PHỐI hợp kỹ THUẬT KWL và kỹ THUẬT MẢNH GHÉP TRONG GIẢNG dạy một số bài TOÁN TÍCH PHÂN hàm ẩn

MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2.Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Không gian nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các tính chất phương pháp tính tích phân 2.1.2 Kỹ thuật dạy học KWL kỹ thuật mảnh ghép 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Chuyên đề tích phân hàm ẩn 2.3.2 Áp dụng phối hợp kỹ thuật KWL kỹ thuật mảnh ghép để giảng dạy chuyên đề Tích phân hàm ẩn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị 1 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình Tốn lớp 12, tốn Tích phân tốn khó đa số học sinh Đặc biệt năm gần gần đây, Bộ giáo dục đào tạo sử dụng hình thức trắc nghiệm kỳ thi THPT Quốc gia mơn Tốn với số lượng 50 câu hỏi, thời gian làm 90 phút vấn đề tốn chương trình phổ thơng, đặc biệt lớp 12 ngày khai thác cách triệt để Nhiều dạng Toán xuất hiện, buộc người học phải có tư sáng tạo hồn thành tốt thi thời gian quy đinh Các Tốn Tích phân vậy, dạng tốn ngày phong phú hơn, có tốn Tích phân dạng hàm ẩn Để giải tốn đòi hỏi học sinh phải nắm vững tính chất tích phân từ hình thành tư khái qt để giải tốn Tích phân hàm ẩn cách tốt Thực tế trường THPT Bỉm Sơn giáo viên ngày quan tâm nhiều đến tất khâu chu trình lên lớp thiết kế giảng, chuẩn bị lên lớp, phương pháp kĩ thuật lên lớp, quản lí học sinh lớp, hướng dẫn học sinh chủ động học tập…Tuy nhiên phần lớn hoạt động giảng dạy theo phương pháp dạy học truyền thống, tập trung lớp học truyền đạt giáo viên Học sinh học tập áp lực lớn, thụ động, hạn chế tư sáng tạo, chưa phát huy hết khả thân, chưa có điều kiện rèn luyện kỹ sống cần thiết sau Trước tình hình tơi ln có ý thức đổi phương pháp giảng dạy, đổi hình thức giảng dạy tiết học phù hợp với điều kiện cho phép Ngồi việc dạy tốt tiết học theo thời khóa biểu, tháng tơi cố gắng thực tổ chức đến hai buổi học bồi dưỡng hồn tồn theo phương pháp dạy học tích cực lớp hội trường, giúp em thay đổi không khí học tập, tạo điều kiện cho em thể rèn luyện thân toàn diện, tạo hứng thú, khơi dậy say mê mơn Tốn học Và lý đề tài “PHỐI HỢP KỸ THUẬT KWL VÀ KỸ THUẬT MẢNH GHÉP TRONG GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN HÀM ẨN” đời với mong muốn em học sinh khơng có thêm tự tin giải tốn Tích phân hàm ẩn mà qua rèn luyện cho học sinh nhiều kỹ sống quan trọng 1.2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI: - Giúp học sinh hình thành khả phân tích, tìm mối liên hệ giả thiết u cầu tốn từ xác định cách giải toán cách chuẩn xác, nhanh gọn - Hình thành cho học sinh khả đánh giá tình huống, biến tốn lạ, chưa có cách giải tốn quen thuộc biết cách giải - Giúp em học sinh thay đổi khơng khí học tập, phát triển kỹ làm việc tập thể, khả thuyết trình, thể trước đám đơng, tạo điều kiện cho em vượt qua nỗi sợ hãi rèn luyện thân cách toàn diện, tạo hứng thú, khơi dậy say mê mơn Tốn học 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI - Nghiên cứu tính chất bản, quan trọng tích phân, phương pháp tính tích phân, phương pháp xử lý số tốn tích phân hàm ẩn - Nghiên cứu vận dụng kỹ thuật KWL kỹ thuật mảnh ghép dạy học 1.4 KHÔNG GIAN NGHIÊN CỨU Hai lớp 12A2, 12A3 trường THPT Bỉm Sơn Thanh hóa - Lớp 12A2 khơng áp dụng đề tài nghiên cứu - Lớp 12A3 thường xuyên áp dụng đề tài nghiên cứu 1.5 THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Từ tháng 12 năm 2018 đến tháng năm 2019 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI: 