MỘT SỐ PHƯNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MỚI 2.3. Phương pháp nhân liên hợp Đây là một phương pháp hay để giải phương trình và hệ phương trình, để vận dụng tốt phương pháp này ta quan tâm đến biểu thức liên hợp, trường hợp tổng biểu thức liên hợp của là và ngược lại ; biểu thức liên hợp của là . Sau khi thực hiện các phép nhân liên hợp ta tiến hành nhóm ra các nhân tử chung, đôi khi ta phải rút hoặc theo biểu thức còn lại. Để hiểu và vân dụng tốt phương pháp này ta nghiên cứu kỹ các bài tập sau: Bài 1. ( Bài toán gốc ) Quan sát cả hai phương trình của hệ ta thấy: Không có điểm chung giữa hai phương trình nên không đổi biến được. Hai biến không độc lập nên rât khó khăn cho việc rút, thế. Không có cấu trúc của một hằng đẳng thức. Không đưa được về dạng . Nhận thấy thỏa mãn (1). Lời giải Điều kiện Với thay vào (2) ta được: Vì nên Vậy hệ đã cho có các nghiệm . Bài tập sau là sự mở rộng tự nhiên của bài tập 1 theo nghĩa tịnh tiến nghiệm thay bởi Bài 2. Giải hệ phương trình: Làm tương tự bài 1 ta được nghiệm . Ta thử vị tự nghiệm của bài 1 thay bởi , bởi sẽ được kết quả ra sao, câu trả lời là bài tập 3.
Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ Với xu hội nhập kinh tế toàn cầu nay, mở cho đất nước ta nhiều hội lớn khơng thách thức Đặc biệt để thực thắng lợi mục tiêu Cơng nghiệp hóa, đại hóa đất nước, đưa nước ta trở thành nước cơng nghiệp vào năm 2020, đòi hỏi nhiều yếu tố tác động tới, có việc thích ứng với kinh tế tri thức giới Các môn học nhà trường sở để trang bị cho em học sinh tri thức có tính chất tảng nhất, có mơn Tốn học Vì “Tốn học mơn thể thao trí tuệ” nên cơng việc người dạy tốn tổ chức hoạt động trí tuệ Là giáo viên giảng dạy mơn tốn 10 năm luôn trăn trở nhiều q trình học tốn làm tốn em học sinh, q trình học tốn, làm tốn em học sinh gặp tốn mà giải cách áp dụng trực tiếp quy tắc, phương pháp quen thuộc Những tốn thường gọi “khơng mẫu mực” có tác dụng khơng nhỏ việc rèn luyện tư toán học thường thử thách học sinh kỳ thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên toán, thi vào đại học Qua kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán, tổng hợp, phân loại hướng dẫn phương pháp giải nhiều phương trình hệ phương trình “khơng mẫu mực”, tơi mạnh dạn xây dựng sáng kiến kinh nghiệm nhằm giúp em học sinh luyện tập, để nhiều tốn giải phương trình hệ phương trình “khơng mẫu mực” dần trở thành “quen thuộc” với mình, qua biết cách suy nghĩ trước phương trình hệ phương trình “ khơng mẫu mực” khác Phần thứ hai: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Căn vào Nghị Trung ương khoá VII ( 1-1993), Nghị Trung ương khoá VIII ( 12-1996), Chỉ thị số 14 ( 4-1999) Bộ giáo dục Đào tạo định hướng đổi phương pháp dạy học Căn Luật Giáo dục năm 2005, Điều 28 khoản nêu rõ : “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm môn học, lớp học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm, rèn kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Căn Chương trình giáo dục phổ thơng ban hành kèm theo định số 16/2006/QĐ-BGĐT ngày 5/5/2006 Bộ trưởng Bộ giáo dục đào tạo, nêu rõ “ Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập học sinh” 2.2 Cơ sở thực tiễn Trong q trình giảng dạy tốn cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao việc học tập, rèn luyện tu dưỡng sống học sinh Đối với học sinh giỏi, việc rèn luyện cho em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán trí tuệ điều kiện cần thiết việc học toán Chính bồi dưỡng học sinh giỏi khơng đơn cung cấp cho em số vốn kiến thức thông qua việc làm tập nhiều, tốt, khó hay mà phải cần thiết rèn luyện khả phát triển tư duy, sáng tạo làm toán cho học sinh, đặc biệt toán em coi “lạ” khó 2.1 Thuận lợi: Có tham gia hưởng ứng nhiệt tình em học sinh, đóng góp ý kiến giúp đỡ thầy giáo giáo đồng nghiệp 2.2 Khó khăn: Điều kiện kinh tế địa phương nhiều khó khăn nên nhiều em học sinh chưa gia đình quan tâm tạo điều kiện học tập tốt Nhiều học sinh ý thức tu dưỡng ý thức học tập chưa cao nên nhiều học sinh học yếu 2.3 Phương pháp nhân liên hợp Đây phương pháp hay để giải phương trình hệ phương trình, để vận dụng tốt phương pháp ta quan tâm đến biểu thức liên hợp, trường hợp tổng biểu thức liên hợp A − B A + B A − m A − m Sau thực ngược lại ; biểu thức liên hợp phép nhân liên hợp ta tiến hành nhóm nhân tử chung, đơi ta phải rút A B theo biểu thức lại Để hiểu vân dụng tốt phương pháp ta nghiên cứu kỹ tập sau: x + y + x( x + y ) = y + y (1) Bài ( Bài toán gốc ) 3x − + x − = y − y + (2) Quan sát hai phương trình hệ ta thấy: Khơng có điểm chung hai phương trình nên khơng đổi biến Hai biến x, y không độc lập nên rât khó khăn cho việc rút, Khơng có cấu trúc đẳng thức Không đưa dạng f (u ) = f (v) Nhận thấy x = y thỏa mãn (1) Lời giải x ≥ Điều kiện y ≥ (1) ⇔ ( x + y − y ) + x + xy − y = ⇔ x− y + ( x − y )( x + y ) = x + y + 2y ⇔ ( x − y )( + x + y) = x + y + 2y ⇔x= y Với x = y thay vào (2) ta được: 3x − + x − = x − 3x + ⇔ [ x − − ( x − 1)]+( x − - x) = x − x + (*) Vì x ≥ nên 3 x − + x − > 0; 5x − + x > − x2 + 5x − − x2 + 5x − (*) ⇔ + = x2 − 5x + 3x − + x − 5x − + x ( ) 1 ⇔ x − x + 1 + + ÷= 3x − + x − 5x − + x x = ⇔ x2 − 5x + = ⇔ x = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = (2;2) ;( x; y ) = (3;3) Bài tập sau mở rộng tự nhiên tập theo nghĩa tịnh tiến nghiệm thay x x + x + y + + ( x + 1)( x + y + 1) = y + y (1) Bài Giải hệ phương trình: 3x − + x − = y − y + (2) Làm tương tự ta nghiệm ( x; y ) = (1;2) ;( x; y ) = (2;3) Ta thử vị tự nghiệm thay x 2x , y 3y kết sao, câu trả lời tập x + y + x(2 x + y ) = y + 18 y (1) Bài Giải hệ phương trình: x − + 10 x − = y − y + (2) Hướng dẫn : Làm tương tự ta nghiệm ( x; y ) = (1; ) ;( x; y ) = ( ;1) x − y + x( x − y ) = −2 y + y (1) Bài Giải hệ phương trình: 3x − + x − = y + y + (2) Nghiệm ( x; y ) = (2; −2) ;( x; y ) = (3; −3) Bài tập mở rộng từ theo hướng đối xứng y