I E ⊥ BC =⇒ AH E I hình bình hành =⇒ G trọng tâm tam giác H E I =⇒ HG cắt I E F trung điểm I E Từ BC ∥ M N K (2; −1) ∈ BC Ta viết được: BC : y + = M G I F K C E B Mặt khác: −−→ −−→ H F = HG =⇒ F 3; − 2 E F ⊥ BC =⇒ E F : x = =⇒ E (3; −1) Vì F trung điểm I E nên I (3; 0) R = I A = H E = Suy phương trình (C ) (x − 3)2 + y = Bài Giải bất phương trình: 3(x − 1) 2x + < 2(x − x ) (82) Lời giải Điều kiện: x ≥ − Với điều kiện trên, ta có: (82) ⇐⇒ (x − 1)[2x − 3(x + 1) 2x + 1] > ⇐⇒ (x − 1)[2(x + 1)2 − 3(x + 1) 2x + − 2(2x + 1)] > ⇐⇒ (x − 1)(x + − 2x + 1)[2(x + 1) + 2x + 1] > ⇐⇒ (x − 1)(x + − 2x + 1) > (a) Trang 225 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ∀x ≥ − , ta xét hai trường hợp sau: Do 2(x + 1) + 2x + > 0, +) − ≤ x < Khi đó: (a) ⇐⇒ (x + − 2x + 1) < ⇐⇒ x − 6x − < ⇐⇒ − < x < + Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm − < x < +) x > Khi đó: (1 ) ⇐⇒ (x + − 2x + 1) > ⇐⇒ x − 6x − > ⇐⇒ x > 3+2 x < 3−2 Kết hợp điều kiện, ta nghiệm x > + Vậy ta nghiệm bất phương trình − < x < x > + Bài Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn x + z ≤ 2y x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P= xy yz + − y + + z2 + x2 x3 z3 Lời giải Từ giả thiết ta có: xz ≤ y Chú ý rằng, với x, y ≥ a, b ta có: (x + y)2 x y ≤ + a +b a b Thật vậy, (83) tương đương với (a y − bx)2 ≥ Khi đó: yz (x + y)2 (z + y)2 1 xy + − y + ≤ + − y3 + 2 3 2 1+z 1+x x z 4(1 + z ) 4(1 + x ) x z 2 (x + y) (z + y) 1 = + − y3 + 2 2 2 4(x + y + 2z ) 4(2x + y + z ) x z P= ≤ x2 y2 z2 y2 + + + − y + x2 + z2 z2 + y x2 + z2 x2 + y x3 z3 = 1 y2 y2 1 + + − y3 + 2 2 4 z +y x +y x z ≤ 1 y2 y2 1 + + − y3 + 4 2y z 2x y x z = 1 y y y3 y3 + + − 3+ z x x z 1 + 1 ≤ + 1 = + ≤ y y y y y2 y y + − + +3 + z x x z xz x z y y y y 3 y y y y + − + + + + z x x z x z x z y y y y + − + z x z x Trang 226 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 (83) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Đặt t = y2 1 ≥ Khi P ≤ − t + t + zx y y + , t ≥2 z x Xét hàm số f (t ) = − t + t + Suy max f (t ) = f (2) = − [2;+∞) với t ≥ Ta có f (t ) = − t + < 0, ∀t ≥ 4 3 Suy P ≤ − , dấu đẳng thức xảy x = y = z = 3 Vậy giá trị lớn P − , dấu" = "xảy x = y = z = 73 THPT Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho hình chữ nhật ABC D có diện tích 16, đường thẳng AB, BC ,C D, D A qua điểm M (4; 5), N (6; 5), P (5; 2),Q(2; 1) Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải AB qua M (4; 5) nên phương trình AB có dạng: ax + b y − 4a − 5b = (a + b = 0) BC ⊥ AB BC qua N (6; 5) =⇒ phương trình BC có dạng bx − a y − 6b + 5a = Ta có diện tích hình chữ nhật: S = d (P,AB ) d (Q,BC ) = 16 |a − 3b| |4a − 4b| = 16 a2 + b2 a2 + b2 ⇐⇒ a − 4ab + 3b = ±4(a + b ) ⇐⇒ ⇐⇒ 3a + 4ab + b = 5a − 4ab + 7b = ⇐⇒ a +b = 3a + b = (vô nghiệm) +Với a + b = 0, chọn a = 1, b = −1 ta phương trình AB là: x − y + = +Với 3a + b = 0, chọn a = 1, b = −3 ta phương trình AB : x − 3y + 11 = Bài Giải hệ phương trình: x − x y − y = 2x − x + (1) (x, y ∈ R) 2 y + x + + 16 − 3y = 2x − 4x + 12 (2) Lời giải Trang 227 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 x ≥ −2 16 ĐK: y≤ Phương trình (1) =⇒ (x − y − 2).(x + 1) = ⇐⇒ y = x − Thay vào phương trình (2) ta được: (x − 2)2 + x + + 16 − 3(x − 2) = 2x − 4x + 12 ⇐⇒ x + + 22 − 3x = x + ⇐⇒ (x − 4) + 4(2 − x + 2) + (4 − 22 − 3x) = ⇐⇒ (x − 2) (x + 2) − ⇐⇒ 2+ x +2 + + 22 − 3x =0 x − = =⇒ y = (x + 2) − + =0 + x + + 22 − 3x Giải (*), ta xét hàm số: f (x) = (x + 2) − f (x) = + x + 2(2 + 2+ x +2 x + 2)2 + + + 22 − 3x 22 − 3x(4 + =⇒ f (x) liên tục đồng biến đoạn −2; (∗) đoạn −2; 22 − 3x)2 ≥0 22 ∀x ∈ −2; 22 22 22 , mà −1 ∈ −2; f (−1) = 3 Từ đó: (∗) =⇒ f (x) = f (−1) ⇐⇒ x = −1 ⇐⇒ y = −3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (2; 0) (x; y) = (−1; −3) Bài Cho x; y; z số thực thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= (x + y)2 2(x + y + z)2 − 2(x + y ) − z Lời giải Ta có P= (x + y)2 (x + y)2 (x + y)2 = = 2(x + y + z)2 − 2(x + y ) − z z + 4(x y + y z + zx) z + 4(x + y)z + 4x y Ta có 4x y ≤ (x + y)2 nên P≥ Đặt t = (x + y) x y + z z z + (x + y)z + (x + y)2 = 1+4 x y x y + + + z z z z x y + , x, y, z ∈ [1; 2] nên t ∈ [1; 4] z z Trang 228 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Ta có f (t ) = t 4t + 2t , f (t ) = >0 + 4t + t (1 + 4t + t )2 t ∈ [1; 4] Hàm số f (t ) đồng biến [1; 4] nên f (t ) đạt GTNN x=y Dấu " = " xảy z = x + y ⇐⇒ x, y, z ∈ [1; 2] Vậy P = t = x =y =1 z =2 x = y = 1; z = Trang 229 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ... 51 51 53 55 58 60 62 65 IV BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 68 Đề minh hoạ THPT 68 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên 68 THTT số 453 tháng 04 năm 68 THPT... phương trình đường phân giác góc Để viết phương trình đường phân giác góc B AC ta có nhiều cách Dưới cách thường sử dụng: Cách 1: Dựa vào tính chất đường phân giác tập hợp d A điểm cách hai đường... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 phân giác trong, phân giác Cụ thể, B,C phía phân giác ngồi, khác phía phân giác A Cách 2: Lấy B ,C thuộc AB, AC cho: C B D B C −−→