2.1 Cơ sở lý luận đề tài 2.1.1 Về tích phân hàm ẩn: F ( x; y ) = ( 1) - Xét phương trình F ( x; y ) , nói chung khơng giải y, hàm số xác định Nếu ∀x ∈ E (1) có nghiệm y = f ( x ) Khi y gọi hàm ẩn theo biến số x E - Các tính chất tích phân, phương pháp tính tích phân cơng cụ, sở cho lời giải tốn tích phân hàm ẩn Nắm vững tính chất này, học sinh tự tin mở nhiều đường để đến lời giải xác Tính chất tích phân: f ( x) , g ( x) Cho hàm số a; b liên tục [ ] Ta có tính chất sau: a ∫ f ( x ) dx = +) a b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx +) b b a a ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx +) b , với k số b b ∫  f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx a z +) a +) Tích phân phụ thuộc vào hàm số f cận a, b mà không phụ b thuộc biến số x hay t : b ∫ c ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt a b f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx; ∀c ∈ [ a; b ] a c +) a +) So sánh giá trị tích phân b i Nếu f ( x ) ≥ 0; ∀x ∈ [ a; b] ∫ f ( x ) dx ≥ a b ii Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) ; ∀x ∈ [ a; b] ∫ a b f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx a b iii Nếu iv m ≤ f ( x ) ≤ M ; ∀x ∈ [ a; b ] b b a a ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x ) dx f ( x ) ≥ 0; ∀x ∈ [ a; b ] m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) a Dấu đẳng thức xảy f ( x ) ≤ 0; ∀x ∈ [ a; b ] Các phương pháp tính tích phân - Phương pháp đổi biến số: b ∫ f ( x)dx +) Tính tích phân a mà f ( x) khơng có bảng ngun hàm cở bản: Đặt u = u( x) , vi phân hai vế du = u '( x)dx Khi đó, ta có : u (b) b ∫ f [ u ( x)] u '( x)dx = ∫ a u (b ) f (u )du = F (u ) u ( a ) u(a) +) Trong đó, u = u ( x) có đạo hàm liên tục miền K, hàm số y = f (u ) liên tục ] xác định miền K; a b hai số thuộc miền cho hàm hợp [ K F (u ) nguyên hàm f (u ) -Phương pháp tích phân phần +) Cơng thức tích phân phần: Giả sử hàm u = u ( x); v = v( x) có đạo hàm liên tục miền K a,b hai số thuộc K Khi đó, ta có cơng thức tích phân phần: f u ( x) b ∫ u( x)v '( x)dx = ( u( x).v( x) ) a b a b − ∫ v( x)u '( x)dx a +) Nhận dạng : Hàm số dấu tích phân hai loại hàm số khác * Chú ý: Cần phải chọn u, dv cho du đơn giản dễ tính v đồng thời tích b ∫ vdu b ∫ udv phân a đơn giản tích phân a 2.1.2 Kỹ thuật KWL kỹ thuật mảnh ghép 2.1.2.1 Kỹ thuật KWL: K: What we know ( Chúng ta biết gì) W: What we want to learn (Chúng ta muốn học gì) L: What we learn (Chúng ta học gì) Sơ đồ KWL công cụ để tổ chức tư nhằm giúp người học liên hệ kiến thức biết liên quan đến học, kiến thức muốn biết kiến thức học sau học Cách tiến hành: Bước 1: Sau giới thiệu học, mục tiêu cần đạt học, giáo viên phát phiếu học tập sau: PHIẾU HỌC TẬP Tên học (hoặc chủ đề)…………………………………………………… Tên học sinh (hoặc nhóm)…………………………………….Lớp………… “SƠ ĐỒ KWL” K W L Những điều em biết Những điều em muốn Những điều e học biết Bước 2: Hướng dẫn học sinh điền thông tin vào phiếu - Yêu cầu học sinh viết vào cột K mà em cho biết liên quan đến học - Sau khuyến khích học sinh suy nghĩ viết vào cột W mà em cho cần phải biết, phải học để đạt mục tiêu học -Sau học song học, học sinh điền vào cột L phiếu vừa học Lúc này, em xác nhận xác điều em viết cột so sánh với em vừa học học Một số điểm cần lưu ý: Tổ chức: Có thể sử dụng kỹ thuật cho học sinh học cá nhân học theo nhóm 2-5 học sinh Cơng cụ: Ngồi đồ dùng học tập theo yêu cầu học cần có phiếu học tập cho cá nhân cho nhóm Ưu điểm hạn chế: Ưu điểm: Áp dụng cho tất môn học Dễ thực