Ma trận điều hoà

MA TRẬN ĐIỀU HOÀ Chúng ta ai cũng biết bài toán vui xếp các số từ 1 đến 9 vào ma trận 3*3 sao cho tổng các hàng, các cột và các đường chéo đều bằng 15. Khi n>3 thuật toán tháp chỉ có thể áp dụng cho n lẽ. Chúng ta thử tìm một thuật toán khác áp dụng chung cho bất kỳ giá trị nguyên n ≥ 3 : Xếp ma trận ban đầu tuần tự theo từng cột 1 cho đến cột n theo thứ tự tăng dần. Bằng cách xoay các đường chéo, các trục của ma trận một góc nhất định ta được ma trận có tổng các hàng, các cột đối nghịch một giá trị cố định qua hai trục. Hoán vị mỗi hàng của ma trận m cặp số qua trục tung, hoán vị mỗi cột của ma trận m’ cặp số qua trục hoành ta sẽ được ma trận điều hòa. Tùy theo giá trị của n ta có 4 cách xoay như sau : 1) Trường hợp 1 : n = 3, 7, 11, … Đặt : m = (n - 3)/ 4. B1: Xoay 2 đường chéo của ma trận qua tâm góc : 180 0 B2: Xoay 2 đường chéo và 2 trục của ma trận qua tâm góc : - 45 0 B3: Hoán vị mỗi hàng của ma trận m cặp số đối xứng qua trục tung B4: Hoán vị mỗi cột của ma trận m cặp số đối xứng qua trục hoành VD: n = 15 => m = (15 – 3)/4 = 3 225 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196 15 2 209 32 47 62 77 92 107 122 137 152 167 182 29 212 3 18 193 48 63 78 93 108 123 138 153 168 43 198 213 4 19 34 177 64 79 94 109 124 139 154 57 184 199 214 5 20 35 50 161 80 95 110 125 140 71 170 185 200 215 6 21 36 51 66 145 96 111 126 85 156 171 186 201 216 7 22 37 52 67 82 129 112 99 142 157 172 187 202 217 8 23 38 53 68 83 98 113 128 143 158 173 188 203 218 9 24 39 54 69 84 127 114 97 144 159 174 189 204 219 10 25 40 55 70 141 100 115 130 81 160 175 190 205 220 11 26 41 56 155 86 101 116 131 146 65 176 191 206 221 12 27 42 169 72 87 102 117 132 147 162 49 192 207 222 13 28 183 58 73 88 103 118 133 148 163 178 33 208 223 14 197 44 59 74 89 104 119 134 149 164 179 194 17 224 211 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 1 Hình 1.1 : Xoay đường chéo O : Xoay 2 đường chéo qua tâm góc : 180 0 106 30 45 60 151 136 121 15 91 76 61 180 195 210 218 212 107 44 59 74 137 122 29 92 77 164 179 194 203 2 213 198 108 58 73 88 123 43 93 148 163 178 188 18 3 214 199 184 109 72 87 102 57 132 147 162 173 34 19 4 11 200 185 170 110 86 101 71 131 146 158 50 35 20 221 10 25 186 171 156 111 100 85 130 143 66 51 36 205 220 9 24 39 172 157 142 112 99 128 82 67 52 189 204 219 225 209 193 177 161 145 129 113 97 81 65 49 33 17 1 7 22 37 174 159 144 98 127 114 84 69 54 187 202 217 6 21 190 175 160 83 96 141 126 115 70 55 40 201 216 5 206 191 176 68 80 95 155 125 140 116 56 41 26 215 222 207 192 53 64 79 94 169 124 139 154 117 42 27 12 223 208 38 48 63 78 133 183 103 138 153 168 118 28 13 224 23 32 47 62 149 134 197 104 89 152 167 182 119 14 8 16 31 46 165 150 135 211 105 90 75 166 181 196 120 Hình 1.2 : Xoay các trục và hoán vị các cặp số O : Xoay 2 đường chéo, 2 trục qua