Hướng dẫn học sinh lớp 10 THPT lam kinh ôn tập phương trình, bất phương trình vô tỉ dạng cơ bản

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Năm học 2018 - 2019, phân công trực tiếp giảng dạy lớp 10 Đa số học sinh nắm kiến thức Tốn học cịn chậm ''hổng'' kiến thức, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt Trong chương trình Tốn THPT, mà cụ thể phần môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình bất phương trình vơ tỉ Học sinh tiếp cận với vài cách giải thông thường toán bản, đơn giản chương III chương IV sách giáo khoa 10 Tuy nhiên thực tế tốn giải phương trình bất phương trình vơ tỉ phong phú đa dạng, đặc biệt đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, em gặp lớp tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ mà có số em biết phương pháp giải trình bày chưa gọn gàng, chí cịn mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày Tại lại vậy? Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hành trình bày phần đầu chương III chương IV(Giữa học kỳ I) hạn hẹp có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ đưa cách giải rườm rà khó hiểu dễ mắc sai lầm, phần tập đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình bất phương trình vơ tỉ, địi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi tốn nhanh nhẹn thục Từ lý xin đưa đề tài: ''Hướng dẫn học sinh THPT Lam Kinh ơn tập phương trình, bất phương trình vơ tỉ dạng bản'' 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ bản, từ phát đâu điều kiện cần đủ Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải lớp tốn giải phương trình bất phương trình vơ tỉ 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài hướng tới học sinh THPT nói chung học sinh lớp 10 nói riêng Cụ thể, đối tượng học sinh mà tiến hành rèn luyện học sinh thân trực tiếp giảng dạy, bao gồm lớp : lớp 10B5 - 44 học sinh, lớp 10B8 - 40 học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận chung + Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học + Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm + Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn + Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 10 năm học trước năm học 2018 - 2019 NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý luận Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, trừu tượng, đa phần em ngại học mơn Muốn học tốt mơn Tốn em phải nắm vững tri thức khoa học môn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi phù hợp Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn Tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Trong chương trình mơn Tốn lớp 10 có phần phương trình bất phương trình vơ tỉ tương đối khó mà sách giáo khoa đưa lượng tập ít, học sinh không rèn luyện nhiều dạng Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT Lam Kinh vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn giải phương trình bất phương trình vơ tỉ Trong giới hạn SKKN tơi đưa phương pháp giải hai dạng phương trình vơ tỉ thường gặp số dạng tốn khơng mẫu mực (dạng không tường minh) nâng cao, hai dạng bất phương trình vơ tỉ 2.1.1 Một số dạng phương trình vơ tỉ thường gặp * Dạng 1: phương trình Phương trình (1) f ( x)  g ( x) (1) �g ( x) �0 f ( x )  g ( x) � � �f ( x )  g ( x ) Ta thấy g(x) �0 hai vế khơng âm, nên sau bình phương hai vế phương trình f ( x)  g ( x) cần so sánh nghiệm vừa nhận với điều