hiện, không tốn Giúp học sinh biết cách tự học thông qua việc xác định kiến thức, kỹ có, xác định mục tiêu học tập cá nhân nhìn lại trình học tập Nếu kỹ thuật tiến hành theo nhóm giúp nâng cao mối quan hệ, giao tiếp, cộng tác học sinh nhóm học sinh học cách chia sẻ tôn trọng lẫn Hạn chế: Khơng có Một số lưu ý cột K Chuẩn bị câu hỏi để giúp học sinh động não Đôi để khởi động, học sinh cần nhiều đơn giản nói với em : "Hãy nói em biết " Khuyến khích học sinh giải thích Điều quan trọng đơi điều em nêu mơ hồ khơng bình thường Hỏi học sinh xem em muốn biết thêm điều chủ đề Cả giáo viên học sinh ghi nhận câu hỏi vào cột W Hoạt động kết thúc học sinh nêu tất ý tưởng Nếu học sinh trả lời câu phát biểu bình thường, biến thành câu hỏi trước ghi nhận vào cột W Một số lưu ý cột W Hỏi câu hỏi tiếp nối gợi mở Nếu hỏi em : "Các em muốn biết thêm điều chủ đề này?" Đôi học sinh trả lời đơn giản "khơng biết", em chưa có ý tưởng Hãy thử sử dụng số câu hỏi sau : "Em nghĩ biết thêm điều sau em đọc chủ đề này?" Chọn ý tưởng từ cột K hỏi: "Em có muốn tìm hiểu thêm điều có liên quan đến ý tưởng không?" Chuẩn bị sẵn số câu hỏi riêng bạn để bổ sung vào cột W Có thể bạn mong muốn học sinh tập trung vào ý tưởng đó, câu hỏi học sinh lại không liên quan đến ý tưởng chủ đạo đọc Chú ý không thêm nhiều câu hỏi bạn Thành phần cột W câu hỏi học sinh Yêu cầu học sinh đọc tự điền câu trả lời mà em tìm vào cột L Trong trình đọc, học sinh đồng thời tìm câu trả lời em ghi nhận vào cột W Học sinh điền vào cột L đọc sau đọc xong Một số lưu ý cột L Ngoài việc bổ sung câu trả lời, khuyến khích học sinh ghi vào cột L điều em cảm thấy thích Để phân biệt, đề nghị em đánh dấu ý tưởng em Ví dụ em đánh dấu tích vào ý tưởng trả lời cho câu hỏi cột W, với ý tưởng em thích, đánh dấu Đề nghị học sinh tìm kiếm từ tài liệu khác để trả lời cho câu hỏi cột W mà đọc không cung cấp câu trả lời (Không phải tất câu hỏi cột W đọc trả lời hồn chỉnh) Thảo luận thơng tin học sinh ghi nhận cột L Khuyến khích học sinh nghiên cứu thêm câu hỏi mà em nêu cột W chưa tìm câu trả lời từ đọc 2.1.2.2 Kỹ thuật Mảnh ghép: Kỹ thuật mảnh ghép gì? Kỹ thuật “Mảnh ghép” số kỹ thuật học hợp tác, kết hợp hoạt động cá nhân, hoạt động nhóm liên kết nhóm Cách tiến hành: Cách tiến hành kĩ thuật "Các mảnh ghép" VỊNG 1: Nhóm chun gia - Hoạt động theo nhóm đến người [số nhóm chia = số chủ đề x n (n = 1,2,…)] - Mỗi nhóm giao nhiệm vụ [Ví dụ : nhóm : nhiệm vụ A; nhóm 2: nhiệm vụ B, nhóm 3: nhiệm vụ C, … (có thể có nhóm nhiệm vụ)] - Mỗi cá nhân làm việc độc lập khoảng vài phút, suy nghĩ câu hỏi, chủ đề ghi lại ý kiến - Khi thảo luận nhóm phải đảm bảo thành viên nhóm trả lời tất câu hỏi nhiệm vụ giao trở thành “chuyên gia” lĩnh vực tìm hiểu có khả trình bày lại câu trả lời nhóm vòng Kỹ thuật "Các mảnh ghép" VỊNG 2: Nhóm mảnh ghép - Hình thành nhóm đến người (1 – người từ nhóm 1, – người từ nhóm 2, – người từ nhóm 3…) - Các câu trả lời thơng tin vòng thành viên nhóm chia sẻ đầy đủ với - Khi thành viên nhóm hiểu tất nội dung vòng nhiệm vụ giao cho nhóm để giải - Các nhóm thực nhiệm vụ, trình bày chia sẻ kết Một vài ý kiến cá nhân với kĩ thuật "Các mảnh ghép" - Kĩ thuật áp dụng cho hoạt động nhóm với nhiều chủ đề nhỏ tiết học, học sinh chia nhóm vòng (chun gia) nghiên cứu chủ đề - Phiếu học tập chủ đề nên sử dụng giấy màu có đánh số 1,2,…,n (nếu khơng có giấy màu đánh thêm kí tự A, B, C, Ví dụ A1, A2, An, B1, B2, , Bn, C1, C2, , Cn) - Sau nhóm vòng hồn tất cơng việc giáo viên hình thành nhóm (mảnh