tâm góc : - 45 0 O : Hoán vị mỗi hàng 3 cặp số đối xứng qua trục tung O : Hoán vị mỗi cột 3 cặp số đối xứng qua trục hoành 2) Trường hợp 2 : n = 5, 9, 13, … Đặt : m = (n – 5)/ 4. B1: Xoay đường chéo 1 và trục hoành của ma trận qua tâm góc : 180 0 B2: Xoay 2 đường chéo và 2 trục của ma trận qua tâm góc : - 45 0 B3: Hoán vị mỗi hàng của ma trận m cặp số đối xứng qua trục tung B4: Hoán vị mỗi cột của ma trận (m + 1) cặp số đối xứng qua trục hoành VD : n = 17 => m = (17 – 5)/ 4 = 3 289 18 35 52 69 86 103 120 137 154 171 188 205 222 239 256 273 2 271 36 53 70 87 104 121 138 155 172 189 206 223 240 257 274 3 20 253 54 71 88 105 122 139 156 173 190 207 224 241 258 275 4 21 38 235 72 89 106 123 140 157 174 191 208 225 242 259 276 5 22 39 56 217 90 107 124 141 158 175 192 209 226 243 260 277 6 23 40 57 74 199 108 125 142 159 176 193 210 227 244 261 278 7 24 41 58 75 92 181 126 143 160 177 194 211 228 245 262 279 8 25 42 59 76 93 110 163 144 161 178 195 212 229 246 263 280 281 264 247 230 213 196 179 162 145 128 111 94 77 60 43 26 10 27 44 61 78 95 112 129 146 127 180 197 214 231 248 265 282 11 28 45 62 79 96 113 130 147 164 109 198 215 232 249 266 283 12 29 46 63 80 97 114 131 148 165 182 91 216 233 250 267 284 13 30 47 64 81 98 115 132 149 166 183 200 73 234 251 268 285 14 31 48 65 82 99 116 133 150 167 184 201 218 55 252 269 286 15 32 49 66 83 100 117 134 151 168 185 202 219 236 37 270 287 16 33 50 67 84 101 118 135 152 169 186 203 220 237 254 19 288 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 Hình 2.1 : Xoay đường chéo và trục hoành O : Xoay đường chéo 1 và trục hoành qua tâm góc : 180 0 137 34 51 68 85 188 171 154 273 120 103 86 221 238 255 272 274 138 50 67 84 101 172 155 257 121 104 203 220 237 254 26 275 258 139 66 83 100 117 156 241 122 185 202 219 236 43 20 276 259 242 140 82 99 116 133 225 167 184 201 218 60 38 21 13 260 243 226 141 98 115 132 209 166 183 200 77 56 39 22 285 12 29 244 227 210 142 114 131 193 165 182 94 74 57 40 267 284 11 28 45 228 211 194 143 130 177 164 111 92 75 58 249 266 283 10 27 44 61 212 195 178 144 161 128 110 93 76 231 248 265 282 289 271 253 235 217 199 181 163 145 127 109 91 73 55 37 19 8 25 42 59 214 197 180 162 129 146 112 95 78 229 246 263 280 7 24 41 232 215 198 179 126 113 160 147 96 79 62 245 262 279 6 23 250 233 216 196 108 125 97 159 176 148 80 63 46 261 278 5 268 251 234 213 90 107 124 81 158 175 192 149 64 47 30 277 286 269 252 230 72 89 106 123 65 157 174 191 208 150 48 31 14 287 270 247 54 71 88 105 168 49 134 173 190 207 224 151 32 15 288 264 36 53 70 87 186 169 33 135 118 189 206 223 240 152 16 281 18 35 52 69 204 187 170 17 136 119 102 205 222 239 256 153 Hình 2.2 : Xoay các trục và hoán vị các cặp số O : Xoay 2 đường chéo, 2 trục qua tâm góc : - 45 0 O : Hoán vị mỗi hàng 3 cặp số đối xứng qua trục tung O : Hoán vị mỗi cột 4 cặp số đối xứng qua trục hoành 3) Trường hợp 3 : n = 4, 8, 12, … Đặt : m = (n – 4)/ 4. B1: Xoay 2 đường chéo của ma trận qua tâm góc : 180 0 B2: Hoán vị mỗi hàng của ma trận m cặp số đối xứng qua trục tung B3: Hoán vị mỗi cột của ma trận m cặp số đối xứng qua trục hoành VD : n = 16 => m = (n – 4)/ 4 = 3 256 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209 225 16 2 239 34 50 66 82 98 114 130 146 162 178 194 210 31 242 3 19 222 51 67 83 99 115 131 147 163 179 195 46 227 243 4 20 36 205 68 84 100 116 132 148 164 180 61 212 228 244 5 21 37 53 188 85 101 117 133 149 165 76 197 213 229 245 6 22 38 54 70 171 102 118 134 150 91 182 198 214 230 246 7 23 39 55 71 87 154 119 135 106 167 183 199 215 231 247 8 24 40 56 72 88 104 137 121 152 168 184 200 216 232 248 9 25 41 57 73 89 105 136 120 153 169 185 201 217 233 249 10 26 42 58 74 90 51 122 138 103 170 186 202 218 234 250 11 27 43 59 75 166 107 123 139 155 86 187 203 219 235 251 12 28 44 60 181 92 108 124 140 156 172 69 204 220 236 252 13 29 45 196 77 93 109 125 141 157 173 189 52 221 237 253 14 30 211 62 78 94 110 126 142 158 174 190 206 35 238 254 15 226 47 63 79 95 111 127 143 159 175 191 207 223 18 255 241 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 1 Hình 3.1 : Xoay đường chéo O : Xoay 2 đường chéo qua tâm góc : 180 0 256 32 48 64 65 161 145 129 113 97 81 177 208 224 240 16 242 239 47 63 79 82 146 130 114 98 162 191 207 223 31 2 243 227 222 62 78 94 99 131 115 147 174 190 206 46 19 3 244 228 212 205 77 93 109 116 132 157 173 189 61 36 20 4 5 229 213 197 188 92 108 124 140 156 172 76 53 37 21 245 11 22 214 198 182 171 107 123 139 155 91 70 54 38 230 251 10 26 39 199 183 167 154 122 138 106 87 71 55 215 234 250 9 25 41 56 184 168 152 137 121 104 88 72 200 217 233 249 8 24 40 57 185 169 153 136 120 105 89 73 201 216 232 248 7 23 42 202 186 170 151 119 135 103 90 74 58 218 231 247 6 27 219 203 187 166 102 118 134 150 86 75 59 43 235 246 12 236 220 204 181 85 101 117 133 149 165 69 60 44 28 252 253 237 221 196 68 84 100 125 141 148 164 180 52 45 29 13 254 238 211 51 67 83 110 142 126 158 163 179 195 35 30 14 255 226 34 50 66 95 159 143 127 111 175 178 194 210 18 15 241 17 33 49 80 176 160 144 128 112 96 192 193 209 225 1 Hình 3.2 : Hoán vị các cặp số O : Hoán vị mỗi hàng 3 cặp số đối xứng qua trục tung O : Hoán vị mỗi cột 3 cặp số đối xứng qua trục hoành 4) Trường hợp 4 : n = 6, 10, 14, … Đặt : m = (n – 6)/ 4. B1: Xoay 2 đường chéo của trận qua tâm góc : 180 0 B2: Hoán vị mỗi hàng của ma trận m cặp số đối xứng qua trục tung B3: Hoán vị mỗi cột của ma trận m cặp số đối xứng qua trục hoành B4: Hoán vị mỗi hàng thuộc nữa trên của ma trận 1 cặp số đối xứng qua trục tung B5: Hoán vị mỗi cột thuộc nữa trái của ma trận 1 cặp số đối xứng qua trục hoành VD : n = 18 => m = (n – 6)/ 4 = 3 324 19 37 55 73 91 109 127 