qua O, thay y − y y xy + y + xy ( xy + 1) = y y + (1) Bài Giải hệ phương trình: y ( x − + x − 6) = y − y + (2) Bài trở nên khó khăn ta thực hiên phép nghịch đảo, thay y y 1 Nghiệm ( x; y ) = (2; ) ;( x; y ) = (3; ) Bài (Bài toán gốc ) x + xy + y + y + xy + x = 2( x + y ) (1) Giải hệ phươngtrình: x + y − + = 3x − + y (2) Lời giải x ≥ Điều kiện x + y > Từ (1) ta có x + xy + y + y + xy + x = 2( x + y ) y2 − x2 y − x ⇒ x + xy + y − y + xy + x = = 2( x + y ) 2 2 ⇒ x + xy + y = 3x + y ⇒ 16( x + xy + y ) = (3x + y ) ⇒ 7( x − y ) = ⇔ x = y Với x = y thay vào (2) ta được: x + x − + = 3x − + x ⇔ x + x − = x − + ( x − 1) (*) a = 3x − Đặt b = x − ⇒ 2a + b = a + b a = ⇒ 2a + b = (a + b) ⇔ a − 2ab = ⇔ a = 2b Với a = ⇒ 3x − = ⇒ x = không thỏa mãn (*) x ≥ a = b ⇒ x − = 2( x − 1) ⇔ ⇔ x=2 Với x − = 4( x − x + 1) thỏa mãn (*) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;2 ) Nhận xét Phương pháp nhân liên hợp hay, có khác biệt với biểu thức suất phát, phương pháp se làm thức nên dễ dàng cho việc biến đổi ỏ bước sau Cụ thể Đầu có A + B = m (m > 0) ⇒ A − B = A− B m Biểu thức A − B chia hết cho m, cộng theo vế hai đẳng thức lại ta A = m + A− B m Bài Giải hệ phương trình: x − xy + y + y − xy + x = 2( x + y ) (1) x + y − + = 3x − + y (2) Bài Giải hệ phương trình: x − xy + y − y − xy + x = y (1) x + y − + = 3x − + y (2) Bài Giải hệ phương trình: 3x + xy + y + y + xy + x = 3( x + y ) (1) x + y − + = 3x − + y (2) Bài 10 Giải hệ phương trình: x + xy + y + y + 3xy + x = 3( x + y ) (1) x + y − + = 3x − + y (2) Bài 11 Giải hệ phương trình: x + xy + y + y + xy + x = 3( x + y ) (1) x + y − + = 3x − + y (2) x2 + y x + xy + y + = x + y (1) Bài 12 Giải hệ phương trình: x − + y − = y − x + (2) Lời giải x ≥ Điều kiện y ≥ 7 x2 + y x + y − + 2 ( 1) ⇔ x + xy + y x + y − =0 ( x − y) ⇔ ( x − y) + =0 x2 + y x + y x + xy + y x + y 4( + ) 12( + ) 2 ⇔ ( x − y) = ⇔ x = y Với x = y thay vào (2) ta 5x − + x − = x − 3x + ⇔ x − − x + x − − ( x + 1) = x − x + ( *) Vì x ≥ x − + x > nên x − + x + > − x2 + 5x − − x2 + 5x − + = x2 − 5x + 5x − + x 7x − + x +1 1 ⇔ ( x − x + 6)(1 + + )=0 5x − + x 7x − + x +1 x = ⇔ x2 − 5x + = ⇔ x = (*) ⇔ Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = (2;2) ;( x; y ) = (3;3) x − y + y − x = (1) Bài 12 Giải hệ phương trình: x3 − x + = + y (2) Phân tích: Quan sát hệ ta thấy khơng khai thác phương trình A + B = m nên ta thử tìm (2), phương trình (1) có cấu trúc Lời giải Điều kiện x, y ∈ − 3; x − y + y − x2 = ⇒ x − y − y − x2 = 3( x − y ) = x2 − y2 A− B ⇒ x − y = x2 − y + ⇔ ( − y2 − x ) x ≥ = ⇔ − y2 = x ⇔ 2 3 − y = x x ≥ Với 2 thay vào (2) ta x − x + = − x 3 − y = x ⇔ x3 − x = − x − ( ) ⇔ x x −1 = ( ) ⇔ x2 − ( x + − x2 − x2 + 2 5− x +2 Vì x ≥ nên x + )=0 5− x +2 > , suy x − = ⇒ x = Với x = ⇒ y = ± ( ) thử lại ta thấy nghiện ( x; y ) = 1; thỏa mãn hệ x − y + y (3 − x ) = (1) Bài 13 Giải hệ phương trình: x3 − x + = + y (2) Nhận xét: Từ 12 ta thay y y ta 13 x − y + ( y + 1)(3 − x ) = (1) Bài 14 Giải hệ phương trình: x3 − x + = + y (2) Nhận xét: Từ 13 ta thay y y + ta 14 x x − y + y ( x − x ) = x (1) Bài 15 Giải hệ phương trình: x3 − x + = + y (2) Nhận xét: Từ 13 ta thay x ta 15 Với x = ⇒ y = −5 Với x ≠ kỹ thuật nhân liên hợp tương tự, từ (1) ta ( x− y −x ) x ≥ =0⇔ y = x − x x x = y ( x − 1) + x − y ( 1) Bài 16 Giải hệ phương trình: y + x − + − y = y + ( ) Phân tích: Bài tốn có nhiều điều kiện ràng, nên ta tiến hành giải sau thử lại nghiệm sau Vì chưa rõ dấu y x − nên ta chọn việc rút x − y thuận lợi việc rút y ( x − 1) Lời giải Với x = không thỏa mãn hệ Với x ≠ , ta có x x = y ( x − 1) + x − y xy − x y − x ⇒ y ( x − 1) − x − y = = x x x y−x ⇒ x2 − y = x x − x ⇔ x x2 − y = x2 − y + x x > ⇔ ( x − y − x )2 = ⇔ y = x − x Thay vào (2) ta x2 + x − + − x2 + x = x2 − x + ⇔ ( x + x − − 1) + ( − x + x − 1) = x − x 10 x2 + + x + > (*) ⇔ Vì x > nên + x +1 Với x = ⇒ y= x −1 = ⇔ x = 1 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (1; ) x = y + 45 − y + Bài 14 Giải hệ phương trình : y = x + 45 − x + (1) (2) Phân tích : Đây hệ đối xứng loại giải phương pháp nhân liên hợp, không xử lý khéo léo tốn trở nên phức tạp điều kiện rộng Điều kiện x ≥ −5; y + 45 > y + ⇔ y ≥ −5 với điều kiện y + 45 > y + ⇒ x = y + 45 − y + > y = x + 45 − x + > Tương tự Sự đánh giá vô quan trọng cho sau Lời giải Điều kiện x ≥ −5; y + 45 > y + Tương tự ⇔ y ≥ −5 với điều kiện y + 45 > y + ⇒ x = y + 45 − y + > y = x + 45 − x + > Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được: x − y = y + 45 − x + 45 + x + − y + ⇔ x + x + 45 − x + = y + y + 45 − y + Xét hàm số f (t ) = t + t + 45 − t + , t > f ′(t ) = + Vì 1 − > , ∀t > t + 45 t + < ∀t > , suy f (t ) đồng biến ( 0;+∞ ) t +5 25 mà f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y (**) thay (**) vào (2) ta x = x + 45 − x + ⇔ x + x + 45 = x + ⇔ ( x − 4) + ( x + − 3) = x + 45 − 1 ⇔ ( x − 4) − ÷ = (*) x + 45 + x+5 +3 Với x > x + 45 + > x + + ⇒ nên (*) ⇔ x−4=0 ⇔ Với x = ⇒ 1 − >0 x+5 +3 x + 45 + x=4 y=4 Vậy hệ có nghiệm : ( x; y ) = (4;4) 2.4.5 Một số tập vận dụng 2 y + y + 2x − x = − x Bài 15 Giải hệ phương trình: y + + y = + x + (4 x + 1) x + ( y − 3) − y = Bài 16 Giải hệ phương trình : 2 4 x + y + − x = x + x − x + = y −1 + Bài 17 Giải hệ phương trình : y + y − y + = 3x−1 + x − y + y + = x − y + + y Bài 18 Giải hệ phương trình: x − ( x + 2) y + y = y x + x + = y + y + Bài 19 Giải hệ phương trình: x + ( x − 2) y + y = y 26 ( x − 1) y + = y x − x + Bài 20 Giải hệ phương trình: 3 x3 + = x − y + x ( y + 1) + y ( x + 1) = xy Bài 21 Giải hệ phương trình: x y y + − + x = x y − x 2.5 Phương pháp đổi biến số Khi đối mặt với hệ phương trình, việc ta phải xem xét kỹ đề để đưa hướng giải phù hợp.Trong có phương pháp đổi biến số, phương pháp thường áp dụng ta phát phương trình (1) (2) hệ có biểu thức chung, hay nhờ phép đổi biến khử dạng vơ tỷ theo biến mới… Sau ta cụ thể số tập 2.5.1 Đổi biến số u = x + y , v = x − y Ta có : u + v = 2x u − v = 2y u.v = x − y u + v = 2( x + y ) u + v3 = x3 + y x Vận dụng đẳng thức giải hệ phương trình sau: 2 x + y = Bài Giải hệ phương trình : 2 x + y x = Phân tích: Đặt u = x + y , v = x − y ta thu được: u + v = u = u = ⇔ 3 v = v = u + v = 27 x3 + y x = y Bài Giải hệ phương trình : 2 x + y = Phân tích: Đặt u = x + y , v = x − y ta có u + v3 = 2x + y x , u − v = y u + v3 = u − v ta thu hệ mới: 2 u + v − uv = suy u + v3 = (u − v)(u + v − uv ) ⇔ u + v3 = u − v − 2vu + 2uv ⇔ 2v3 + 2vu + 2uv = ⇔ v(v + uv + u ) = 1 2.5.2 Đổi biến số u = x + , v = y + x y Ta có đẳng thức sau u + v = ( x + y )(1 + ) xy u + v = ( x + y )(1 + )+4 x y 2 x2 + y2 uv = xy + + xy xy u y x2 + = ( ) v x y2 + Sử dụng đẳng thức ta giải hệ phương trình sau: ( x + y )(1 + xy ) = 18 xy Bài Giải hệ phương trình: 2 2 2 ( x + y )(1 + x y ) = 208 x y Phân tích: Ta có x = y = nghiệm 28 Xét xy ≠ hệ phương trình tương đương với ( x + y )(1 + xy ) = 18 ( x + y )(1 + ) = 208 x2 y2 1 Đặt u = x + , v = y + ta thu x y u + v = 18 2 u + v = 212 ( x + y )(1 + xy ) = Bài Giải hệ phương trình : 2 xy + + x + y = xy xy 1 u + v = Phân tích: Đặt u = x + , v = y + đưa hệ x y uv = y ( x + 1) = x( y + 1) Bài Giải hệ phương trình : 2 x + y )(1 + ) = 24 x2 y Phân tích: Điều kiện : xy ≠ u 1 =2 u = x + , v = y + Đặt thu hệ v x y u + v = 20 2.5.3 Đặt ẩn phụ u = x + 1 ,v= y+ y x Ta có đẳng thức sau: 29 u + v = ( x + y )(1 + uv = xy + ) xy +2 xy u + v = ( x + y )(1 + u − v = ( x − y )(1 + ) xy ) xy ( x + y )(1 + )=5 xy Bài Giải hệ phương trình : xy + =4 xy Phân tích: Điều kiện xy ≠ Đặt u = x + 1 , v = y + thu hệ y x u + v = uv = ( x + y )(1 + )=6 xy Bài Giải hệ phương trình: ( x + y )(1 + ) = 18 xy Phân tích : Điều kiện xy ≠ Đặt u = x + 1 , v = y + thu hệ y x u + v = 2 u + v = 18 2 ( x + y )(1 + ) =9 xy Bài 8: Giải hệ phương trình : ( x3 + y )(1 + )3 = 27 xy Phân tích: Điều kiện xy ≠ u v ( ) + ( ) =1 2 1 u + v = 3 ⇔ Đặt u = x + , v = y + thu hệ 3 y x u + v = 27 ( u )3 + ( v ) = 3 30 u v = =1 ⇔ 3 ⇔ v v = = x y ( y + x )( x + y ) = 15 Bài Giải hệ phương trình : 2 ( x + y )( x + y ) = 85 y x Phân tích : Điều kiện xy ≠ Đặt u = x y + , v = x + y Ta có y x x2 y + = u2 − 2 y x x + y = ( x + y ) − xy = v − xy x + y v − xy v2 u= = ⇒ xy = xy xy u+2 ⇒ x2 + y = v2 − 2v 15v = u+2 u+2 uv = 15 Ta thu hệ: 15v (u − 2) u + = 85 2.5.4 Đổi biến số để đưa phương trình hệ dạng tích Có tập mà ta thực hiên phép đổi biến với phương trình hệ, sau biểu diễn phần lại phương trình theo biến kết phương trình đơn giản Ta theo rõi tập sau 3 x − y − ( x + y )(2 x − 1) = (1) Bài 10 Giải hệ phương trình: x − x + y + = 2( x + 1) x + y (2) x + y ≥ Phân tích: Điều kiện ( x + y )(2 x − 1) ≥ Với x + y = từ (1), suy x − = , không thỏa mãn hệ 31 x + y > Vậy 2 x − ≥ Từ (1) đặt a = x + y ; b = x − 1, (a > 0, b ≥ 0) , ta có 2b − a = 3x − y − (1) ⇒ a + ab − 2b = ⇔ (a − b)(a + 2b) = ⇔ a = b ⇒ x = y + Tới thay vào (2) ta có phương trình ẩn giải tiếp ( y − 1) x − y + ( x − y − 1) y = x − (1) Bài 11 Giải hệ phương trình: 2 x y + = y x − + ( ) Phân tích: Điều kiện x ≥ y ≥ 0; x ≥ Từ (1) đặt a = x − y ; b = y , (a ≥ 0, b ≥ 0) ⇒ a + b = x , phương trình (1) hệ trở thành (b − 1) a + (a − 1)b = a + b − a = ⇔ ( a − 1)(b − 1)(a + b + 2) = ⇔ a + b + > b = (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y Bài 12 Giải hệ phương trình: 2 y − 3x + y + = x − y − x − y − Phân tích: a = x − y ; b = y , (a ≥ 0, b ≥ 0) 2.5.5 Các tập vận dụng x y + y + = y Bài 13 Giải hệ phương trình : xy + x = y x y + y + x = xy Bài 14 Giải hệ phương trình : 1 x + xy + y = x x2 y + y = Bài 15 Giải hệ phương trình : 2 x + + x y = x 32 x + y + x + y = xy Bài 16 Giải hệ phương trình : y y x + + + x y x2 y = x y x + y + y + x = Bài 17 Giải hệ phương trình : 2 x + y + x + y = y x 1 x( x + 1) + y ( y + 1) = Bài 18 Giải hệ phương trình : x3 y + x y + xy + = y x − x + y − y + = Bài 19 Giải hệ phương trình : 2 x y + x + y − 22 = x − x + y − y + = Bài 20 Giải hệ phương trình : 2 x y − x − y + 16 = y − xy + x + x + y = Bài 21 Giải hệ phương trình : y − 3x − y = −7 y − x y + y − xy + x = 26 Bài 22 Giải hệ phương trình : 2 x − x − y + xy = −5 x + xy + y − 3x = Bài 23 Giải hệ phương trình : 2 x − x y + y − x = 2 x + xy + y + x = Bài 24 Giải hệ phương trình : 2 4 x + x y + y + x = x + xy + y − 3x = Bài 25 Giải hệ phương trình : 2 x + x y + y − x = 5 x + y − ( x + y )(2 x + y − 1) = Bài 26 Giải hệ phương trình: x − x + 15 x − 14 = (3 y + 4) x + y − 33 8 x + x − y + = ( x + y )(2 x + 1) Bài 27 Giải hệ phương trình: x − 10 x + 10 x + y + = 2( x + 1) x + x y − + x x − y = ( x, y ∈ ¡ ) Bài 28 Giải hệ phương trình: 2 4 x + y + 16 = xy + x + y x y − + y x − = ( x, y ∈ ¡ ) Bài 29 Giải hệ phương trình : 2 x y + 16 x + 16 y = 12 + 20 xy y x + = x2 + y + Bài 30 Giải hệ phương trình : ( x + y )(1 + ) = xy xy (2 x + y − 6) + y + x = Bài 31 Giải hệ phương trình : 2 ( x + y )(1 + ) =8 xy 2 x y + y x + y + x = xy Bài 32 Giải hệ phương trình : 2 2 x y + y + x + = xy 2.6 Phương pháp hệ số bất định Phương pháp hệ số bất định thường áp dụng cho hệ phương trình khơng chứa căn, ý tưởng chung tìm cách kết hợp hai phương trình hệ lại thành phương trình mà chúng phân tích thành tích, chẳng han không chia hết cho 3+5=2.4 hay 2.3 +2.5=4.4 Để hiểu sâu phương pháp ta thực hành qua tập sau: x + xy + y + x = (1) Bài Giải hệ phương trình: xy + y + y + = (2) Phân tích : Lấy phương trình (2) nhân với k ≠ cộng với phương trình (1): x + xy + y + 3x + k ( xy + y + y + 1) = ⇔ x + (2 + k ) xy + (2 + k ) y + 3( x + ky ) + k = Ta cần chọn k cho x + (2 + k ) xy + (2 + k ) y = ( x + ky ) 34 ⇔ x + (2 + k ) xy + (2 + k ) y = x + 2kxy + k y 2 + k = 2k ⇒ ⇒k =2 2 + k = k Lời giải Lấy phương trình (2) nhân với cộng với phương trình (1) ta được: x + xy + y + x + 2( xy + y + y + 1) = ⇔ ( x + y ) + 3( x + y ) + = x + y = −1 ⇔ x + y = −2 Với x + y = −1, ta có x = −3 + 2 y = − x + y = −1 x + y = −1 ⇔ ⇔ 2 xy + y + y + = − y + y + = x = −3 − 2 y = + Với x + y = −2 , ta có x = −3 + 1+ y= x + y = −2 x + y = −2 ⇔ ⇔ 2 x = −3 − xy + y + y + = − y + y + = 1− y = x3 − y = 35 (1) Bài Giải hệ phương trình : 2 2 x + y = x − y (2) Phân tích: Khơng thể dùng phép để giải hệ Vì ta hi vọng từ hai phương trình hệ đưa dạng ( x + a)3 = ( y + b)3 ( để ý x, y độc lập với nhau) Muốn ta nhân (2) cho số α Công việc ta tìm a, b, α ( lưu ý phương trình (1) có bậc 3( cao nhất) nên ta để mặc 35 định hệ số cũ, số a, b, α chọn để phù hợp) Lấy (1) + α (2) ta : x3 − y − 35 + α (2 x + y − 4x + y ) = ⇔ x3 + 2α x − 4α x − y + 3α y + 9α y − 35 = 0(*) Ta cần tìm a, b, α thỏa : a3 − b3 = −35 3 VT (*) = ( x + a) − ( y + b) ⇔ 2a = 2α 3a = −4α Do (*) trở thành : ( x − 2)3 − ( y + 3)3 = x − y = 240 (1) Bài Giải hệ phương trình : 3 2 x − y = 3( x − y ) − 4( x − y ) (2) Phân tích: Như tên, x, y tách biệt nên ta hi vọng từ hai phương trình hệ đưa dạng ( x + α ) = ( y + β ) Muốn ta nhân phương trình thứ hai cho số k Công việc ta tìm số α , β , k 2 x + y = (1) Bài Giải hệ phương trình: 4 x + 3x − 57 = − y (3x + 1) 25 (2) Phân tích: Để ý phương trình hệ có bậc hai xuất hạng tử xy nên việc dùng hệ số bất định gặp nhiều khó khăn Một hướng thường dùng ta với hệ loại đưa phương trình bậc hai theo ( ax + by ) Để làm điều đó, ta nhân (1) cho α , (2) cho β cộng lại: 57 (1).α + 2.β ⇔ α ( x + y − ) + β (4 x + xy + x + y − ) = 25 β 3β α 57 β ⇔ α (1 + )x + xy + y + β (3 x + y ) − − =0 α α 25 Đã xuất hạng tử ax + by β (3 x + y ) Do ta hi vọng có 36 (1 + β 3β )x + xy + y = k (3x + y ) α α Để ý hệ số y nên k = Khai triển đồng hệ số ta 4β 1 + α = α = ⇔ β β = = 6α α Vậy ta tìm α , β 2.7 Kết Với số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực tơi áp dụng vào trình giảng dạy phần đem lại hiệu định, làm tăng hứng thú học tập HS từ nâng cao chất lượng dạy chất lượng môn học Dưới kết điểm trung bình mơn học kỳ I, điểm trung bình mơn học kỳ II, điểm trung bình mơn năm (CN) thống kê HS 12A, 10A, cụ thể sau: Lớp Năm HL Kỳ Kỳ CN học 12A Giỏi 19/33=57,6% 21/32=65,6% 22/32=68,8% 2013 Khá 10/33=30,3% 11/32=34,4% 10/32= 31,2% 37 -2014 TB 4/33= 12,1% Giỏi 17/35 = 48,6 % 10A 2014 Khá 12/35 = 34,3 % -2015 TB 6/35 = 17,1% 0 18/30 = 60 % 18/30 = 60% 9/30 = 30 % 10/30 = 33,3% 3/30 = 10% 2/30 = 6,7% Phần thứ ba: KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ XUẤT 3.1 Kết luận Sáng kiến “Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực ” hướng dẫn em học sinh cách tiếp cận vấn đề đơn giản hiệu Với phương pháp tin em học sinh phát huy tính sáng tạo học tốn, giải toán, đồng thời hạn chế nhàm chán em Hơn góp phần kích thích u q mơn tốn học sinh thấy sợ mơn tốn khơng hiểu chất vấn đề 3.2 Đề xuất 38 Giáo viên cần tích cực việc tìm phương pháp dạy học Cần tập hợp phương pháp giảng dạy cán giáo viên thành tài liệu phục vụ trình tập huấn, chuyên đề…như tài liệu bồi dưỡng chuyên môn Lương Sơn, ngày27 tháng 05 năm 2015 Người thực Phạm Văn Thế 39