ghép) theo số đánh, có nhiều số nhóm Bước phải tiến hành cách cẩn thận tránh làm cho học sinh ghép nhầm nhóm - Trong điều kiện phòng học việc ghép nhóm vòng gây trật tự Tuy nhiên kỹ thuật mảnh ghép tạo điều kiện cho học sinh có mơi trường học tập tích cực, buộc phải tập trung tối đa, chủ động lĩnh hội kiến thức để trở thành chun gia vòng 1; sau vòng học sinh rèn luyện kỹ thuyết trình trước đám đơng, kỹ chia sẻ hiểu biết mình, kỹ lắng nghe nhanh chóng lĩnh hội kiến thức khoảng thời gian ngắn… Điều giúp học sinh dần vượt qua sợ hãi thân, tự tin động hoạt động trước tập thể - Giáo viên nên xếp bố trí thời gian để có tests nhanh, kiểm tra đánh giá hiệu làm việc vài cá nhân lớp 2.2 Thực trạng vấn đề cần giải - Trong trình giảng dạy khả học tích phân học sinh chưa tốt Đa số học sinh gặp tốn tích phân thường dùng máy tính bỏ túi trong đề thi THPT năm gần xuất nhiều câu tích phân hạn chế sử dụng máy tính Do học sinh lo ngại tỏ sợ hãi trước câu hỏi khơng thể dùng máy tính để giải Một cách cho toán yêu cầu học sinh làm việc với hàm số ẩn, khơng cho định nghĩa hàm số cách tường minh mà cho tính chất đặc trưng, buộc người học phải giải hiểu biết lực thân - Học sinh ý đến tính chất tích phân, khơng nắm rõ mục tiêu, chất phương pháp tính tích phân Đối với học sinh, việc giải tích phân với hàm số cho cách tường minh khó việc sử lý tích phân hàm ẩn lại khó khăn nhiều lần Do em nhiều thời gian làm mà hiệu lại không cao - Việc học nhiều môn gây cho em học sinh cảm giác chán nản, không tập trung học tập Các hình thức dạy học truyền thống làm hạn chế phát triển kỹ sống toàn diện học sinh, học sinh giảm hứng thú thiếu say mê học tập nói chung mơn Tốn nói riêng 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải - Thông qua việc giải số toán minh họa, giúp học sinh rút cách nhận diện tốn tích phân hàm ẩn, cách sử lý cho gọn gàng, tránh dài dòng lê thê, thời gian - Phối hợp sử dụng kỹ thuật dạy học: kỹ thuật KWL kỹ thuật mảnh ghép để thay đổi khơng khí học tập, giúp học sinh hào hứng hơn, tiếp thu kiến thức cách tự nhiên, khơng gò ép đồng thời rèn luyện cho học sinh kỹ sống cách toàn diện 2.3.1 Một số tốn Tích phân hàm ẩn: Thơng qua việc giải số toán minh họa đây, ta rút cách nhận diện tốn tích phân hàm ẩn, cách sử lý toán cho gọn gàng, tránh dài dòng lê thê, thời gian Bài toán 1: Cho hàm số b 1) ∫ a b 2) ∫ a y = f ( x) a; b liên tục đoạn [ ] chứng minh rằng: b f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx a b f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( a + b − x ) dx 2a b I = ∫ f ( x ) dx a Chứng minh (1): Xét tích phân x = a + b − t , Đặt dễ thấy dx = dt Với x = a ta t = b , Với x = b ta t = a a Khi Vậy b b a a I = − ∫ f ( a + b − t ) dt = ∫ f ( a + b − t ) dt = ∫ f ( a + b − x ) dx b b b a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx b b b  1  f ( x ) + f ( a + b − x ) dx =  ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( a + b − x ) dx  ∫ 2a a a  Chứng minh (2): Ta có: b b = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx a a Nhận xét: Dấu hiệu đặc trưng tốn tích phân xuất hàm số b hai cận tích phân Sau kết trực tiếp suy từ toán 1: Cho hàm số với a, −a;a ] liên tục đoạn [ với a > , ta có : a a −a −a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( − x ) dx a f ( x) f ( a + b − x) ∫ −a a f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( − x ) dx −a f ( x) Nếu −a;a ] chẵn [ a a −a −a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx a f ( x) ∫− a f ( x ) dx = −a;a ] [ lẻ Nếu Bài tốn 2: (Bất đẳng thức Holder tích phân) Chứng minh f ( x) g x a; b ( ) hai hàm số liên tục đoạn [ ] ta b b  b 2 f x g x dx ≤ f x dx  ∫ ( ) ( ) ÷ ∫ ( ) ∫ g ( x ) dx a  a có:  a g x = t f ( x ) Dấu đẳng thức xảy tồn t ∈ R cho ( ) Chứng minh: ≤ t f ( x ) − g ( x )  = t f ( x ) − 2t f ( x ) g ( x ) + g ( x ) Với t ∈ R ta có: Suy h( t) = t b b ∫ f ( x ) dx − 2t ∫ g ( x ) dx ≥ 0, ∀t ∈ R a a b b  b ∆ ' =  ∫ f ( x ) g ( x ) dx ÷ − ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx ≤ a a  a Điều tương đương với b b  b 2  ∫ f ( x ) g ( x ) ÷ ≤ ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx a  a Hay  a g x = t f ( x ) Rõ ràng dấu đẳng thức xảy tồn t ∈ R cho ( ) Từ ta có điều phải chứng minh Bài toán 3: Cho hàm số a; b f x liên tục đoạn [ ] , ( ) có f ( x) ; g ( x) ; h ( x) a; b f ' x + g ( x) f ( x) = h ( x) f b =α đạo hàm liên tục đoạn [ ] Biết ( ) ( ) Tính ( ) ? Phân tích: Cơ sở để sử lý toán xuất phát từ nguyên tắc tính đạo hàm tích hai f b hàm số u ( x ) v ( x ) Ta biết u ( x ) v ( x ) có đạo hàm D thì: ( u.v ) ' = u ' v + uv ' ( ) ( ) ( ) dạng đạo hàm Từ ta tìm cách biến đổi biểu thức ( ) hàm số áp dụng cơng thức ngun hàm, tích phân thích hợp Lời giải tốn 3: f ' x + g x f x = h x - Tìm G ( x) G( x) g x nguyên hàm hàm số ( ) , từ timg hàm số e G( x) - Nhân hai vế biểu thức f ' ( x ) + g ( x ) f ( x ) = h ( x ) với e ta được: f ' ( x ) eG ( x ) + g ( x ) eG( x ) f ( x ) = h ( x ) eG( x ) ( 1) Vì vế trái (1) đạo hàm hàm số ( f ( x) e ( ) ) G x ' = h ( x ) e G( x ) f ( x) e G( x ) ( 2) ta viết lại ( 2) b a; b - Lấy tích phân hai vế (2) đoạn [ ] ta có: ∫( a ) ' b f ( x ) eG ( x ) dx = ∫ h ( x ) eG ( x ) dx a b ⇔ f ( b ) eG ( b ) = ∫ h ( x ) eG ( x ) dx + f ( a ) eG ( x ) a Bài toán 4: Cho hàm số f ( t) từ ta tìm f ( b) cách dễ dàng a; b u x ,v x liên tục đoạn [ ] , hai hàm số ( ) ( ) có a; b đạo hàm tập D có tập giá trị thuộc đoạn [ ] Xét hàm số g ( x) = v( x ) ∫ f ( t ) dt u( x) Khi đạo hàm hàm số sau: g ' ( x ) = v ' ( x ) f ( v ( x ) ) − u ' ( x ) f ( u ( x ) ) Chứng minh: Gọi F ( t) nguyên hàm hàm số g ( x) = Ta có v( x ) f ( t) g ( x) tập D xấc định a; b F ' t = f ( t) đoạn [ ] tức ( ) ∫ f ( t ) dt = F ( v ( x ) ) − F ( u ( x ) ) u( x ) g ' x = v '( x) F '( v ( x) ) − u '( x) f ( u ( x) ) Suy ( ) Ta có điều phải chứng minh Các ví dụ vận dụng: 10 a f ( x) f ( a − x) = với x ∈ [ 0; a ] Tính tích phân dx 1+ f ( x) I =∫ Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… PHIẾU HỌC TẬP SỐ (Nhóm chuyên gia 3) Ví dụ 3: Cho hàm số [ 0; 2] Biết I =∫ (x − 3x f ( 0) = ) f ' ( x ) dx f ( x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn f ( x ) f ( − x ) = e2 x −4 x với x ∈ [ 0; 2] Tính tích phân f ( x) Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 29 PHIẾU HỌC TẬP SỐ (Nhóm chuyên gia 4) Ví dụ 4: (Đề minh họa Tốn THPT Quốc gia 2018) Cho h àm số f ( x) 0;1 có đạo hàm liên tục đoạn [ ] thỏa mãn f ( 1) = 0, ∫  f ' ( x )  dx = ∫ x f ( x ) dx = Tính tích phân ∫ f ( x ) dx Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… PHIẾU HỌC TẬP SỐ (Nhóm chuyên gia 1) Ví dụ 5: Cho hàm số π  f  ÷= 4 Biết π f ( x)  π 0;  có đạo hàm liên tục đoạn   π π ∫ f ( x ) dx = ; ∫ f ' ( x ) sin xdx = − π π Tính tích phân ∫ f ( x ) dx Lời giải: ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 30 ………………………………………………………………………………… PHIẾU HỌC TẬP SỐ (Nhóm chuyên gia 2) Ví dụ 6: Cho hàm số f ( 1) = f ( x) 1; có đạo hàm dương, liên tục đoạn [ ] −x e ; x f ' ( x ) + ( x + 1) f ( x ) = x e , ∀x ∈ [ 