TRƢỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA XÂY DỰNG VÀ ĐIỆN TÀI LIỆU HƢỚNG DẪN ÔN TẬP VÀ KIỂM TRA MƠN: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG XÂY DỰNG Mục đích Tài liệu nhằm hỗ trợ cho học viên hình thức giáo dục từ xa nắm vững nội dung ôn tập làm kiểm tra hết môn hiệu Tài liệu cần sử dụng với tài liệu học tập môn học giảng giảng viên ôn tập tập trung theo chương trình đào tạo Nội dung hƣớng dẫn Nội dung tài liệu bao gồm nội dung sau: Phần 1: Các nội dung trọng tâm môn học Bao gồm nội dung trọng tâm môn học xác định dựa mục tiêu học tập, nghĩa kiến thức kỹ cốt lõi mà người học cần có hồn thành mơn học Phần 2: Cách thức ôn tập Mô tả cách thức để hệ thống hóa kiến thức luyện tập kỹ để đạt nội dung trọng tâm Phần 3: Hướng dẫn làm kiểm tra Mơ tả hình thức kiểm tra đề thi, hướng dẫn cách làm trình bày làm lưu ý sai sót thường gặp, nỗ lực đánh giá cao làm Phần 4: Đề thi mẫu đáp án Cung cấp đề thi mẫu đáp án, có tính chất minh hoạ nhằm giúp học viên hình dung yêu cầu kiểm tra cách thức làm thi -1- PHẦN CÁC NỘI DUNG TRỌNG TÂM Bài giảng 1: Căn PTVP Định nghĩa đạo hàm Mở rộng khái niệm sai số, giá trị Tích phân Phương trình vi phân – cấp PTVP – Định nghĩa tính tuyến tính Giải PTVP Phương pháp giải tích: o PP Euler o PP tách biến o PP khác (giới thiệu) Giải PTVP Phương pháp số o PP chuỗi Taylor o PP Euler o PP Runge Kutta (giới thiệu) Bài giảng 2: PTVP đƣờng đàn hồi (Bài toán dầm) Độ cong dầm Đường đàn hồi dầm chịu uốn Cách Lập PTVP lời giải giải tích Lời giải số (minh họa việc áp dụng PP Euler) Bài giảng 3: PTVP độ võng sàn chịu uốn Những giả thiết toán Sàn chịu uốn Cách Lập PTVP Điều kiện biên Lời giải giải tích Bài giảng 4: PTVP toán Ổn định Cột Cấu kiện chịu nén uốn Phương trình đường đàn hồi dạng PTVP cấp Điều kiện biên điều kiện biên Khơng Lời giải bước giải tích Ứng dụng -2- Bài giảng 5: PTVP Bài toán Lún cố kết thấm Những giả thiết toán thấm Cách Lập PTVP Các trường hợp Điều kiện biên Lời giải giải tích (lời giải phương pháp Euler) Ứng dụng Bài giảng 6: PTVP Bài toán rung động kết cấu Hệ dao động – thành phần hệ dao động – Bậc tự Phương trình vi phân cân Động lực học Các trường hợp Điều kiện biên Lời Giải PTVP – Dao động tự do, dao động cưỡng Ứng dụng -3- PHẦN CÁCH THỨC ÔN TẬP Bài giảng 1: Căn PTVP Cần nắm định nghĩa đạo hàm (Cơng thức có Lim; xem lại Tốn cao cấp) Rèn luyện cách tính tốn sai số, giá trị đúng, tiến đến phân biệt sai số tương đối, sai số xấp xỉ (gần đúng) Bài tập rèn luyện tính đạo hàm Tích phân với số tốn, thí dụ lớp tự học nhà Phương trình vi phân – cấp PTVP – Định nghĩa tính tuyến tính Giải PTVP Phƣơng pháp giải tích (xem kỹ thí dụ để hiểu rõ cách làm) o PP Euler o PP tách biến o PP khác (chỉ tham khảo) Giải PTVP Phƣơng pháp số (tập luyện làm lại thí dụ Excel, đổi số) o PP chuỗi Taylor o PP Euler o PP Runge Kutta Trọng tâm: Tính đạo hàm tích phân, áp dụng vào giải theo Phương pháp giải tích phương pháp số để giải PTVP Bài