giúp củng cố kiến thức Bài viết hướng dẫn tìm cực trị của hàm số thông qua các bước giải cụ thể và các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết, các ví dụ được chọn lọc với nhiều dạng bài khác nhau như: cực trị hàm đa thức, cực trị hàm chứa căn, cực trị hàm chứ dấu giá trị tuyệt đối, cực trị hàm lượng giác …
CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƢƠNG Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c (a, b, c phụ thuộc vào tham số m) Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Phƣơng pháp: Bƣớc 1: Đạo hàm y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 2x.g(x) với g(x) = 2ax2 + b [ ( ) Để hàm số có ba cực trị khác { y’ = có ba nghiệm phân biệt ( ) ( ) g(x) = có hai nghiệm phân biệt ( ) Nhận xét: Phương trình y’ = ln có nghiệm x = đồ thị hàm ban đầu hàm số chẵn nên điểm cực trị đối xứng qua Oy Giả sử ba điểm cực trị A Oy, B C đối xứng qua Oy Bƣớc 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới phương trình (hoặc bất phương trình) theo tham số Giải phương trình ta giá trị tham số, đối chiếu với điều kiện (*) kết luận VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m2 (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Giải Đạo hàm y’ = 4x3 – 4(m + 1)x ( ) Hàm số có cực trị m + > [ ( ) m > -1 Khi đồ thị hàm số có cực trị: ( ) ( √ ) (√ ) Nhận xét: A Oy, B C đối xứng qua Oy nên ∆ABC cân A tức AB = AC nên tam giác vng cân A Cách 1: Gọi M trung điểm BC=>M(0; -2m – 1) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Do để tam giác ABC vng cân ( √ = (m + 1) ) BC = 2AM (đường trung tuyến nửa cạnh huyền) ( ( ) )√ ( ) (do m >-1) m = (do m > - 1) Cách 2: ABC vuông cân A Theo định lý Pitago ta có: AB2 +AC2 = BC2 (m + 1)[(m+1)3 – ]= (m + 1)3 - = m = (do m > -1) Cách 3: ABC vuông cân A ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) m = m = -1 (loại) Với ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ (√ Cách 4: Sử dụng ABC vuông cân A ( √ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗̂ … Giải tiếp m = Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m -1 (1), với m tham số thực Xác định giá trị tham số m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời giá trị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp Giải Đạo hàm y’ = 4x3 – 4mx = 4x(x2 – m ) = [ Hàm số cho có ba điểm cực trị Phương trình y’ = có ba nghiệm phân biệt y’ đổi dấu x qua nghiệm m>0 Cách 1: Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: ( ) ( √ ) √ √ (√ ) √ Bán kính đường tròn ngoại tiếp: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ( )√ [ √ √ Cách 2: B C đối xứng qua Oy, A thuộc Oy nên tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC thuộc Oy Giả sử I(0;a) Theo giả thiết: { ( ) √ Giải (1) ta [ TH1 ( √ ( ) ) m4 + 2m2 + m = (loại m > 0) ( √ m + m4 - 2m2 + = ) m4 - 2m2 + m = Kết hợp với m > ta [ Vậy với m = ) [ m + m4 + 2m2 + = TH2 ( [ √ √ √ giá trị cần tìm Ví dụ 3: Cho hàm số y = x4 - 8m2x2 + (1), với m tham số thực Tìm giá trị m để hàm số (1) có cực trị A, B, C diện tích tam giác ABC 64 Giải y’=4x3 – 16m2x = 4x(x2 – 4m2) Để hàm số có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt phương trình g(x) = x2 – 4m2 = có hai nghiệm phân biệt x ≠ m≠ [ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Giả sử điểm cực trị là: A(0;1), B(2m; –16m4); C(-2m; – 16m4) √( Ta thấy ( ) ) nên tam giác ABC cân A Gọi I trung điểm BC I(0;1- 16m4) nên AI = 16 m4; BC = 4|m| √ (thỏa mãn m ≠ ) √ Vậy giá trị cần tìm Ví dụ 4:Cho hàm số y = x4 – 2(1 – m2)x2 + m + (1) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn Giải ( Ta có ) [ Để hàm số có cực đại, cực tiểu |m| < Tọa độ điểm cực trị: ( ) (√ ) ( Ta có => ) ( √ ) √ √( ) Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 5: Cho hàm số y = x4 + 2mx2 + m2 + m Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị ba điểm cực trị lập thành tam giác có góc 1200 Giải Ta có y’ = 4x3 + 4mx; y’ = Gọi ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ (√ ) (√ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ [ 4x(x2 + m) = ) ( √ ( √ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ √ ( ) ) điểm cực trị ) ∆ABC cân A nên góc 1200 làA √ √ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! m = (loại) √ Vậy √ giá trị cần tìm Ví dụ 6: Cho hàm số: y = x4 – 2x2 + m + (Cm) Xác định giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có điểm cực trị nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm? Giải Ta có y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1), y’= x1 = 0; x2, = ±1 Gọi A(x1; y1), B(x2, y2), C(x3, y3) điểm cực trị (Cm) thì: A(0;m+2), B(-1; m+1), C(1;m+1) Gốc tọa độ O(0;0) trọng tâm ∆ABC { ( { ) Giá trị m cần tìm Ví dụ 7: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m (1), m tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, O gốc tọa độ, A cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại Giải Đạo hàm y’ = 4x3 – 4(m+1)x = 4x[x2 – (m + 1)] [ Hàm số có cực trị Khi đồ thị hàm số có cực trị A (√ Ta có: OA = BC ) Oy =>A(0;m); ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( √ ( ) ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ( √ ( ) √ ) Ví dụ 8: Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + m +1 (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C điểm O nằm đường tròn, O gốc tọa độ Giải Hàm số có điểm cực trị phương trình y’ = có nghiệm phân biệt >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4x3 – 4m2x = có nghiệm phân biệt m ≠ (*) Ba nghiệm phân biệt x =0 ; x = m, x = - m; Tọa độ điểm cực trị A(0; m4 + 1), B(m; 1), C(-m; 1) Gọi I tâm đường tròn qua điểm A,B, C, O; tính đối xứng đồ thị hàm số suy I, A, O thẳng hàng Bốn điểm A, B, C điểm O nằm đường tròn [ ⃗⃗⃗⃗⃗ Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ( ) ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) Giải (2): m4 + =0 => vô nghiệm Giải (3): m2 – m = m = ± ( điều kiện (*)) Vậy m = ±1 giá trị cần tìm >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ... điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, O gốc tọa độ, A cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại Giải Đạo hàm y’ = 4x3 – 4(m+1)x = 4x[x2 – (m + 1)] [ Hàm số có cực trị Khi đồ thị hàm số có cực. .. 4:Cho hàm số y = x4 – 2(1 – m2)x2 + m + (1) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn Giải ( Ta có ) [ Để hàm số có cực đại, cực tiểu... cực trị: ( ) (√ ) ( Ta có => ) ( √ ) √ √( ) Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 5: Cho hàm số y = x4 + 2mx2 + m2 + m Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị ba điểm cực trị lập thành tam giác có góc 120 0