ĐÈ THI TUYỂN SINH VÀOLỚP CHỌN Năm học 2009 – 2010 Đề bài Bài 1. Cho biểu thức 1 2 1 : 1 1 1 1 x x P x x x x x x = + − − ÷ ÷ ÷ ÷ + − + − − . 1. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P. 2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q P x= − nhận giá trị nguyên. Bài 2. 1. Giải phương trình: (x 2 + 3x + 2)(x 2 + 7x + 12) = 24. 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 1 2 3 A x = − − . Bài 3. Chứng minh rằng: 1 ( 1)x x x x> − + − với mọi x ≥ 1. Bài 4. Trong mặt phẳng toạ độ xét đường thẳng (d m ) có phương trình: 2mx + (m – 1)y = 2 với m là tham số. 1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng (d m ) luôn đi qua điểm có toạ độ không đổi. Tìm toạ độ của điểm đó. 2. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đển đường thẳng (d m ). Bài 5. Cho tam giác AEF vuông tại E. Đường tròn (O; R) bàng tiếp trong góc A của tam giác AEF tiếp xúc với AE, EF và AF lần lượt tại B, M, C. 1. Biết AE = a. Tính chu vi tam giác AEF theo a và R. 2. Đường thẳng BC cắt OE, OF lần lượt tại P và Q. Tính số đo góc · OQP . Hướng dẫn giải: Bài 1. 1. ĐK: 1 0 0 0 1 0 1 1 0 x x x x x x x x x + ≠ ≥ ≥ ⇔ − ≠ ≠ + − − ≠ . 1 2 1 1 2 1 : 1 : 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 2 1 1 1 2 : 1 : 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = + − − = − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + − + − − − + − + + + + − + + − + + + = − = − = − = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + − − − 2. Có 2 2 1 3 3 1 1 1 1 1 x x x Q P x x x x x x + + − + = − = − = = = + − − − − . Q nguyên ⇔ 3 1x − nguyên ⇔ 1x − là ước của 3. Ta có các trường hợp: + 1x − = 3 ⇔ x = 16. + 1x − = -3 (vô nghiệm). + 1x − = 1 ⇔ x = 4. + 1x − = -1 ⇔ x = 0. Bài 2. 1. (x 2 + 3x + 2)(x 2 + 7x + 12) = 24 ⇔ (x +1)(x +2)(x + 3)(x + 4) = 24 ⇔ (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) = 24 ⇔ (x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) = 24. Đặt x 2 + 5x + 4 = t ⇒ t(t + 2) = 24 ⇔ t 2 + 2t – 24 = 0 ⇔ 4 6 t t = = − . 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 1 2 3 A x = − − . ĐK: 2 2 2 2 3 0 3 3 3 3 3 3 3 4 2 3 0 3 2 x x x x x x x − ≥ − ≤ ≤ − ≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − ≠ − − ≠ − ≠ . Có với 3 3x− ≤ ≤ thì 2 2 3 x− − > 0, do đó 2 1 2 3 x− − đạt GTNN khi 2 2 3 x− − đạt GTLN và 2 1 2 3 x− − đạt GTLN khi 2 2 3 x− − đạt GTNN. Có 2 2 3 x− − đạt GTLN khi 2 3 x− là nhỏ nhất ⇔ x = 3± . Có 2 2 3 x− − đạt GTNN khi 2 3 x− là lớn nhất ⇔ x = 0. Bài 3. 1 ( 1)x x x x> − + − . Ta sẽ chứng minh: 1 2 x x≥ − và ( 1) 2 x x x≥ − . 2 2 2 1 1 4 4 0 ( 2) 0 2 4 x x x x x x x≥ − ⇔ ≥ − ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ (luôn đúng), dấu "=" xảy ra ⇔ x = 2. 2 2 ( 1) ( 1) 1 4 4 0 ( 2) 0 2 4 4 x x x x x x x x x x x≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ (luôn đúng), dấu "=" xảy ra ⇔ x = 4. Vì dấu "=" không xảy ra đồng thời nên 1 ( 1)x x x x> − + − . Bài 4. Trong mặt phẳng toạ độ xét đường thẳng (d m ) có phương trình: 2mx + (m – 1)y = 2 với m là tham số. 1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng (d m ) luôn đi qua điểm có toạ độ không đổi. Tìm toạ độ của điểm đó. 2. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đển đường thẳng (d m ). Gọi điểm cố định mà đường thẳng đi qua là (x 0 ; y 0 ). Khi đó phương trình 2mx 0 + (m - 1)y 0 = 2 có nghiệm với mọi m ⇔ (2x 0 + y 0 )m – y 0 – 2 = 0 có nghiệm với mọi m ⇔ 0 0 0 0 0 2 0 1 2 0 2 x y x y y + = = ⇔ − − = = − . Vậy đường thẳng (d m ) luôn đi qua điểm cố định là M(1; -2). 2. Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng (d m ) với các trục Ox và Oy. Có A( 1 m ; 0), B(0; 2 1m − ), gọi H là chân đường cao hạ từ O xuống d m . Ta có tam giác OAB vuông tại O nên: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) 4 ( 1) 4 4 4 4 ( 1) m m m m OH OH OA OB m m − + − = + = + = ⇒ = + − . Bài 5. 1. Chu vi tam giác AEF = AE + EF + AF. = AE + EM + MF + AF = AE + EB + FC + AF = AB + AC = 2 AB = 2(AE + EB) = 2(a + R). 2. Có · · OQP CQF= . Có: · · 0 0 1 1 (90 ) 45 2 2 2 A QFC MFC A= = + = + . · · · · 0 0 1 (180 ) 90 2 2 A QCF ACB ABC QCF A= = ⇒ = − = − . · · · 0 0 0 0 0 180 ( ) 180 (45 90 ) 45 2 2 FQC QFC QCF A A = − + = − + + − = Q P C B M O A E F . ĐÈ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP CHỌN Năm học 2009 – 2010 Đề bài Bài 1. Cho biểu thức 1 2 1 : 1 1 1 1 x x P x