PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM TRỰC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN (Thời gian làm 150 phút) Đề thi gồm 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4,0 điểm) x2 x 2x x x 1 1 Rút gọn biểu thức P với x > 0, x � x x 1 x x 1 Cho x + = Tính giá trị biểu thức A = 7(x2 – 4x)100 + (x2 – 4x)50 + 2016 Bài 2: (4,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình 2x + = y2 Giải phương trình x 12 3x x Bài 3: (3,0 điểm) �x y z Giải hệ phương trình � xy z � Bài 4: (2,0 điểm) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = yz zx x y Bài 5: (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường thẳng d cắt đường tròn tâm O hai điểm B, C (d không qua O) Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A nằm ngồi đường tròn tâm O) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K a Chứng minh điểm O, M, N, I nằm đường tròn AK AI = AM b Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME c Thầy có nhu cầu mua đề HSG mơn tốn 6789 huyện toàn quốc(100 đề full đáp án), giá 50k/1 khối gồm 100 đề Liên hệ 0981631258 Cho hình vng có độ dài cạnh 1m, hình vng đặt 55 đường tròn, đường tròn có đường kính m Chứng minh tồn đường thẳng giao với bảy đường tròn Hết HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM Bài 1: (4,0 đ) Câu Nội dung P (2,0đ) x x 2x x x 1 x x 1 x x 1 Điểm x P x x 1 x x2 x 1 2 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 1,0 x 1 x 1 x x 1 1,0 x + = => x � ( x 2) 2 2 (2,0đ) � x x � x x 1 A = 7(-1)100 +(-1)50 +2016 A = 2024 1,0 1,0 Bài 2: (4,0đ) Câu (2,0đ) Nội dung Với x = y = y = -2 Điểm 0,5 Với x= y = (loại) 0,5 Với x VT chia dư 3, 0,5 Vì VT số tự nhiên lẻ => y số tự nhiên lẻ (2,0đ) => VP chia dư => vơ lí 0,25 Vậy nghiệm tự nhiên phương trình (x,y) =(0;2) 0,25 Để phương trình có nghiệm : x �۳ 12 x2 x 12 x x � � x2 � x 2 � � x 12 x2 x 12 3x 3 x 2 x 4 x x 5 3 Vậy tập nghiệm phương trình S = {2} 0,5 � � � x x2 � x2 x2 0, x Dễ dàng chứng minh x 12 x2 x 1 0,25 0,5 0,5 0,25 Bài 3: (3,0đ) Câu 3,0đ Nội dung �x y z �z x y � � � 2 xy z � �2 xy z � � �z x y �z x y �� �� 2 2 xy x y x 2 y 2 � � Điểm 1,0 (1) (2) Từ phương trình tìm x=2 y=2 Thay vào phương trình tìm z = -2 1,0 1,0 Bài 4: (2,0đ) Câu 2,0đ Nội dung Vì x, y, z > ta có: x2 yz Áp dụng BĐT Côsi số dương ta được: yz x2 yz x2 y z x �2 x (1) Tương tự ta có: yz yz y xz �y (2) xz z2 x y �z (3) x y Cộng (1) + (2) + (3) ta được: �x2 y2 z2 � x y z P �� � �y z z x x y � Điểm P x y z xyz 2 Vậy P = � x y z 0,5 0,5 0,5 Dấu “=” xảy � x y z 0,25 02,5 Bài 5: : (7,0đ) Câu Nội dung M (5,5 đ) Q P A B O D H K I E 1a (2,0đ) 1,5đ 1b (2,0đ) Điểm C d N � 900 I trung điểm BC ( dây BC không qua O ) � OI BC � OIA => I thuộc đường tròn đường kính AO (1) � Ta có AMO 900 ( AM hai tiếp tuyến (O) ) => M thuộc đường tròn đường kính AO (2) � ANO 900 ( AN hai tiếp tuyến (O) ) => N thuộc đường tròn đường kính AO (3) => điểm A, M, N, O, I thuộc đường tròn đường kính AO Suy điểm O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính OA AM, AN hai tiếp tuyến (O) cắt A nên OA tia phân giác � mà ∆OMN cân O nên OA MN MON ∆AMO vuông M đường cao MH nên ta có AH.AO = AM2 � � � chung ) ∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( AHK=AIO=90 OAI Suy AK.AI = AH.AO => AK.AI = AM2 � Ta có M thuộc đường tròn (O) => PMQ=90 � � � ), Xét ∆MHE ∆QDM có MEH=DMQ ( phụ với DMP � � � ( phụ với MPO ) EMH=MQD ∆MHE đồng dạng ∆QDM ME MH � MQ DQ ∆PMH đồng dạng với ∆MQH MP MH MH � MQ HQ DQ MP ME � MQ MQ ME = MP P trung điểm ME 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 (1,5 đ) Kẻ đường thẳng song song cách chia hình vng thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng 0,1m Vì đường kính hình tròn lớn 0,1m nên đường tròn bị đường thẳng vừa kẻ cắt Nếu đường thẳng cắt khơng q đường tròn số đường tròn khơng q 9.6=54 Vì có 55 đường tròn nên phải có đường thẳng cắt đường tròn Chú ý: - Học sinh làm cách khác chặt chẽ cho điểm tương đương - Giám khảo chấm thống cho điểm đến 0,25 - Nếu học sinh vận dụng kiến thức trước chương trình cho điểm - Điểm học sinh tính đến 0,25 khơng làm tròn 0,5 0,5 0,5