kiện g(x) �0 để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu thử để lấy nghiệm * Dạng 2: Phương trình f ( x)  g ( x ) (2) �f ( x) �0( g ( x ) �0) �f ( x)  g ( x ) Phương trình (2) � � Điều kiện f ( x) �0 điều kiện cần đủ phương trình (2) Chú ý không thiết phải đặt điều kiện đồng thời f ( x) g ( x) khơng âm f ( x)  g ( x) * Dạng tốn khơng mẫu mực Loại thực qua ví dụ cụ thể 2.1.2 Một số dạng bất phương trình vơ tỉ *Dạng 1: Bất phương trình f ( x)  g ( x) (3) �f ( x) �0 � Bất phương trình (3) � �g ( x)  �f ( x)  g ( x) � Ta thấy điều kiện f ( x) �0 điều kiện bất phương trình g ( x)  điều kiện để hai vế khơng âm nên dẫn đến bình phương hai vế, đưa bất phương trình đơn giản Còn trường hợp g ( x) �0 bất phương trình vơ nghiệm vế trái số không âm lại nhỏ vế phải ln nhỏ khơng Dạng 2: Bất phương trình f ( x)  g ( x) (4) �f ( x ) �0 �g ( x ) �0 Bất phương trình (4) � �g ( x)  �f ( x)  g ( x ) � � Ta thấy g ( x)  vế trái không âm lớn vế phải âm, nên bất phương trình ln với x thỏa mãn điều kiện Trường hợp g ( x) �0 hai vế khơng âm nên ta bình phương hai vế cho dấu đưa bất phương trình đơn giản 2.2.Thực trạng trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Học sinh trường THPT Lam Kinh ban đa số nhận thức chậm, chưa hệ thống kiến thức Toán học Khi gặp tốn giải phương trình vơ tỉ chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi Trong phương trình bất phương trình loại có nhiều dạng phức tạp Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày, nhận thấy học sinh thường bỏ qua khơng giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải tốn phương trình vơ tỉ 2.3 Một số giải pháp Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề học sinh với giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi để giải phương trình bất phương trình vơ tỉ Từ sở lý luận, đưa số giải pháp giải phương trình bất phương trình vơ tỉ sau: 2.3.1 Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x)  g ( x ) (1) a Phương pháp Giáo viên cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương đương hai vế phải khơng âm �g ( x) �0 f (x)  g ( x) � � �f ( x)  g ( x ) Ta thấy g ( x) �0 f ( x )  g ( x ) �0 Không cần đặt thêm điều kiện f ( x) �0 b Các ví dụ Khi giảng dạy cho học sinh tơi nhận thấy Khi gặp tốn, Giải phương trình: x   x  (1) Sách giáo khoa đại số 10 giải sau: (*) Điều kiện pt(1) x � (1) � x   x  x  � x2  x   Phương trình cuối có nghiệm x   x   Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x   loại Vậy nghiệm phương trình (1) x   Mặt khác, số học sinh cịn có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x � (*) để lấy nghiệm nghiệm phương trình x   x   Theo phương trình dạng cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện x � điều kiện cần đủ Sau cách giải sử dụng phương pháp biến đổi tương đương: 2x   x  �x  �0 �� x   ( x  2) � �x �2 � �2 �x  x   �x �2 � � �� x  3 � � x  3 �� � x  3 Vậy nghiệm phương trình là: x   Các ví dụ tương tự + Ví dụ Giải phương trình : 3x   x  (1) Điều kiện có nghiệm phương trình: x �3 (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 3x  �0 ) pt (1) � x   ( x  3) � x  x  13  �  29 x � �� �  29 x � � So với điều kiện (*) ta thu nghiệm phương trình (1) x  29 Lưu ý: không cần phải thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà cần so sánh với điều kiện x �3 (*) để lấy nghiệm + Ví dụ Giải phương trình: 3x  x   3x  (2) Nhận xét : Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để x  x  �0 thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Ta giải sau: Điều kiện có nghiệm phương trình: x � (**) Khi (2) � x  x   (3x  1) � 3x  x   x  x  � 3x  x   x  1 � � � � x � Đối chiếu với điều kiện (**) ta thu nghiệm phương trình (2) x + Ví dụ Giải phương trình : x  12 x  11  x  12 x  15 Nhận xét: Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó để giải kết cuối phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thơng Ta giải tốn sau: Chưa vội đặt điều kiện bước giải ta biến đổi pt(3) � x  12 x  11  x  12 x  11   Đặt x  12 x  11  t ; đk t �0 , (***) Phương trình trở thành: t  5t   t 1 � � � t4 � (thoả mãn điều kiện (***) ) + Với t  � x  12 x  11  � x  12 x  10  , phương trình vơ nghiệm + Với t  � x  12 x  11  � x  12 x   �  56 x � �� �  56 x � � Vậy nghiệm phương trình : x   56  56 , x 4 + Ví dụ Giải phương trình : ( x  4) x   Một số HS có lời giải sai sau:  x  0  x     x 2  x-2 =0 Ta có: ( x  4) x   �  Nhận xét: Đây toán đơn giản giải mắc sai lầm mà khơng đáng có Rõ ràng x  4 khơng phải nghiệm phương trình  B 0  Chú ý rằng: A B 0    A 0   B 0  Ở bị bỏ qua điều kiện là: B �0 (x ≥ 2) Như gặp toán thuộc dạng nêu học sinh chủ động cách đặt vấn đề giải : Điều kiện phương trình gì? Đặt ? Biến đổi biến đổi tương đương ? Biến đổi biến đổi hệ quả? Kết luận nghiệm cuối dựa vào điều kiện nào? 2.3.2 Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f ( x)  g ( x) (2) a Phương pháp Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện biến đổi (2) � �f ( x) �0( g ( x ) �0) � �f ( x)  g ( x) Chú ý: Không cần đặt đồng thời g ( x) �0 f ( x) �0 f ( x)  g ( x) b Các ví dụ Khi gặp tốn, Giải phương trình : x  x   x  � x  x  �0 Học sinh thường đặt điều kiện � sau bình phương hai vế �x  �0 để giải phương trình Điều đáng nói học sinh tìm cách giải hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x  �0 vế nên không cần đặt đồng thời hai điều kiện + Ví dụ Giải phương trình: 3 x   x  (1) Giải: 1 � x � � x  � � � (1) � � �� �x 3 x   x  � �x  � 5 Vậy nghiệm phương trình x  + Ví dụ Giải phương trình: x  3x   x  (2) * Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm Giải: x  �0 � (2) � � �2 x  x   x  � 2 �x � �� � 2x2  x   � � 2 �x � � �� x  1 �� � � x3 �� � x3 Vậy nghiệm phương trình x  + Ví dụ Giải phương trình: x   x  (*) Tóm tắt giải  x  0  2x   x  (*)  x   x     x 2 �  x  Vậy phương trình cho vô nghiệm 2.3.3 Hướng dẫn học sinh giải số phương trình vơ tỉ khơng mẫu mực (Phương trình khơng tường minh) + Ví dụ Giải phương trình : ( x  5) x2  x2 x5 Một số học sinh có lời giải sai sau: Ta có: ( x  5) x2  x2 � x5 ( x  5) ( x  2)  x   x  0  x      2  x  3x  10  x  x    x  5 x  2  x    x   x       3x  x   10  x   14 Vậy phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét: Rõ ràng x  14 nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vô nghiệm Cần ý rằng: B A  AB A 0; B   B   AB A  0; B  Lời giải xét thiếu trường hợp A  ; B  + Ví dụ Giải phương trình: x   x   x   (1) Điều kiện phương trình x �1 (*) Nhận xét: Biểu thức dấu x   x  có dạng đẳng thức (a  b)  a  2ab  b nên ta biến đổi sau: pt(1) � ( x   1)  x   � x 1   x 1  � x   � x   � x  (thoả mãn điều kiện (*) ) Vậy nghiệm phương trình x  + Ví dụ Giải phương trình: 3x   x   (2) x  �0 � Điều kiện � �x  �0 � �x � �� � x �1 (**) � �x �1 Ta biết, muốn bình phương hai vế hai