145 163 181 199 217 235 253 271 289 2 305 38 56 74 92 110 128 146 164 182 200 218 236 254 272 35 3 21 286 57 75 93 111 129 147 165 183 201 219 237 255 52 291 4 22 40 267 76 94 112 130 148 166 184 202 220 238 69 274 292 5 23 41 59 248 95 113 131 149 167 185 203 221 86 257 275 293 6 24 42 60 78 229 114 132 150 168 186 204 103 240 258 276 294 7 25 43 61 79 97 210 133 151 169 187 120 223 241 259 277 295 8 26 44 62 80 98 116 191 152 170 137 206 224 242 260 278 296 9 27 45 63 81 99 117 135 172 155 189 207 225 243 261 279 297 10 28 46 64 82 100 118 136 171 153 190 208 226 244 262 280 298 11 29 47 65 83 101 119 188 155 173 134 209 227 245 263 281 299 12 30 48 66 84 102 205 138 156 174 192 115 228 246 264 282 300 13 31 49 67 85 222 121 139 157 175 193 211 96 247 265 283 301 14 32 50 68 239 104 122 140 158 176 194 212 230 77 266 284 302 15 33 51 256 87 105 123 141 159 177 195 213 231 249 58 285 303 16 34 273 70 88 106 124 142 160 178 196 214 232 250 268 39 304 17 290 53 71 89 107 125 143 161 179 197 215 233 251 269 287 20 307 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 Hình 4.1 : Xoay đường chéo O : Xoay 2 đường chéo qua tâm góc : 180 0 324 36 54 72 90 217 199 181 163 145 127 109 91 235 270 288 306 308 305 53 71 89 107 200 182 164 146 128 110 218 251 269 287 35 309 291 286 70 88 106 124 183 165 147 129 201 232 250 268 52 21 310 292 274 267 87 105 123 141 166 148 184 213 231 249 69 40 22 311 293 275 257 248 104 122 140 158 167 194 212 230 86 59 41 23 13 294 276 258 240 229 121 139 157 175 193 211 103 78 60 42 24 12 30 277 259 241 223 210 138 156 174 192 120 97 79 61 43 295 11 29 47 260 242 224 206 191 155 173 137 116 98 80 62 278 299 10 28 46 64 243 225 207 189 172 154 135 117 99 81 261 280 298 9 27 45 63 82 226 208 190 171 153 136 118 100 244 262 279 297 8 26 44 65 245 227 209 188 152 170 134 119 101 83 263 281 296 7 25 48 264 246 228 205 133 151 169 187 115 102 84 66 282 300 6 31 283 265 247 222 114 132 150 168 186 204 96 85 67 49 301 14 302 284 266 239 95 113 131 149 176 185 203 221 77 68 50 32 321 303 285 256 76 94 112 130 159 177 195 202 220 238 58 51 33 322 304 273 57 75 93 111 142 178 160 196 214 219 237 255 39 34 323 290 38 56 74 92 125 197 179 161 143 215 233 236 254 272 20 307 19 37 55 73 108 216 198 180 162 144 126 234 252 253 271 289 Hình 4.2 : Hoán vị các cặp số O : Hoán vị mỗi hàng 3 cặp số đối xứng qua trục tung O : Hoán vị mỗi cột 3 cặp số đối xứng qua trục hoành O : Hoán vị mỗi hàng thuộc nữa trên 1 cặp số đối xứng qua trục tung O : Hoán vị mỗi cột thuộc nữa trái 1 cặp số đối xứng trục hoành . MA TRẬN ĐIỀU HOÀ Chúng ta ai cũng biết bài toán vui xếp các số từ 1 đến 9 vào ma trận 3*3 sao cho tổng các hàng, các. trận m cặp số qua trục tung, hoán vị mỗi cột của ma trận m’ cặp số qua trục hoành ta sẽ được ma trận điều hòa. Tùy theo giá trị của n ta có 4 cách xoay