giảng 2: PTVP dầm chịu uốn Bài toán phải giải là: cho dầm chịu tải đơn giản, dùng phương pháp mặt cắt để cắt viết phương trình cân Mơ men theo tọa độ dài dầm tích phân Cơng thức góc xoay (người học tham khảo thí dụ lớp) Viết biểu thức giải tích Mơ men tích phân để có chuyển vị Hiểu ý nghĩa ứng dụng thực tế lời giải Bài giảng 3: PTVP độ võng sàn chịu uốn Bài giảng giới thiệu phương trình độ võng theo độ cứng trụ D Cần ý mối liên hệ vi phân (đến đạo hàm bậc 4) độ võng sàn tải trọng, PTVP sàn chịu uốn Tham gia tìm hiểu thí dụ lớp (2 thí dụ mẫu) Ý nghĩa ứng dụng thực tế lời giải -4- Bài giảng 4: PTVP toán Ổn định Cột Chú ý nằm vững bảng liên hệ Độ cứng x Vi phân chuyển vị = Tải (slide 4) Bảng tóm gọn mối liên hệ quan trọng phải nhớ Cách giải Phương trình vi phân : Từ dạng nghiệm tổng quát (nên nhớ), từ điều kiện biên hai đầu (cụ thể : gối chuyển vị zero góc xoay zero ngàm v v) cột áp vào lời giải tổng quát để xác định số tích phân Trong xây dựng, cột chịu nén trung tâm có khả chịu lực giới hạn gọi Peuler định nghĩa lực nhỏ gây trạng thái cân ban đầu Lực phụ thuộc vào điều kiện liên kết hai đầu cột (điều kiện biên) Nắm vững trình tự bước: o Viết biểu thức Mơ men M(x) mặt cắt cách gối đoạn x o Nghiệm riêng nghiệm tổng quát o Áp điều kiện biên góc xoay chuyển vị o Từ điều kiện biên góc xoay chuyển vị giải chiều dài tính tốn L e từ xác định tải trọng giới hạn (Pgh hồn tồn tùy thuộc cấu hình cột) Hiểu Ý nghĩa ứng dụng thực tế lời giải Bài giảng 5: PTVP Bài toán Lún cố kết thấm Nhập môn: Giới thiệu số tham số toán (tốc độ thấm, gradient thủy lực) Các giả thiết (khái qt) dòng thấm mơi trường rời (lấy đối tượng đất) – Định luật thấm vận tốc tỷ lệ với gradient thủy lực Lập phương trình vi phân Các điều kiện biên đầu cuối lớp đất cho biết giá trị áp lực phần nước chứa lỗ rỗng đất Lời giải Euler – Dạng nghiệm riêng cần nhớ dạng udu = exp (βz)=e λz Phương trình đặc trưng dẫn đến hai nghiệm ảo biểu thức nghiệm tổng quát (chứa số) Áp điều kiện biên giải số Ý nghĩa ứng dụng thực tế lời giải Bài giảng 6: PTVP Bài toán động lực học kết cấu Phương trình vi phân từ nguyên lý cân Động lực học (ĐLH) Các điều kiện ban đầu chuyển vị vận tốc Lời giải PTVP cân ĐLH khơng/có vế phải Ý nghĩa ứng dụng thực tế lời giải -5- PHẦN HƢỚNG DẪN LÀM BÀI KIỂM TRA a/ Hình thức kiểm tra: o Tự luận, từ – toán cấu tạo từ số câu hỏi nhỏ Đề mở o Bài tốn (2 điểm): Tính sai số tương đối tính tuyến tính PTVP o Bài tốn (4 điểm): Giải phương pháp số theo Euler giải giải tích PTVP đơn giản o Bài tốn (4 điểm): Viết biểu thức Mơ men lập PTVP cho cấu kiện (có thể dầm chịu uốn Hoặc cấu kiện khác ) o Tùy theo thời điểm đề thi dạng trắc nghiệm kết hợp tự luận b/ Hƣớng dẫn làm o Đọc kỹ liệt kê thông số, ý chuyển vị góc xoay liên kết (đầu dầm, đầu cột thời điểm ban đầu) o Làm câu dễ trước, cách làm xem xét (khơng tính sai chuyền từ kết trước) o Phương trình vi phân qn đơn vị tính, lời giải phải khơng chứa vi phân o Áp điều kiện biên quan trọng, kê biên tính điểm -6- PHẦN ĐỀ THI MẪU VÀ ĐÁP ÁN ĐÁP ÁN ĐỀ THI MẪU SỐ MƠN: Phương trình vi phân XD - HK…./NH.20….