vế phải khơng âm, nên phương trình (2) ta phải chuyển  x  sang vế phải, hai vế khơng âm chuyển vế bình phương hai vế ta pt(2) � 3x    x  (3) Với điều kiện (**) nên hai vế ln khơng âm, bình phương hai vế ta được: Pt(3) � 3x   x   x  � x   x  tiếp tục bình phương hai vế � 4x   x2  2x  � x2  2x   x  1 � � � x3 � (thoả mãn điều kiện (**)) Vậy nghiệm phương trình x  1, x  + Ví dụ Giải phương trình: x   x   x   x  16 Lời giải : Ta có Pt � x   x   x   x  �x  �0 � � � x 1  2x  �x  �0 � � �x 1 �0 �x 1  x  � �x �4 � � �x  Vậy phương trình cho vơ nghiệm Lưu ý: Học sinh đưa lời giải sai sau: Ta có : x   x   x   x  16  x   x   x   4 x     x  0 x   2x      x  2 x   x 1   x 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x  Nhận xét: Ta nhận x = nghiệm phương trình cho nhưng, ý rằng:  A 0 A B  A C    B C + Ví dụ Giải phương trình:  x  x x    x  x �  x  x x  �0 � � Hướng dẫn : Đk �3  x  x �0 �x  �0 � (3) (***) Lưu ý: Hệ điều kiện (***) phức tạp nên với ta không cần giải cụ thể Từ ĐK (***) nên hai vế khơng âm ,bình phương hai vế ta pt(3) �  x  x x    x  x � x x   2 x  �x(2 x  4) �0 � �2 �x ( x  5)  x  16 x  16 �2 �x �0 � �3 �x  x  16 x  16  10 �2 �x �0 � � ( x  1)( x  16)  � �2 �x �0 � � �� � x  1 x  1 �� x  �4 �� Thay giá trị x  1 vào hệ Đk (***), thoả mãn Vậy nghiệm phương trình x  1 + Ví dụ Giải phương trình: x   x   x  2 x  x   16 (4) � �2 x  �0 �x � � � Hướng dẫn: Điều kiện � �x  �0 � �x �1 � x �1 (****) Nhận xét: Đây phương trình phức tạp bình phương hai vế phương trình ta khơng thu kết thuận lợi giải nên ta giải sau: Đặt x   x   t , (ĐK: t �0 ) � 3x  2 x  x   t  (4) � t  t  20  � t  (nhận) t  4 (loại) + Với t  � 2 x  x   21  x ( phương trình thuộc dạng 1) �21  x �0 � � 2 �4(2 x  x  3)  441  216 x  x �x �7 � �2 �x  236 x  429  � x  118  1345 (thoả mãn ĐK) Vậy nghiệm phương trình x  118  1345 + Ví dụ Giải phương trình : x  x  12  ( x  3)( x  x  6) Lời giải đúng: Ta có: x  x  12  ( x  3)( x  x  6)  ( x  3)( x  4)  ( x  3)( x  3)( x  2)  ( x  3)( x  4)  ( x  3) ( x  2) �( x  3) x   ( x  3)( x  4) � � ( x  3) x   ( x  3)( x  4) � � (1)  2 Giải (1) � ( x  3) x   ( x  3)( x  4)   x  3   x   x  0 11 x3 � �� �x   x 4 Giải (2) x3 � �� x7 � � ( x  3) x   ( x  3)( x  4) �   x  3   x2 x4 0 x3 � �� �x   4 x x3 � �� x2 � Vậy phương trình cho có nghiệm : x  2; x  3; x  Nhận xét: Bài toán HS giải mắc sai lầm sau: Lời giải sai: Ta có: x  x  12  ( x  3)( x  x  6)  ( x  3)( x  4)  ( x  3)( x  3)( x  2)  ( x  3)( x  4)  ( x  3) ( x  2) � ( x  3) x   ( x  3)( x  4)   x  3   x   x  0  x 3    x  x    x  0 Giải  ta có x   x     x   x    x 4   x 7  x  x  14 0 Vậy phương trình cho có nghiệm x  x  HS kết luận với x  x  hai nghiệm thoả mãn phương trình Mà khơng ngờ phương trình cho cịn có nghiệm x  Chú ý rằng: A  � � A B  A B  �A B A  �  A B A  � Lời giải bỏ sót trường hợp A �0 2.3.4 Hướng dẫn học sinh giải bất phương trình dạng 1: f ( x)  g ( x ) (3) a Phương pháp 12 �f ( x) �0 � Bất phương trình (3) � �g ( x)  �f ( x)  g ( x) � b Các ví dụ +Ví dụ Giải bất phương trình sau: x  3x  10  x  (I) Điều kiện xác định bất phương trình cho là: x  x  10 �0 (1) Dễ thấy nghiệm bất phương trình cho phải thõa mãn điều kiện x   (2) Kết hợp điều kiện (1) (2) bất phương trình cho tương đương với bất phương trình x  x  10  ( x  2)2 (3) Như bất phương trình cho tương đương với hệ gồm bất phương trình (1), (2), (3) Sau lời giải cho bất phương