1; ] Tính f ( ) thỏa mãn Lời giải: ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… PHIẾU HỌC TẬP SỐ (Nhóm chuyên gia 3) Ví dụ 7: f ( 1) = −2 ln Cho hàm số f ( x) 1; có đạo, liên tục đoạn [ ] thỏa mãn x ( x + 1) f ' ( x ) + f ( x ) = x + x, ∀x ∈ [ 1; ] a, b ∈ Q Tính a + b Giá trị f ( ) = a + b ln , với Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 31 PHIẾU HỌC TẬP SỐ (Nhóm chuyên gia 4) Ví dụ 8: Cho hàm số f ( x) > x g ( x ) = + 2018∫ f ( t ) dt ; g ( x ) = f 0;1 xác định, có đạo hàm đoạn [ ] thỏa mãn ( x) Tính ∫ g ( x ) dx Lời giải: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 5.3 Bài tập: Bài tập 1: f ( x) Xét hàm số 0;1 liên tục đoạn [ ] thỏa mãn f ( x + f ( − x ) ) = − x2 π A 20 Giá trị ∫ f ( x ) dx π B 10 bằng: π D π C Chọn A: Lời giải: • Vì f ( x ) + f ( − x ) = − x2 • Lại có ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( − x ) dx nên ∫ 2 f ( x ) + f ( − x ) dx = ∫ − x dx nên suy 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ − x dx I = ∫ − x dx • Xét tích phân Đặt x = s int ⇒ dx=costdt Với x = ⇒ t = , Với x =1⇒ t = π 32 π 2 π Vậy π + cos 2t  sin 2t  π2 π − sin t costdt= ∫ coc tdt = ∫ dt =  t + ÷|0 = 2  0 I=∫ • π ∫ f ( x ) dx = 20 f ( x) Bài tập 2: Cho hàm số − ln 2;ln 2] liên tục đoạn [ thỏa mãn ln f ( x) + f ( −x) = x ∫ f ( x ) dx = a ln + b ln ( a, b Ô ) e + Biết − ln Giá trị a + b bằng: 1 ln A B C D ln Chọn B Lời giải: ln ∫ Ta có : f ( x ) dx = − ln ln ln 1  f ( x ) + f ( − x ) dx = ∫ x dx ∫ − ln 2 − ln e +  ex  1 x ln 1 −  e x + dx =  x − ln ( + e ) |− ln  = ln a+b = ∫  − ln  Vậy f ( x) ln = hàm số liên tục ¡ Bài tập 3: Cho thỏa mãn 3π f ( x ) + f ( − x ) = − 2co x A Chon C Lời giải: Ta có B 3π 3π −3 − ∫π f ( x ) dx = ∫π ∫ f ( x ) dx −3π Giá trị tích phân C D.7 bằng: 3π π    s inx dx =  ∫ sin xdx − ∫ sin xdx  = π   Bài tập 4: Cho hàm số f ( x) chẵn liên tục ¡ thỏa mãn f ( 2x) ∫ 1+ x −1 dx = ∫ f ( x ) dx Giá trị tích phân A B 32 Chọn D Lời giải: Theo Vì f ( x) ∫ −1 C D.16 f ( 2x )  f ( x ) f ( −2 x )  dx = +  dx + 2x −∫1  + x + 2− x  f x = f ( −2 x ) ; ∀x ∈ ¡ hàm số chẵn liên tục ¡ thõa mãn ( ) 33 2x = −x + 2x lại có + ∫ 16 = Do đó: −1 0 f ( x ) dx = ∫ f ( x ) d ( x ) = ∫ f ( t ) dt Bài tập 5: Cho hàm số f ( x) ∫ f ( x ) dx = 16 Vậy có đạo hàm liên ¡ , f ( 0) = π π  f ( x ) + f  − x ÷ = sin x cos x, ∀x ∈ ¡ 2  Giá trị tích phân −1 −1 A B C Chọn A: Lời giải: tục ∫ xf ' ( x ) dx D -1 π  π  f ( x ) + f  − x ÷ = sin x cos x, ∀x ∈ ¡ f  ÷= 2  nên suy   f ( 0) = Vì Bằng phương pháp tích phân phần ta có: π π π π ∫ xf ' ( x ) dx = xf ( x ) | − ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx =− π  f ( x) + ∫0  π 1 π  f  − x ÷dx = − ∫ sin x cos xdx = − 20 2  π Bài tập 6: Biết A Chọn C: Lời giải: Theo đề ra: π ∫ xf ( s inx ) dx = 2π Giá trị tích phân B C π 2π = ∫ xf ( sin x ) dx = ∫ f ( s inx ) dx D π  xf ( sin x ) + ( π − x ) f ( sin ( π − x ) ) dx ∫0  π π  xf ( sin x ) + ( π − x ) f ( sin x ) dx = f ( s inx ) dx ∫ 20 π Do ∫ f ( s inx ) dx = Bài tập 7: Cho hàm số f ( 1) = 0, ∫ ( f ' ( x ) ) A π π2 dx = f ( x) có đạo hàm π ∫0 cos  B π f '( x) 0;1 liên tục đoạn [ ] thỏa mãn 1  x ÷ f ( x ) dx = ∫0 f ( x ) dx  Giá trị tích phân π C π D Chọn B: 34 Lời giải: Bằng phương pháp tích phân phần ta có: π = ∫ cos  2   π x ÷ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) d  sin π    x÷  π π  π  = f ( x ) sin  x ÷|0 − ∫ sin  x ÷f ' ( x ) dx π 2  2  π π  ∫ sin  x ÷ f ' ( x ) dx = − ( 1) Kết hợp với giả thiết ( ) , suy Bình phương hai vế (1) áp dụng bất đẳng thức Holder tích phân ta f =0 2  π  π  − ÷ =  ∫ sin  có:      2π  x ÷ f ' ( x ) dx ÷ ≤ ∫ sin   2  π2 π2  x ÷dx ∫ ( f ' ( x ) ) dx = = 16  πx  f ' ( x ) = k sin  ÷   Vậy dấu đẳng thức xảy ra, suy tồn k ∈ ¡ cho πx   πx π f ' ( x ) = k sin  f ' ( x ) = k sin  k =− ÷ ÷   vào (1) ta thu   Thay πx  f ( x ) = cos  ÷ f =0   mặt khác ( ) nên ta có 1 πx  f x dx = ∫0 ( ) ∫0 cos  x ÷ dx = π Vậy Bài tập 8: Cho hàm số f ( x) f =e có đạo hàm liên tục ¡ Biết ( ) ( x + ) f ( x ) = x f ' ( x ) − x3 , ∀x ∈ ¡ Giá trị f ( ) = ae2 + be + c Hỏi A Chọn C: Lời giải: B 1;1 Trên đoạn [ ] ta có C a + b + c D ( x + ) f ( x ) = xf ' ( x ) − x3 ⇔  2 f ' ( x ) − 1 + ÷ f ( x ) = x  x  2 g ( x ) = − 1 + ÷, x ∈ [ 1; 2] g x G x = − x − ln x  x Xét , chọn nguyên hàm ( ) ( ) eG ( x ) = x xe Suy  f ( x)   x ÷= x Ta có  x e  e f ( 2) ' Từ ta có: 4e =∫ dx f ( 1) 1 + = − +1 xx e e e hay f ( ) = 4e + 4e − ⇒ a + b + c = 35 Bài tập 9: Cho hàm số f ( x) f x ≠0 có đạo hàm liên tục ( 0;1) ( ) Biết  3 1 f  ÷ = a, f  ÷= b ÷ x + x f ' ( x ) = f ( x ) − 4, ∀x ∈ ( 0;1) 2   Giá trị biểu thức b − 3a bằng: − A Chọn A: Lời giải: Ta có 11 + 2 B − 11 − 2 11 + C 2 x + x f ' ( x ) = f ( x ) − 4, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ f ' ( x ) − 11 − D 2 f ( x ) = − − ( 1) x x g ( x ) = − ; x ∈ ( 1; ) g x G x = −2 ln x x Xét , chọn nguyên hàm ( ) ( ) G x e ( ) = x Suy  f ( x)  1 =− −  ÷ 2 x x Nhân hai vế (1) cho x ta thu  x  f ( x)   = ∫  − − ÷dx = + + C x x  x x  Lấy nguyên hàm hai vế ta có x ' 1 f  ÷= a Vì   nên 4a = 10 + C ⇔ C = 4a − 10  3 11 f ( x ) = ( 4a − 10 ) x + x + ⇒ b = f  = 3a − + ÷ ÷ 2   từ ta có 11 =− + 2 Vậy b − 3a Bài tập 10: Cho hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm điểm x ∈ ( 0; +∞ ) 3π đồng thời thỏa mãn điều kiện f ( x ) = x ( sin x + f ' ( x ) ) + cosx Giá trị ( ) bằng: A 2π − Chọn A Lời giải: ∫ f ( x ) sin xdx = −4 π f π Ta có B 2π + C − 2π D −2π − f ( x ) = x ( sin x + f ' ( x ) ) + cosx, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) x f ' ( x ) − f ( x ) − x sin x − cosx  f ( x )   cosx  ⇔ = ⇔ ÷ = ÷ 2 x x  x   x  ' ' 36 ⇒ f ( x ) cosx = +C x x f ( x ) = cosx + Cx Từ ta có 3π ∫ f ( x ) sin xdx = −4 Thay vào tích phân −4 = π , ta 3π 3π 3π ∫ ( cosx + Cx ) sin xdx = ∫π cosx sin xdx + C π∫ x sin xdx = − 2C π 2 Do C=2 f ( x ) = cosx + x Vậy f ( π ) = 2π −  π 0;  f x Bài tập 11: : Cho hàm số ( ) liên tục, không âm đoạn   thỏa mãn:  π f ( x ) f ' ( x ) = cosx + f ( x ) , ∀x ∈ 0;  f ( 0) =   Gọi m M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số 2.M + 21.m bằng: 25 A 27 B f ( x) 29 C π π   ;  đoạn Giá trị 31 D Chọn C: Lời giải: Ta có f ( x) f '( x)  π  π f ( x ) f ' ( x ) = cosx + f ( x ) , ∀x ∈ 0;  ⇔ = cosx; ∀x ∈  0;   2  2 1+ f ( x) f ( x) f '( x) Nhận thấy 1+ f ( x) = ( + f ( x) ) ' nên suy + f ( x ) = sin x + C Kết hợp với f ( ) = , ta tìm C = Mặt khác hàm số f ( x) = ( sin x + ) Ta lại có f '( x) = f ( x)  π 0;  liên tục, không âm đoạn nên ta thu −1 cox + f ( x) π π  ≥ 0; ∀x ∈  ;  f ( x) 6 2 nên hàm số f ( x ) đồng biến 21 29 π  π  π π  ; m = f = , M = f = 2 ⇒ M + 21 m =  ÷  ÷   2 6 2 Vậy 37 f ( x) Bài tập 12: Cho hàm số mãn f ' ( 0) = 0;1 có đạo hàm liên tục đoạn [ ] đồng thời thỏa f − f ( ) = a ln + b f '' ( x ) + ( f '( x) − x ) = Khi ( ) Giá trị a + b bằng: 19 A 17 B 15 C Chọn A Lời giải: f '' ( x ) + ( f '( x ) − x ) = 9, ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ − Ta có 13 D f '' ( x ) − ( f '( x) − x) = '   1 x = = +C  ÷ ÷ f ' x −x Tiếp tục biến đổi ta có:  ( )  Do f ' ( x ) − x 9 C= f '( x) = +x f '( 0) = 9 Suy x +1 Kết hoqpj điều kiện ta có 1 19   f ( 1) − f ( ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫  + x ÷dx = ln + ⇒ a + b = x +1 2  0 Vậy  π 0;  f ( x) Bài tập 13: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn: π  ∫  f ( x ) − 2 π  −π  f ( x ) sin  x − ÷dx =   Giá trị tích phân A B C Chọn D Lời giải: Bài ta áp dụng tính chất: π ∫ f ( x ) dx bằng: D  g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] b   ∫ g ( x ) dx = g x = 0, ∀x ∈ [ a; b ] Nếu  a ( ) π  π  −π  A = ∫  f ( x ) − 2 f ( x ) sin  x − ÷dx =    Ta có: π π π −2  B = ∫ 2sin  x − ÷dx = 4  π  π π    A + B = ∫  f ( x ) − 2 f ( x ) sin  x − ÷+ 2sin  x − ÷dx = 4     Suy π 2  π   ⇔ ∫  f ( x ) − sin  x − ÷ dx =    38 π  f ( x ) − sin  x − ÷ = 4  Theo tính chất ta có π   π f ( x ) = sin  x − ÷, ∀x ∈ 0;  4   2 hay Vậy π π 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ π  sin  x − ÷dx = 4  f ( x) Bài tập 14: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp ¡ thỏa mãn:  f ' ( x )  + f ( x ) f '' ( x ) = 15 x + 12 x, ∀x ∈ ¡ f ( 0) = f ' ( 0) = f ( 1) Giá trị bằng: A Chọn A: Lời giải: B C D 10  f ' ( x )  + f ( x ) f '' ( x ) = 15 x + 12 x, ∀x ∈ ¡ ⇔  f ' ( x ) f ( x )  = 15 x + 12 x, ∀x ∈ ¡ Ta có  f ' ( x ) f ( x ) = 3x + x + C ' Suy Vì f ( ) = f ' ( ) = nên suy C=1, Khi f ' ( x ) f ( x ) = 3x + x + 1 Do f ' ( x ) f ( x ) dx = ∫ ( 3x + x + 1) dx = ∫ 0 Từ suy f ( 1) = Bài tập 15: Cho hàm số f ( x) 2 f ( x ) |10 = Suy f = f '( 0) = có đạo hàm ¡ thỏa mãn ( ) f ( x + t ) = f ( x ) + f ( t ) + 3xt ( x + t ) − 1, t ∈ R A B Giá trị biểu thức C ∫ f ( x − 1) dx bằng: D Chọn A Lời giải: Ta có: f ( x + t ) = f ( x ) + f ( t ) + 3xt ( x + t ) − 1, t ∈ R , lấy đạo hàm theo biến t hai vế ta có f ' ( x + t ) = f ' ( t ) + x + xt 2 Chọn t = ta có f ' ( t ) = f ' ( ) + 3x = 3x + ⇒ f ( x ) = x + x + C Mà f ( 0) = 1 Ta có ∫ suy f ( x ) = x3 + x + 1 f ( x − 1) dx = ∫ f ( x − 1) d ( x − 1) = 0 ∫ f ( t ) dt = −1 x2 Bài tập 16: Cho hà số f ( 4) f ( x) ∫0 f ( t ) dt = x.sin ( π x ) 0; +∞ ) [ liên tục Giá trị : 39 π A π B π C π D Chọn B Lời giải: x2 • Vì ∫ • Hay ' x  ' f t dt  ÷ = ( x.sin ( π x ) ) ( ) f ( t ) dt = x.sin ( π x ) ∫  ÷  nên  2 xf ( x ) = sin ( π x ) + π xcos ( π x ) f ( ) = 2π f ( 4) = π • Cho x = ta nên MỘT SỐ HÌNH ẢNH ĐƯỢC GHI LẠI TRONG BUỔI HỌC 40 Các thành viên nhóm chuyên gia hợp tác thực nhiệm vụ Giáo viên quan sát nhóm chuyên gia làm việc, tùy tình hình có thể gợi ý, định hướng để em hoàn thành tốt nhiệm vụ giao 41 Các nhóm mảnh ghép hình thành thực nhiệm vụ mới, vòng e có hội để thể rõ rèn luyện kỹ sống 42 Các nhóm mảnh ghép thảo luận sơi nổi, khơng rèn luyện kỹ làm việc riêng biệt mà kỹ làm việc tập thể, kỹ sống rèn luyện cách tổng hợp ( kỹ thuyết trình, thể trước đám đơng, tạo điều kiện cho em vượt qua nỗi sợ hãi rèn luyện thân cách toàn diện, tạo hứng thú, khơi dậy say mê môn Toán học) 43 ... THUẬT KWL VÀ KỸ THUẬT MẢNH GHÉP TRONG GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN HÀM ẨN đời với mong muốn em học sinh khơng có thêm tự tin giải tốn Tích phân hàm ẩn mà qua rèn luyện cho học sinh nhiều kỹ. .. Kỹ thuật Mảnh ghép: Kỹ thuật mảnh ghép gì? Kỹ thuật Mảnh ghép số kỹ thuật học hợp tác, kết hợp hoạt động cá nhân, hoạt động nhóm liên kết nhóm Cách tiến hành: Cách tiến hành kĩ thuật "Các mảnh. .. Hàm số dấu tích phân hai loại hàm số khác * Chú ý: Cần phải chọn u, dv cho du đơn giản dễ tính v đồng thời tích b ∫ vdu b ∫ udv phân a đơn giản tích phân a 2.1.2 Kỹ thuật KWL kỹ thuật mảnh ghép