-20… LỚP: ………… - HỆ: ……………………………… Bài toán (3 điểm): Những phương trình phương trình vi phân, xác định cấp nó: a y’ + yx =0 tuyến tính theo y, cấp b x’y – y2 = tuyến tính theo x, cấp c yx3 – lny = khơng phải PTVP khơng có đạo hàm y d y” – 2y’ + = 2sin10t tuyến tính cấp 2, có vế phải Bài tốn (3 điểm): Giải phương trình y’ – x2 +2 =0 với điều kiện ban đầu y(0) = Giải: viết lại y’ = 2-x2 Lấy tích phân y = 2x- x3/6 + C Áp điều kiện biên: x=0 y=1 C=1 Lời giải PTVP y = 2x- x3/6 + (lời giải xác) Bài tốn (4 điểm): Viết phương trình đường đàn hồi dầm chịu uốn L q EJ Phản lực mút bên trái: V= qL M= qL2/2 Viết biểu thức Mô men tọa độ x M(x)= qL2 x (1 ) L Tích phân lần 1: d y qL2 x = [1 ( ) 2 L dx qL2 [x x3 3L2 x 2( )] L x2 )] C1 ; áp điều kiện biên: ngàm x=0 L góc xoay biểu thức này/EJ 0, ta giải C1=0; EJy’= qL2 [x x3 3L2 Tích phân lần 2: x2 )] L qL2 x [ 2 x4 12L2 x3 )] C2 , áp điều kiện biên x=0, 3L chuyển vị không, dẫn đến C2=0 Vậy phương trình đường đàn hồi y= qL4 x x2 [ 2EJ L2 12L2 x )] 3L qL4 x [6 24EJ L2 x2 L2 x ] L -7- ĐÁP ÁN ĐỀ THI MẪU SỐ MƠN: Phương trình vi phân XD - HK…./NH.20….-20… Thời gian làm bài: 60 phút SV sử dụng tài liệu Bài toán (3 điểm): a x’ – xy =1 tuyến tính cấp theo x b y’– yx = tuyến tính cấp theo y c y’x3 – sin(y) +1 =0 phi tuyến sin(y) khơng phải lũy thừa bậc d y’” – 2y’’ + 2y5x= 3x phi tuyến y5 khơng phải lũy thừa bậc Bài tốn (4 điểm): Giải phương trình vi phân y’x = x+y với điều kiện ban đầu y(1) = Giải: biến đổi: y’= x y x =1+ y y (a) Đặt u = xu = y kéo theo dy/dx=u+xu’ (vi phân hàm x x hợp) Thay vào (a), ta có u+xu’= 1+u Tức du/dx= 1/x, u= Ln|x| +C Viết lại y = Ln|x|+C x xu’=1 (dạng đơn giản hơn) Vậy nghiệm tổng quát y=x(Ln|x|+C) Áp điều kiện biên x=1 vào giải C =1 Bài tốn (3 điểm): Viết phương trình vi phân đường đàn hồi dầm chịu uốn (dầm có độ cứng chịu uốn EJ) VA= qL/2 Cách 1: Áp dụng cơng thức Phương trình góc xoay q L EJ ( x) EJ x EJ q aq 3! Phương trình chuyển vị điểm x: EJf x EJf EJ x 1! ( x L) 3! ( x) ( x) P q aq 3! 4! qbq qbq ( x L) 4! Trong qa = qb = q, chuyển vị fo =0 θo góc xoay biểu thức hoàn chỉnh sau áp điều kiện biên sau: Tại gối x= fo =0 Tại gối phải x= L fo = Cách 2: Dễ thấy Phản lực gối tựa trái phải V= qL/2 Viết biểu thức M(x)= L x qL x q x q = ( 2 L x2 ) = ½ Q (x L2 M(x) Phương trình M = EJ ( L x2 Q d2y ) = q x q = (x 2 dx -8- x2 ) đặt Q=qL L x2 ) Vẽ hình L Q/2 Lấy tích phân lần ta có biểu thức độ võng y (phương trình đường đàn hồi) Cụ thể: Tích phân Lần ta được: Q L2 ( Q x2 ( 2 x3 ) C1 ; áp điều kiện biên góc xoay x=L/2 3L L3 ) C1 =0 giải C1 = - QL /24 24L Tích phân Lần ta được: Q x3 ( 0, tức Giải C2=0 x4 QL2 ) x C ; áp điều kiện biên chuyển vị x=L 12L 24 Vậy phương trình đường đàn hồi y= Kiểm lại x= L/2 y = Q x3 ( EJ 12 x4 ) 24L QL2 x 24EJ 5QL3 , lại đạo hàm lần 384EJ -9- QL3 x3 [2 24EJ L x4 L4 x ] L