trình trên: �x  3x  10 �0 � �x   �x  3x  10  ( x  2) � �� x �� x �5 �� � � �x  �x  14 � � �  ۣ x  14 Tập nghiệm bất phương trình là: S   5;14  +Ví dụ Giải bất phương trình: x2  x   2x  Giải: Ở toán ta cần áp dụng phương pháp giải x2  x   2x  x  �0 � �2 � �x  x   (2 x  3) �x  x  �0 � � �x � � � �� x  11x  11  x �x �1 �� � � x �2 �� ۳ x Vậy nghiệm bất phương trình là: S  [2;+�) 13 +Ví dụ Giải bất phương trình: ( x  2)( x  32) �x  34 x  48 Nhận xét: Ở thuộc dạng bất phương trình trên, nhiên giải theo phương pháp bình phương hai vế, ta thấy bậc bất phương trình bậc 4, nên cơng việc giải lại khó Ta để ý thấy VT có ( x  2)( x  32)  x  34 x  64  ( x  34 x  48)  16 Khi bình phương vế trái thấy xuất vế phải, tức vế phải biến đổi theo vế trái, nên ta làm sau: Điều kiện: ( x  2)( x  32) �0 Đặt ( x  2)( x  32)  t (t �0) t  ( x  2)( x  32)  x  34 x  64 Từ bất phương trình tương đương 6t �t  16 � t  6t  16 �0 t �2 � �� t �8 � Kết hợp với điều kiện t �0 chọn t �8 nên x  34 x  64 �64 � x  34 x �0 x �0 � �� x �34 �  ;0] [34; + ) Vậy nghiệm bất phương trình là: S �ȥ Lưu ý: Đối với dạng tốn ta khơng nên bình phương mà sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa toán dễ Từ toán ta thấy áp dụng phương pháp dạng tổng quát, mà cần phải linh hoạt biến đổi tốn học cơng việc giải tốn nhanh xác 2.3.5 Hướng dẫn học sinh giải bất phương trình dạng 2: f ( x)  g ( x ) (4) a Phương pháp �g ( x ) �0 �f ( x ) �0 Bất phương trình (4) � �g ( x)  �f ( x)  g ( x ) � � b Các ví dụ +Ví dụ Giải bất phương trình: x2  17  x Sách giáo khoa giải sau: Hai vế bất phương trình có nghĩa với x 14 1 ), vế phải bất phương trình âm, vế trái dương 1 nên trường hợp x  nghiệm bất phương trình 2 a Khi x   (tức x  1 b Khi x  �0 (tức x � ), hai vế bất phương trình khơng âm nên ta bình phương hai vế bất phương trình tương đương x2  17  x2  x  4 Như vậy, nghiệm bất phương trình cho trường hợp � 1 x� � � nghiệm hệ � �x  17  x  x  � 4 Giải hệ ta nghiệm 1 �x  Tổng hợp lại, nghiệm bất phương trình cho bao gồm x  1 �x  1 Vậy nghiệm bất phương trình cho x  Ở toán chưa đưa trường hợp tổng quát nên học sinh gặp dạng dễ măc sai lầm quên đặt điều kiện cho biểu thức thức có nghĩa, dẫn đến đưa nghiệm bất phương trình sai +Ví dụ Giải bất phương trình: x  x  x  (1) Nhận xét: Học sinh có lời giải sai sau: �x  �0 (1) � � 2 �x  x  ( x  3) �x �3 �� 2x  � �x �3 � �� �x x � � Vậy nghiệm bất phương trình là: S  ( ; �) Học sinh giải mà khơng ngờ cịn trường hợp x   , bất phương trình ln vế trái ln lớn không với x thỏa mãn điều kiện x  x �0 cịn vế phải ln nhỏ khơng, nghiệm bất phương trình x   x  x �0 Phân tích tốn sau: Điều kiện xác định bất phương trình cho x  x �0 (1) 15 Để khử dấu chứa ẩn, ta xét hai trường hợp: +Trường hợp 1: x   (2) Hiển nhiên, nghiệm chung (1) (2) nghiệm bất phương trình cho Tóm lại trường hợp này, bất phương trình cho tương đương với hệ gồm bất phương trình (1) (2) +Trường hợp 2: x  �0 (3) Với điều kiện (1) (3), bất phương trình cho tương đương với bất phương trình x  x  ( x  3)2 (4) Hiển nhiên (4) kéo theo (1) Do nghiệm chung hai bất phương trinh (3) (4) nghiệm bất phương trình cho Tóm lại trường hợp này, bất phương trình cho tương đương với hệ gồm hai bất phương trình (3) (4) Sau lời giải cụ thể ví dụ Bất phương trình tương đương với hệ sau: � �x  x �0 ( I ) � � �x   � � �x  �0 � �2 � �x  x  ( x  3) � �� x �� Ta có ( I ) � ��x �4 �x  � ( II ) x �x �3 �x �3 � ( II ) � � �� � x 2x  x � � � Vậy nghiệm bất phương trình cho là: S  (�;0] �( ; �) +Ví dụ Giải bất phương trình:  x  x    x (2) Giải: Đối với toán ta cần áp dụng công thức �  2x  � (I ) � �  x  x  � � � Bất phương trình (2) � �  x �0 � � ( II ) � �  x  x   (8  x) � � Ta có: 16 �x  (I ) � � �x �5 � �  x �5 �x �4 � ( II ) � � 23 3 x � � �  x �4 Lấy hợp trường hợp (I), (II) nghiệm bất phương trình là: S  (3;5] * Sau tập giải phương trình vơ tỉ hướng dẫn học sinh giải Giáo viên dạng tập tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình bất phương trình vơ tỉ 2.4 Các tập luyện tập Giải phương trình sau: 3x    x  x  x  3x  x   x   Hướng dẫn: Biến đổi theo dạng dạng x  x   2( x  1) x  3x  x  3x   Hướng dẫn: Đặt t  x  3x  (t �0 ) Đáp số: x  1 x  x  x  12  x  3x x   3x   x  Hướng dẫn: Đặt ĐK sau bình phương hai vế Đáp số: x  x  x 1  x x Hướng dẫn :  AB A 0; B  A AB  B   B B   AB A  0; B   B Đáp số : Nghiệm phương trình : x = -3 17 x x   x  5 x 5 Hướng dẫn: B A  AB A 0; B   B   AB A  0; B  Đáp số : Nghiệm phương trình là: x  14 10 x   x  10  x   x  11 x 1 + x 1 = 12 x + x   x  = 13 x  x   ( x  3) x  14 (4 x  1) x   x3  x  15 x   x x  x 16 x  x  ( x  2) x  x  Giải bất phương trình sau:  x �x  2  x  4x  �2 x Hướng dẫn: Ở tốn biến đổi đưa dạng tổng quát f ( x) �g ( x) giải với lưu ý có ẩn mẫu, nhiên ta làm theo cách sau, đặt  x  t (t �0) , biến đổi đưa bất phương trình ẩn t, giải 3 x  x   2 x x  x  3  x  x  Hướng dẫn: đặt  x  x  t (t �0) 2.5 Kết Cụ thể lớp khối 10 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số học sinh hiểu có kỹ giải dạng tốn nói trên, kết qua kiểm tra học sinh trước sau áp dụng sáng kiến sau: + Trước áp dụng sáng kiến: Năm học Lớp Điểm trở lên Điểm từ đến Điểm 18 2018- 2019 Tổng số Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Số lượng 10B5 44 6,8% 16 36,4% 25 10B8 40 10% 20 50% 16 Tỷ lệ 56,8 % 40% + Sau áp dụng sáng kiến này: Năm học 2018-2019 Điểm trở lên Điểm từ đến Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng Lớp Tổng số 10B5 44 14% 25 59,5 % 10B8 40 20 % 27 67,5 % Điểm Số Tỷ lệ lượng 24,5 13 % 12,5% KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THPT Lam Kinh trường THPT Hà Văn Mao Phương trình bất phương trình vơ tỉ nội dung quan trọng chương trình mơn Tốn lớp 10 nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình bất phương trình vơ tỉ Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi 3.2 Kiến nghị + Nhà trường cần tăng cường dạy phụ đạo bồi dưỡng cho học sinh khối 10 mơn Tốn + Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập + Học sinh cần nâng cao khả tự học tự bồi dưỡng Tôi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận Thủ trưởng đơn vị Thanh hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm mình, khơng chép nội dung 19 người khác Ký, họ tên Lại Thị Ngân 20 ... biến đổi để giải phương trình bất phương trình vơ tỉ Từ sở lý luận, tơi đưa số giải pháp giải phương trình bất phương trình vơ tỉ sau: 2.3.1 Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x) ... nghiệm năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình bất phương trình vơ tỉ Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung... (I), (II) nghiệm bất phương trình là: S  (3;5] * Sau tập giải phương trình vơ tỉ hướng dẫn học sinh giải Giáo viên dạng tập tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải