Không gian với họ HCP

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: KHƠNG GIAN VỚI HỌ HCP Sinh viên thực hiện: VÕ THỊ ANH THƯ Giảng viên hướng dẫn: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: KHƠNG GIAN VỚI HỌ HCP Sinh viên thực hiện: VÕ THỊ ANH THƯ Giảng viên hướng dẫn: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Chuyên ngành: Sư phạm Toán Lớp: 14ST ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn, động viên, nhắc nhở tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè tất người động viên, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả Võ Thị Anh Thư MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian mêtric 1.2 Không gian tôpô 1.3 Không gian khả mêtric 1.4 Các tiên đề tách 1.5 Một vài không gian mêtric suy rộng CHƯƠNG KHÔNG GIAN VỚI HỌ HCP .13 2.1 Họ HCP tính chất 13 2.2 Mối quan hệ họ HCP với họ khác không gian tôpô 2.3 Không gian với mạng σ-HCP 21 26 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích chuyên ngành quan trọng toán học Giải tích đại chuyên nghiên cứu vấn đề mang tính chất lý thuyết, việc nghiên cứu họ có tính chất đặc biệt khơng gian tơpơ ý Họ bảo tồn bao đóng di truyền HCP với không gian k -mạng σ HCP có vai trò quan trọng việc nghiên cứu không gian mêtric tổng quát Những vấn đề nhiều người quan tâm như: L Foged giới thiệu đặc trưng không gian Fréchet với k -mạng σ -HCP, Junniala Ziqiu Yun đưa mối quan hệ ℵ-không gian không gian k -mạng σ -HCP, Bởi lý với góp ý hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài nghiên cứu là: “Không gian với họ HCP” Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề sau: (1) Họ HCP tính chất (2) Mối quan hệ họ HCP với họ khác không gian tôpô (3) Không gian với mạ X\ {Yn : n ∈ N} Khi đó, Pn,x hữu hạn với x ∈ Z Thật vậy, giả sử ngược lại Pn,x vơ hạn Vì x ∈ / Ym nên với m ∈ N, Pm,x \{x} = ∅ Bằng phương pháp quy nạp, ta chọn tập {xi : i ≥ n} X họ {Pi : i ≥ n} Pn cho 29 xi ∈ P i ( Px,i )\{x} Đặt V = X\{xi : i ≥ n} Khi đó, V lân cận mở x X Vì thế, tồn m n P ∈ Pm cho x ∈ P ⊂ V ⊂ X\{xm } Điều mâu thuẫn với xm ∈ ∩Pm,x Do đó, với n ∈ N z ∈ Z , Pn,x hữu hạn Cuối cùng, với n ∈ N, đặt Fn = {P Khi đó, Z : P ∈ Pn } {Fn : n ∈ N} k -mạng σ -hữu hạn địa phương Z Vì ∞ vậy, Z ℵ-khơng gian Z X và: X\Z = Yn , Yn n=1 tập đóng rời rạc X Mệnh đề 2.3.5 Trên không gian X, ta xét tính chất sau (1) X có k-mạng σ -HCP (2) X có k-mạng σ -compact-hữu hạn (3) X có k-mạng σ -cs-hữu hạn Khi đó: (1) ⇒ (2) ⇒ (3) Chứng minh (1) ⇒ (2): Giả sử P = Pn k -mạng σ -HCP X , X ∈ Pn ⊂ Pn+1 Pn họ HCP với n ∈ N Với n ∈ N, đặt Dn = {x ∈ X : Pn không điểm-hữu hạn x} Fn = {P \Dn : P ∈ Pn } {{x} : x ∈ Dn } ∞ đặt F = Fn Khi n=1 • F σ -compact-hữu hạn Giả sử K tập compact X Khi đó, K Dn hữu hạn với n ∈ N 30 Mặt khác, P họ HCP nên {P \Dn : P ∈ Pn } họ HCP điểm hữu hạn Do đó, K giao với hữu hạn họ {P \Dn : P ∈ Pn } Thật vậy, K giao với hữu hạn họ {P \Dn : P ∈ Pn } {P \Dn : P ∈ Pn } điểm hữu hạn nên ta chọn dãy phân biệt {xi : i ∈ N} ⊂ K cho xi ∈ Pαi \Dn , với i ∈ N Bởi {P \Dn : n ∈ N} họ HCP nên {xi : i ∈ N} phải tập rời rạc X Điều mâu thuẫn với {xi : i ∈ N} dãy vô hạn không gian compact K • F k -mạng X Giả sử K tập compact, K ⊂ U U mở X Bởi P k -mạng Pn ⊂ Pn+1 nên tồn n ∈ N họ hữu hạn Pn ⊂ Pn cho K ⊂ Pn ⊂ U Đặt Fn = {P \Dn : P ∈ Pn } {{x} : x ∈ Dn K} Khi đó, hiển nhiên K ⊂ Fn ⊂ U Đồng thời, Pn họ hữu hạn nên ta suy Fn họ hữu hạn F Vậy F k -mạng X (2) ⇒ (3): Hiển nhiên Bổ đề 2.3.6 Mọi không gian compact với k-mạng điểm-đếm khả mêtric Mệnh đề 2.3.7 Các mệnh đề sau tương đương với k-khơng gian X (1) X có k-mạng σ -HCP (2) X có k-mạng σ -compact-hữu hạn (3) X có k-mạng σ -cs-hữu hạn Chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3): Theo Mệnh đề 2.3.5 ∞ (3) ⇒ (1): Giả sử P = Pn k -mạng σ -cs-hữu hạn X Khi đó, n=1 hiển nhiên P k -mạng điểm-đếm X Do đó, X khơng gian dãy 31 Cần chứng minh Pn họ HCP với n ∈ N Giả sử ngược lại, tồn n0 ∈ N cho: Pn0 = {Pα : α ∈ I} không họ HCP Khi đó, tồn J ⊂ I α ∈ J , tồn Bα ⊂ Pα cho Bα , suy Bα = α∈J α∈J Bα khơng đóng X α∈J Vì X không gian dãy nên tồn dãy {xn : n ∈ N} ⊂ Bα nên α∈J Bα chứa hữu hạn phần tử dãy xn Do {Bα : α ∈ J, Bα ({xn } {x}) = ∅} tập vơ hạn Do đó, họ {Bα : α ∈ J} khơng cs-hữu hạn Vì Pn0 họ cs-hữu hạn nên họ {Bα : α ∈ J} cs-hữu hạn Từ mâu thuẫn suy Pn họ HCP Hệ 2.3.8 Các khẳng định sau tương đương với không gian dãy X (1) X có k-mạng σ -HCP (2) X có k-mạng σ -compact-hữu hạn (3) X có k-mạng σ -cs-hữu hạn Chứng minh Giả sử X không gian dãy nên nhờ Mệnh đề 1.5.4, ta suy X k -không gian Sử dụng kết Mệnh đề 2.3.7, ta suy điều phải chứng minh Hệ 2.3.9 Nếu X k-khơng gian với k-mạng σ -HCP, X không gian dãy Chứng minh Giả sử P k -mạng σ -HCP k -không gian X Khi đó, theo Mệnh đề 2.3.7, ta suy X có k -mạng điểm-đếm Áp dụng Bổ đề 2.3.6 ta suy tập compact X khả mêtric Do đó, X khơng gian dãy 32 Mệnh đề 2.3.10 Giả sử P phủ σ -HCP X Khi đó, P k-mạng P wcs*-mạng Chứng minh (1) Điều kiện cần: Giả sử P k -mạng σ -HCP X Khi đó, hiển nhiên P wcs∗-mạng X ∞ (2) Điều kiện đủ: Giả sử P = Pn wcs∗-mạng X , Pn ⊂ Pn+1 n=1 Pn họ HCP với n ∈ N Vì P mạng σ -HCP X nên điểm X Gδ -tập Do đó, tập compact X compact theo dãy Giả sử K tập compact K ⊂ U với U tập mở Đặt: Pn = {P ∈ Pn : Z ⊂ P ⊂ U , với Z dãy hội tụ K} Pn Khi đó, tồn n ∈ N cho K ⊂ Fn Thật vậy, giả sử ngược lại với n ∈ N, tồn xn ∈ K\Fn Do đó, ta dãy vô hạn {xn : n ∈ N} ⊂ K Bởi K compact theo dãy P wcs∗-mạng nên tồn dãy {xni : i ∈ N} dãy {xn : n ∈ N}, hội tụ đến x ∈ K P ∈ P cho {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U Fn = Suy tồn m ∈ N cho P ∈ Pn Vì vậy, P ⊂ Fm Nếu lấy i ∈ N cho ni m xni ∈ (K\Fni ) P = ∅ Điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy tồn n ∈ N cho K ⊂ Fn Bây giờ, ta chứng tỏ tồn họ hữu hạn F ⊂ Pn cho K ⊂ F Ta lấy P1 ∈ Pn x1 ∈ K P1 Vì giả thiết phản chứng nên K\P1 = ∅ Suy tồn x2 ∈ K\P1 Do K ⊂ Pn nên tồn P2 ∈ Pn cho x2 ∈ P2 Do đó, giả thiết phản chứng nên K\(P1 P2 ) = ∅ Bằng quy nạp, ta tìm dãy phân biệt {xn : n ∈ N} ⊂ K dãy phân biệt {Pn : n ∈ N} ⊂ Pn cho xn ∈ Pn với n ∈ N Bởi Pn họ HCP Pn ⊂ Pn nên Pn họ HCP Do đó, {xn : n ∈ N} tập đóng rời rạc Điều mâu thuẫn với {xn : n ∈ N} dãy vô hạn tập compact K Vì tồn họ hữu hạn F ⊂ P cho K ⊂ X F ⊂ U Vậy P k -mạng 33 Bổ đề 2.3.11 Không gian X khả mêtric X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ k-mạng σ -HCP Hệ 2.3.12 Các khẳng định sau tương đương không gian X: (1) X không gian Fréchet có k-mạng đóng σ -HCP (2) X khơng gian Fréchet có k-mạng σ -HCP (3) X khơng gian Fréchet có k-mạng điểm-hữu hạn σ -HCP (4) X khơng gian Fréchet có k-mạng compact-hữu hạn (5) X khơng gian Fréchet có k-mạng σ -CF* (6) X khơng gian Fréchet có k-mạng σ -CF ... KHÔNG GIAN VỚI HỌ HCP .13 2.1 Họ HCP tính chất 13 2.2 Mối quan hệ họ HCP với họ khác không gian tôpô 2.3 Không gian với mạng σ -HCP ... Không gian với họ HCP Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, tơi nghiên cứu vấn đề sau: (1) Họ HCP tính chất (2) Mối quan hệ họ HCP với họ khác không gian tôpô (3) Không gian với mạ... σ -HCP, Junniala Ziqiu Yun đưa mối quan hệ ℵ -không gian không gian k -mạng σ -HCP, Bởi lý với góp ý hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài nghiên cứu là: Không gian